专题1 微专题3 解三角形（word练习）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

一、单项选择题 1．(2024·山东青岛一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2asin B，bc＝4，则△ABC的面积为(　　) A．1　　　　　　　　 B． C．2 D．2 解析　由b＝2asin B，可得sin B＝2sin Asin B， 因0<B<π，sin B>0，则sin A＝，S△ABC＝bcsin A＝1，故选A. 答案　A 2．在△ABC中，sin(B－A)＝，2a2＋c2＝2b2，则sin C＝(　　) A. B． C. D．1 解析　∵a2＋c2－b2＝2accos B，b2＋c2－a2＝2bccos A，两式相减，得2a2－2b2＝2accos B－2bccos A＝－c2. ∴2acos B－2bcos A＝－c. 由正弦定理，得2sin Acos B－2sin Bcos A＝－2sin(B－A)＝－sin C，∴sin C＝，故选C. 答案　C 3．(2024·全国甲卷·理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　) A. B． C. D． 解析　由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，因为B＝，所以sin Asin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝，又sin A>0，sin C>0，所以sin A＋sin C＝. 答案　C 4．(2024·江苏连云港阶段性调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos B＝c－a.当取最小值时，A＝(　　) A. B． C. D． 解析　因为2acos B＝c－a，结合余弦定理，得2a·＝c－a，整理得c＝－a， 所以＝＝＋≥2 ＝4，当且仅当＝，即b＝a时，等号成立，此时c＝－a＝a，此时cos A＝＝＝，又因为A∈(0，π)，所以A＝，故选B. 答案　B 5．(2024·福建福州三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若面积S＝，则tan ＝(　　) A. B． C. D． 解析　因为S＝absin C，所以absin C＝＝， 又由c2＝a2＋b2－2abcos C⇒a2＋b2－c2＝2abcos C， 所以absin C＝⇒4cos C＋4＝3sin C. 所以4cos C＝3sin C－4⇒(4cos C)2＝2⇒16cos2C＝9sin2C－24sin C＋16⇒16(1－sin2C)＝9sin2C－24sin C＋16， 所以25sin2C－24sin C＝0，又因为在△ABC中，sin C≠0，所以sin C＝. 又因为4cos C＝3sin C－4，解得cos C＝－，所以tan C＝－，C为钝角， tan C＝＝－，结合为锐角， 解得tan ＝或－(舍)．故选D. 答案 D 6．(2024·山东泰安三模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且－a＝，延长BC至点D，使得BC＝CD，若AD＝2，AB＝2，则a＝(　　) A．1 B． C．2 D．3 解析　因为－a＝，可得bsin B＝asin A＋(c－a)sin C，由正弦定理得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝＝，又因为0<B<π，所以B＝， 如图所示，由BD＝2a，且AD＝2，AB＝2， 在△ABD中，由余弦定理得AD2＝4＋(2a)2－2×2×2a×cos ＝4＋4a2－4a＝12， 解得a＝2或a＝－1(负值舍去)． 答案　C 二、多项选择题 7．(2024·湖南益阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则下列结论中正确的是(　　) A．(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7 B．△ABC为钝角三角形 C．若a＋b＋c＝18，则△ABC的面积是6 D．若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R＝16r 解析　因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4， 由正弦定理＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝2∶3∶4，设a＝2x(x>0)，b＝3x，c＝4x， 则(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5x∶7x∶6x＝5∶7∶6，故A错误； 由题意可知，C为最大角， 因为cos C＝＝＝－<0，故C为钝角，故B正确； 若a＋b＋c＝18，则a＝4，b＝6，c＝8， 又cos C＝－，所以sin C＝＝， 所以△ABC的面积S△ABC＝absin C＝×4×6×＝3，故C错误； 由正弦定理，得2R＝＝＝，即R＝，由面积公式，可得(a＋b＋c)r＝absin C，即×9x·r＝×2x×3x×，所以r＝x，所以＝，故5R＝16r，故D正确．故选BD. 答案　BD 8．(2024·湖南九校联盟第二次联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝b(2cos A＋1)，则下列结论正确的有(　　) A．A＝2B B．若a＝b，则△ABC为直角三角形 C．若△ABC为锐角三角形，则－的最小值为1 D．若△ABC为锐角三角形，则的取值范围为 解析　对于A，△ABC中，由正弦定理，得sin C＝2sin Bcos A＋sin B， 由sin C ＝sin(A＋B)，得sin Acos B－cos Asin B＝sin B，即sin(A－B)＝sin B， 由0<A<π，0<B<π，则sin B>0，故0<A－B<π，所以A－B＝B或A－B＋B＝π， 即A＝2B或A＝π(舍去)，即A＝2B，A正确； 对于B，若a＝b，结合A＝2B和正弦定理知＝＝，cos B＝， 又0<A<π，0<B<π，所以A＝2B＝，C＝，B正确； 对于C，在锐角△ABC中，0<B<，0<A＝2B<，0<C＝π－3B<，即<B<，<tan B<1. 故－＝－＝>1，C错误； 对于D，在锐角△ABC中，由<B<，<cos B<， ＝＝＝＝2cos B－，令cos B＝t∈，则＝f(t)＝2t－， 易知函数f(t)＝2t－单调递增，所以可得∈，D正确； 故选ABD. 答案　ABD 三、填空题 9.岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度AB，他首先在C处，测得楼顶A的仰角为60°，然后沿BC方向行走22.5米至D处，又测得楼顶A的仰角为30°，则楼高AB为________米． 解析　Rt△ABC中，∠ACB＝60°，＝tan 60°＝，BC＝，Rt△ABD中，∠ADB＝30°，＝tan 30°＝，BD＝AB，因为CD＝22.5(米)，所以BD－BC＝AB－＝AB＝22.5(米)，解得AB＝(米)． 答案　 10．(2024·山师附中三模)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，c＝2，A＝，则asin C＝________，a＋b的取值范围是________． 解析　由正弦定理＝，得asin C＝csin A＝2sin ＝.由＝＝，可得a＝＝，b＝＝＝，所以a＋b＝＋＝1＋＝1＋＝1＋.由△ABC是锐角三角形，可得0<C<，0<－C<，则<C<，所以<<，2－<tan <1，所以1＋<a＋b<1＋＝4＋2. 答案　　(＋1,4＋2) 四、解答题 11．(2024·北京卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝bcos B． (1)求∠A； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积． 条件①：b＝7； 条件②：cos B＝； 条件③：csin A＝. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 解析　(1)由题知，2sin B·cos B＝bcos B． 又A为钝角，所以B为锐角， 故cos B≠0，所以2sin B＝b. 又＝＝＝，所以sin A＝. 又A为钝角，所以A＝. (2)若选①，结合(1)得2sin B＝×7，所以sin B＝，B＝，A＋B＝π，则△ABC不存在，所以条件①不符合要求，故不选择条件①. 若选②，由题知sin B＝＝， 又＝，即＝，所以b＝3. 又C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×－×＝. 所以S△ABC＝absin C＝×7×3×＝. 若选③，由题知c·＝，所以c＝5. 由a2＝b2＋c2－2bccos A得，49＝b2＋25＋5b，即(b＋8)(b－3)＝0，解得b＝3(负值舍去)． 所以S△ABC＝bcsin A＝×3×5×＝. 12．(2024·河南南阳检测)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－b2＝bc. (1)证明：A＝2B； (2)若sin A＋3cos B－cos C＝，证明：<. 证明　(1)由余弦定理可得cos A＝，又a2－b2＝bc，所以cos A＝＝，即b＝c－2bcos A，结合正弦定理可得sin B＝sin C－2sin Bcos A，则sin B＝sin(A＋B)－2sin Bcos A，即sin B＝sin Acos B＋cos Asin B－2sin Bcos A，即sin B＝sin Acos B－cos Asin B，即sin B＝sin(A－B)，又A，B∈，所以B＝A－B，即A＝2B. (2)因为△ABC为锐角三角形，所以解得B∈. 由sin A＋3cos B－cos C＝，可得sin 2B＋3cos B－cos(π－3B)＝， 即sin 2B＋3cos B＋cos(2B＋B)＝sin 2B＋3cos B＋cos 2Bcos B－sin 2Bsin B＝sin 2B＋3cos B＋(2cos2B－1)cos B－2cos Bsin2B＝sin 2B＋2cos3B＋2cos B(1－sin2B)＝4cos3B＋2sin Bcos B＝，即cos2B(2cos B＋tan B)＝，记f(B)＝2cos B＋tan B，则f′(B)＝－2sin B＝，令g(B)＝1－2sin B·cos2B＝2sin B(sin2B－1)＋1，易知g(B)在上单调递增，又g＝>0，所以g(B)>0在B∈时恒成立，则f′(B)>0在B∈时恒成立，所以f(B)在上单调递增，则f(B)>f＝，即2cos B＋tan B>，则>，解得cos B<，所以＝＝＝＝2cos B<，所以<成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$