精品解析：吉林省白山市江源区白山市第二十五中学2024-2025学年九年级上学期12月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期九年级数学期末试卷 一．选择题（每小题2分，共12分 ） 1. 下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 正五边形 B. 等边三角形 C. 正方形 D. 平行四边形 3. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，将该图案绕中心旋转后，能与原来图案重合，那么的值可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，分别交直线、于点，若，，则的长为（ ） A B. C. D. 6. 如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，与y轴相切于点B，点A在函数（、）的图象上，点P是上的动点，连结，若半径为3，的最大值是8，则k的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 24 二．填空题（每小题3分，共24分） 7. 一元二次方程的根的判别式的值为__________． 8. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_________． 9. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是______． 10. 如图，在△中，，分别是，边上的点，，若，，，则__________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，点的坐标为，则点的坐标为______． 12. 如图是一台印刷机每年可印刷的书本数量（万册）与它的使用时间（年）的关系图，则当年时， _____万册． 13. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O．若直线 PA 与⊙O 相切于点 A，则∠PAB＝_______________． 14. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点之间的距离为_________m． 三．解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程： 16. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目，小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．请用画树状图或列表等方法求出小明和小张在同一区域观看比赛的概率． 17. 如图，在和中，，，求证： 18. 点A，B，C都在上，且，若，的半径为5，连接，求的长． 四．解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段，点在格点上． （1）将线段绕点按顺时针的方向旋转得到线段，请画出线段（点的对应点为点）； （2）在（）的条件下，以为边作一个既是中心对称图形又是轴对称图形的四边形，且点均在格点上． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与y轴相交于点A，与反比例函数在第三象限内的图象相交于点，过点B作轴于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 21. 如图，⊙O的直径AB＝12，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点D，∠C＝30°． （1）求∠BOD的度数． （2）求的长（结果保留π）． 22. 某种原料需要达到及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度与时间之间的关系，其中线段表示原料加热阶段；线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是双曲线的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题： （1）填空：的值为_______； （2）求线段对应函数解析式； （3）在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度． 五．解答题（每小题8分，共16分） 23. 某网络玩具店引进一批进价为元件的玩具，如果以单价元出售，那么一个月内售出件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨元，月销售量将相应减少件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 24. （）如图①，在矩形中，点分别在边上，，垂足为．求证：； （）如图②，在正方形中，点分别在边上，，延长到点，使，连接．求证：． 六．解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交点于点与轴交于点，轴交于点． （1）求的值； （2）连接，求的面积； （3）在反比例函数图象上存在一点，若点为坐标轴上的一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 26. 如图①，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接． （1）若与相似，求的值； （2）求出是轴对称图形时的值； （3）如图②，连接，若垂直，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期九年级数学期末试卷 一．选择题（每小题2分，共12分 ） 1. 下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征对各选项进行逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握反比例函数点的坐标特点． 【详解】解：、∵， ∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； 、∵， ∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 、∵， ∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 、∵， ∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 正五边形 B. 等边三角形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、正五边形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； 、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数平移的规律：左加右减上加下减，即可得到答案． 【详解】解：函数平移的规律：左加右减上加下减可得， ， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的平移，解题关键是知道平移规律：左加右减上加下减可得． 4. 如图，将该图案绕中心旋转后，能与原来的图案重合，那么的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，因而旋转度的整数倍，就可以与自身重合，解题的关键是正确理解根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【详解】解：∵该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， ∴的值可能是， 故选：． 5. 如图，直线，分别交直线、于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，再由，即可求出答案，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，与y轴相切于点B，点A在函数（、）的图象上，点P是上的动点，连结，若半径为3，的最大值是8，则k的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】如图，当过圆心A时，取最大值8，连接，可得轴，，，利用勾股定理求出，得到点A坐标，进而可求k的值． 【详解】解：如图，当过圆心A时，取最大值8，连接， ∵与y轴相切于点B， ∴轴， ∵半径为3， ∴，， ∴， ∴， ∵点在函数（、）的图象上， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了点到圆的距离，切线的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，正确求出点A坐标是解题的关键． 二．填空题（每小题3分，共24分） 7. 一元二次方程的根的判别式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根判别式，根据判别式公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 8. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可． 【详解】解：从中任意摸出一个球是红球的概率为， ， 去分母，得， 解得， 经检验是所列分式方程的根， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式． 9. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象经过第二、四象限可得，据此即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在△中，，分别是，边上的点，，若，，，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】由，证明，则，其中，，，求出的值即可．此题考查相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：， ∴ ， ，，， ， 故答案为：6． 11. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．先求解相似比为，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标，即， 故答案为：． 12. 如图是一台印刷机每年可印刷的书本数量（万册）与它的使用时间（年）的关系图，则当年时， _____万册． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据图像推断为反比例函数，待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入解析式求出y值即可． 【详解】解：由图像可知，一台印刷机每年可印刷的书本数量（万册）与它的使用时间（年）成反比例函数， 设函数解析式为， 将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 当时，（万册）． 故答案为：． 13. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O．若直线 PA 与⊙O 相切于点 A，则∠PAB＝_______________． 【答案】30° 【解析】 【分析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理∠PAB． 详解】连接 OB，AD，BD， ∵多边形 ABCDEF 是正多边形， ∴AD 为外接圆的直径， ∠AOB＝＝60°， ∴∠ADB＝∠AOB＝×60°＝30°． ∵直线 PA 与⊙O 相切于点 A， ∴∠PAB＝∠ADB＝30°． 故答案为30°． 【点睛】本题考查正多边形和圆，切线的性质，作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键． 14. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点之间的距离为_________m． 【答案】10 【解析】 【分析】利用二次函数图象上顶点坐标特征可求出点N的坐标，利用对称性即可求出最高点之间的距离． 【详解】解：∵， ∴点, ∴水柱的最高点到y轴距离为， ∴两个水柱的最高点之间的距离为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查顶点坐标，利用图形的对称性计算是解题的关键． 三．解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴或， ∴，． 16. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目，小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．请用画树状图或列表等方法求出小明和小张在同一区域观看比赛的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率； 画树状图得出所有等可能的情况数以及小明和小张在同一区域观看比赛的情况数，再利用概率公式得出答案． 详解】解：画树状图如图： 由树状图得：共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的情况有4种， ∴小明和小张在同一区域观看比赛的概率为． 17. 如图，在和中，，，求证： 【答案】见详解 【解析】 【分析】由题意易得，然后问题可求证． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 18. 点A，B，C都在上，且，若，的半径为5，连接，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的基本性质，解题的关键是利用所判定的垂直，结合垂径定理得到．连接，，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理求解即可．解题的关键是掌握垂径定理和勾股定理． 【详解】解：如图，连接，， ∴， ∵， ∴垂直平分，即， ∵， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴． 四．解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段，点在格点上． （1）将线段绕点按顺时针的方向旋转得到线段，请画出线段（点的对应点为点）； （2）在（）的条件下，以为边作一个既是中心对称图形又是轴对称图形的四边形，且点均在格点上． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （）根据网格以为边作正方形即可； 本题考查了作图旋转变换，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图， ∴线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图，以为边作正方形， ∴四边形即为所求． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴相交于点A，与反比例函数在第三象限内的图象相交于点，过点B作轴于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先把点B坐标代入一次函数解析式求出点B坐标，再设出反比例函数解析式，把点B坐标代入反比例函数解析式中求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出的长，再利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵B点是直线与反比例函数交点， ∴B点坐标满足一次函数解析式， ∴， 解得：， ∴B点坐标为， 设反比例函数的解析式为，把B点坐标代入得：， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵轴， ∴，， 令，则， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，⊙O的直径AB＝12，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点D，∠C＝30°． （1）求∠BOD度数． （2）求的长（结果保留π）． 【答案】（1）120° （2）4π 【解析】 【分析】(1)根据切线的性质进行即可得出答案;  (2)根据切线的性质求出∠OAC=90°,求出∠AOD,∠BOD,根据弧长公式求出的长,即可得出答案. 【详解】解：（1）∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线， ∴∠OAC＝90°． ∵∠C＝30°， ∴∠BOD＝∠OAC+∠C＝90°+30°＝120°． （2）∵⊙O的直径为12， ∴⊙O的半径为6． 的长为＝4π． 【点睛】掌握圆的切线相关知识和求弧的面积公式是解题关键. 22. 某种原料需要达到及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度与时间之间的关系，其中线段表示原料加热阶段；线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是双曲线的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题： （1）填空：的值为_______； （2）求线段对应的函数解析式； （3）在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度． 【答案】（1）21 （2） （3） 【解析】 【分析】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数解析式．解答时应注意临界点的应用． （1）由线段轴，且点的纵坐标为100，代入，即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）将分别代入和，即可求解． 【小问1详解】 解：∵线段轴，且点的纵坐标为100， ∴， 解得， 故答案为：21； 【小问2详解】 解：设线段的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴线段的解析式为； 【小问3详解】 解：在中，当时，， 解得， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴在图中所示的温度变化过程中，可进行零件加工的时间长度为． 五．解答题（每小题8分，共16分） 23. 某网络玩具店引进一批进价为元件的玩具，如果以单价元出售，那么一个月内售出件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨元，月销售量将相应减少件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 【答案】当销售单价为元时，该店能在一个月内获得最大利润 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设销售单价为元时，获得的利润为元，根据题意列出与之间的二次函数关系式，进而根据二次函数的性质解答即可求解，正确列出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设销售单价为元时，获得的利润为元， 则 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当销售单价为元时，该店能在一个月内获得最大利润． 24. （）如图①，在矩形中，点分别在边上，，垂足为．求证：； （）如图②，在正方形中，点分别在边上，，延长到点，使，连接．求证：． 【答案】（）证明见解析；（）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可求证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，得，由正方形的性质可得，根据平行线的性质得到，进而即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，余角性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 六．解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交点于点与轴交于点，轴交于点． （1）求的值； （2）连接，求的面积； （3）在反比例函数图象上存在一点，若点为坐标轴上的一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1），； （2）的面积为； （3）点或或． 【解析】 【分析】（）由直线图象过点，与轴交于点，可求出，，则有点，然后代入即可求解； （）由（）得一次函数解析式为，则点，然后用三角形面积公式即可求解； （）分当点在轴上时和当点在轴上时，两种情况讨论，由平行四边形的对角线互相平分列出等式可求解； 【小问1详解】 解：∵直线图象过点，与轴交于点， ∴，， ∴，， ∴点， ∵反比例函数的图象过点， ∴； 【小问2详解】 解：如图， 由（）得， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：当点在轴上时，设点，点， ∵以为顶点的四边形为平行四边形， ∴和是对角线，且互相平分， ∴， ∴， ∴点， ∴， ∴， ∴点， 当点在轴上时，设点，点， 若对角线， 则，， ∴，， ∴点， 若为对角线， 则，， ∴，， ∴点， 此时点在的延长线上，不合题意舍去， 当为对角线时，同理可求点，点， 综上所述：点或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法，平行四边形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键. 26. 如图①，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接． （1）若与相似，求的值； （2）求出是轴对称图形时的值； （3）如图②，连接，若垂直，直接写出的值． 【答案】（1）或 （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（）由题意得，，，，再分和两种情况解答即可求解； （）当为等腰三角形时，是轴对称图形，分、、三种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解； （）解：过作于点，交于点，先证明可得，即得，，，再证明，得到，据此即可求解； 本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴， 在中，，，， ∴， 当时，有， 即， 解得； 当时，有， 即， 解得； 综上，若与相似，的值为或； 【小问2详解】 解：当为等腰三角形时，是轴对称图形，分以下三种情况解答： ①当时，有， 解得； ②当时，过点作于， 则，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； ③当时，过点作于， 则，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或或时，是轴对称图形； 【小问3详解】 解：过作于点，交于点，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$