专题11 锐角三角函数-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（人教版）

专题11 锐角三角函数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 中考真题练 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝1，则sinA＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴． 故选：A． 2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝4，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理求得AB的长，然后根据余弦的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝4， ∴AB＝＝5， 则cosA＝＝， 故选：B． 3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，已知AB＝3，BC＝4，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求出即可． 【解答】解：如图所示： ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴tanA＝＝． 故选：C． 4．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，，则AB的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠B＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵sinB＝， ∴∠B＝30°， 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， 则AB＝2AC＝2×4＝8， 故选：B． 5．sin30°cos45°tan60°的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】先代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【解答】解：原式＝××＝． 故选：D． 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，已知，AD＝2CD＝2，则BE的长为（　　） A．4 B． C． D．3 【分析】根据算出AB＝5，再算出，即可求解． 【解答】解：∵AD＝2CD＝2， ∴AD＝2，CD＝1，AC＝3， ∵∠C＝90°，， ∴， ∴AB＝5， ∵DE⊥AB， ∴∠ADE＝∠B＝90°﹣∠A， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，梯子地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（　　） A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡 C．梯子的长度决定倾斜程度 D．梯子倾斜程度与∠A的函数值无关 【分析】根据锐角三角函数的增减性即可得到答案． 【解答】解：A选项，sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，故错误； B选项，cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡，故正确； C选项，梯子的长度不能决定倾斜程度，故错误； D选项，梯子倾斜程度与∠A的函数值有关，故错误； 故选：B． 8．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　） A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50° 【分析】先求出∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，再用三角函数定义，求出AD＝AB×sinB＝60×sin50°，即可得出答案． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示： ∵∠BAC＝88°，∠C＝42°， ∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°， 在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°， ∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确． 故选：A． 9．如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30 cm，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i＝1：5，则AC的长度是（　　） A．200cm B．210cm C．240cm D．300cm 【分析】如图所示：所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD＝60m，AD＝60m．然后根据坡度比解答即可． 【解答】解：过B作BD⊥AC， 由题可知BD＝60cm，AD＝60cm． ∵tan∠BCA＝＝， ∴DC＝300cm， ∴AC＝DC﹣AD＝300﹣60＝240（cm）． 故选：C． 10．2024年10月30日，“神舟十九号”载人宇宙飞船搭乘长征二号运载火箭从酒泉卫星发射升空，如图，当火箭上升到点A处时，位于海平面B处的“远望六号”测量船测得点B到点A的距离为m千米，仰角为α，则此时火箭距海平面的高度AC为（　　） A．msinα千米 B．千米 C．mcosα千米 D．千米 【分析】根据锐角的正弦函数的定义即可求解． 【解答】解：由题意得：， ∴AC＝msinα千米， 故选：A． 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列选项错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【解答】解：A．正确，故该选项不符合题意； B．正确，故该选项不符合题意； C．正确，故该选项不符合题意； D．，原表示方法错误，故该选项符合题意． 故选：D． 2．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（　　） A． B． C． D． 【分析】过B作BC⊥OA于C，根据勾股定理求出OA、OB，根据三角形面积求出BC，解直角三角形求出即可． 【解答】解：如图： 过B作BC⊥OA于C， ∵∠OEB＝90°， ∴由勾股定理得：AO＝＝2，OB＝＝2， ∵S△ABO＝AB×OE＝OA×BC， ∴2×2＝2×BC， ∴BC＝， ∴∠AOB的正弦值是＝＝， 故选：B． 3．在△ABC中，若∠A，∠B满足+＝0，则△ABC是（　　） A．等腰（非等边）三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【分析】先根据非负数的性质及特殊教的三角函数值∠A和∠B，即可作出判断． 【解答】解：根据题意得：sinA﹣＝0且cosB﹣＝0， 则sinA＝，cosB＝， ∴∠A＝60°，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 故选：B． 4．如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为（　　） A． B． C． D．2 【分析】连接CB，设小正方形边长为1，求出，，，即可证明△ABC是直角三角形，问题随之得解． 【解答】解：连接CB， 设小正方形边长为1， ∴AB2＝22+42＝20，AC2＝32+42＝25，CB2＝22+12＝5， ∴AC2＝AB2+BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，CB＝，AC＝5， ∴， 故选：B． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点B，C分别在地面OP和墙面OQ上，且边AB∥OQ，若AC＝1，∠ABC＝α，则CO的长为（　　） A． B． C．cosα×tanα D． 【分析】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，BC＝，在Rt△BOC中，OC＝BC•cos∠BCO，即可作答． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α， ∴BC＝＝， ∵AB∥OQ， ∴∠BCO＝∠ABC＝α， 在Rt△BOC中，AC＝1， OC＝BC•cos∠BCO＝×cosα＝， 故选：A． 6．如图，某防洪指挥部发现长江边一处坝高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡度，则加固后坝底增加的宽度AF＝ 　（）米　． 【分析】过点D作DH⊥AB于点H，过点E作EG⊥AB于点G．解Rt△ADH，Rt△EFG，得出，根据FA＝FG+GH﹣AH即可求解． 【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，过点E作EG⊥AB于点G， 依题意：EG＝DH＝10（米），ED＝GH＝3（米）， 在Rt△ADH中，∠AHD＝90°，∠DAH＝45°， ∴AH＝DH＝10（米）， 在Rt△EFG中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：加固后坝底增加的宽度AF为（）米． 7．如图，已知△ABC中，BD⊥AC于点D，BE：ED＝7：5，连接AE并延长交边BC于点F，已知AB＝13，AC＝8，． （1）求∠AED的正切值； （2）求的值． 【分析】（1）由余弦定义求出AD＝5，由勾股定理得出BD＝12，要做BE：ED＝7：5求出ED＝5，由正切定义即可得出答案； （2）过D作DG∥AF交BC于点G，求出CD＝3，由平行线分线段成比例定理得，，得出，设CG＝3x，则FG＝5x，CF＝8x，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ABD中，， ∴AD＝5， 由勾股定理得：， ∵BE：ED＝7：5， ∴ED：BD＝5：12， ∴ED＝BD＝5， ∴； （2）过D作DG∥AF交BC于点G， ∵AC＝8，AD＝5， ∴CD＝AC﹣AD＝3， ∴，， ∴， 设CG＝3x，则FG＝5x， ∴BF＝7x，CF＝FG+CG＝8x， ∴＝＝． 8．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，5C的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度均等于30cm，且与BC在同一条直线上． （1）如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，与地面夹角∠ACG＝53°，求出此时拉杆把手A点距离地面的高度； （2）如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，此时拉杆把手A点距离地面高度与图12﹣1相同．求出此时AC与地面夹角∠ACG的度数．（参考数据：sin53°≈0.8，sin37°≈0.6） 【分析】（1）过点A作AH⊥CG，AC＝AB+BC＝30+60＝90cm，由可求解； （2）过点A作AN⊥CG，由可求解． 【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥CG，AC＝AB+BC＝30+60＝90cm， ， ∵∠ACH＝53°，sin53°≈0.8， ∴， 解得AH＝72cm； （2）如图，过点A作AN⊥CG， AC＝AM+MB+BC＝30+30+60＝120cm，AN＝AH＝72cm， ， ∵sin37°≈0.6， ∴∠ACG＝37°． 9．周末，小宏和小帆准备相约去湖边景点D钓鱼．如图，A，B，C，D为同一平面内的四个景点．已知景点A位于景点B的正东方向，景点D位于景点C的正东方向，景点A位于景点D的西南方向3000米处，景点B位于景点D的南偏西53°方向，景点C位于景点B的北偏东30°方向．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41，≈1.73，≈2.45） （1）求景点D到景点B的距离；（结果保留根号） （2）小宏选择路线A﹣B﹣D以1.6米/秒前往景点D处，小帆选择路线B﹣C﹣D以1.5米/秒前往景点D，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且匀速前进，请通过计算说明谁先到达景点D．（结果保留1位小数） 【分析】（1）根据三角函数的定义得到sin∠DAE＝，求得∠DAE＝45°＝∠ADE，得到AE＝DE＝AD•sin45°＝AD＝1500（米），根据三角函数的定义即可得到结论； （2）如图，过点B作BF⊥CD交DE的延长线于点F，则BF＝DE＝1500米，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，AD＝3000米，sin∠DAE＝， ∴∠DAE＝45°＝∠ADE， ∴AE＝DE＝AD•sin45°＝AD＝1500（米）， 在Rt△BDE中，∠BDE＝53°，DE＝1500米，cos∠BDE＝， ∴BD＝≈＝2500， 答：景点D到景点B的距离约为2500米； （2）如图，过点B作BF⊥CD交DE的延长线于点F， 则BF＝DE＝1500米， 在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BF＝1500米，cos∠BDE＝， ∴BC＝＝1000， ∴CF＝BC＝500， 在Rt△BDE中，∠BDE＝53°，DE＝1500米，tan∠53°＝， ∴BE≈＝1875（米）， ∴DF＝BE＝1875米，AB＝（1875﹣1500）（米） ∴CD＝（1875﹣500）米， 小宏选择路线A﹣B﹣D以1.6米/秒前往景点D处所用时间为（1875﹣1500+3000）÷1.6≈2206（秒）， 小帆选择路线B﹣C﹣D以1.5米/秒前往景点D所用时间为（1000+1875﹣500）÷1.5≈2584（秒） ∵2206＜2584， ∴小宏到达景点D． 10．（2024•株洲模拟）综合与实践： 【问题情境】南宁青秀山龙象塔始建于明代万历年间，塔呈八角形，九级重檐结构，是青秀山的地标建筑．在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量龙象塔的高． （1）【实践探究】某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为α，点C到点B的距离BC＝a米，即可得出塔高AB＝　a•tanα　米（请你用所给数据α和a表示）． （2）【问题解决】但在实践中发现：由于无法直接到达塔底端的B点，因此BC无法直接测量．该小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的C点向前走a米到达点D处后，在D处测得塔顶端A的仰角为β，即可通过计算求得塔高AB．若测得的α＝45°，β＝60°，CD＝22米，请你利用所测数据计算塔高AB．（计算结果精确到1米，参考数据：，） 【分析】（1）在Rt△ABC中，根据三角形函数直接求解即可； （2）设塔高AB的长为x米，利用直角三角形的性质和锐角三角函数可求解． 【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α， ∴AB＝a•tanα， 故答案为：a•tanα； （2）设塔高AB的长为x米， ∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ∴， ∴AB＝BC＝x米， ∴BD＝BC﹣CD＝（x﹣22）米， 在Rt△ABD中，∠ABD＝90°， ∴， ∴， ∴x≈52，即AB≈52（米）， 答：塔高约52米． 1．（2024•云南）如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正切的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴tanA＝＝， 故选：C． 2．（2024•哈尔滨）△ABC是直角三角形，AB＝，∠ABC＝30°，则AC的长为 　 　． 【分析】分若∠A＝90°，若∠C＝90°求解即可． 【解答】解：若∠A＝90°，则AC＝＝2； 若∠C＝90°，则AC＝AB＝． 3．（2024•临夏州）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，则BC的长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 【分析】过点A作BC的垂线，构造出直角三角形，再结合正弦的定义及等腰三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M， 在Rt△ABM中， sinB＝， ∴AM＝＝4， ∴BM＝． 又∵AB＝AC， ∴BC＝2BM＝6． 故选：B． 4．（2024•长春）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　） A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米 【分析】根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：在Rt△ALR中，AR＝a，∠ARL＝θ， ∴sinθ＝， ∴AL＝AR•sinθ＝asinθ（千米）． 答：火箭距海平面的高度AL为asinθ千米， 故选：A． 5．（2024•深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（　　） （参考数据：，， A．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m 【分析】根据题意可得：EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，DF＝5m，EM＝BF，BD＝CN，EM⊥AB，CN⊥AB，然后设BD＝CN＝x m，则EM＝BF＝（x+5）m，分别在Rt△AEM和Rt△ACN中，利用锐角三角函数的定义求出AM和AN的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，DF＝5m，EM＝BF，BD＝CN，EM⊥AB，CN⊥AB， 设BD＝CN＝x m， ∴EM＝BF＝DF+BD＝（x+5）m， 在Rt△AEM中，∠AEM＝45°， ∴AM＝EM•tan45°＝（x+5）m， 在Rt△ACN中，∠ACN＝53°， ∴AN＝CN•tan53°≈x（m）， ∵AM+BM＝AN+BN＝AB， ∴x+5+1.8＝x+1.5， 解得：x＝15.9， ∴AN＝x＝21.2（m）， ∴AB＝AN+BN＝21.2+1.5＝22.7（m）， ∴电子厂AB的高度约为22.7m， 故选：A． 6．（2024•雅安）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（　　） A．25米 B．25米 C．25米 D．50米 【分析】设DC＝x米，在Rt△ACD中，利用锐角三角函数定义表示出AC，在Rt△BCD中，利用锐角三角函数定义表示出BC，再由AC﹣BC＝AB＝50列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值即可． 【解答】解：设DC＝x米， 在Rt△ACD中，∠A＝30°， tanA＝，即tan30°＝＝， 整理得：AC＝x米， 在Rt△BCD中，∠DBC＝60°， tan∠DBC＝，即tan60°＝＝， 整理得：BC＝x米， ∵AB＝50米， ∴AC﹣BC＝50，即x﹣x＝50， 解得：x＝25， 则这栋楼的高度为25米． 故选：A． 7．（2024•资阳）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 【分析】设EF＝x，则AH＝3x，根据全等三角形，正方形的性质可得AE＝4x，再根据勾股定理可得AB＝5x，即可求出sin∠ABE的值． 【解答】解：根据题意，设EF＝x，则AH＝3x， ∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形， ∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x， ∴AE＝4x， ∵∠AEB＝90°， ∴， ∴， 故选：C． 8．（2024•日照）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（　　） （结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） A．41m B．42m C．48m D．51m 【分析】延长BA交MN于点C，根据等角对等边得出CN的长，得出CM的长，再结合tan∠AMC＝≈0.40，即可得出结果． 【解答】解：如图，延长BA交MN于点C， 则∠ACN＝90°， 由题意可知，BC＝119m，MN＝74m， ∵∠BNC＝45°，∠BCN＝90°， ∴CN＝CB＝119m， ∴CM＝CN+MN＝119+74＝193（m）， ∴tan∠AMC＝≈0.40， ∴AC≈77.2m， ∴AB＝BC﹣AC＝119﹣77.2＝41.8（m）≈42（m）， 故选：B． 9．（2024•淄博）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35m．又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用锐角三角函数的定义求出AB的长，则可得出答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝29°，BC＝35m， ∴tan∠ACB＝tan29°＝＝， ∴AB＝35×tan29°（m）， ∴用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序是35×tan29＝， 故选：A． 10．（2024•德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（　　）米． A．20 B．15 C．12 D．10+5 【分析】设过点A的水平线于CD交于点E，在Rt△BCD中，用CD表示BD，在Rt△ACE中，用CD表示AE，再利用AE＝BD列方程即可求出CD． 【解答】解：设过点A的水平线于CD交于点E，如图， 由题意，知：四边形ABDE是矩形DE＝AB＝10米，AE＝BD， 在Rt△BCD中， BD＝＝CD， 在Rt△ACE中， AE＝＝（CD﹣DE＝（CD﹣10）， ∴（CD﹣10）＝CD， 解得CD＝15（米）， 故选：B． 11．（2024•武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 　51　m．（参考数据：tan63°≈2） 【分析】过点C作CD∥BD，延长BA交CH于H，在Rt△BCH中和Rt△ACH中，解直角三角形求出CH，AH，即可求出答案． 【解答】解：过点C作CD∥BD，延长BA交CH于H， 由题意得∠ABD＝∠CDB＝90°， ∴∠AHC＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形BDCH是矩形， ∴BH＝CD＝102m， 在Rt△BCH中，∠BCH＝63°，tan∠BCH＝， ∴CH＝≈＝51（m）， 在Rt△ACH中，∠ACH＝45°， ∴∠CAH＝45°＝∠ACH，∴AH＝CH＝51m， ∴AB＝BH﹣AH＝51m． 答：黄鹤楼的高度约为51m． 故答案为：51． 12．（2024•西宁）阅读相关资料：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②西宁市的纬度约为北纬37°；③如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬37°纬线的长度，根据以上信息，北纬37°纬线的长度约为 　30720　千米（参考数据：π≈3，sin37°≈0.6．cos37°≈0.8，tan37°≈0.8） 【分析】过OD⊥AB于D，则BD＝CD＝BC，根据BC∥OA得∠CBO＝∠AOB＝37°，解Rt△OBD中得BD＝OB•cos∠CBO＝5120千米，则BC＝2BD＝10240千米，进而求出以BC为直径的圆的周长即可得出答案． 【解答】解：过OD⊥AB于D，如图所示： ∴BD＝CD＝BC， ∵BC∥OA，∠AOB＝37°， ∴∠CBO＝∠AOB＝37°， 在Rt△OBD中，OB＝6400千米，cos∠CBO＝BD/OB， ∴BD＝OB•cos∠CBO＝6400×cos37°≈6400×0.8＝5120（千米）， ∴BC＝2BD＝2×5120＝10240（千米）， ∴以BC为直径的圆的周长为：BC•π＝10240π≈10240×3＝30720（千米）． ∴北纬37°纬线的长度约为30720千米． 故答案为：30720． 13．（2024•泰安）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度．他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机．如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米（图中点A，B，C，P在同一平面内）．那么大汶河此河段的宽AB为 　74　米．（参考数据：sin40°≈，sin63.6°≈，tan50°≈，tan63.6°≈2） 【分析】根据题干条件，要求AB，求出AE和BE即可，分别在两个直角三角形中去求即可． 【解答】解：由题知∠NPC＝∠PCF＝63.6°，∠MPA＝∠BAP＝50°，BC＝EF＝12m，PE＝60m， ∴PF＝PE﹣EF＝48m， 在Rt△PFC，tan63.6°＝＝2， ∴CF＝24m， ∴BE＝24m， 在Rt△APE中，tan50°＝＝， ∴AE＝50m， ∴AB＝AE+BE＝74m． 故答案为：74． 14．（2024•宁夏）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流AB＝2cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD，BC＝DE＝11cm，∠ABE＝120°，∠CBE＝80°．器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为 　34.1　cm（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713，≈1.732） 【分析】过点C作CF⊥BE，垂足为F，过点A作AG⊥EB，交EB的延长线于点G，先利用平角定义可得∠ABG＝60°，然后分别在Rt△ABG和Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出AG和CF的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：过点C作CF⊥BE，垂足为F，过点A作AG⊥EB，交EB的延长线于点G， ∵∠ABE＝120°， ∴∠ABG＝180°﹣∠ABE＝60°， 在Rt△ABG中，AB＝2cm， ∴AG＝AB•sin60°＝2×＝（cm）， 在Rt△BCF中，∠EBC＝80°，BC＝11cm， ∴CF＝BC•sin80°≈11×0.9848＝10.8328（cm）， ∵器身底部CD距地面的高度为21.5cm， ∴该陶盉管状短流口A距地面的高度＝AG+CF+21.5＝+10.8328+21.5≈34.1（cm）， ∴该陶盉管状短流口A距地面的高度约为34.1cm， 故答案为：34.1． 15．（2024•福建）无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F＝AD＝400，则f2＝CD＝　128　．（单位：N）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77） 【分析】先求出∠ADQ＝40°，∠1＝∠PDQ＝30°，由AB//QD得∠BAD＝∠ADQ＝40°，求出F2＝BD＝AD•sin∠BAD＝256，求出∠BDC＝90°﹣∠1＝60°，在Rt△BCD中，根据f2＝CD＝BD•cos∠BDC即可求出答案． 【解答】解：如图， ∵∠PDA＝70°，∠PDQ＝30°， ∴∠ADQ＝∠PDA﹣∠PDQ＝70°﹣30°＝40°，∠1＝∠PDQ＝30°， ∵AB//QD， ∴∠BAD＝∠ADQ＝40°， 在Rt△ABD中，F＝AD＝400，∠ABD＝90°， ∴F2＝BD＝AD•sin∠BAD＝400•sin 40°＝400×0.64＝256， 由题意可知，BD⊥DQ， ∴∠BDC+∠1＝90°， ∴∠BDC＝90°﹣∠1＝60°， 在Rt△BCD中，BD＝256，∠BCD＝90°， ∴f2＝CD＝BD•cos∠BDC＝256×cos60°＝256×＝128， 故答案为：128． 16．（2024•浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 【分析】（1）由tan∠ACB＝1可得CD＝AD＝6，根据勾股定理可得BD的长，进而求得BC的长； （2）根据AE是BC边上的中线可得CE的长，由DE＝CE﹣CD可得DE的长，根据勾股定理可得AE的长，再根据三角函数的定义解答即可． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝＝8； ∵tan∠ACB＝1， ∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD+CD＝8+6＝14； （2）∵AE是BC边上的中线， ∴CE＝＝7， ∴DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1， ∵AD⊥BC， ∴＝＝， ∴sin∠DAE＝＝＝． 17．（2024•重庆）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2千米．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） （1）求BC的长度（结果精确到0.1千米）； （2）甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为：D﹣C﹣B，乙选择的路线为：D﹣A﹣B．请计算说明谁选择的路线较近？ 【分析】（1）过B作BE⊥AC于E，由∠DAC＝30°，可得∠EAB＝60°，∠EBA＝30°，故AE＝AB＝1（千米），BE＝AE＝（千米），而C在B的北偏西15°方向，得△EBC是等腰直角三角形，从而CE＝BE＝（千米），BC＝BE＝×＝≈2.5（千米）； （2）过C作CF⊥AD于F，由AE＝1千米，CE＝千米，得AC＝AE+CE＝（1+）千米，在Rt△ACF中，CF＝AC＝（千米），AF＝CF＝（千米），根据D在C的北偏西60°方向，知∠DCF＝30°，可得DF＝＝（千米），CD＝2DF＝（千米），即可得AD+AB＝++2≈5.15（千米），CD+BC＝+≈4.03（千米），比较即得答案． 【解答】解：（1）过B作BE⊥AC于E，如图： 根据已知得∠DAB＝90°， ∵∠DAC＝30°， ∴∠EAB＝60°，∠EBA＝30°， ∴AE＝AB＝1（千米），BE＝AE＝（千米）， ∵C在B的北偏西15°方向， ∴∠EBC＝90°﹣30°﹣15°＝45°， ∴△EBC是等腰直角三角形， ∴CE＝BE＝（千米），BC＝BE＝×＝≈2.5（千米）， ∴BC的长度约为2.5千米； （2）过C作CF⊥AD于F，如图： 由（1）知AE＝1千米，CE＝千米， ∴AC＝AE+CE＝（1+）千米， 在Rt△ACF中，CF＝AC＝（千米），AF＝CF＝（千米）， ∵D在C的北偏西60°方向， ∴∠DCF＝30°， ∴DF＝＝（千米），CD＝2DF＝（千米）， ∴AD+AB＝++2＝≈5.15（千米）； CD+BC＝+≈4.03（千米）， ∴CD+BC＜AD+AB； ∴甲选择的路线比较近． 18．（2024•广东）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4m，CE＝1.6m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据≈1.73） （1）求PQ的长； （2）该充电站有20个停车位，求PN的长． 【分析】（1）先求出AQ和AP的长度，进而可以解决问题； （2）求出QM的长度，因为四边形PQMN是矩形，所以PN＝QM＝66.7m． 【解答】解：（1）∵四边形PQMN是矩形， ∴∠Q＝∠P＝90°， 在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4m， ∴AQ＝AB•sin，∠QAB＝30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°， ∴∠CBE＝30°， ∴， ∴， ∵∠PAD＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∴， ∴； （2）在Rt△BCE中，， 在Rt△ABQ中，BQ＝AB•cos∠ABQ＝2.7m， ∵该充电站有20个停车位， ∴QM＝QB+20BE＝66.7m， ∵四边形PQMN是矩形， ∴PN＝QM＝66.7m． 19．（2024•呼和浩特）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB＝24cm，BE＝AB，试管倾斜角∠ABG为12°． （1）求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） （2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝28cm，MN＝8cm，∠ABM＝147°，求线段DN的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【分析】（1）根据cos12°，得出BG的长度； （2）延长GB，NM交于点H，得出四边形DNHG是矩形，通过计算得出GH的长度，从而得出DN的长度． 【解答】解：（1）∵AB＝24cm，BE＝AB， ∴BE＝＝8， ∵， ∴BG＝8cos12°（cm）； （2）∵sin12°＝， ∴EG＝8sin12°（cm）， 延长GB，NM交于点H， ∴四边形DNHG是矩形， ∴NH＝DG＝DE﹣EG＝（28﹣8sin12°）cm， ∴HM＝NH﹣MN＝（20﹣8sin12°）cm， ∵∠ABG＝12°，∠ABM＝147°， ∴∠FBG＝135°， ∴∠MBH＝45°， ∴BH＝HM＝（20﹣8sin12°）cm， ∴DN＝GH＝BG+BH＝（8cos12°+20﹣8sin12°）cm． 20．（2024•贵州）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求BC的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质计算求值即可； （2）利用锐角三角函数求出DN的长，然后根据BD＝BN﹣DN计算即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°， ∴∠B＝45°， ∴BC＝AC＝20cm； （2）由题可知ON＝EC＝AC＝10cm， ∴NB＝ON＝10cm， 又∵∠DON＝32°， ∴DN＝ON•tan∠DON＝10•tan32°≈10×0.62＝6.2cm， ∴BD＝BN﹣DN＝10﹣6.2＝3.8cm． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 锐角三角函数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 中考真题练 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝1，则sinA＝（　　） A． B． C． D． 2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝4，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，已知AB＝3，BC＝4，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 4．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，，则AB的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 5．sin30°cos45°tan60°的值是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，已知，AD＝2CD＝2，则BE的长为（　　） A．4 B． C． D．3 7．如图，梯子地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（　　） A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡 C．梯子的长度决定倾斜程度 D．梯子倾斜程度与∠A的函数值无关 8．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　） A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50° 9．如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30 cm，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i＝1：5，则AC的长度是（　　） A．200cm B．210cm C．240cm D．300cm 10．2024年10月30日，“神舟十九号”载人宇宙飞船搭乘长征二号运载火箭从酒泉卫星发射升空，如图，当火箭上升到点A处时，位于海平面B处的“远望六号”测量船测得点B到点A的距离为m千米，仰角为α，则此时火箭距海平面的高度AC为（　　） A．msinα千米 B．千米 C．mcosα千米 D．千米 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列选项错误的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（　　） A． B． C． D． 3．在△ABC中，若∠A，∠B满足+＝0，则△ABC是（　　） A．等腰（非等边）三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4．如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为（　　） A． B． C． D．2 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点B，C分别在地面OP和墙面OQ上，且边AB∥OQ，若AC＝1，∠ABC＝α，则CO的长为（　　） A． B． C．cosα×tanα D． 6．如图，某防洪指挥部发现长江边一处坝高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡度，则加固后坝底增加的宽度AF＝ 　 　 ． 7．如图，已知△ABC中，BD⊥AC于点D，BE：ED＝7：5，连接AE并延长交边BC于点F，已知AB＝13，AC＝8，． （1）求∠AED的正切值； （2）求的值． 8．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，5C的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度均等于30cm，且与BC在同一条直线上． （1）如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，与地面夹角∠ACG＝53°，求出此时拉杆把手A点距离地面的高度； （2）如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，此时拉杆把手A点距离地面高度与图12﹣1相同．求出此时AC与地面夹角∠ACG的度数．（参考数据：sin53°≈0.8，sin37°≈0.6） 9．周末，小宏和小帆准备相约去湖边景点D钓鱼．如图，A，B，C，D为同一平面内的四个景点．已知景点A位于景点B的正东方向，景点D位于景点C的正东方向，景点A位于景点D的西南方向3000米处，景点B位于景点D的南偏西53°方向，景点C位于景点B的北偏东30°方向．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41，≈1.73，≈2.45） （1）求景点D到景点B的距离；（结果保留根号） （2）小宏选择路线A﹣B﹣D以1.6米/秒前往景点D处，小帆选择路线B﹣C﹣D以1.5米/秒前往景点D，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且匀速前进，请通过计算说明谁先到达景点D．（结果保留1位小数） 10．（2024•株洲模拟）综合与实践： 【问题情境】南宁青秀山龙象塔始建于明代万历年间，塔呈八角形，九级重檐结构，是青秀山的地标建筑．在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量龙象塔的高． （1）【实践探究】某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为α，点C到点B的距离BC＝a米，即可得出塔高AB＝　a•tanα　米（请你用所给数据α和a表示）． （2）【问题解决】但在实践中发现：由于无法直接到达塔底端的B点，因此BC无法直接测量．该小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的C点向前走a米到达点D处后，在D处测得塔顶端A的仰角为β，即可通过计算求得塔高AB．若测得的α＝45°，β＝60°，CD＝22米，请你利用所测数据计算塔高AB．（计算结果精确到1米，参考数据：，） 1．（2024•云南）如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 2．（2024•哈尔滨）△ABC是直角三角形，AB＝，∠ABC＝30°，则AC的长为 　 　． 3．（2024•临夏州）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，则BC的长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 4．（2024•长春）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　） A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米 5．（2024•深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（　　） （参考数据：，， A．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m 6．（2024•雅安）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（　　） A．25米 B．25米 C．25米 D．50米 7．（2024•资阳）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 8．（2024•日照）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（　　） （结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） A．41m B．42m C．48m D．51m 9．（2024•淄博）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35m．又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（2024•德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（　　）米． A．20 B．15 C．12 D．10+5 11． （2024•武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度 是　 　m．（参考数据：tan63°≈2） 12．（2024•西宁）阅读相关资料：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②西宁市的纬度约为北纬37°；③如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬37°纬线的长度，根据以上信息，北纬37°纬线的长度约为 　 　千米（参考数据：π≈3，sin37°≈0.6．cos37°≈0.8，tan37°≈0.8） 第12题 第13题 13．（2024•泰安）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度．他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机．如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米（图中点A，B，C，P在同一平面内）．那么大汶河此河段的宽AB为 　 　米．（参考数据：sin40°≈，sin63.6°≈，tan50°≈，tan63.6°≈2） 14．（2024•宁夏）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流AB＝2cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD，BC＝DE＝11cm，∠ABE＝120°，∠CBE＝80°．器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为 　 　cm（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713，≈1.732） 15．（2024•福建）无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F＝AD＝400，则f2＝CD＝　 　．（单位：N）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77） 16．（2024•浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 17．（2024•重庆）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2千米．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） （1）求BC的长度（结果精确到0.1千米）； （2）甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为：D﹣C﹣B，乙选择的路线为：D﹣A﹣B．请计算说明谁选择的路线较近？ 18．（2024•广东）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4m，CE＝1.6m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据≈1.73） （1）求PQ的长； （2）该充电站有20个停车位，求PN的长． 19．（2024•呼和浩特）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB＝24cm，BE＝AB，试管倾斜角∠ABG为12°． （1）求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） （2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝28cm，MN＝8cm，∠ABM＝147°，求线段DN的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 20．（2024•贵州）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求BC的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 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