专题1 微专题2 三角函数的图象与性质（word练习）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

一、单项选择题 1．(2024·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx(ω>0)．已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析　因为f(x)＝sin ωx∈[－1,1]，且f(x1)＝－1，f(x2)＝1，|x1－x2|min＝，(知识积累：正弦函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为半个最小正周期)所以f(x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2. 答案　B 2．(2025·甘肃张掖模拟)将函数g(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数h(x)的图象，若f(x)与h(x)的图象关于x轴对称，则f(x)的一个单调递增区间为(　　) A. B． C. D． 解析　由题意可得h(x)＝2sin＝2sin，由于f(x)与h(x)的图象关于x轴对称，所以f(x)＝－h(x)＝－2sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，取k＝0，则≤x≤，故选C. 答案　C 3．(2024·山西长治一模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　) A. B． C. D． 解析　观察图象知，A＝2，函数f(x)的周期T＝＝π，ω＝＝2，由f＝2，得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，而|φ|<，则φ＝，于是f(x)＝2sin，当x∈时，2x＋∈，当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递减，函数值从－减小到－2，当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递增，函数值从－2增大到，显然函数f(x)在上的图象关于直线x＝－对称，方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，即直线y＝m与函数y＝f(x)在上的图象有两个公共点，所以实数m的取值范围是. 答案　B 4．(2024·天津二模)将函数f(x)＝cos2x－sin x·cos x－的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，下列结论正确的是(　　) A．g(x)是最小正周期为π的偶函数 B．点是g(x)的对称中心 C．g(x)在区间上的最大值为 D．g(x)在区间上单调递减 解析　f(x)＝cos2x－sin xcos x－＝－sin 2x－＝cos，向左平移个单位长度得到函数g(x)，则g(x)＝cos2x＋＋＝－sin 2x， 对于A：由以上解析可得g(x)为奇函数，故A错误； 对于B：当x＝时，g(x)＝－sin＝－，故B错误； 对于C：令2kπ＋≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，即kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，得函数g(x)的单调递增区间为，同理得函数g(x)的单调递减区间为，k∈Z，所以是g(x)的一个递减区间，且g(0)＝0，又当x∈时，g(x)≤0，所以g(x)max＝g＝－sin＝，故C错误； 对于D：由C的解析可知，g(x)在区间上单调递减，故D正确；故选D. 答案 D 5．(2024·湖南长郡中学模拟)已知函数f(x)＝|tan(ωx＋φ)|的最小正周期为2π，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，则f(x)的单调递减区间为(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析　由于f(x)＝|tan(ωx＋φ)|的图象是将y＝tan(ωx＋φ)的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，且y＝tan(ωx＋φ)仅有单调递增区间，故f(x)＝|tan(ωx＋φ)|和y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期相同，均为2π，则＝2π，∴ω＝，即f(x)＝，又直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，则·＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，结合0<φ<，得φ＝，故f(x)＝，令kπ－<x＋≤kπ，k∈Z，则2kπ－<x≤2kπ－，k∈Z，即f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．故选B. 答案　B 6．(2024·河南济洛平许质量检测)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，最高点P(1，A)，且满足NM⊥NP.则下列说法正确的是(　　) A．f(π)>f(5) B．函数f(x)在(4,7)上单调递减 C．若f(x1)＝f(x2)＝(x1≠x2)，则|x1－x2|的最小值是1 D．把y＝Asin ωx的图象向左平移1个单位长度，得到y＝f(x)的图象 解析　函数f(x)的周期T＝4＝6，即＝6，解得ω＝，由f(1)＝A，得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，而|φ|<，则k＝0，φ＝，f(x)＝Asin，则点N，由NM⊥NP，得NP2＋MN2＝MP2，即1＋A2＋＋A2＝＋A2，解得A＝，因此f(x)＝sin， 对于A，由f(4)＝－，得函数f(x)的图象关于x＝4对称，则f(5)＝f(3)， 由图象知，函数f(x)在[1,4]上单调递减，则f(3)>f(π)，因此f(π)<f(5)，A错误； 对于B，由于函数f(x)的图象关于x＝4对称，且在[1,4]上单调递减，则f(x)在(4,7)上单调递增，B错误； 对于C，由f(x)＝，得sin＝，则x1＋＝＋2k1π，k1∈Z，x2＋＝＋2k2π，k2∈Z，两式相减得＝＋2(k2－k1)π，k1，k2∈Z，即x2－x1＝1＋6，k1，k2∈Z，所以|x2－x1|min＝1，C正确； 对于D，把y＝sin x的图象向左平移1个单位长度，得y＝sin (x＋1)＝sin≠f(x)，D错误．故选C. 答案　C 7.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的个数为(　　) ①f(x)的最小正周期是π；②当x∈时，f(x)<1；③将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于直线x＝对称；④若m，n∈，f(m)＝f(n)，且m≠n，则f(m＋n)＝. A．1 B．2 C．3 D．4 解析　由题图可知，A＝2，T＝＋(T为f(x)的最小正周期)，则T＝π，ω＝2，则f(x)＝2sin(2x＋φ)，故①正确；因为对应五点作图法中的第一点，所以－＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝，故f(x)＝2sin，当x∈时，2x＋∈，f(x)∈，故②错误；将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到g(x)＝2sin＝2sin的图象，当x＝时，2sin＝2，故③正确；若m，n∈，f(m)＝f(n)，且m≠n，由x∈⇒2x＋∈(0，π)，要使f(m)＝f(n)，必须满足2m＋＋2n＋＝2×，解得m＋n＝，故f(m＋n)＝2sin＝，故④正确．故正确的结论有3个．故选C. 答案　C 8．(2024·湘豫名校联考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1的图象过原点，且关于点对称，若函数f(x)在上单调，则f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为(　　) A. B． C. D． 解析　因为f(0)＝2sin φ＋1＝0，所以φ＝2kπ－或φ＝2kπ－，k∈Z. 又－π<φ<－，所以φ＝－， 所以f(x)＝2sin＋1. 因为f(x)的图象关于点对称， 所以ω－＝kπ，k∈Z，所以ω＝＋6，k∈Z. 因为x∈，ω>0， 所以ωx－∈. 又函数f(x)在上单调， 所以 因为ω∈N*，所以当k＝0时，ω＝6. 因为f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为半个周期，所以＝×＝.故选D. 答案 D 二、多项选择题 9．(2024·江苏南京六校联考)已知函数f(x)＝2sin xcos，给出下列四个选项，正确的有(　　) A．函数f(x)的最小正周期是π B．函数f(x)在区间上是减函数 C．函数f(x)的图象关于点对称 D．函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到 解析　f(x)＝2sin xcos＝2sin x·＝2sin xcos x－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x－1＝－1＝sin－1，所以函数f(x)的最小正周期是T＝＝π，故A正确； 当x∈时，2x＋∈， 又y＝sin x在上单调递减，所以函数f(x)在区间上是减函数，故B正确； 因为f＝sin 0－1＝－1≠0，所以函数f(x)的图象不关于点对称，故C错误；将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin 2＝sin， 再将y＝sin向下平移1个单位长度得到y＝sin－1，故D正确．故选ABD. 答案　ABD 10．(2024·山东济南一模)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则(　　) A．φ＝ B．f(x)＋f′(x)≤3恒成立 C．f(x)在上单调递减 D．将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称 解析　函数f(x)＝cos(ωx＋φ) 的图象在y轴上的截距为，所以cos φ＝，因为0<φ<，所以φ＝，故A正确；又因为是该函数的最小正零点，所以cos＝0，所以ω＋＝，解得ω＝2，所以f(x)＝cos，f′(x)＝－2sin. 所以f(x)＋f′(x)＝cos－2sin＝cos≤，故B错误；当x∈时，2x＋∈∈，故C正确； 将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，得到y＝cos＝cos，是非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，故D错误．故选AC. 答案　AC 11．关于函数f(x)＝|sin x|＋，下列说法正确的有(　　) A．f(x)为偶函数 B．f(x)在区间上单调递增 C．f(x)的最小值为2 D．f(x)在区间上有两个零点 解析　由sin|x|≠0，得|x|≠kπ，k∈Z，即x≠±kπ，k∈Z，所以f(x)的定义域为{x|x≠±kπ，k∈Z}，关于原点对称．因为f(－x)＝|sin(－x)|＋＝|sin x|＋＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确．当x∈时，f(x)＝sin x＋，f′(x)＝cos x＋＝cos x.因为x∈，所以cos x<0,0<sin x<1,1－<0，所以f′(x)>0，所以f(x)在区间上单调递增，故B正确．因为f＝＋＝1－1＝0，故C错误．当x∈(－π，0)时，sin x<0，f(x)＝|sin x|＋＝－sin x－，令 f(x)＝0，得sin2x＝－1，无解；当x＝0时，函数f(x)无意义；当x∈(0，π)时，sin x>0，f(x)＝|sin x|＋＝sin x＋，令f(x)＝0，得sin x＋＝0，无解；当x＝π时，函数f(x)无意义；当x∈(π，2π)时，sin x<0，f(x)＝|sin x|＋＝－sin x＋，令f(x)＝0，得sin2x＝1，即sin x＝－1，解得x＝；当x＝2π时，函数f(x)无意义；当x∈(2π，3π)时，sin x>0，f(x)＝|sin x|＋＝sin x＋，令f(x)＝0，得sin2x＝－1，无解；当x＝3π时，函数f(x)无意义；当x∈(3π，4π)时，sin x<0，f(x)＝|sin x|＋＝－sin x＋，令f(x)＝0，得sin2x＝1，即sin x＝－1，解得x＝.综上，f(x)在区间(－π，4π)上有两个零点x＝和x＝，故D正确． 答案　ABD 三、填空题 12．(2024·海南模拟)如图是某质点做简谐运动的部分图象，该质点的振幅为2，位移y与时间t满足函数y＝Acos(ωt＋φ)，点P(0,1)，Q(4,1)在该函数的图象上，且位置如图所示，则＝________. 解析　由图象可知：A＝2，T＝4＝⇒ω＝(ω>0)，所以y＝2cos，由f(0)＝1⇒cos φ＝，又φ∈，所以φ＝±. 又y′＝－2sin·＝－πsin， y′|t＝0＝－πsin φ>0⇒φ＝－. 所以＝＝－. 答案　－ 13．(2024·山东烟台一模)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx－1在[0,2π]上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数ω的取值范围为________． 解析　依题意，函数f(x)＝2sin－1，由f(x)＝0，得sin＝， 则ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋，k∈Z， 由x∈，得ωx＋∈， 由f(x)在[0,2π]上恰有5个零点， 得≤2πω＋<，解得≤ω<， 由－≤ωx＋≤，得－≤x≤， 即函数f(x)在上单调递增， 因此⊆， 即－≤－，且≥，解得0<ω≤， 所以正实数ω的取值范围为≤ω≤. 答案　 14．(2024·广东六校联考)已知函数f(x)＝2sin ωxcos(ωx＋φ).若ω＝1，φ＝，则f(x)的单调递增区间为________；设函数g(x)＝f(x)＋sin φ，若x＝－是g(x)的零点，直线x＝是g(x)图象的对称轴，且0<ω<3，则g(x)在区间上的最小值为________． 解析　依题意，f(x)＝2sin ωx(cos ωxcos φ－sin ωxsin φ)＝sin 2ωxcos φ－(1－cos 2ωx)sin φ＝sin(2ωx＋φ)－sin φ，当ω＝1，φ＝时，f(x)＝sin－，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．g(x)＝f(x)＋sin φ＝sin(2ωx＋φ)，依题意，－ω＋φ＝k1π，k1∈Z，ω＋φ＝k2π＋，k2∈Z，则有ω＝(k2－k1)π＋，所以ω＝2(k2－k1)＋1，k1，k2∈Z，而0<ω<3，所以ω＝1，＋φ＝k2π＋，k2∈Z，而|φ|≤，则k2＝0，φ＝，g(x)＝sin，当≤x≤时，≤2x＋≤，因此当2x＋＝，即x＝时，g(x)取得最小值，最小值为sin ＝. 答案　(k∈Z)　 学科网（北京）股份有限公司 $$