专题10 相似-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（人教版）

专题10 相似 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 中考真题练 1．下列图形一定是相似形的是（　　） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个矩形 D．两个等边三角形 2．若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝2cm，b＝4cm，c＝3cm，则d＝（　　） A．6cm B． C．1.5cm D．3cm 3．若2x＝3y（y≠0），则下列比例式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝70°，∠F＝60°，∠G＝90°，则∠D的度数为（　　） A．70° B．110° C．120° D．140° 5．在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为9cm，那么放大后的矩形的长为（　　） A．15cm B．18cm C．20cm D．25cm 6．如图所示，△ABC中，DE∥BC，AE＝3，EC＝9，AD＝4，则DB的值为（　　） A．6 B．9 C．12 D．16 7．如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，则下列说法错误的是（　　） A．△BCO∽△B′C′O B．△A′B′C′与△ABC周长比为2：3 C．S△A′B′C′：S△ABC＝4：9 D．OB′：BB′＝3：2 8．如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC∽△AED，则下列各式成立的是（　　） A． B．AB•AD＝AE•AC C． D．AD•DE＝AE•EC 9．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③；④AD•BC＝DE•AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 1．将两块长为am，宽为bm的长方形红布，加工成一个长为cm，宽为dm的长方形，有人就a，b，c，d的关系写出如下四个等式，不过他写错了一个，写错的那个是（　　） A． B． C． D． 2．若（x，y，z均不为零），则的值为（　　） A．﹣11 B． C． D．11 3．在研究相似问题时，三位同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上三人的观点，下列判断正确的是（　　） A．甲错 B．乙错 C．丙错 D．都对 4．如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（　　） A．3 B． C．2 D． 5．如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，点G，O，A，N在同一条直线上，若OA＝1，则OE长为（　　） A．8 B． C． D． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，点E是AC上的动点，F是AD的中点，连接EF，则EF的最小值为 　 　． 7．“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作（周髀算经）中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”EFG的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得DE＝1米，AD＝4米，若“矩”的边EF＝1米，FG＝0.5米，则这根杆子的长AB为 　 米． 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点A，B，E在x轴上，若OA＝2，则点G的坐标为 　 　． 9．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2：1； （2）△OA1B1的面积＝ 　 　； （3）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2； （4）判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 10．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M． （1）求证：△MFC∽△MCA； （2）求证△ACF∽△ABE； （3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长． 1．（2024•重庆）若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形面积的比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 2．（2024•连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　　） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 3．（2024•哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE：BE＝1：2，DF＝3，则FC的长为（　　） A．6 B．3 C．5 D．9 4．（2024•南充）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BC＝AB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若AE＝mAB，则m的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2024•南通）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2＝AB•AE请对两位同学的发现作出评判（　　） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 6．（2024•浙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8） 7．（2024•德州）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB：BC＝3：4，则BF：FD为（　　） A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1 8．（2024•河南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为（　　） A． B．1 C． D．2 9．（2024•绥化）如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（　　） A．（9，4） B．（4，9） C．（1，） D．（1，） 10．（2024•威海）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G．下列结论错误的是（　　） A．若＝，则EF∥BD B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，则EF∥BD C．若EF∥BD，CE＝CF，则∠EAC＝∠FAC D．若AB＝AD，AE＝AF，则EF∥BD 11．（2024•滨州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是 　 　．（写出一种情况即可） 12．（2024•云南）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若＝，则＝ 　 　． 13．（2024•成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE＝BC，CD＝2，则BD＝　 　． 14．（2024•无锡）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ＝x，PQ＝y．当x＝y时，CD＝　 　；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 　 　． 15．（2024•牡丹江）如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD于点F、M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP．下列四个结论：①AM＝PN；②DM+DN＝DF；③若P是BC中点，AB＝3，则EM＝2；④BF•NF＝AF•BP；⑤若PM∥BD，则CE＝BC．其中正确的结论是 　 　． 16．（2024•常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m、b m、c m、d m．若装裱后AB与AD的比是16：10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度． 17．（2024•无锡）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，＝，AB，CD的延长线相交于点E，且DE＝AD． （1）求证：△CAD∽△CEA； （2）求∠ADC的度数． 18．（2024•上海）如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD． （1）求证：AD2＝DE•DC； （2）F为线段AE延长线上一点，且满足，求证：CE＝AD． 19．（2024•巴中）如图，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线． （2）求证：BD＝ED． （3）若DE＝5，CF＝4，求AB的长． 20．（2024•自贡）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为 　11.3　m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8m，DG＝1.5m．将观测点D后移24m到D′处．采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m．求雕塑高度（结果精确到1m）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 相似 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 中考真题练 1．下列图形一定是相似形的是（　　） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个矩形 D．两个等边三角形 【分析】根据相似形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等． 【解答】解：A 两个直角三角形，只能得到两个三角形的直角对应相等，其它两角不能判断是否对应相等，所以不是相似形，不符合题意． B 两个等腰三角形，不能判断对应角相等，也不能判断对应边的比相等，所以不是相似形，不符合题意． C 两个矩形形，能判断对应角相等，但不能判断对应边的比相等，所以不是相似形，不符合题意． D 两个等边三角形，它们的内角都是60°，等边三角形的三边都相等，可以判断对应边的比相等，所以是相似形，符合题意． 故选：D． 2．若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝2cm，b＝4cm，c＝3cm，则d＝（　　） A．6cm B． C．1.5cm D．3cm 【分析】根据成比例线段的定义得到a：b＝c：d，然后利用比例的性质可求出d． 【解答】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴a：b＝c：d， 即2：4＝3：d， 解得d＝6（cm）． 故选：A． 3．若2x＝3y（y≠0），则下列比例式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A．由得3x＝2y，故本选项不符合题意； B．由得2x＝3y，故本选项符合题意； C．由得3x＝2y，故本选项不符合题意； D．由得xy＝6，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝70°，∠F＝60°，∠G＝90°，则∠D的度数为（　　） A．70° B．110° C．120° D．140° 【分析】根据相似多边形的对应角相等可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝70°，∠F＝60°，∠G＝90°， ∴∠E＝∠A＝70°，∠B＝∠F＝60°，∠C＝∠G＝90°， ∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣70°﹣60°﹣90°＝140°， 故选：D． 5．在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为9cm，那么放大后的矩形的长为（　　） A．15cm B．18cm C．20cm D．25cm 【分析】利用相似多边形的性质求解． 【解答】解：设放大后的长为x cm． 由题意＝， 解得x＝15． 经检验x＝15是分式方程的解． 所以放大后的矩形的长为15cm． 故选：A． 6．如图所示，△ABC中，DE∥BC，AE＝3，EC＝9，AD＝4，则DB的值为（　　） A．6 B．9 C．12 D．16 【分析】利用平行线分线段成比例定理得到然后把AE＝3，EC＝9，AD＝4代入后利用比例的性质可求出AB的长． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， 即， DB＝12， 故选：C． 7．如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，则下列说法错误的是（　　） A．△BCO∽△B′C′O B．△A′B′C′与△ABC周长比为2：3 C．S△A′B′C′：S△ABC＝4：9 D．OB′：BB′＝3：2 【分析】根据位似变换得到△A′B′C′∽△ABC，AC∥A′C′，BC∥B′C′，则S△A′B′C′：S△ABC＝4：9，△BCO∽△B′C′O′，△A′B′C′与△ABC周长比为2：3，OB′：BB′＝2：1，即可得到答案． 【解答】解：∵△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3， ∴△A′B′C′∽△ABC，AC∥A′C′，BC∥B′C′， ∴S△A′B′C′：S△ABC＝4：9，△BCO∽△B′C′O′，△A′B′C′与△ABC周长比为2：3， ∴OB′：OB＝2：3， ∴OB′：BB′＝2：1． 故选项A、B、C说法正确，选项D说法错误， 即选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 8．如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC∽△AED，则下列各式成立的是（　　） A． B．AB•AD＝AE•AC C． D．AD•DE＝AE•EC 【分析】根据相似三角形的性质，写出各边的比例关系，然后根据比例的基本性质求解即可． 【解答】解：∵△ABC∽△AED， ∴＝＝， ∵＝＝，＝＝，≠， ∴，故A错误； ∵＝， ∴AB•AD＝AC•AE，故B正确； ∵＝，AE≠AD， ∴，故C错误； ∵AE•EC＝AE（AC﹣AE）＝AE•AC﹣AE2＝AB•AD﹣AE2，AD•DE＝AD＝•AD2， ∴无法推出AD•DE＝AE•EC，故D错误． 故选：B． 9．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③；④AD•BC＝DE•AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【解答】解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意； ②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意， ③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意； ④由AD•BC＝DE•AC可得＝，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故④不符合题意， 故选：B． 10．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据正方形的性质可得∠ABC＝90°，再根据矩形的性质可得BG＝EF，∠BEF＝90°，从而可得∠ABH＝∠FEH＝90°，然后证明8字模型相似三角形△ABH∽△FEH，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， ∵BE＝2.5，BH＝0.5， ∴HE＝BE﹣BH＝2.5﹣0.5＝2， ∵四边形BEFG是矩形， ∴BG＝EF，∠BEF＝90°， ∴∠ABH＝∠FEH＝90°， ∵∠AHB＝∠EHF， ∴△ABH∽△FEH， ∴＝， ∴＝， ∴EF＝4， ∴BG＝EF＝4， 故选：A． 1．将两块长为am，宽为bm的长方形红布，加工成一个长为cm，宽为dm的长方形，有人就a，b，c，d的关系写出如下四个等式，不过他写错了一个，写错的那个是（　　） A． B． C． D． 【分析】由长方形的面积关系得出2ab＝cd，得出，，，得出A、B、C正确，D不正确；即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：2ab＝cd， ∴，，， ∴A、B、C正确，D不正确． 故选：D． 2．若（x，y，z均不为零），则的值为（　　） A．﹣11 B． C． D．11 【分析】首先设，得出x＝4k，y＝3k，z＝2k，然后代入，再代入求值即可． 【解答】解：根据x，y，z均不为零，可设，则有x＝4k，y＝3k，z＝2k，代入所求代数式得： ∴原式＝＝11， 故选：D． 3．在研究相似问题时，三位同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上三人的观点，下列判断正确的是（　　） A．甲错 B．乙错 C．丙错 D．都对 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【解答】解：如图所示， 由题意可得：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴新三角形与原三角形相似，甲说法正确． 乙：设原矩形边长为a，b． 向外扩张一个单位后边长变为a+2，b+2． 则 ∴新矩形与原矩形不相似，乙说法不正确； 丙：将边长为a的菱形按图③的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，故丙正确， 故选：B． 4．如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（　　） A．3 B． C．2 D． 【分析】连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，解直角三角形求出BD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【解答】解：连接BD，如图所示： 由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线， 设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a， ∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°， ∴BD＝a． ∵OD∥AB， ∴＝＝＝， 故选：B． 5．如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，点G，O，A，N在同一条直线上，若OA＝1，则OE长为（　　） A．8 B． C． D． 【分析】由图形可知，12个直角三角形的较小内角正好组成一个周角，且均相等，得出∠AOB＝360°÷12＝30°，OA＝1，再通过观察发现OE＝＝，即可求解． 【解答】解：由图形可知，12个直角三角形的较小内角正好组成一个周角，且均相等， ∴∠AOB＝360°÷12＝30°， ∵OA＝1， ∴OB＝， ∴OC＝， 依次类推，OE＝＝， 故选：B． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，点E是AC上的动点，F是AD的中点，连接EF，则EF的最小值为 　　． 【分析】先求出AF，AC，DC的长度，当EF⊥AC，即∠AEF＝90°时，EF的值最小，根据△EAF∽△DAC，求出EF最小值． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8， ∴∠ADC＝90°，AD＝BC＝8，CD＝AB＝6， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：， ∵F是AD的中点， ∴， 当EF⊥AC，即∠AEF＝90°时，EF的值最小， ∵∠AEF＝∠ADC，∠EAF＝∠DAC， ∴△EAF∽△DAC， ∴， ∴， ∴EF＝， 故答案为：． 7．“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作（周髀算经）中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”EFG的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得DE＝1米，AD＝4米，若“矩”的边EF＝1米，FG＝0.5米，则这根杆子的长AB为 　3　米． 【分析】由题意知，AC＝DE＝1米，CE＝AD＝4米，EF∥CH，再证明△GFE∽△BCE，得＝，求出CB＝2米，即可解决问题． 【解答】解：由题意知，AC＝DE＝1米，CE＝AD＝4米，EF∥CH， ∴△GFE∽△BCE， ∴＝， 即＝， 解得：CB＝2米， ∴AB＝AC+CB＝1+2＝3（米）， 故答案为：3． 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点A，B，E在x轴上，若OA＝2，则点G的坐标为 　（4，4）　． 【分析】根据位似变换的性质得到△OAD∽△OBG，且，根据相似三角形的性质求出BG即可得到答案． 【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形， ∴△OAD∽△OBG， ∵相似比为1：2，OA＝2， ∴， ∴OB＝4， ∴AB＝BC＝2， ∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形， ∴△OBC∽△OEF，， ∴， ∴， 解得：BE＝4， ∴点G的坐标为（4，4）． 故答案为：（4，4）． 9．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2：1； （2）△OA1B1的面积＝ 　10　； （3）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2； （4）判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）根据平移的性质作图即可． （4）连接A1A2，OO2，B1B2，并分别延长，相交于点M，则△OA1B1和△O2A2B2是以点M为位似中心的位似图形，由图可得点M的坐标． 【解答】解：（1）如图，△OA1B1即为所求． （2）△OA1B1的面积为＝18﹣4﹣4＝10． 故答案为：10． （3）如图，△O2A2B2即为所求． （4）△OA1B1和△O2A2B2是位似图形． 连接A1A2，OO2，B1B2，并分别延长，相交于点M， 则点M即为所求． 由图可得，点M的坐标为（﹣4，2）． 10．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M． （1）求证：△MFC∽△MCA； （2）求证△ACF∽△ABE； （3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长． 【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定解答即可； （2）根据正方形的性质和相似三角形的判定解答即可； （3）根据勾股定理和相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形， ∴∠ACD＝∠AFG＝45°， ∵∠CFM＝∠AFG， ∴∠CFM＝∠ACM＝45°， ∵∠CMF＝∠AMC， ∴△MFC∽△MCA； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，∠BAC＝45°， ∴AC＝AB， 同理可得AF＝， ∴， ∵∠EAF＝∠BAC＝45°， ∴∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE＝45°， ∴∠CAF＝∠BAE， ∴△ACF∽△ABE； （3）∵DM＝1，CM＝2， ∴AD＝CD＝1+2＝3， ∴AM＝， ∵△MFC∽△MCA， ∴，即， ∴FM＝， ∴AF＝AM﹣FM＝， ∴AF＝， 即正方形AEFG的边长为． 1．（2024•重庆）若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形面积的比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【分析】根据相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：若两个相似三角形的相似比为1：4， 则这两个三角形面积的比是1：16， 故选：D． 2．（2024•连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　　） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【解答】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同， 故选：D． 3．（2024•哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE：BE＝1：2，DF＝3，则FC的长为（　　） A．6 B．3 C．5 D．9 【分析】根据平行线分线段成比例即可解答． 【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD， ∴AD∥EF∥BC， ∴， 即， 解得FC＝6， 故选：A． 4．（2024•南充）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BC＝AB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若AE＝mAB，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】令AB的长为2a，根据题中所给作图步骤，可得出BC的长为a，再用勾股定理表示出AC的长，进而可得出AD（即AE）的长，据此可解决问题． 【解答】解：令AB的长为2a， 则BC＝， 在Rt△ABC中， AC＝． 因为CD＝CB，AE＝AD， 所以AE＝， 则AE＝AB， 所以m的值为． 故选：A． 5．（2024•南通）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2＝AB•AE请对两位同学的发现作出评判（　　） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【分析】旋转得到DH＝DE，∠HDE＝2α，当点E落在边 AC上时，利用三角形的外角推出∠CED＝α＝∠C，进而得到DE＝CD，推出 DH＝CD，判断小明的说法，连接AE，HE，等边对等角，求出，进而求出∠AHE＝∠AHD﹣∠DHE＝α，推出点E在射线HE上运动，根据垂线段最短，得到AE⊥HE时，AE的长最小，进而推出△AEH∽△AHB，判断小丽的说法即可． 【解答】解：∵将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE， ∴DH＝DE，∠HDE＝2α， 当点E落在边AC上时，如图： ∵∠HDE＝∠C+∠CED，∠C＝α， ∴∠CED＝α＝∠C， ∴DE＝CD， ∴DH＝CD， ∴D为CH的中点， 故小明的说法是正确的； 连接AE，HE， ∵DH＝DE，∠HDE＝2α， ∴， ∵AH⊥BC， ∴∠AHB＝∠AHD＝90°， ∴∠AHE＝∠AHD﹣∠DHE＝α， ∴点E在射线HE上运动， ∴当AE⊥HE时，AE的长最小， ∴当AE的长最小时，∠AEH＝∠AHB＝90°， 又∵∠B＝∠C＝α＝∠AHE， ∴△AEH∽△AHB，， ∴AH2＝AB•AE， 故小丽的说法正确； 故选：C． 6．（2024•浙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8） 【分析】根据点A与点A′的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2）， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2， ∵点B的坐标为（﹣2，4）， ∴点B的对应点B′的坐标为（﹣2×2，4×2），即（﹣4，8）， 故选：A． 7．（2024•德州）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB：BC＝3：4，则BF：FD为（　　） A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1 【分析】设AB＝3x，BC＝4x，根据勾股定理得到AC＝＝5x，根据相似三角形的性质得到AD＝x，根据等腰三角形的性质得到BE＝BF，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AB：BC＝3：4， ∴设AB＝3x，BC＝4x， ∵∠ABC＝90°， ∴AC＝＝5x， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝∠ABC＝90°， ∵∠BAD＝∠CAB， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∴＝， ∴AD＝x， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠DAF， ∴∠AEB＝∠AFD， ∵∠AFD＝∠BFE， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴BE＝BF， ∵∠ABE＝∠ADF＝90°， ∠BAE＝∠DAF， ∴△ABE∽△ADF， ∴， ∴＝＝， 方法二：∵AB：BC＝3：4， ∴设AB＝3x，BC＝4x， ∵∠ABC＝90°， ∴AC＝＝5x， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝∠ABC＝90°， ∵∠BAD＝∠CAB， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∴＝， ∴AD＝x，过FH⊥AB于H， ∵AE是∠BAC的平分线，FD⊥AC， ∴FH＝FD， ∵sin∠ABD＝， ∴＝． 故选：A． 8．（2024•河南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出CE＝AC，证明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC＝AC， ∵点E为OC的中点， ∴CE＝OC＝AC， ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∴＝，即＝， ∴EF＝1， 故选：B． 9．（2024•绥化）如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（　　） A．（9，4） B．（4，9） C．（1，） D．（1，） 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【解答】解：∵以原点O为位似中心，将矩形OABC按相似比缩小，点B的坐标为（3，2）， ∴顶点B在第一象限对应点的坐标为（3×，2×），即（1，）， 故选：D． 10．（2024•威海）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G．下列结论错误的是（　　） A．若＝，则EF∥BD B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，则EF∥BD C．若EF∥BD，CE＝CF，则∠EAC＝∠FAC D．若AB＝AD，AE＝AF，则EF∥BD 【分析】根据相似三角形的性质与判定即可判断A；根据题意可得四边形CA是∠BCD的角平分线，进而判断四边形ABCD是菱形，证明Rt△ACE≌Rt△AFC可得CE＝CF，则AC垂直平分EF，即可判断B选项；证明四边形ABCD是菱形，即可判断C选项；D选项给的条件，如图，存在AE′＝AE＝AF，据此，即可判断． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD， A．若，即， 又∵∠ECF＝∠BCD， ∴△CEF∽△CBD， ∴∠CEF＝∠CBD， ∴EF∥BD， 故A选项正确； B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF， ∴CA是∠BCD的角平分线， ∴∠ACB＝∠ACD， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴AD＝DC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 在Rt△ACE和Rt△AFC中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△AFC（HL）， ∴CE＝CF， 又∵AE＝AF， ∴AC⊥EF， ∴EF∥BD， 故B选项正确； C．∵CE＝CF， ∴∠CFE＝∠CEF， ∵EF∥BD， ∴∠CBD＝∠CEF，∠CDB＝∠CFE， ∴∠CBD＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 又∵EF∥BD， ∴AC⊥EF， ∵CE＝CF， ∴AC垂直平分EF， ∴AE＝AF， ∴∠EAC＝∠FAC， 故C选项正确； D．若AB＝AD，则四边形ABCD是菱形， 如图，当AE＝AF时， 存在AE′＝AE＝AF，此时，EF不一定平行于BD， 故D选项不正确， 故选：D． 11．（2024•滨州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是 　∠ADE＝∠C（答案不唯一）　．（写出一种情况即可） 【分析】由相似三角形的判定方法，即可得到答案． 【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC， ∴添加条件：∠ADE＝∠C（答案不唯一），判定△ADE∽△ACB， 故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）． 12．（2024•云南）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若＝，则＝ 　　． 【分析】根据AC∥BD．可以得到△AOC∽△BOD，然后相似三角形的相似比等于周长之比，即可得到的值． 【解答】解：∵AC∥BD． ∴△AOC∽△BOD， ∴＝， ∵＝， ∴＝， 故答案为：． 13．（2024•成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE＝BC，CD＝2，则BD＝　　． 【分析】连接CE，过E作EF⊥BC于F，设BD＝x，则BC＝x+2，由∠ACB＝90°，E为AD中点，可得CE＝AE＝DE＝AD，有∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC，证明△ECD∽△BCE，可得＝，∠CED＝∠CBE，故CE2＝CD•BC＝2（x+2）＝2x+4，再证△ABC∽△BEF，得＝，而AC＝2EF，即得2EF2＝（x+1）（x+2），从而＝（2x+4）﹣12，即可解得答案． 【解答】解：连接CE，过E作EF⊥BC于F，如图： 设BD＝x，则BC＝BD+CD＝x+2， ∵∠ACB＝90°，E为AD中点， ∴CE＝AE＝DE＝AD， ∴∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC， ∴∠CED＝2∠CAD， ∵BE＝BC， ∴∠ECD＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠EDC， ∵∠ECD＝∠BCE， ∴△ECD∽△BCE， ∴＝，∠CED＝∠CBE， ∴CE2＝CD•BC＝2（x+2）＝2x+4， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAB＝2∠CAD， ∴∠CAB＝∠CED， ∴∠CAB＝∠CBE， ∵∠ACB＝90°＝∠BFE， ∴△ABC∽△BEF， ∴＝， ∵CE＝DE，EF⊥BC， ∴CF＝DF＝CD＝1， ∵E为AD中点， ∴AC＝2EF， ∴＝， ∴2EF2＝（x+1）（x+2）， ∵EF2＝CE2﹣CF2， ∴＝（2x+4）﹣12， 解得x＝或x＝（小于0，舍去）， ∴BD＝． 故答案为：． 14．（2024•无锡）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ＝x，PQ＝y．当x＝y时，CD＝　2　；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 　　． 【分析】易得CD∥PQ，则△APQ∽△ADC，得出，代入数据即可求出CD＝2；根据△APQ∽△ADC，得出，设DE＝t，则AP＝2t，通过证明△CDE∽△BAE，得出，则，进而得出，结合△APQ∽△ADC，可得，代入各个数据，即可得出 y关于x的函数表达式． 【解答】解：∵CM∥AB，PQ∥AB， ∴CD∥PQ， ∴△APQ∽△ADC， ∴，即， ∵x＝y， ∴CD＝2； ∵△APQ∽△ADC， ∴，即， 整理得：， 设DE＝t， ∵AP＝2ED， ∴AP＝2t， ∵CM∥AB， ∴△CDE∽△BAE， ∴，即， 整理得：， ∴， ∵△APQ∽△ADC， ∴，即， 整理得：， 故答案为：2，． 15．（2024•牡丹江）如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD于点F、M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP．下列四个结论：①AM＝PN；②DM+DN＝DF；③若P是BC中点，AB＝3，则EM＝2；④BF•NF＝AF•BP；⑤若PM∥BD，则CE＝BC．其中正确的结论是 　①②③⑤　． 【分析】如图1，作PG⊥AD于G，则四边形ABPG是矩形，证明△PGN≌△ADM（ASA），则AM＝PN，可判断①的正误；如图2，作HF⊥DF交AD于H，连接CF，证明△ABF≌△CBF（SAS），则AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，由∠BPF+∠BAF＝360°﹣∠ABP﹣∠AFP＝180°，∠BPF+∠FPC＝180°，可得∠BAF＝∠FPC，PF＝CF＝AF，FN＝FM，证明△HFN≌△DFM（SAS），则HN＝DM，由勾股定理得，，由DH＝HN+DN＝DM+DN，可得，可判断②的正误；如图3，连接AP，由勾股定理得，，，可求，设CE＝x，则，BE＝3+x，由勾股定理得，，由，可得，整理得，x2﹣2x﹣24＝0，可求满足要求的解为x＝6，则，BE＝9，由，可得，可求，可判断③的正误；由题意知，∠BPF＞90°，△BPF、△NFA不相似，BF•NF≠AF•BP，可判断④的正误；由设PC＝CM＝a，BC＝CD＝AD＝AB＝b，CE＝c，则DM＝b﹣a，BE＝b+c，PE＝a+c，，证明△AFN≌△PFM（SAS），则，证明△AMD∽△EDC，则，即，可求，同理，△ANF∽△EPF，则，即，同理，△DMF∽△BAF，则，即，可得，将代入得，，整理得，，可得，，则，可判断⑤的正误． 【解答】解：∵正方形ABCD， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠CDB＝45°， 如图，作PG⊥AD于G，则四边形ABPG是矩形， ∴PG＝AB＝AD， ∵∠GPN+∠GNP＝90°＝∠GNP+∠DAM， ∴∠GPN＝∠DAM， 又∵PG＝AD，∠PGN＝90°＝∠ADM， ∴△PGN≌△ADM（ASA）， ∴AM＝PN，①正确，故符合要求； 如图，作HF⊥DF交AD于H，连接CF， ∴∠DHF＝45°＝∠ADB， ∴DF＝HF， ∵AB＝BC，∠ABF＝∠CBF＝45°，BF＝BF， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF， ∵∠BPF+∠BAF＝360°﹣∠ABP﹣∠AFP＝180°，∠BPF+∠FPC＝180°， ∴∠BAF＝∠FPC， ∴∠BCF＝∠FPC， ∴PF＝CF＝AF， ∴PN﹣PF＝AM﹣AF，即FN＝FM， ∵∠HFN+∠NFD＝90°＝∠DFM+∠NFD， ∴∠HFN＝∠DFM， ∵HF＝DF，∠HFN＝∠DFM，FN＝FM， ∴△HFN≌△DFM（SAS）， ∴HN＝DM， 由勾股定理得，， ∵DH＝HN+DN＝DM+DN， ∴，②正确，故符合要求； ∵P是BC中点，AB＝3， ∴， 如图，连接AP， 由勾股定理得，，， 解得，， 设CE＝x，则，BE＝3+x， 由勾股定理得，， ∵， ∴，整理得，x2﹣2x﹣24＝0， 解得，x＝6或x＝﹣4（舍去）， ∴，BE＝9， ∵， ∴， 解得，，③正确，故符合要求； 由题意知，∠BPF＞90°， ∴△BPF、△NFA不相似，BF•NF≠AF•BP，④错误，故不符合要求； ∵PM∥BD， ∴∠CPM＝∠CBD＝45°，∠CMP＝∠CDB＝45°， 设PC＝CM＝a，BC＝CD＝AD＝AB＝b，CE＝c，则DM＝b﹣a，BE＝b+c，PE＝a+c，， ∵AF＝PF，∠AFN＝90°＝∠PFM，FN＝FM， ∴△AFN≌△PFM（SAS）， ∴， ∵∠ADM＝90°＝∠ECM，∠AMD＝∠EDC， ∴△AMD∽△EDC， ∴，即， 解得，， 同理，△ANF∽△EPF， ∴，即， 同理，△DMF∽△BAF， ∴，即， ∴， 将代入得，，整理得，， 解得，， ∴，⑤正确，故符合要求； 故答案为：①②③⑤． 16．（2024•常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m、b m、c m、d m．若装裱后AB与AD的比是16：10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度． 【分析】根据题意得到AB＝（1.2+c+d）m，AD＝（0.8+a+b）m，根据a＝b，c＝d，c＝2a，得到方程，解方程即可得到结论． 【解答】解：由题意得，AB＝（1.2+c+d）m，AD＝（0.8+a+b）m， ∵a＝b，c＝d，c＝2a， ∴AB＝（1.2+c+d）m＝（1.2+4a）m，AD＝（0.8+a+b）m＝（0.8+2a）m， ∵AB与AD的比是16：10， ∴（1.2+4a）：（0.8+2a）＝16：10， ∴a＝0.1， ∴b＝0.1，c＝d＝0.2， 答：上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m． 17．（2024•无锡）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，＝，AB，CD的延长线相交于点E，且DE＝AD． （1）求证：△CAD∽△CEA； （2）求∠ADC的度数． 【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等可得出∠CAD＝∠DAB，再由等边对等角得出∠DAB＝∠E，等量代换可得出∠CAD＝∠E，又∠C＝∠C，即可得出△CAD∽△CEA． （2）连接BD，由直径所对的圆周角等于90°得出∠ADB＝90°，设∠CAD＝∠DAB＝α，即∠CAE＝2α，由相似三角形的性质可得出∠ADC＝∠CAE＝2α，再根据圆内接四边形的性质可得出2α+2α+90°＝180°，即可得出α的值，进一步即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵＝， ∴∠CAD＝∠DAB， ∵DE＝AD， ∴∠DAB＝∠E， ∴∠CAD＝∠E， 又∵∠C＝∠C ∴△CAD∽△CEA， （2）连接BD，如图： ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， 设∠CAD＝∠DAB＝α， ∴∠CAE＝2α， 由（1）知：△CAD∽△CEA， ∴∠ADC＝∠CAE＝2α， ∵四边形ABDC是圆的内接四边形， ∴∠CAB+∠CDB＝180°， 即2α+2α+90°＝180°， 解得：α＝22.5° ∠ADC＝∠CAE＝2×22.5°＝45° 18．（2024•上海）如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD． （1）求证：AD2＝DE•DC； （2）F为线段AE延长线上一点，且满足，求证：CE＝AD． 【分析】（1）由矩形性质得到∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC，由角的互余得到∠ABD＝∠DAE，从而确定△ADE∽△BAD，利用相似三角形性质得到AD2＝DE•DC； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到 OA＝OD＝EF＝CF，∠ODA＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE，进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【解答】证明：（1）∵矩形ABCD， ∴∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠DAE+∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝∠DAE， ∵∠BAD＝∠ADE＝90°， ∴△ADE∽△BAD， ∴， ∴AD2＝DE•BA， ∵AB＝DC， ∴AD2＝DE•DC； （2）连接AC，交BD于点O， ∵矩形ABCD， ∴∠ADE＝90°， ∴∠DAE+∠AED＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠DAE+∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝∠AED， ∵∠FEC＝∠AED， ∴∠ADO＝∠FEC， ∵矩形ABCD， ∴， ∴， ∴OA＝OD＝EF＝CF， ∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE， ∵∠ADO＝∠FEC， ∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE， 在△ODA和△FEC中， ， ∴△ODA≌△FEC（AAS）， ∴CE＝AD． 19．（2024•巴中）如图，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线． （2）求证：BD＝ED． （3）若DE＝5，CF＝4，求AB的长． 【分析】（1）连接OD，根据垂径定理的推论即可得出OD⊥BC，由DF∥BC得出OD⊥DF，于是问题得证； （2）由等弧所对的圆周角相等得出∠DBC＝∠BAD，由角平分线的定义得出∠ABE＝∠CBE，根据三角形外角的性质及角的和差关系可证得∠DEB＝∠DBE，于是得出BD＝ED； （3）连接CD，先证∠ABD＝∠DCF，∠ADB＝∠F，即可得到△ABD∽△DCF，即可求出AB的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵点D为的中点，O为圆心， ∴OD⊥BC， ∵DF∥BC， ∴OD⊥DF， ∵OD为⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； （2）证明：∵点D为的中点， ∴， ∴∠DBC＝∠BAD， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠DEB是△ABE的外角， ∴∠DEB＝∠BAE+∠ABE， ∵∠DBE＝∠CBE+DBC， ∴∠DEB＝∠DBE， ∴BD＝ED； （3）解：如图，连接CD， ∵四边形ABDC是圆内接四边形， ∴∠ABD+∠ACD＝180°， ∵∠DCF+∠ACD＝180°， ∴∠ABD＝∠DCF， ∵DF∥BC， ∴∠ACB＝∠F， ∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠F， ∴△ABD∽△DCF， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴BD＝CD， 由（2）知BD＝ED， ∴CD＝BD＝DE＝5， ∵CF＝4， ∴， ∴AB＝． 20．（2024•自贡）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为 　11.3　m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8m，DG＝1.5m．将观测点D后移24m到D′处．采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m．求雕塑高度（结果精确到1m）． 【分析】（1）由影长EF恰好等于自己的身高DE，知△DEF是等腰直角三角形，△ABC是等腰直角三角形，故AB＝BC＝11.3m， （2）证明△DEC∽△ABC，可得＝，故AB＝12，即旗杆高度为12米； （3）由△DCG∽△DAB，得＝，设AB＝x m，BD＝y m，则＝，知y＝x，同理可得＝，即得＝，从而＝，解出x即可得雕塑高度约为31m． 【解答】解：（1）∵影长EF恰好等于自己的身高DE， ∴△DEF是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝11.3m， 故答案为：11.3； （2）如图： 由反射定律可知，∠DCE＝∠ACB， 又∠DEC＝90°＝∠ABC， ∴△DEC∽△ABC， ∴＝，即＝， 解得AB＝12， ∴旗杆高度为12米； （3）如图： ∵∠CDG＝∠ADB，∠CGD＝90°＝∠ABD， ∴△DCG∽△DAB， ∴＝， 设AB＝x m，BD＝y m，则＝， ∴y＝x， 同理可得＝， ∴＝， ∴＝， 解得x＝28.8； 经检验，x＝28.8是原方程的解， 故AB≈29m， ∴雕塑高度AB约为29m． 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