专题1.1 相交线（六大题型总结）（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版2024）

专题1.1 相交线（六大题型总结） 【题型一：对顶角与邻补角的定义】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列四个图形中，与为对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南南阳·开学考试）如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是 ，的对顶角是 ．    3．（23-24七年级下·山东聊城·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．如果，则和是对顶角 B．如果和有公共的顶点，则和是对顶角 C．对顶角都是锐角 D．锐角的对顶角也是锐角 【题型二：利用对顶角与邻补角求角度】 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，取两根木条，，将它们钉在一起，转到木条，当增大时，下列说法正确的是（   ） A．增大 B．减少 C．减少 D．减少 6．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分． （1）若，求． （2）若，求． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线交于点分别在内部，且平分． （1）的对顶角是___________； （2）若，则的度数为___________； （3）若平分，求的度数； （4）若，判断是否平分，并说明理由． 【题型三：垂线的定义】 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，，则、、三点共线，理由是： ． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果两条相交直线所成的四个角中有一个角是 ，那么就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的 ，它们的交点叫作 ． 10．（24-25七年级上·山东滨州·阶段练习）如图，点O在直线上，当与满足 时，． 【题型四：画垂线、垂线段最短与点到直线的距离】 11．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·陕西安康·期中）如图，l为河岸（视为直线），要想开一条水渠将河里的水从点A处引到田里去，请在河边l上求作一点P，使水渠最短，作出水渠的示意图． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用网格画图： （1）过点C画的垂线，垂足为E； （2）线段的长度是点C到直线_______的距离； （3）连接，在线段中，线段_______最短． 14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点是的边上的一点． （1）过点画的垂线，交于点； （2）过点画的垂线段，垂足为； （3）点到直线的距离为___________，线段___________的长度是点到直线的距离； 【题型五：与垂直有关的角度问题】 15．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，直线与相交于点，则的度数为 ． 16．（23-24七年级下·北京·阶段练习）如果与的两边分别垂直，比的2倍少，则的度数是 ． 17．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，两直线、相交于点O，平分，如果， （1）求 （2）若，，求 18．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图，点O是直线上的一点，射线，在直线的异侧，已知，平分． （1）若，求的度数； （2）与是否有可能成为对顶角？若有可能，请求出的度数；若不可能，请说明理由． 19．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，，且平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数（用含α的代数式表示）． 20．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，直线相交于点，，平分． （1）求的度数； （2）若射线，求的度数． 【题型六：同位角、内错角与同旁内角的定义】 21．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，和不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 22．（23-24七年级下·广东汕头·阶段练习）如图，下列两个角是内错角的是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 23．（23-24七年级下·广东东莞·期末）如图， 直线a，b被直线c所截， 则∠4的同旁内角是 ． 24．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，与，与，与，与，与分别是哪两条直线被哪一条直线所截得到的？它们分别是具有什么位置关系的角？    第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 相交线（六大题型总结） 【题型一：对顶角与邻补角的定义】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列四个图形中，与为对顶角的图形是（    ） A．B．C．D． 【思路点拨】 本题主要考查了对顶角的定义，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此求解即可． 【解题过程】 解：根据对顶角的定义可知，只有B选项中的与为对顶角， 故选：B． 2．（23-24八年级上·河南南阳·开学考试）如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是 ，的对顶角是 ．    【思路点拨】 本题主要考查了邻补角和对顶角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据邻补角和对顶角的定义即可直接得出答案． 【解题过程】 解：由图形可知，的邻补角是和， 的对顶角是， 故答案为：和，． 3．（23-24七年级下·山东聊城·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．如果，则和是对顶角 B．如果和有公共的顶点，则和是对顶角 C．对顶角都是锐角 D．锐角的对顶角也是锐角 【思路点拨】 此题考查了对顶角的定义，有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角． 根据对顶角的定义进行分析即可． 【解题过程】 解：A．如果，则和不一定是对顶角， 故本选项错误； B．如果和有公共的顶点，则和不一定是对顶角， 故本选项错误； C．对顶角不一定都是锐角，故本选项错误； D．锐角的对顶角也是锐角，故本选项正确． 故选：D． 【题型二：利用对顶角与邻补角求角度】 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了对顶角和邻补角，根据对顶角相等可得：，又因为，可以求出，根据邻补角定义可得：，所以可得：． 【解题过程】 解：，， ， 又， ， 故选：A． 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，取两根木条，，将它们钉在一起，转到木条，当增大时，下列说法正确的是（   ） A．增大 B．减少 C．减少 D．减少 【思路点拨】 本题主要考查对顶角、邻补角，根据对顶角的性质，邻补角的定义可得答案． 【解题过程】 解：与是对顶角， ， 当增大时，增大； 与是邻补角，与是邻补角， ，， 当增大时，减小，减小． 当增大时，正确的是减小． 故选：C． 6．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分． （1）若，求． （2）若，求． 【思路点拨】 本题考查了对顶角、邻补角，（1）利用了对顶角相等，邻补角互补，（2）利用了角平分线的定义，邻补角互补的性质，角的和差． （1）根据对顶角相等，可得的度数，根据，可得，根据邻补角，可得答案； （2）根据角平分线的定义，可得，根据邻补角的关系，可得关于的方程，求出的度数，可得答案． 【解题过程】 （1）由对顶角相等，得， 由把分成两部分且，得， 由邻补角，得； （2） 平分， ． 由邻补角，得， 即， 解得． ∴，， ∴． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线交于点分别在内部，且平分． （1）的对顶角是___________； （2）若，则的度数为___________； （3）若平分，求的度数； （4）若，判断是否平分，并说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，几何中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． （1）根据对顶角的定义即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，再根据，求出结果即可； （3）由，得到，根据角平分线的定义得出，根据，求出，根据角平分线的定义得出，根据，求出结果即可； （4）由，利用平角的定义得到，再根据，求出，结合得出结论． 【解题过程】 （1）解：根据题意：的对顶角是； （2）解： 平分， ， ； （3）解： 与为对顶角， ， ，即． 平分， ， ， ， ． 又 平分， ， ； （4）解：平分，理由如下： ， ． ， ， ， ， 平分． 【题型三：垂线的定义】 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，，则、、三点共线，理由是： ． 【思路点拨】 本题考查了垂线．根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可解答． 【解题过程】 解：若，，则、、三点共线，理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如果两条相交直线所成的四个角中有一个角是 ，那么就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的 ，它们的交点叫作 ． 【思路点拨】 此题考查了垂直、垂线、垂足的定义．根据定义进行解答即可． 【解题过程】 解：如果两条相交直线所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足 故答案为：直角，垂线，垂足． 10．（24-25七年级上·山东滨州·阶段练习）如图，点O在直线上，当与满足 时，． 【思路点拨】 本题主要考查了垂直的定义理解，补角的定义，根据当时，则，然后利用补角的定义求出，即可得出答案． 【解题过程】 解：当时，则， ∵， ∴， 即当时，． 故答案为：． 【题型四：画垂线、垂线段最短与点到直线的距离】 11．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了垂线，根据垂线的定义，即可解答． 【解题过程】 解：过点作的垂线，三角板的放法正确的是 故选：A． 12．（23-24七年级下·陕西安康·期中）如图，l为河岸（视为直线），要想开一条水渠将河里的水从点A处引到田里去，请在河边l上求作一点P，使水渠最短，作出水渠的示意图． 【思路点拨】 本题考查作垂线，垂线段最短，过点A作于点P，即为所求． 【解题过程】 解：如图，过点A作于点P，即为所求． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用网格画图： （1）过点C画的垂线，垂足为E； （2）线段的长度是点C到直线_______的距离； （3）连接，在线段中，线段_______最短． 【思路点拨】 本题主要垂线及其做图，点到直线的距离概念，垂线段最短，注意作图的准确性． （1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点； （2）根据点到直线的距离概念回答； （3）根据垂线段最短直接回答即可． 【解题过程】 （1）解：如图所示： （2）解：线段的长度是点C到直线的距离， 故答案为：； （3）解：连接，在线段中，线段最短， 理由：垂线段最短． 故答案为：． 14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点是的边上的一点． （1）过点画的垂线，交于点； （2）过点画的垂线段，垂足为； （3）点到直线的距离为___________，线段___________的长度是点到直线的距离； 【思路点拨】 本题主题考查了垂线的作法、点到直线距离的定义等知识点，掌握垂线和垂线段的区别与联系成为解题的关键． （1）如图取格点D,连接交于点，直线即为所求； （2）直接根据方格作图即可； （2）根据点到直线距离解答即可． 【解题过程】 （1）解：如图：直线即为所求； （2）解：如图：线段即为所求． （3）解：点到直线的距离为，线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：，． 【题型五：与垂直有关的角度问题】 15．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，直线与相交于点，则的度数为 ． 【思路点拨】 本题考查了垂线的定义，对顶角相等，先根据垂直的定义求出的度数，进而根据对顶角相等得出，即可求解． 【解题过程】 解：∵ ∴ ∵ ∴， 故答案为：． 16．（23-24七年级下·北京·阶段练习）如果与的两边分别垂直，比的2倍少，则的度数是 ． 【思路点拨】 此题主要考查了角的计算，解决问题的关键是理解如果一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补．根据比的2倍少得，再根据与的两边分别垂直得或，由此可求出与的值． 【解题过程】 解：比的2倍少， ， 与的两边分别垂直， 或， 当时，， 解得：， 此时； 当时，， 解得：， ． 综上所：的度数是或． 故答案为：或． 17．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，两直线、相交于点O，平分，如果， （1）求 （2）若，，求 【思路点拨】 本题考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和角平分线的定义，掌握邻补角互补、对顶角相等和垂直的定义是解题的关键． （1）根据邻补角的性质和已知求出和的度数，根据对顶角相等求出和的度数，根据角平分线的定义求出的度数，可以得到的度数； （2）根据垂直的定义得到，根据互余的性质求出的度数，计算得到答案． 【解题过程】 （1）解：，：：， ，， ，， 平分， ， ． （2）解：， ， 平分， ， ， ． 18．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图，点O是直线上的一点，射线，在直线的异侧，已知，平分．    （1）若，求的度数； （2）与是否有可能成为对顶角？若有可能，请求出的度数；若不可能，请说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查了对顶角的性质，垂线定义理解，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关性质，数形结合． （1）根据与互余可得的度数，再根据补角的定义可得的度数，然后根据角平分线的定义解答即可； （2）根据对顶角相等可得，再根据与互余，可得与互余，据此可得结论． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：与是不可能成为对顶角，理由如下： 当时，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 与相矛盾， ∴与是不可能成为对顶角． 19．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，，且平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数（用含α的代数式表示）． 【思路点拨】 本题考查与角平分线相关的角的计算，垂直的定义，掌握角的和差运算、角平分线定义和垂超拔定义是解题的关键． （1）先求出，根据角平分线定义求出，根据对顶角相等求出，求出，即可得出答案； （2）先求出，根据角平分线定义求出，根据对顶角相等求出，求出，即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴； 又∵平分， ∴， ∴（对顶角相等）； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴； 又∵平分， ∴， ∴（对顶角相等）； ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，直线相交于点，，平分． （1）求的度数； （2）若射线，求的度数． 【思路点拨】 （1）利用对顶角的性质和角平分线的定义即可求解； （2）分在直线的上方和下方两种情况，画出图形解答即可求解； 本题考查了垂线、对顶角、角平分线的定义，掌握垂线的定义、对顶角的性质和角平分线的定义是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：∵直线相交于点，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：当在直线的上方时，如图， ∵， ∴， ∴； 当在直线的下方时，如图， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【题型六：同位角、内错角与同旁内角的定义】 21．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，和不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了同位角的定义，熟练掌握同位角的定义是解题的关键 根据同位角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，进行分析即可． 【解题过程】 解：A．和有一边在同一条直线上，另一边在被截线的同一方，是同位角，故本选项不符合题意； B．和有一边在同一条直线上，另一边在被截线的同一方，是同位角，故本选项不符合题意； C．和有一边在同一条直线上，另一边在被截线的同一方，是同位角，故本选项不符合题意； D．和的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，故本选项符合题意； 故选：D． 22．（23-24七年级下·广东汕头·阶段练习）如图，下列两个角是内错角的是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【思路点拨】 本题考查角的应用，熟练掌握内错角的意义和特征并准确判断一个角是否是内错角是解题关键． 根据内错角的定义解答． 【解题过程】 解：A． 与是直线a、b被截线所截的内错角，故该选项符合题意； B． 与是直线a、b被截线所截的同旁内角，故该选项不题意； C． 与是对顶角，故该选项不符合题意； D． 与是直线a、b被截线所截的同位角，故该选项不符合题意； 故选：A． 23．（23-24七年级下·广东东莞·期末）如图， 直线a，b被直线c所截， 则∠4的同旁内角是 ． 【思路点拨】 本题考查了同旁内角的概念：两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 根据同旁内角的概念即可得到与是同旁内角． 【解题过程】 解：与都在直线a、b之间，且它们都在直线c的同旁， 的同旁内角是． 故答案为：． 24．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，与，与，与，与，与分别是哪两条直线被哪一条直线所截得到的？它们分别是具有什么位置关系的角？    【思路点拨】 本题考查同位角，内错角，同旁内角的判断，根据组成角的线及位置逐个判断即可得到答案； 【解题过程】 解：由题意可得， 与是直线和直线被直线所截得到的内错角； 与是直线和直线被直线所截得到的同位角； 与是直线和直线被直线所截得到的内错角； 与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角； 与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$