专题04 解三角形（易错培优竞赛精练）-【竞赛】2024-2025学年高一数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高一解三角形易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校解三角形易错题精选 专题二：名校解三角形易错题精选 专题三：名校解三角形新定义试题精选 专题四：解三角形全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校解三角形易错题精选 1．在中内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 3．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知四边形的外接圆半径为，若，四边形的周长记为，则当取最大值时，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中，正确的命题是（   ） A．若，，，则有两解 B．若，则是等腰三角形 C．若在线段上，且，，，，则的面积为8 D．若，，，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为. 8．（多选题）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，则面积最大值为3 D．，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 9．（多选题）设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．的外接圆的面积是 C．的面积的最大值是 D．的取值范围是 10．（多选题）如图所示，中，，，，在边上，在边上，且为的角平分线，，则（    ） A． B．的面积为 C． D．若点在的外接圆上，则的最大值为 11．（多选题）如图，在四边形中，，，， ，，则下列结果正确的是（    ） A． B．      C． D．的面积为 12．已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ． 13．在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为 ，此时的周长为 ． 14．若三角形的两个内角和满足，则称该三角形为“准互余三角形”．在中，，，，点是边上一点，若是准互余三角形，则 ；的面积为 ． 15．在锐角中，内角的对边分别为，为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为 . 16．中，角、、所对的边分别为、、．若，则的最小值是 ． 17．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且. (1)求； (2)若的外接圆半径为，周长为，且，求. 18．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：是等腰三角形. (2)若，求的最大值. 19．在三角形中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，且，求的取值范围. 20．记的内角的对边分别为.已知为边的中点，且. (1)求证：； (2)若，求的面积. 21．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 专题二：名校解三角形培优压轴试题精选 1．在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．点是所在平面内的点，且有，直线分别交于点，记的面积分别为，则（    ） A． B． C． D． 3．在锐角三角形中，角的对边分别为，已知，，，则（    ） A．的最小值为 B．或 C． D． 4．在 中，角 的对边分别为，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 5．在三角形ABC中，，设，，则（   ）    A． B． C． D． 6．已知为锐角三角形，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．的取值范围为 C．的最小值为 D．的取值范围是 8．（多选题）在锐角中，，角A、B、C对边分别为a，b，c，则下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D．若上有一动点P，则最小值为 9．（多选题）已知的面积为，，，则（    ） A． B．若，则有两解 C．若为锐角三角形，则取值范围是 D．若是的中点，则的最大值为 10．（多选题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是 A． B． C． D．若，则 12．（多选题）在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（    ） A．若，，则周长的最大值为18 B．若，，则面积的最大值为 C．若，，M为的中点，且，则 D．若角A的内角平分线交于点D，且，，则面积的最大值为3 13．如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是 ． 14．在中，，，D，E两点分别在边AB，AC上，若，则AD的最大值为 . 15．已知内角所对的边长分别为则 .若为锐角三角形，且，求的取值范围为 . 16．中，角所对的边分别为，记的面积为． （1）当时， ； （2）的最大值为 ． 17．在锐角三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，若存在最大值，则的取值范围是 . 18．已知在中，角的对边分别为.若为的重心，则的最小值为 . 19．已知中，． (1)求证：； (2)如图，在中，，在边上存在一点，使得，，的平分线交于，求． 20．在中，内角，，的对边分别为，，，且，. (1)求； (2)求的面积； (3)以为坐标原点，所在直线为轴，且A在x轴上方建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值. 21．如图，有一块空地，其中，，当地政府计划将这块空地改造成一个度假区，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上方便建造景观，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网．设 (1)当时，求的值，并求此时防护网的总长度； (2)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，求：面积的最小值. 22．如图，已知中，，内一点满足． (1)若，且满足，，求的正切值； (2)若平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由． 23．在中角A，B，C分别对应边长记为a，b，c，，，取，，已知. (1)求. (2)在边上取一点D，使为锐角且有与的外接圆半径之比为，设点E为的内心，求的面积. 24．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，．若，且. (1)求； (2)求的最大值； (3)求实数的取值范围，使得对任意实数和任意角，恒有． 25．在平面四边形中，，且. (1)中，设角、、的对边分别为、、，若. ①当时，求的值； ②当时，求ac的最大值. (2)若，当变化时，求长度的最大值. 专题三：名校解三角形新定义试题精选 1．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； (2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； (3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 2．法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且 (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若，求实数的最小值. 3．在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中． (1)求的最大值； (2)若为____________，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值． （从条件①内心,②垂心，③重心，,任选一个作答） 4．是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记 (1)若在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，求的值； (2)若在正方体的棱上，且，由对施以视角运算，得到，求的值； (3)若是边的等分点，由对施以视角运算，证明：. 5．如图，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角． (1)若是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是的内心（内心是三角形三个内角角平分线的交点），求的外接圆的半径； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，的布罗卡尔角为，且．证明：； (3)在中，记的布罗卡尔角为，若，求证：． 6．已知的内角所对的边分别为，若内一点P满足，则称点P为的布洛卡点，θ为的布洛卡角．如图，已知中，，点P为的布洛卡点，θ为的布洛卡角． (1)若，且满足，求的大小． (2)若为锐角三角形．证明：． 7．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小. 意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于 时，使得 的点即为费马点；当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点. 试用以上知识解决下面问题： (1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角所对的边分别为 ，且，点 为的费马点. （ⅰ）若 ，求 ; （ⅱ）若 ，求的最小值. 8．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： (1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 9．交比是射影几何中最基本的不变量，在欧式几何中亦有应用.设是直线上互异且非无穷远的四点，称（分式中各项均为有向线段，如）为的交比，记为． (1)求证：； (2)若为平面上过且互异的四条直线，为不过点且互异的两条直线，与的交点分别为，与的交点分别为，证明：. 10．请欣赏： 上图所示的毕达格拉斯树画是由图（ⅰ）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra做出来的图片，其中四边形，，都是正方形.如果改变图（ⅰ）中的大小，会得到更多不同的“树形”. (1)在图（ⅰ）中，，，且，求； (2)在图（ⅱ）中，，，设，求的最大值. 11．已知是直线外一点，点，在直线上（点，与点，任一点均不重合）.我们称如下操作为“由点对施以视角运算”： 若点在线段上，记； 若点在线段外，记. 并且，记. 记的内角，，的对边分别为，，.已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到. (1)若，求. (2)射线上的点满足. ①求； ②求的最小值. 12．在中，对应的边分别为. (1)求A； (2)奥古斯丁·路易斯·柯西，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.已知三维柯西不等式：，，当且仅当时等号成立.在（1）的条件下，若a＝3. （ⅰ）求：的最小值； （ⅱ）若P是内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设的面积为S，求的最小值. 13．是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 专题四：解三角形全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2018高二·全国·竞赛）已知a，b，c是的三边，若满足，即，为直角三角形.类比此结论：若满足时，的形状为（    ）. A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 2．（2012高二·全国·竞赛）在周长为24的中，，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 3．（2024高三上·全国·竞赛）在中，角所对的边分别是．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 4．（2024高三上·全国·竞赛）已知凸四边形内接于圆，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下福建厦门强基计划）单位圆内接，取，，作边长构成新，则（    ） A．能构成新，且 B．能构成新，且 C．能构成新，且 D．不能构成新 6．（23-24高三下全国强基计划）在中，，，P在内部，延长BP交AC于Q，且，则（    ）． A． B． C． D． 7．（2024高三·北京·强基计划）假设三角形三边长为连续的三个正整数，且该三角形的一个角是另一个角的两倍，则这个三角形的三边长为（    ） A．4，5，6 B．5，6，7 C．6，7，8 D．前三个答案都不对 8．（19-20高三·北京·强基计划）在中，依次为边上的点，且，设，则的值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 9．（16-17高三·北京·强基计划多选题）如图，在扇形中，，点C为上的动点且不与点A，B重合，于点D，于点E，则（    ） A．的长为定值 B．的大小为定值 C．面积的最大值为 D．四边形面积的最大值为 10．（22-23高二上·北京·强基计划多选题）设的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，S和R分别为的面积和外接圆半径．若，则选项中能使有两解的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024高三下·全国·竞赛）如图，在中，，，，点是边上一个动点，作，，连接，则的最小值为 . 12．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）已知的三边分别为，满足，则的面积为 . 13．（2024高二下·吉林·竞赛）在 中， 平分 交 于 平分 交 于，且 ，则 的度数为 . 14．（2024高二下·重庆·竞赛）在中，已知，则最大角的正弦值为 . 15．（2024高二下·内蒙古·竞赛）已知在中，，，则线段的最大值为 . 16．（2010高一·全国·竞赛）的三边满足且，则的形状是 . 17．（2017高二·全国·竞赛）在中，，点分别在边上，，且，则的最大值为 . 18．（2016高一·全国·竞赛）在中的三个内角的对边分别为，重心为，若，则= ． 19．（2017高一·全国·竞赛）在中，角的对边分别是，且满足，若，则的最小值为 . 20．（2014高一·全国·竞赛）在等腰中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则 . 21．（2012高一·全国·竞赛）在中，，则的最大值是 ． 22．（2024高二·全国·竞赛）在锐角三角形中，边，，则边的取值范围是 ． 23．（2023高三上·全国·竞赛）已知锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且．若，则的取值范围是 ． 24．（2022高一下·江苏徐州·竞赛）如图，线段把边长为的等边分成面积相等的两部分，在上，在上，则线段长度的最小值为 . 25．（2021高一·浙江温州·竞赛）已知的三边长，，所对的三个内角分别为A，，，若，且，，则得外接圆的半径为 . 26．（2021高三·全国·竞赛）在中，，则的值为 ． 27．（2020高三·全国·竞赛）在三角形中，，则 ． 28．（2016高二·新疆·竞赛）的内角所对的边长分别为，若，则 . 29．（2018高三·重庆·竞赛）在△ABC中，，则 ． 30．（17-18高三·北京·强基计划）设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c． ①若，则； ②若．则； ③若，则一定为等腰直角三角形； ④若，则一定为钝角三角形； ⑤若，则一定为锐角三角形． 则上述命题中正确的是 ．（写出所有正确命题的编号） 31．（19-20高一·安徽芜湖·强基计划）如图，圆的内接四边形的顶点关于的对称点恰为的内心，.则圆的半径为 . 32．（19-20高三·北京·强基计划）已知，点D在的延长线上，且，点E在上，且，则 ． 33．（21-22高三·北京·强基计划）在梯形中，在边上，有，则取值范围为 . 34．（21-22高三·北京·强基计划）在中，，其外接圆半径，且，则 . 35．（20-21高三·江苏·强基计划）已知四边形的面积为2022，E为边上一点，，，的重心分别为，，，那么的面积为 ． 36．（2024高一下·湖南株洲·竞赛）如图，扇形ABC是一块半径（单位：千米），圆心角的风景区，点P在弧BC上（不与B，C重合）．现欲在风景区规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直于点Q，街道PR与AC垂直于点R，线段RQ表示第三条街道．记． (1)若点P是弧的中点，求三条街道的总长度； (2)通过计算说明街道的长度是否会随的变化而变化； (3)由于环境的原因，三条街道每年能产生的经济效益分别为每千米300，200，400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值． 37．（2010高二·全国·竞赛）已知的三边长，三内角为．求证：． 38．（2018高一·全国·竞赛）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求证：； (2)若，求的最小值. 39．（2017高一·全国·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边分别与单位圆交于两点. (1)若点的纵坐标为，求的值； (2)若角的终边与单位圆交于点，设角的正弦线分别为，，求证：线段能构成一个三角形； (3)探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 40．（2018高一·全国·竞赛）已知中，，且是的中点． (1)求的长； (2)点是以为圆心角的劣弧上任意一点，求的取值范围． 41．（2015高一·全国·竞赛）已知中，所对的边分别是，边上的中线，设=（，），=（，），且，若动点满足． (1)求角的集合； (2)求的最小值； (3)若，且，为的面积，求的最大值及此时的值． 42．（2024高三上·全国·竞赛）设的外接圆半径是均为锐角，且. (1)证明：不是锐角三角形； (2)证明：在的外接圆上存在唯一的一点，满足对平面上任意一点，有. 43．（2022高一·浙江温州·竞赛）已知三角形中，角所对的边分别为，且. (1)当，时，求的值； (2)判断的形状. 44．（2022高一下·四川成都·竞赛）如图，在△ABC中，AC⊥BC．延长BA到D，使得AD＝2，且． (1)若，求△DBC的面积； (2)当时，求△ACD面积的取值范围． 45．（2016高二下·山东枣庄·竞赛）设的三边长分别为，面积为，证明：. 46．（23-24高三下·北京·强基计划）在 中，若 在 上，比较 与 的大小. 47．（23-24高三下·北京·强基计划）在中，若边上的高为，求的范围. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案第12页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高一解三角形易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校解三角形易错题精选 专题二：名校解三角形易错题精选 专题三：名校解三角形新定义试题精选 专题四：解三角形全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校解三角形易错题精选 1．在中内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得：， 即：，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 2．在锐角中，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角形定义求出的范围，利用正弦定理和三角恒等变换将所求化为关于的三角函数，然后由三角函数性质求解可得. 【详解】在锐角中，，因为，，， 所以，，解得， 所以，， 而， 所以 可得， 所以由正弦定理可知： ， 因为，所以， 所以，即. 故选：A. 3．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】切化弦，再由两角和的正弦公式，诱导公式变形，然后由正弦定理和余弦定理化角为边即可得． 【详解】 , 故选：B． 4．已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式结合余弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，根据是锐角三角形求出角的取值范围，可求出的取值范围，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的取值范围. 【详解】因为，由三角形的面积公式和余弦定理可得， 整理可得， 因为，则，可得，所以，， 因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，，则， 所以，. 故选：B. 5．已知四边形的外接圆半径为，若，四边形的周长记为，则当取最大值时，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理和基本不等式可确定当且时，取得最大值； 根据此时为四边形外接圆直径和解三角形的知识，可求得此时四边形的面积. 【详解】在中，， （当且仅当时取等号）， ； ，， 在中，， （当且仅当时取等号）， ； ； 当取得最大值时，且， 为弦的垂直平分线，为四边形外接圆的直径， ，， 又此时， ，， 当取得最大值时，四边形的面积. 故选：A. 6．在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用数量积定义和余弦定理，结合基本不等式计算. 【详解】，∴，∴， ∴ ， 所以， 故选：A． 7．（多选题）已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中，正确的命题是（   ） A．若，，，则有两解 B．若，则是等腰三角形 C．若在线段上，且，，，，则的面积为8 D．若，，，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为. 【答案】ACD 【分析】由正弦定理得到，可判定A正确；化简条件得到，求得或，可判定B不正确；利用余弦定理求得，得到，求得和，结合面积公式，可判定C正确；根据题意得到点在以为弦的一个圆上， 结合正弦定理和圆的性质，以及弧长公式，可判定D正确． 【详解】对于A中，由，，，由正弦定理可得， 因为，所以有两解，即有两解，所以A正确； 对于B中，由， 可得， 整理得， 由正弦定理得，可得， 因为，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，所以B不正确； 对于C中，由在线段上，且，，，， 则，设， 在中，利用余弦定理， 整理得，解得或（舍去）， 所以， 在中，可得， 在中，由余弦定理可得， ，所以， 所以的面积为，所以C正确； 对于D中，在中，因为，，则点在以为弦的一个圆上， 由正弦定理可得外接圆的直径为，即， 当点在外部时，如图所示， 因为，可得，所以， 所以的长度为， 同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是， 所以动点的轨迹的长度为，故D正确． 故选：ACD. 8．（多选题）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，则面积最大值为3 D．，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 【答案】BCD 【分析】根据正弦定理和二倍角公式即可判断AB；对C，利用余弦定理和二次函数性质即可判断；对D，根据三角形面积公式和乘“1”法即可判断. 【详解】对于A：若，根据正弦定理则， 即，因为，所以或 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对B，因为，则，， 则根据正弦定理有， 故B正确； 对C，设，. 则， ， 所以 ， 当时，三角形的面积取得最大值，故C正确； 对D，由题意可知，， 由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得，即， 因此， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为，则D正确. 故选：BCD. 9．（多选题）设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．的外接圆的面积是 C．的面积的最大值是 D．的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A项，由正弦定理边化角及和角公式求解即可；对于B项，由正弦定理及圆的面积公式求解即可； 对于C项，由余弦定理及重要不等式可求得的最大值，结合三角形面积公式求解即可； 对于D项，由正弦定理边化角可得，求此函数的值域即可. 【详解】对于A项，因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 又因为，所以，故A项错误． 对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 则的外接圆的面积是，故B项正确． 对于C项，由余弦定理可得，即①． 因为②，当且仅当时，等号成立， 所以由①②得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积，则C项正确． 对于D项，由正弦定理可得，则，， 所以 又因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是，故D项正确． 故选：BCD. 10．（多选题）如图所示，中，，，，在边上，在边上，且为的角平分线，，则（    ） A． B．的面积为 C． D．若点在的外接圆上，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用余弦定理计算，由直角三角形计算判断A，根据面积公式计算三角形的面积判断B，利用正弦定理计算判断C；设，用表示出，，得出关于的三角函数，从而得到的最大值判断D. 【详解】在三角形中，由余弦定理， ，故，故正确； 在中，，故错误； 由余弦定理可知：， ，平分，， ， 在三角形中，由正弦定理可得：， 故，故正确； ，， 为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1， 显然当取得最大值时，在弧上，故， 设，则，， ，，，， 其中，，当时，取得最大值， 故正确． 故选：BCD． 11．（多选题）如图，在四边形中，，，， ，，则下列结果正确的是（    ） A． B．      C． D．的面积为 【答案】ACD 【分析】对A，由已知条件利用向量数量积运算得解；对B，在中，由余弦定理可得解；对C，在中，由正弦定理求出，在中，由余弦定理求得答案；对D，求出，利用三角形面积公式求解. 【详解】对于A，如图，连接，由， 解得，又，所以，故A正确； 对于B，在中，由余弦定理得，， ，故B错误； 对于C，因为，，所以，， ，，， 在中，由正弦定理，，即 解得， 在中，由余弦定理可得， 即，则，故C正确； 对于D，在中，，，， ， ，故D正确. 故选：ACD. 12．已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理可得，求出，再由余弦定理结合三角形面积公式可得，最后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，因为， 所以，即， 因为，所以，解得 因为的面积等于，则，得， 在中，由余弦定理得 的周长为， 当且仅当时等号成立， 综上所述，当且仅当是以为顶角的等腰三角形时， 的周长取到最小值，且最小值为． 故答案为：. 13．在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为 ，此时的周长为 ． 【答案】 8 / 【分析】根据正余弦定理边角互化可得，进而根据三角形面积公式可得，即可根据基本不等式求解最值，利用余弦定理可得，即可求得答案. 【详解】由和正弦定理可得， 故, ， ，故, 当且仅当，即时取等号， ，故， 此时周长为， 故答案为：8， 14．若三角形的两个内角和满足，则称该三角形为“准互余三角形”．在中，，，，点是边上一点，若是准互余三角形，则 ；的面积为 ． 【答案】 ； 【分析】根据以及准互余的定义可得，进而可判断为的平分线，即可根据三角形相似可得，，即可根据面积公式求解. 【详解】，，，由勾股定理得， 易知，所以，又易知， 所以在准互余三角形中，， 又因为， 所以，所以为的平分线， 如图，过点作的垂线交于点， 则，，， 因为，所以，则， 所以．因为， 所以的面积为．    故答案为：， 15．在锐角中，内角的对边分别为，为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为 . 【答案】 【分析】由向量数量积及三角形外心的定义可知，，然后化简已知等式，得到的值. 【详解】由题意可知， 同理可得， ， ， ，由正弦定理, ， . 故答案为： 16．中，角、、所对的边分别为、、．若，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由正弦定理化简得出，利用两角和的正切公式结合已知条件可得出，化简所求代数式为，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以， 又因为，所以， 所以，即. 所以，， 若，则，此时，、都为钝角，不合乎题意， 若，则，此时，、都为锐角，合乎题意. 所以， 当且仅当，即时，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 17．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且. (1)求； (2)若的外接圆半径为，周长为，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据弦切互化以及和差角公式可得，即可结合正弦定理求解； （2）根据正弦定理边角互化可得，即可利用三角恒等变换求解. 【详解】（1）因为， 故， 所以. 因为，所以， 又，所以. （2）由正弦定理可知，，， 因为，所以， 所以. 所以. 又，所以， 所以，故. 18．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：是等腰三角形. (2)若，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知化简，结合两角和的余弦公式即可求证； （2）由（1）知，，利用余弦定理和二倍角公式得，从而，由三角函数性质可求最值. 【详解】（1）因为，所以， 即， 所以，是等腰三角形. （2）由（1）知，所以，. . 因为，所以. . ，其中， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 19．在三角形中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再利用诱导公式即正弦的和角公式求解； （2）把转化为的函数，利用余弦定理及三角函数单调性分析的范围 ，最后再利用二次函数的单调性求范围. 【详解】（1）根据正弦定理可知：， 因为，所以，所以. （2）由余弦定理可知：，因为，所以，，， 因为，所以，， 由正弦定理得：， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以时，取得最小值， 并且， 所以的范围是. 20．记的内角的对边分别为.已知为边的中点，且. (1)求证：； (2)若，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合余弦定理化简可得，进而结合正弦定理求证即可； （2）由余弦定理得，结合平面向量的运算可得，联立求解可得，进而结合平方关系及三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）证明：由，得 即， 因为， 由正弦定理得，， 则，即. （2）在中，由余弦定理得，① 因为为的中点，所以， 则， 即， 即，② 联立①②，得，解得， 所以， 所以的面积为.    21．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理边化角可化简已知边角关系式得到，由此可得； （2）利用正弦定理边化角，将所求面积表示为，根据的范围可求得结果. 【详解】（1）， ，即， 由正弦定理得：， ， ，，，又，. （2）由正弦定理得：，， ， ，为锐角三角形，，， ，， 即面积的取值范围为. 专题二：名校解三角形培优压轴试题精选 1．在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，设，，在、分别利用正弦定理表示出、，由，利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值，即可求出三角形面积最大值. 【详解】因为，，，所以， 设，， 则，，， 在中由正弦定理，即， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以， 所以 （其中）， 所以， 则， 即三角形的面积的最大值是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是用含的式子表示出、，再利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值，进而求出三角形面积最大值. 2．点是所在平面内的点，且有，直线分别交于点，记的面积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的加法法则结合三点共线确定点的位置，再结合三角形的面积公式求解即可； 【详解】    由可得，即， 设，因为三点共线，则存在实数，使得， 将代入可得 ，即， 由于不共线，则，解得， 即，， 同理，设，则， 因为三点共线，所以，即， 又由三角函数的诱导公式可得， 所以 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能结合图形利用三点共线确定点的位置，即得到和，再结合三角形的面积公式求解即可. 3．在锐角三角形中，角的对边分别为，已知，，，则（    ） A．的最小值为 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的倍角公式与和差公式，结合基本不等式可判断A，利用三角函数的基本关系式与和差公式可判断C，进而利用正弦定理可判断BD. 【详解】由，得，即， 因为在中，，所以， 所以，可得， 又，即均大于0， 所以，当且仅当，时等号成立， 故的最小值为6，所以A错误； 因为，所以， 又，且， 所以，即，所以或3，所以C错误； 当时，，，， 由正弦定理得，； 当时，，，， 由正弦定理得，， 所以或，或5，所以B正确，D错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于熟练掌握三角函数的相关公式，从而得解. 4．在 中，角 的对边分别为，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，利用正弦定理结合余弦定理即可得到结果. 【详解】∵，∴， ∵，∴，即， ∴， ∴. 故选：B. 5．在三角形ABC中，，设，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在△、△及△中，由正弦定理可得，，从而，再由知D、E是BC的三等分点，得，化简即得求解. 【详解】设则， 设，∵，∴， 在△与△中 由正弦定理，得， 即；， ∴① 在△与△中 由正弦定理，得， 即；， ∴② 由①②，得， ∴，    故选：B. 6．已知为锐角三角形，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设，应用边角关系及，得到关于的不等式组求解集，即可得答案. 【详解】因为，由正弦定理可得， 由题设，所以，即， 而，则，显然恒成立， 所以，可得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据题设得为关键. 7．（多选题）在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．的取值范围为 C．的最小值为 D．的取值范围是 【答案】AB 【分析】利用正弦定理角化边得，结合余弦定理和二倍角公式可得，可判断A；根据三个角为锐角列不等式组求解可判断B；利用商数关系和和差公式，结合化简，运用基本不等式可判断C；边化角，利用二倍角和三倍角公式化简，结合角范围可判断D. 【详解】对A，由正弦定理角化边得， 由余弦定理有， ， 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以，所以，A正确； 对B，由上知，， 因为为锐角三角形，，解得， 所以，B正确； 对C， ， 当时，得， 因为，，所以等号不成立，C错误； 对D， ， 因为，所以， 所以，所以， 即，D错误. 故选：AB 【点睛】关键点睛：根据在于利用正弦定理角化边，代入余弦定理表示出，结合二倍角公式求得. 8．（多选题）在锐角中，，角A、B、C对边分别为a，b，c，则下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D．若上有一动点P，则最小值为 【答案】ABD 【分析】由题设，结合三角恒等变换及正弦定理可判定A；由余弦定理及基本不等式可判定B；根据两角和的正切公式结合基本不等式可判定C；根据平面向量数量积运算结合二次函数的最值可判定D． 【详解】对于A，，则，即， ，即, 又，, 由正弦定理得，，故A错； 对于B，由及余弦定理，可得， 即， 由基本不等式知，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，故B项错误； C项，在锐角中，由，且， 由基本不等式可得，， 整理得 当且仅当时，等号成立，又由， 可得＝，故C项正确； 对于D，过作，则， 又在之间运动时，与的夹角为钝角， 因此要求的最小值，应在之间运动，即， 又 当时，取最小值为,故D错误. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用两角和的正切公式结合基本不等式计算求解. 9．（多选题）已知的面积为，，，则（    ） A． B．若，则有两解 C．若为锐角三角形，则取值范围是 D．若是的中点，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】A选项，利用向量数量积和三角形面积公式得到方程，求出，得到；B选项，计算出，故B正确；C选项，求出，由正弦定理得到；D选项，由余弦定理和基本不等式求出，利用向量基本定理和数量积运算法则求出，求出的最大值. 【详解】A选项，由题意得， 即， 因为，所以，A错误； B选项，，则， 故有两解，B正确； C选项，为锐角三角形，则，， 故，所以， 由正弦定理得，即，C正确； D选项，为边的中点，则， 两边平方得， ，，由余弦定理得， 故， 由基本不等式得，解得， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 10．（多选题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，即可判断A，然后结合二倍角公式利用正弦定理判断C，根据正弦定理和两角和差公式化简式子判断B，利用正弦定理和三角恒等变换得，利用函数的单调性即可判断D. 【详解】依题意，， 由正弦定理得， 由于，所以， 所以， 所以， 即， 由正弦定理得， 所以，则或， 若，则， ，不符合题意，所以，A选项正确，则为锐角， 所以，有正弦定理得， 而是锐角，，所以C选项错误. 对于，由正弦定理得 ， 所以B选项正确. 对于D选项，由正弦定理得 ， 由上述分析可知， 所以，由于函数在上单调递增， ，所以， 即，所以D选项正确. 故选：ABD 11．（多选题）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是 A． B． C． D．若，则 【答案】AD 【分析】延长至，使得，利用相似三角形证明出，由此判断A，同时利用它求得角的范围判断B，再代入选项C中三角式变形后求范围判断C，把与已知结合得，利用正弦定理转化后代入求解判断D． 【详解】选项A，如图，延长至，使得， 由已知得，即， 所以，又角公用，所以， 所以，又，则，而， 所以，即中，，A正确； 选项B，，，又，则，， 所以，B错； 选项C, , 由选项C知，，，由对勾函数的单调性得， 所以，即，C错； 选项D，若，又，则，所以， 由正弦定理得，又， 所以，所以，D正确， 故选：AD． 【点睛】方法点睛：中边长满足关系时，通常如选项A中推理作辅助线，利用相似三角形证得，实际上这也是圆中切割线定理的应用，是切割线定理的结论，由此反用可得相应结论． 12．（多选题）在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（    ） A．若，，则周长的最大值为18 B．若，，则面积的最大值为 C．若，，M为的中点，且，则 D．若角A的内角平分线交于点D，且，，则面积的最大值为3 【答案】ACD 【分析】对于A，由正弦定理得，从而由结合三角恒等变换公式得，进而得解. 对于B，由基本不等式结合得，由余弦定理得，故由面积公式即可求解； 对于C，由即结合余弦定理即可求解； 对于D，设，先由正弦定理和得，接着由余弦定理得，从而由一元二次函数性质结合即可得解. 【详解】对于A，由题以及正弦定理得， 所以， 所以 ， 所以， 因为，所以，所以， 所以，故周长的最大值为18，故A正确； 对于B，因为，所以，当且仅当时等号成立， 由余弦定理得， 所以 ， 所以面积的最大值为，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以即， 所以，故C正确； 对于D，设，则， 所以由正弦定理得， 所以，又由题可知，所以， 所以由余弦定理得， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以面积的最大值为3，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：在求解面积的最大值问题时，关键是利用已知条件结合正弦定理或基本不等式求出边和的关系或求出其积的最值，再利用余弦定理将角转化成边，从而建立三角形的面积函数，进而再借助基本不等式或一元二次函数性质即可探求最大值. 13．如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，，利用结合三角形的面积公式可得出，由，，求出的取值范围，可求出的取值范围，利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得的取值范围，即为所求. 【详解】设，，，由题意可得，且， 因为，即， 可得，由题意可知，，， 所以，，由，解得， 所以，， 令，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，则， 由余弦定理可得 ，故， 因此，的长的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 14．在中，，，D，E两点分别在边AB，AC上，若，则AD的最大值为 . 【答案】 【分析】设，，可得，进而结合正弦定理可得，再结合正弦函数及不等式的性质求解即可. 【详解】由题意，要求AD的最大值，不妨设，，则， 由，则， 在中，由正弦定理得，， 即，即， 由，则，即， 则，则， 则AD的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理表示出，再利用正弦函数及不等式的性质求解即可. 15．已知内角所对的边长分别为则 .若为锐角三角形，且，求的取值范围为 . 【答案】 / 【分析】利用余弦定理即可由已知条件得到，进而得到角A；先由为锐角三角形得到角B的范围，进而利用正弦定理即可得，再结合三角恒等变换公式以及角B的范围进行推算即可得解. 【详解】由，得， 由余弦定理得， 整理得，所以，又，则； 因为为锐角三角形，， 所以可得， 又，故由正弦定理得： ， 因为，所以，所以，则， 所以 ， 故的取值范围为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：求边长范围的关键点是转化为求正切范围结合单调性求解. 16．中，角所对的边分别为，记的面积为． （1）当时， ； （2）的最大值为 ． 【答案】 3 【分析】（1）由诱导公式以及两角和的正切公式，化简求值． （2）由题意得到，即，求出三角形的面积，利用换元法结合二次函数的性质求最值即可； 【详解】（1）当时，， 则 ； （2）由得到，， 即， 即， 所以， 又， 故 令，，则， ， 所以，等号成立条件为 故最大值为， 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题考查诱导公式以及两角和的正切公式，同角三角函数基本关系，余弦定理及三角形面积公式，第二问解题的关键是通过换元法及基本不等式求解，运算比较复杂． 17．在锐角三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，若存在最大值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正余弦定理化简易知可得，再根据二倍角公式和辅助角公式化简，由锐角三角形可得角范围，进而可得的范围. 【详解】由余弦定理得整理得， 由正弦定理得则， 整理得， 因为，所以，即， ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 因为存在最大值，所以，所以， 所以. 故答案为： 18．已知在中，角的对边分别为.若为的重心，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由正余弦定理及重要不等式可求出，再由及余弦定理求出，由重心性质得出，同理，可求得，即可求最值. 【详解】由及可得， 由正弦定理可得， 又，故，即，而，故； 由余弦定理得，故， 故，当且仅当时，取等号； 设为的中点，连接，则G在上，如图， 则，， 由可得， 则， 同理可得， 故 ，当且仅当时，取等号， 故的最小值为，故最小值为. 故答案为： 【点睛】本题的关键在于，能够通过正余弦定理，解三角形求出的表达式，即可根据重要不等式求最值。 19．已知中，． (1)求证：； (2)如图，在中，，在边上存在一点，使得，，的平分线交于，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）证法一：由正弦函数的和差公式，结合辅助角公式以及诱导公式，可得答案；证法二：利用三角形内角和，建立角之间等量关系，根据正弦函数的和差公式以及辅助角公式，可得答案. （2）由正弦定理可得其他角，并建立方程可得答案； 【详解】（1）证法一：由，则， ． 证法二：因为， 所以， 所以 ． （2）解法一：在中，由正弦定理得，解得． 又因为，所以或． 当时，．因为，所以； 当时，．因为，所以， 由，则不符合题意，舍去， 所以，则． ， 在中，由正弦定理，得，解得． 又因为为的平分线，所以，则， 由，则， 由正弦定理可得， 所以，即， 解得． 解法二：在中，由正弦定理得，解得． 又因为，所以或． 当时，．因为，所以； 当时，．因为，所以， 由，则不符合题意，舍去， 所以，则，所以． 在中，由正弦定理得． 因为，，所以． 又因为，所以，所以． 20．在中，内角，，的对边分别为，，，且，. (1)求； (2)求的面积； (3)以为坐标原点，所在直线为轴，且A在x轴上方建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式得，再由正弦定理可解； （2）由余弦定理和已知得，由等式两边的取值范围可得，从而可得三角形面积； （3）以为坐标原点建立平面直角坐标系，由数量积坐标运算得动点轨迹方程，即，可解问题. 【详解】（1）根据题意，， 因为，所以， 由正弦定理得，所以； （2）由余弦定理，， 代入，得， 两边同时除以，， 由于，当且仅当时等号成立， 而，当且仅当时等号成立， 即， 由余弦定理， 即，的面积； （3）由（1）（2）可知，，所以， 以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，， ， 故可设（为变量） 则， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，由题意得，两边同时除以，，接下来由等式左右两边的范围得是解题的关键. 21．如图，有一块空地，其中，，当地政府计划将这块空地改造成一个度假区，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上方便建造景观，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网．设 (1)当时，求的值，并求此时防护网的总长度； (2)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，求：面积的最小值. 【答案】(1)，9km； (2) 【分析】（1）通过余弦定理求，由正弦定理求，可得是等边三角形，即可求防护网的总长度. （2）设，表示其他角，利用正弦定理表示，根据三角形面积公式即可求出最小值. 【详解】（1）∵，，，∴，. 在中，由余弦定理得：，∴， 由正弦定理得：，即， ∴，又为锐角，∴， ∴，∴是等边三角形， ∴的周长，即防护网的总长度为. （2）设，则，， 在中，由正弦定理得， 即，∴， 在中，由正弦定理得，即，∴， ∴ ， 当，即时，的面积最小，最小面积为. 22．如图，已知中，，内一点满足． (1)若，且满足，，求的正切值； (2)若平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）先判断与相似，进而得到，应用余弦定理求出；然后在中，应用余弦定理以及三角形面积公式，化简得到：，同理在，，内得到，从而得到，即可求解. （2）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形面积公式，平分，将代入，化简整理可求解. 【详解】（1）（1）若，即，得， 点满足，则， 在与中，，， 所以与相似，则，即， 所以； 在中，， 因为， 所以 在中，应用余弦定理以及三角形面积公式得： ， ， ， 三式相加可得：。 在内，应用余弦定理以及三角形面积公式得： ， 在，内，同理可得： ， ， 三式相等：， 因为点在内，则 由等比性质的：， 所以：， 又，， 所以， 则 （2）因为， 即， 所以， 在，，中， 分别由余弦定理可得：， ， ， 三式相加整理得：，即， 因为平分，则，， 所以， 由余弦定理可得：， 所以， 即，则， 所以若平分，存在常实数，使得 【点睛】（1）边角关系转化时注意利用余弦定理； （2）在解三角形中注意利用几何图形的几何性质； （3）在三角变换中，注意根据三角函数式的特征选择合理三角变换公式. 23．在中角A，B，C分别对应边长记为a，b，c，，，取，，已知. (1)求. (2)在边上取一点D，使为锐角且有与的外接圆半径之比为，设点E为的内心，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据两向量平行得到一个等式，再根据正弦定理以及三角形内角和为可求得结果； （2）先根据外接圆半径比例得到各自的外接圆，从而得到的长，再根据三角形面积公式得到内切圆的半径，最后利用三角形面积之间的关系得到结果. 【详解】（1），，， 所以， 根据正弦定理可变形为：， 移项可得：， 根据两角和的正弦公式可得：， 因为，所以， 因为，所以，即， 所以； （2）设外接圆的半径为，的外接圆半径为， 所以， 根据外接圆半径公式， 在中，，， 则，， 在中，， 所以，， 在中，，则， ，解得或， 因为为锐角，所以， 因为点E为的内心，设的内切圆半径为，如图所示： ， 根据三角形面积公式， 又， 解得， ， 所以的面积为. 24．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，．若，且. (1)求； (2)求的最大值； (3)求实数的取值范围，使得对任意实数和任意角，恒有． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正、余弦定理可得，结合同角的平方关系计算即可求解； （2）由（1）得，进而，结合基本不等式计算即可求解； （3）由二次函数的最小值可得，进而转化为①或②，结合基本不等式与对勾函数的性质计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，，， 则，即， 又，所以，由， 得，由正弦定理得， 由，得，即，又， 所以，由，解得. （2）由（1）知，得， 所以，即，又为锐角， 所以，得， 当且仅当时，等号成立. 解得，所以， 即的最大值为； （3）令 ， 当时， ， 由，得， 进而①或②， 因为，所以， 由①得，即， 又， 当且仅当即时，等号成立， 所以； 由②得，即， 由对勾函数的性质知，所以. 综上，实数的取值范围为. 25．在平面四边形中，，且. (1)中，设角、、的对边分别为、、，若. ①当时，求的值； ②当时，求ac的最大值. (2)若，当变化时，求长度的最大值. 【答案】(1)①16；② (2) 【分析】（1）①根据正弦定理结合三角恒等变换与化简即可； ②作于，根据几何关系可得，再根据基本不等式求解即可； （2）设，由余弦定理可得，由正弦定理可得，再根据余弦定理可得，进而可得长度的最大值. 【详解】（1）①当时，由正弦定理可得，故 . ②当时，因为，故均为锐角，作于. 由图可得，，由可得 ，故，则 . . 故 ，当且仅当， 即时取等号，故的最大值为 （2）设，由余弦定理，即. 由正弦定理可得. 则， . 故当时，取最大值，即的最大值为. 专题三：名校解三角形新定义试题精选 1．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； (2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； (3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由相伴函数的定义结合辅助角公式得函数的表达式，进一步解三角函数方程即可； （2）利用两角和差的余弦公式展开合并以及单位向量的定义即可依次得解； （3）由题意依次得，外接圆的半径，再结合向量的数量积运算即可得解. 【详解】（1）根据题意知，向量的相伴函数为， 当时，， 又，则，所以，故. （2）因为， 整理得到，故函数的相伴特征向量， 则与同向的单位向量为. （3）由题意得，， 在中，，，因此， 设外接圆半径为，根据正弦定理，，故， 所以 ， ， ， 代入可得， 所以当时，取得最大值． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于，外接圆的半径，再结合向量数量积的运算律即可顺利得解. 2．法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且 (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倍角公式得到，由正弦定理得到，从而； （2）设，在，，中由余弦定理得关于的方程，再由解出，最后由面积公式求解即可； （3）设，由得，在三个小三角形中分别用余弦定理表示出，再结合得到，从而由均值不等式得，从而得到的最小值. 【详解】（1）由， 得， 得， 得， 得，即， 所以为直角三角形，. （2）由（1）知，所以的三个角都小于， 因为点为的费马点， 所以，设，    在中，， 在中，， 在中，， 因为， 所以，解得， 由， 得 . （3）由（2）知. 设， 由得. 由余弦定理得： 在中，， 在中，， 在中，， 因为，所以， 整理得. 因为，当且仅当时等号成立， 所以，整理得， 解得或者（舍去）， 所以实数的最小值为. 【点睛】思路点睛：在本题中，给出了当的三个内角均小于时，确定费马点的方法，即“满足的点为费马点”，由（1）知为直角三角形，再结合点是的费马点知，从而解决（2）（3）两个小题. 3．在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中． (1)求的最大值； (2)若为____________，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值． （从条件①内心,②垂心，③重心，,任选一个作答） 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据余弦定理得，化简应用基本不等式得到得到答案. （2）选择条件① ② ③时分别计算，根据重心得到，根据得到，根据余弦定理得到，结合基本不等式计算面积最值即可. 【详解】（1）由余弦定理得 所以， 又因为，所以， 所以. 当且仅当时取最大值. （2）若选条件①： 因为为的内心，所以， 由，得 因为，所以， 所以，即， 所以. 当且仅当时取面积最小值. 若选条件②： 因为为的垂心，且，所以， 故，即， 又， 即，所以 所以. 当且仅当时取面积最小值. 若选条件③： 因为为的重心，且，所以， 又，故， 即， 即，所以 所以. 当且仅当时取最大值. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是基本不等式与余弦定理结合应用. 4．是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记 (1)若在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，求的值； (2)若在正方体的棱上，且，由对施以视角运算，得到，求的值； (3)若是边的等分点，由对施以视角运算，证明：. 【答案】(1)3 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，结合和差角公式可得，即可代入公式求解， （2）根据的计算公式，代入即可求解， （3）由正弦定理可得，即可结合对施以视角运算，即可求证. 【详解】（1）解：如图1， 因为，所以. 由正方体的定义可知，则， 故 . 因为，所以， 则. （2）解：如图2，设， 则. 因为， 所以 则，解得， 故. （3）证明：如图3， 因为是的等分点，所以 . 在中，由正弦定理可得， 则. 在中，同理可得. 因为，所以， 则. 同理可得. 故. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好定义的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的定义的性质的一些因素. 5．如图，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角． (1)若是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是的内心（内心是三角形三个内角角平分线的交点），求的外接圆的半径； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，的布罗卡尔角为，且．证明：； (3)在中，记的布罗卡尔角为，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据题意可知：，利用正弦定理求外接圆半径； （2）先根据表示出三角形得面积，再在中，由余弦定理相加，再化简整理，即可得证； （3）根据（2）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，化简整理即可得证. 【详解】（1）由题意可知：， 所以的外接圆的半径. （2）若， 则 , 所以， 在中， 分别由余弦定理得：， ，， 三式相加整理得， 因为，所以. （3）由（2）得， 所以, 由， 所以， 又由余弦定理可得， 所以， 所以，所以， 由正弦定理可得. 【点睛】关键点点睛：根据表示出三角形的面积，在中，由余弦定理相加，得出与的等量关系，是解决本题的关键. 6．已知的内角所对的边分别为，若内一点P满足，则称点P为的布洛卡点，θ为的布洛卡角．如图，已知中，，点P为的布洛卡点，θ为的布洛卡角． (1)若，且满足，求的大小． (2)若为锐角三角形．证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）先判断与相似，进而得到，应用余弦定理求出的值即可; （2）在内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式后，再针对分别在和内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式，且，表示出三角形的面积，由余弦定理形式相加，再化简整理得，即可得证. 【详解】（1）若，即，得， 点满足，则， 在和中，，， 所以与相似，且，所以， 即，由余弦定理得，且， 所以. （2）在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得 ， ， ， 三式相加可得： ①； 在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得： ， 在和内，同理， 于是， 因为， 由等比性质得②， 由①②得 即， 因为， 所以. 【点睛】关键点点睛：根据表示出三角形得面积，在中，由余弦定理相加，得出与的等量关系，是解决本题的关键. 7．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小. 意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于 时，使得 的点即为费马点；当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点. 试用以上知识解决下面问题： (1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角所对的边分别为 ，且，点 为的费马点. （ⅰ）若 ，求 ; （ⅱ）若 ，求的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ） ; （ⅱ） 【分析】（1）运用费马点定义，结合等边三角形性质可解； （2）（ⅰ）由正弦定理得 ，由费马点定义可知，，结合 得，再用数量积可解；（ⅱ）设,可以推得，则 ，由余弦定理和勾股定理，得到，再结合基本不等式和二次不等式计算即可. 【详解】（1）因为 为等边三角形，三个内角均小于 ， 故费马点 在三角形内，满足，且， 如图：过作 于，则 ，故， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为 .    （2）（ⅰ）因为 ，由正弦定理 ，且 ， 所以得，所以的三个角都小于 ， 则由费马点定义可知，， 设 ，，由 得 ，整理得， 则 .    （ⅱ）由（ⅰ）知 ，所以点 在 内部，且 ， 设， 所以 ，由余弦定理得，， ，由勾股定理得，， 即， 所以 ，即， 而，当且仅当， 即时，等号成立. 设，则 ，解得 或 （舍去）， 故最小值为 . 【点睛】知识点点睛：本题主要借助新定义，以三角形为载体，综合考查正余弦定理，向量数量积，基本不等式运用，一元二次不等式解法，属于难题. 8．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： (1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）过作于，结合题意即可求解； （2）（i）根据正弦定理求得，由三角形面积公式及向量数量积即可求解；（ii）设，得出，由勾股定理得出，根据基本不等式求解范围即可． 【详解】（1）因为为等边三角形，三个内角均小于，故费马点在三角形内，满足，且，如图：    过作于，则，故， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为． （2）（i）因为，由正弦定理，且， 所以得， 所以的三个角都小于， 则由费马点定义可知，， 设，， 由得：， 整理得， 则 ． （ii）由（i）知，所以点在内部，且，    设， 所以， 由余弦定理得，， ， ， 由勾股定理得，，即， 所以，即， 而， 当且仅当，即时，等号成立． 设，则，解得或（舍去）， 由， 故，最小值为． 9．交比是射影几何中最基本的不变量，在欧式几何中亦有应用.设是直线上互异且非无穷远的四点，称（分式中各项均为有向线段，如）为的交比，记为． (1)求证：； (2)若为平面上过且互异的四条直线，为不过点且互异的两条直线，与的交点分别为，与的交点分别为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用交比的定义进行推理计算，即可证得； （2）利用交比的定义,结合图形，将线段之比转化为三角形面积之比，再利用三角形面积公式将其转化为对应内角的正弦值之比，通过图形转化为另一组三角形中对应内角的正弦值之比，借助于对应三角形面积之比化简得证. 【详解】（1） ; （2）    如图，因的高相同， 故有， 则 . 10．请欣赏： 上图所示的毕达格拉斯树画是由图（ⅰ）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra做出来的图片，其中四边形，，都是正方形.如果改变图（ⅰ）中的大小，会得到更多不同的“树形”. (1)在图（ⅰ）中，，，且，求； (2)在图（ⅱ）中，，，设，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用勾股定理求出，再在中，由余弦定理求解； （2）在中，由余弦定理求出，由正弦定理求出，由诱导公式求出， 最后在中，由余弦定理求解． 【详解】（1）当时，得， 则， 在中，由余弦定理得， ， 得． （2）在中，由余弦定理得， ， 所以， 在中，由正弦定理得， ， 得， 则， 在中，由余弦定理得， ， 因为， 所以当时，取得最大值，其最大值为：． 【点睛】方法点睛：第二问，先由余弦定理求出，由正弦定理及诱导公式求出，即可求解． 11．已知是直线外一点，点，在直线上（点，与点，任一点均不重合）.我们称如下操作为“由点对施以视角运算”： 若点在线段上，记； 若点在线段外，记. 并且，记. 记的内角，，的对边分别为，，.已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到. (1)若，求. (2)射线上的点满足. ①求； ②求的最小值. 【答案】(1) (2)①；②的最小值为 【分析】（1）根据所给定义及条件得为的角平分线，在中，由余弦定理求出，再由正弦定理求出，最后根据角的范围即可求解； （2）①根据所给定义及条件计算，结合（1）问的得，然后化简求值即可； ②由及面积公式得，再由基本不等式计算即可. 【详解】（1）因为，所以点在线段上，如图①所示， 又，所以由，得， 所以为的角平分线，又，所以， 在中，， 由余弦定理得，解得， 由正弦定理得，即，解得， 又是最大边，所以. （2）记. ①因为， 所以点在线段的延长线上，如图②所示， 即 所以，化简得， 解得，，且， 所以. ②因为， 所以， 即， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，此时，. 故的最小值为.     【点睛】关键点点睛：由推出，并结合基本不等式求解. 12．在中，对应的边分别为. (1)求A； (2)奥古斯丁·路易斯·柯西，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.已知三维柯西不等式：，，当且仅当时等号成立.在（1）的条件下，若a＝3. （ⅰ）求：的最小值； （ⅱ）若P是内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设的面积为S，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）108；（ii） 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解； （2）（i）化简为，由三维柯西不等式求解； （ii）由三维柯西不等式有求解． 【详解】（1）在中，， 由正弦定理得，， 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以，故，又，所以； （2）（i）根据柯西不等式： ， （当且仅当为正三角形时取等号） 即：的最小值为108. （ii）. 又， 由三维柯西不等式有 当且仅当即时等号成立. 所以， 由余弦定理得， 所以，即， 则， 令，则. 因为，得，当且仅当时等号成立， 所以，则， 令，令，则， 由二次函数单调性可知，当即时，有最大值， 此时有最小值（此时与可以同时取到） 【点睛】关键点点睛：第二问的第2小问中，要将变形，再利用三维柯西不等式求解． 13．是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，从而得到，即可得解； （2）根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求出，即可求出，从而求出三角形的周长； （3）依题意可得，由等面积法得到，从而得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为是角的平分线，所以且在线段上， 所以， 又，所以； （2）因为点在射线上，，且，所以在线段外，且， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 即，解得（负值已舍去）， 所以， 所以的周长为. （3）因为，所以，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第三问关键是推导出，即. 专题四：解三角形全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2018高二·全国·竞赛）已知a，b，c是的三边，若满足，即，为直角三角形.类比此结论：若满足时，的形状为（    ）. A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】A【详解】易知角最大，故,由 ，故为锐角三角形，故选：A. 2．（2012高二·全国·竞赛）在周长为24的中，，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D【详解】设，则，,所以，在中，由余弦定理得：’又，解得，所以，是一个开口向上的二次函数，对称轴为，当时最小值为，当或时，值为，所以的取值范围是：故选：D 3．（2024高三上·全国·竞赛）在中，角所对的边分别是．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C【详解】，由正弦定理得，又，故，即，其中，所以，故，即，故，化简得，即，，因为，所以，.故选：C 4．（2024高三上·全国·竞赛）已知凸四边形内接于圆，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】设，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，因为，即，且，可知，则，即，又因为，则，可得，则，在中，由正弦定理可得，在中，可知，由正弦定理可得，则，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.故选：D. 5．（23-24高三下福建厦门强基计划）单位圆内接，取，，作边长构成新，则（    ） A．能构成新，且 B．能构成新，且 C．能构成新，且 D．不能构成新 【答案】C【详解】在中，设角对应的边为由正弦定理可得：，即，即，可知能构成新，且，所以.故选：C. 6．（23-24高三下全国强基计划）在中，，，P在内部，延长BP交AC于Q，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D【详解】如下图由题可知AP为平分线，故；； 由，可得，于是，即，化简可得，于是或（舍），故，故选：D 7．（2024高三·北京·强基计划）假设三角形三边长为连续的三个正整数，且该三角形的一个角是另一个角的两倍，则这个三角形的三边长为（    ） A．4，5，6 B．5，6，7 C．6，7，8 D．前三个答案都不对 【答案】A【详解】解法一  设的三边长分别为，，，则，于是．不妨设，则根据余弦定理，三个内角，，的余弦值分别为：；；，容易知道随着的增大，增大，，减小，于是角减小，角，角增大．接下来验证有限的几个即可．当时，，不符合题意．当时，，不符合题意．当时，，有，符合题意．当时，由于角减小，角增大，必然有，不符合题意．综上所述，这个三角形的三边长为4，5，6． 8．（19-20高三·北京·强基计划）在中，依次为边上的点，且，设，则的值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】D【详解】在中，考虑，因此． 故选：D. 9．（16-17高三·北京·强基计划多选题）如图，在扇形中，，点C为上的动点且不与点A，B重合，于点D，于点E，则（    ） A．的长为定值 B．的大小为定值 C．面积的最大值为 D．四边形面积的最大值为 【答案】ABCD【分析】如图，连结，则，故，故选项A正确．又，故选项B正确．在中，，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，而，故，故，故选项C错误．由于要为定值，同理时，，四边形的面积取得最大值为，因此选项D正确，故选：ABD. 10．（22-23高二上·北京·强基计划多选题）设的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，S和R分别为的面积和外接圆半径．若，则选项中能使有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD【详解】对于A，由， ，由于 且，因此有两个解；对于B，由， 则由正弦定理得，且，因此只能是锐角，故只有一组解；对于C，由，得，故只有一解；对于D，由得，所以或 ，由于，所以，由选项A可知有两解.故选：AD 11．（2024高三下·全国·竞赛）如图，在中，，，，点是边上一个动点，作，，连接，则的最小值为 . 【答案】【详解】连接，因为于，于，所以，所以四点共圆，且为圆的直径，因为为定值，所以当圆的直径最小时，所对的弦最短，此时，在中，因为，所以，所以，得,在中，由正弦定理得，所以，因为，所以，所以的最小值为.故答案为： 12．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）已知的三边分别为，满足，则的面积为 . 【答案】【详解】由题意可知，而，所以，此时.故答案为： 13．（2024高二下·吉林·竞赛）在 中， 平分 交 于 平分 交 于，且 ，则 的度数为 . 【答案】 或 . 【详解】设 三边的长为 .因为，所以 ，得 .又 平分 ，所以 ，得 ，即 .同理 .由余弦定理得 ，即 .又 ，所以 .从而 .即 ，得 或 ，所以 或 .所以 或 .当 时， .当 时， .故 的度数为 或 . 14．（2024高二下·重庆·竞赛）在中，已知，则最大角的正弦值为 . 【答案】【详解】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由条件知：，由余弦定理，得，即，解得，故最大角为角，由余弦定理得.故答案为： 15．（2024高二下·内蒙古·竞赛）已知在中，，，则线段的最大值为 . 【答案】【详解】由题意可知：的外接圆半径，则点在优弧（不包括端点）上，可知当线段过外接圆的圆心时，线段取到最大值，取的中点，连接，则，可得，所以线段的最大值为.故答案为：. 16．（2010高一·全国·竞赛）的三边满足且，则的形状是 . 【答案】等边三角形【详解】∵，∴，∴左式，而右式，且时取等号.所以的形状是等边三角形.故答案为：等边三角形 17．（2017高二·全国·竞赛）在中，，点分别在边上，，且，则的最大值为 . 【答案】【详解】在中，，则，所以，所以，又，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，即的最大值为.故答案为：. 18．（2016高一·全国·竞赛）在中的三个内角的对边分别为，重心为，若，则= ． 【答案】【详解】由三角形重心性质知，又，所以，，.故答案为：. 19．（2017高一·全国·竞赛）在中，角的对边分别是，且满足，若，则的最小值为 . 【答案】【详解】因为，所以，整理得到，又，得，又，由余弦定理，得到，当且仅当时取等号，所以，故答案为：. 20．（2014高一·全国·竞赛）在等腰中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则 . 【答案】【详解】由余弦定理得，即.又是等腰三角形，当时，有;当或者时，同理有，故是等边三角形，所以.故答案为： 21．（2012高一·全国·竞赛）在中，，则的最大值是 ． 【答案】/【详解】根据题意，由正弦定理可得，因为，所以，则 ，所以的最大值为．故答案为： 22．（2024高二·全国·竞赛）在锐角三角形中，边，，则边的取值范围是 ． 【答案】【详解】因为，故，所以，而三角形为锐角三角形，故，故，故即，故答案为：. 23．（2023高三上·全国·竞赛）已知锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且．若，则的取值范围是 ． 【答案】【详解】因为，所以，因为，所以，所以，整理得：，因为，所以，由正弦定理得，又因为，所以，因为为锐角三角形，所以为锐角，所以，即，由，解得：，因为，所以，解得故答案为： 24．（2022高一下·江苏徐州·竞赛）如图，线段把边长为的等边分成面积相等的两部分，在上，在上，则线段长度的最小值为 . 【答案】【详解】设，由题意知，即，所以，即；由余弦定理，即，解得.则线段长度的最小值为.故答案为：. 25．（2021高一·浙江温州·竞赛）已知的三边长，，所对的三个内角分别为A，，，若，且，，则得外接圆的半径为 . 【答案】2【详解】由正弦定理得：，得，代入得，所以，所以，其中，所以解得，所以，故的外接圆的半径为.故答案为：2 26．（2021高三·全国·竞赛）在中，，则的值为 ． 【答案】7【详解】解析：记中A、B、C所对的边分别是a、b、c， 如图，设内切圆的半径为，则，，，故，故，即，故答案为：7 27．（2020高三·全国·竞赛）在三角形中，，则 ． 【答案】【详解】解：由余弦定理得，所以．故答案为： 28．（2016高二·新疆·竞赛）的内角所对的边长分别为，若，则 . 【答案】【详解】解：∵，∴由正弦定理知，，又，∴，∴.故答案为：. 29．（2018高三·重庆·竞赛）在△ABC中，，则 ． 【答案】【详解】因为所以注意到：，故 ．故答案为 30．（17-18高三·北京·强基计划）设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c． ①若，则； ②若．则； ③若，则一定为等腰直角三角形； ④若，则一定为钝角三角形； ⑤若，则一定为锐角三角形． 则上述命题中正确的是 ．（写出所有正确命题的编号） 【答案】①②④⑤【详解】对于命题①②，在中，有，．因此命题①②正确．对于命题③，有，记，则，于是在上不单调，因此必然存在且，命题错误．对于命题④，根据条件，有，因此角C为钝角，命题正确．对于命题⑤，根据三角恒等式，有，于是命题正确．故选：①②④⑤ 31．（19-20高一·安徽芜湖·强基计划）如图，圆的内接四边形的顶点关于的对称点恰为的内心，.则圆的半径为 . 【答案】【详解】连接，设，则，因为是的内心，所以分别平分，所以，，所以，又因为与关于对称，所以，又因为四边形是圆内接四边形，所以，即，解得，即，显然圆是的外接圆，所以由正弦定理，得，即.故答案为：. 32．（19-20高三·北京·强基计划）已知，点D在的延长线上，且，点E在上，且，则 ． 【答案】【详解】如图，，根据正弦定理，有．而，于是，于是，故故答案为：. 33．（21-22高三·北京·强基计划）在梯形中，在边上，有，则取值范围为 . 【答案】【详解】解：如图所示：，所以四点共圆，因为是 所对的圆周角，所以，于是，又因为,所以,在中，,即,所以,即有,所以.故答案为：. 34．（21-22高三·北京·强基计划）在中，，其外接圆半径，且，则 . 【答案】1【详解】因为，所以因为，所以,进而有，于是，因为，所以.故答案为：1 35．（20-21高三·江苏·强基计划）已知四边形的面积为2022，E为边上一点，，，的重心分别为，，，那么的面积为 ． 【答案】/【详解】以点A为原点，射线AD为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，设，因，，的重心分别为，，，则，，，，面积，同理可得四边形的面积：，于是得，所以的面积为.故答案为： 36．（2024高一下·湖南株洲·竞赛）如图，扇形ABC是一块半径（单位：千米），圆心角的风景区，点P在弧BC上（不与B，C重合）．现欲在风景区规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直于点Q，街道PR与AC垂直于点R，线段RQ表示第三条街道．记． (1)若点P是弧的中点，求三条街道的总长度； (2)通过计算说明街道的长度是否会随的变化而变化； (3)由于环境的原因，三条街道每年能产生的经济效益分别为每千米300，200，400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值． 【答案】(1)；(2)，不会随的变化而变化；(3)最大值为（万元) 【详解】（1）根据题意可得若点P是弧的中点，可得，此时，，而，由余弦定理可得，即可得；所以三条街道的总长度为； （2）在中可得，同理，利用余弦定理可得；可得因此街道的长度为定值，不会随的变化而变化. （3）依题意可得这三条街道每年能产生的经济总效益为：，其中；当时，的取值最大，最大值为(万元). 37．（2010高二·全国·竞赛）已知的三边长，三内角为．求证：． 【答案】证明见解析【详解】由，则只需证：．先证，只需证：，即证：，即：①，设，则，同理．①式成立，再证．只需证：，即证：．② ②式成立．综上，结论得证. 38．（2018高一·全国·竞赛）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求证：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）因为，故，即，因为为锐角三角形，故,即. （2），因为为锐角三角形，故，故，故，即的最小值为. 39．（2017高一·全国·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边分别与单位圆交于两点. (1)若点的纵坐标为，求的值； (2)若角的终边与单位圆交于点，设角的正弦线分别为，，求证：线段能构成一个三角形； (3)探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)外接圆面积为定值， 【详解】（1）因为A点的纵坐标为，故A点的横坐标为；又，为锐角，故. （2）证明：依题意得，，于是有，①  ，又 ，②，同理可得：，③，由①，②，③可得，线段能构成一个三角形. （3）第（2）小题中的三角形的外接圆面积是定值，且定值为.不妨设的边长分别为，其中角的对边分别为.则由余弦定理得： ，因为，所以，设的外接圆半径为，由正弦定理得所以的外接圆的面积为. 40．（2018高一·全国·竞赛）已知中，，且是的中点． (1)求的长； (2)点是以为圆心角的劣弧上任意一点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)【详解】（1）在中，，又，所以. （2）设，由题意得，则在中，即，又当且仅当时等号成立；.所以的取值范围为. 41．（2015高一·全国·竞赛）已知中，所对的边分别是，边上的中线，设=（，），=（，），且，若动点满足． (1)求角的集合； (2)求的最小值； (3)若，且，为的面积，求的最大值及此时的值． 【答案】(1)；(2)；(3)时，取得最大值.【详解】（1）解：由，得，则，若，则或，求得；若则，求得，所以角的集合为； （2）解：因为，又因为，所以三点共线，且，所以点在线段上，故，设则，所以当时取得最小值； （3）解：由（1）的结论和可得，又，所以由正弦定理得：，所以，于是，所以当时，取得最大值. 42．（2024高三上·全国·竞赛）设的外接圆半径是均为锐角，且. (1)证明：不是锐角三角形； (2)证明：在的外接圆上存在唯一的一点，满足对平面上任意一点，有. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】（1）证明：记在中，所对的边分别长度为.根据正弦定理，有，所以.根据，有，得到，因为都是锐角，根据的(复合函数)单调性得到，所以，所以，所以不是锐角三角形； （2）因为，所以，所以，所以，得到，设外接圆圆心为，则有，得到对平面上所有成立，必须有，根据是直角和平面几何知识,得到在外接圆上，并且根据平面向量基本定理得到唯一. 43．（2022高一·浙江温州·竞赛）已知三角形中，角所对的边分别为，且. (1)当，时，求的值； (2)判断的形状. 【答案】(1)；(2)为锐角三角形 【详解】（1）由，得，所以，所以，则，又，，，所以，所以 ，因为，所以，，所以 ，所以，所以 ，， ，由，得； （2）因为，所以，所以 ，又，所以， 化简得， 所以 因为， 所以，所以，，所以 ，又，，，所以，，都为锐角，所以为锐角三角形. 44．（2022高一下·四川成都·竞赛）如图，在△ABC中，AC⊥BC．延长BA到D，使得AD＝2，且． (1)若，求△DBC的面积； (2)当时，求△ACD面积的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）在△ACD中，∵，则，即 ，△ACD的面积，在Rt△ABC中，，即 ，△ABC的面积，△DBC的面积 （2）在△ACD中，设，∵，则，△ACD的面积，若，则，则，即△ACD面积的取值范围 45．（2016高二下·山东枣庄·竞赛）设的三边长分别为，面积为，证明：. 【答案】证明见解析. 【详解】因为 ，当且仅当时取等号，所以. 46．（23-24高三下·北京·强基计划）在 中，若 在 上，比较 与 的大小. 【答案】 【详解】在 中，若 在 上，由余弦定理可得：，同理：，，在中，，，所以，，设，，则，在，由正弦定理可得：，同理在，，所以，所以 47．（23-24高三下·北京·强基计划）在中，若边上的高为，求的范围. 【答案】【详解】由三角形面积公式得，即，由余弦定理得，故，，其中，当且仅当，即时，等号成立，又，当且仅当时，等号成立，故. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案第12页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$