精品解析：浙江省杭州市萧山区东片7校2024-2025学年八年级上学期11月期中联考数学试题

2024学年第一学期八年级期中学情调研数学调研卷 (本卷满分120分) 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知三角形两边长分别是和，则第三边的长可以是（ ） A. B. C. D. 2. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于命题“若，则” 能说明它属于假命题的反例是（ ）． A. B. C. D. 4. 如果，那么下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 5. 下列各语句是真命题的是（ ） A. 三个角对应相等的三角形全等 B. 等边对等角 C. 等腰三角形的对称轴是顶角平分线 D. 三角形任何两边的和大于第三边 6. 如图，点P在∠ABC平分线上，PD⊥BC于点D，若PD=4，则P到BA的距离为（　　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A B. C. D. 8. 如图，ABC 中，AB 6cm ，AC 8cm ，BC 的垂直平分线l 与 AC 相交于点 D ，则ABD 的周长为（ ） A. 10cm B. 12cm C. 14cm D. 16cm 9. 如图，在中， 于点F， 于点E，D为中点，M为的中点，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 10. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 10 D. 8 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 根据数量关系列不等式：的3倍与的差大于2．________． 12. 如图，在中，，的外角，则_____． 13. “等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是______． 14. 如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 _______． 15. 如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．若．则________． 16. 如果一条线段将一个三角形分割成 2 个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成 3 个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”． （1）如图，在 中，，点 D 在边上，且，则_____度； （2）在 中，和是 的“好好线”，点 D 在 边上，点 E 在 边上，且，，则的度数为____________． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或推断步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们自己能写出的解答写出一部分也可以．） 17. 在中，利用直尺（没有刻度）和圆规作图(要求保留作图痕迹，不必写出作法）： （1）作出边上中线； （2）作出的角平分线． 18. 如图，点D在上，点E在上，相交于点O． （1）若，求的度数； （2）试猜想与之间的关系，并证明你的猜想． 19. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证： 20. 如图，的延长线于点，于点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． （1）求修建的公路的长； （2）若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 22. 如图，已知是等边三角形，，，分别是射线，，上的点，且，连结，，． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 23. 【问题提出】 （1）已知：如图1所示，于点D，于点E，点C在线段上，，且．求证： ①． ②． 【问题解决】 （2）如图2所示，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，，若，，求的面积． 24. 定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． （1）如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：． （2）如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图④，在四边形中，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期八年级期中学情调研数学调研卷 (本卷满分120分) 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知三角形两边的长分别是和，则第三边的长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系即可解答． 【详解】解：设第三边的长度为x， 由题意得：， 即：， ∴C符合题意； 故选：C． 2. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，故B符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 3. 对于命题“若，则” 能说明它属于假命题的反例是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查举反例判断命题的真假，根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解． 【详解】A选项，，则，，不能说明； B选项，，则，，可以说明． C选项，，则，，不能说明； D选项，，则，，不能说明； 故选：B． 4. 如果，那么下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质．用不等式的性质对根据已知得到的不等式进行变形，从而找到最后的答案． 【详解】解：A. ∵ ，∴，故该选项正确，符合题意； B. ∵ ，∴，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵ ，∴，故该选项不正确，不符合题意； D. ∵ ，且，∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 5. 下列各语句是真命题的是（ ） A. 三个角对应相等的三角形全等 B. 等边对等角 C. 等腰三角形的对称轴是顶角平分线 D. 三角形任何两边的和大于第三边 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，三边关系一一判断即可．本题考查命题与定理，三角形三边关系，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握相关知识点． 【详解】解：A、三个角对应相等的三角形全等，是假命题，本选项不符合题意； B、等角对等边，是假命题，成立的条件是在同一个三角形中，本选项不符合题意； C、等腰三角形的对称轴是顶角平分线，是假命题，应该是等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，本选项不符合题意； D、三角形任何两边的和大于第三边，是真命题，本选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，点P在∠ABC的平分线上，PD⊥BC于点D，若PD=4，则P到BA的距离为（　　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质直接可以判断． 【详解】解：∵点P在∠ABC的平分线上， ∴点P到AB、AC的距离相等， ∵PD⊥BC于点D， PD=4， ∴P到BA的距离为4； 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题关键是熟记角平分线的性质并能熟练运用． 7. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，ABC 中，AB 6cm ，AC 8cm ，BC 的垂直平分线l 与 AC 相交于点 D ，则ABD 的周长为（ ） A. 10cm B. 12cm C. 14cm D. 16cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】∵BC的垂直平分线l与AC相交于点D， ∴DB＝DC， ∴△ABD的周长＝AB＋AD＋DB＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC＝14（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 9. 如图，在中， 于点F， 于点E，D为的中点，M为的中点，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理；连接，根据等腰三角形三线合一得到F是中点，从而得到，同理可得，最后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接， ∵， ∴F是中点， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出，即，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：，即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 故选：A． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 根据数量关系列不等式：的3倍与的差大于2．________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列不等式，解题的关键是抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，将文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．结合题意列不等式即可． 【详解】解：的3倍与的差大于2为：， 故答案为：． 12. 如图，在中，，的外角，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等角对等边的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角的性质，邻补角的定义．掌握三角形外角的性质和等边对等角是解题的关键． 13. “等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是______． 【答案】若三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了逆命题，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题：若三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形． 故答案为：若三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形． 14. 如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 _______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定；掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．若．则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形．熟练掌握含角的直角三角形的性质，三角形角平分线定义，等腰三角形的判定和性质，三角形中线定义，是解题的关键． 先求出，根据角平分线定义得，根据含角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定可得，，则，由三角形边中线得，根据即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，， ∴， ∵是边上的中线． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如果一条线段将一个三角形分割成 2 个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成 3 个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”． （1）如图，在 中，，点 D 在边上，且，则_____度； （2）在 中，和是 的“好好线”，点 D 在 边上，点 E 在 边上，且，，则的度数为____________． 【答案】 ①. ②. 或． 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设，表示出与，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出的度数； （2）设，①当时，利用三角形外角的性质得到，解得，②当时，利用三角形内角和定理得到，解得． 【详解】解：（1）， ， ， ，， 设， 则，， 即， 解得， 则， 故答案为：； （2）设， ①当时，如图： ， ； ②当时，如图： ， ， 所以的度数为或； 故答案为：或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或推断步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们自己能写出的解答写出一部分也可以．） 17. 在中，利用直尺（没有刻度）和圆规作图(要求保留作图痕迹，不必写出作法）： （1）作出边上的中线； （2）作出的角平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，作角平分线，三角形中线定义； （1）作的垂直平分线得到的中点，然后连接即可； （2）作的平分线即可． 【小问1详解】 如图，为所作； 【小问2详解】 如图，为所作． 18. 如图，点D在上，点E在上，相交于点O． （1）若，求的度数； （2）试猜想与之间的关系，并证明你的猜想． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角性质求出，根据三角形内角和定理求出的度数； （2）根据三角形的外角性质证明即可． 本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【小问1详解】 解： ，， ， ； 【小问2详解】 解：猜想， 理由如下：，， ． 19. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证： 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由可得，进而由可证明，即可得证． 【详解】略 20. 如图，的延长线于点，于点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． （1）运用证明即可； （2）由得即可得出结论，进而可得是的平分线，得出，根据即可求解 【小问1详解】 证明：∵，， ∴ 在和中， ， ∴ 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 又，， ∴是的平分线， ∵ ∴ ∴ 21. 如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． （1）求修建的公路的长； （2）若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再结合三角形的面积求出的长即可； （2）先利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差求解即可。 【小问1详解】 解：∵，， ∴是直角三角形，， ∵， ∴． 故修建的公路的长是； 【小问2详解】 解：在中，， 一辆货车从C处经过D点到B处的路程． 故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是． 22. 如图，已知是等边三角形，，，分别是射线，，上的点，且，连结，，． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）是等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质， （1）根据等边三角形性质得，，则，再根据，得，证明全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论； （2）证明，则，再由（1）的结论得，由此可判定的形状； 理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 是等边三角形． 理由：在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 23. 【问题提出】 （1）已知：如图1所示，于点D，于点E，点C在线段上，，且．求证： ①． ②． 【问题解决】 （2）如图2所示，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，，若，，求的面积． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等可得，然后利用即可证明； ②由全等三角形的性质得到，，进而可求解； （2）作于点G，于点H，根据等腰三角形的性质得，利用勾股定理得，由（1）同理得，得，再利用等腰三角形的性质得到，从而得出答案． 【详解】解：（1）①∵于点D，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； ② ∵， ∴，， ∴， 即； （2）作于点G，于点H， ∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得， 由（1）同理可得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 24. 定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． （1）如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：． （2）如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图④，在四边形中，，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2），，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即得； （2）设交于，证明，可得，，即可得，即；而，故； （3）作，且，连接，，证明，可得，而，故． 【小问1详解】 证明：， ，即， ，， ， ； 【小问2详解】 解：，；理由如下： 设交于，如图： ， ，即， ，， ， ，， ，， ， 即； 为等腰直角中边上的高， ， ， ； 【小问3详解】 解：作，且，连接，，如图， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及勾股定理及应用，解题的关键是利用“手拉手全等模型”作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $