专题1 微专题1 三角恒等变换（word练习）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

一、单项选择题 1．(2024·山东济南三模)若sin α－cos α＝，则tan α＝(　　) A．1　　 B．－1　　　 C．2　　 D．－2 解析　因为sin α－cos α＝， 所以(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－sin 2α＝2，所以sin 2α＝－1⇒2α＝2kπ＋π，k∈Z⇒α＝kπ＋π，k∈Z，所以tan α＝－1，故选B. 答案　B 2．(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知sin αsin＝cos αsin，则tan＝(　　) A．2－ B．－2－ C．2＋ D．－2＋ 解析　由题意sin2α＋sin αcos α＝cos2α－sin αcos α，即cos 2α＝sin 2α，即tan 2α＝，所以tan＝＝＝－2－.故选B. 答案　B 3．(2024·陕西安康模拟)已知sin＝，则cos＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析　因为cos＝cos＝cos＝sin＝，所以cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.故选D. 答案 D 4．(2024·河北石家庄二模)已知α∈，且cos＝2cos 2α，则tan＝(　　) A. B． C. D． 解析　因为α∈，且cos＝2cos 2α， 所以cos＝2sin＝4sincos，由题意知α≠，所以sin＝，所以cos＝， 所以sin＝ ＝，则tan＝＝.故选D. 答案 D 5．(2024·江苏南通模拟)已知0<β<α<，sin(α－β)＝，tan α－tan β＝2，则sin αsin β＝(　　) A. B． C. D． 解析　因为0<β<α<，所以0<α－β<，因为sin(α－β)＝，所以cos(α－β)＝＝，因为2＝tan α－tan β＝－＝＝，所以cos αcos β＝，因为cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋sin αsin β＝，则sin αsin β＝.故选B. 答案　B 6．(2024·四川绵阳模拟)已知tan(α＋β)，tan(α－β)是函数f(x)＝x2－6x＋4的零点，则＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析　因为tan(α＋β)，tan(α－β)是函数f(x)＝x2－6x＋4的零点，所以tan(α＋β)＋tan(α－β)＝6，tan(α＋β)tan(α－β)＝4，所以＝＝－×＝－×＝－×＝－×＝－.故选B. 答案　B 7．(2024·辽宁鞍山六中二模)已知α，β均为锐角，sin α＝3sin βcos(α＋β)，则tan α取得最大值时，tan(α＋β)的值为(　　) A. B． C．1 D．2 解析　sin α＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝3sin βcos(α＋β)，则sin(α＋β)·cos β＝4sin βcos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝4tan β＝4tan＝4×，整理得tan α＝＝， 因为α，β均为锐角，且3sin βcos(α＋β)＝sin α>0，即cos(α＋β)>0，所以tan>0， 所以tan(α＋β)＋≥2 ＝4，当且仅当tan(α＋β)＝，即tan(α＋β)＝2时等号成立， 所以tan α＝≤， 所以tan α取得最大值时，tan(α＋β)的值为2.故选D. 答案 D 8．(2024·福建泉州二模)若α，β∈，tan α＝mtan β，sin(α－β)＝，且α与β存在且唯一，则tan α＋mtan β＝(　　) A．2 B．4 C. D． 解析　α，β∈，由tan α＝mtan β，得＝，即sin αcos β＝mcos αsin β， 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝(m－1)·cos αsin β＝，有m>1， 所以cos αsin β＝，sin αcos β＝mcos αsin β＝， 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝>0，因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)， 因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α＋β唯一， 若sin(α＋β)＝<1，α＋β有两解，其中一解α，β中有钝角，此情况不存在． 所以sin(α＋β)＝＝1，解得m＝4，经检验符合题意，所以tan α＝4tan β， 因为α，β∈，所以α>β，所以cos(α－β)＝＝， 则tan(α－β)＝＝＝，解得tan β＝，tan α＝2，所以tan α＋mtan β＝4.故选B. 答案　B 二、多项选择题 9．已知α，β∈，cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则(　　) A．sin(α＋β)＝ B．cos(α－β)＝－ C．sin 2α＝ D．＝ 解析　由α，β∈，则α＋β∈，sin(α＋β)＝＝，故A正确； 由α，β∈，则α－β∈，cos(α－β)＝＝，故B错误； 2α＝(α＋β)＋(α－β)，sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝，故C正确； 由＝＝＝，则＝，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 10．(2024·广东广州三模)已知函数f(x)＝2(cos x＋sin x)cos x－1，则(　　) A．f(x)≥f B．f(1)>f(2) C．f＋f＝0 D.＝ 解析　f(x)＝2(cos x＋sin x)cos x－1＝sin 2x＋cos 2x＝sin， 对于A，由f＝sin＝sin ＝－，所以f(x)≥f，故A正确； 对于B，当≤x≤时，2x＋∈，由正弦函数可知，f(x)在上单调递减，又f(x)的对称轴为x＝，所以f＝f，由>－2>1>，则f(1)>f＝f，故B正确； 对于C，令2x＋＝kπ，k∈Z，所以f(x)的对称中心为，k∈Z，若f＋f＝0成立，则f(x)关于点对称，令－＋＝，解得k＝∉Z，故C错误； 对于D，因为f(x)的周期为π，f＝sin ＝sin＝sin ，f＝sin ，f＝－sin ，f＝－sin ，f＝－sin ，f＝sin ， ∴f＋f＋f＋f＋f＋f＝0， 所以＝337＋f＋f＝.故D正确．故选ABD. 答案　ABD 11．(情境创新)由倍角公式cos 2x＝2cos2x－1，可知cos 2x可以表示为cos x的二次多项式．一般地，存在一个n(n∈N*)次多项式Pn(t)＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋antn(a0，a1，a2，…，an∈R)，使得cos nx＝Pn(cos x)，多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式．则(　　) A．P3(t)＝4t3－3t B．当n≥3时，a0＝0 C．|a1＋a2＋a3＋…＋an|≤2 D．sin 18°＝ 解析　因为cos 3x＝cos 2xcos x－sin 2xsin x＝2cos3x－cos x－2sin2xcos x＝2cos3x－cos x－2(1－cos2x)cos x＝4cos3x－3cos x，所以P3(t)＝4t3－3t，故A正确；令x＝，则t＝cos ＝0，则a0＝cos (n∈N*)，所以a0＝0，±1，故B错误；令x＝0，则t＝cos 0＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋an＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋an＝0,1,2，故C正确；设sin 18°＝x，则x＝cos 72°＝2cos236°－1＝2(1－2x2)2－1，将x＝代入，方程成立，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 三、填空题 12．(2024·山东泰安模拟)已知cos＋cos－cos＝0，则tan θ＝______. 解析　因为cos＋cos－cos＝0，所以cos 20°cos θ＋sin 20°sin θ＋cos 20°cos θ－sin 20°sin θ－cos 40°cos θ－sin 40°sin θ＝0，得2cos 20°cos θ－cos 40°cos θ－sin 40°sin θ＝0，所以2cos 20°－cos 40°－sin 40°tan θ＝0， 则tan θ＝＝ ＝ ＝＝. 答案　 13．(开放创新)(2024·海南海口摸底)已知cos(α＋2β)＝，tan(α＋β)tan β＝－4，写出符合条件的一个角α的值：________. 解析　cos(α＋2β)＝cos[(α＋β)＋β]＝cos(α＋β)·cos β－sin(α＋β)sin β＝　①，tan(α＋β)tan β＝＝－4，即sin(α＋β)sin β＝－4cos(α＋β)cos β　②，由①②得sin(α＋β)sin β＝－，cos(α＋β)cos β＝，所以cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－.故符合条件的一个角α的值可以为. 答案　 14.正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正多边形，设∠CAD＝α，则cos α＋cos 2α＋cos 3α＋cos 4α＝________， cos αcos 2α cos 3αcos 4α＝________. 解析　正五角星可分割成5个三角形和1个正五边形，五个三角形各自角度之和为180°，正五边形的内角和为180°×＝180°×3＝540°；每个角为＝108°，三角形是等腰三角形，底角是五边形的外角，即底角为180°－108°＝72°，三角形内角和为180°，那么三角形顶角，即五角星尖角为180°－72°×2＝36°，即∠CAD＝α＝36°. cos α＋cos 2α＋cos 3α＋cos 4α＝cos 36°＋cos 72°＋cos 108°＋cos 144°＝cos 36°＋cos 72°＋cos＋cos＝cos 36°＋cos 72°－cos 72°－cos 36°＝0； cos αcos 2αcos 3αcos 4α＝cos 36°cos 72°cos 108°·cos 144°＝2，因为cos 36°·cos 72°＝＝＝＝，所以cos αcos 2αcos 3αcos 4α＝. 答案　0　 学科网（北京）股份有限公司 $$