专题1.2 平行线的判定与性质（六大题型总结）（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版2024）

专题1.2 平行线的判定与性质（六大题型总结） 【题型一：同位角相等，两直线平行】 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线，，被直线所截，平分，已知，求证：． 3．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在的边上，点在的延长线上，连接，若，，，求证：． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，交点分别为． 现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．    【题型二：内错角相等，两直线平行】 5．（23-24七年级下·广东清远·期中）小泽在课桌上摆放了一副三角板，如图所示，得到，依据是 ． 6．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线过点C，若，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 7．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）如图，点P在上，点G在上，已知，平分，交于点E，平分，请说明的理由． 解∶∵（已知） （______） ∴（_________） ∵平分， ∴______（_________） ∵平分， ∴_____， ∴（等量代换） ∴（_____） 8．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，直线交于点O，分别平分和，已知．    （1）若，求的度数； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 【题型三：同旁内角互补，两直线平行】 9．（23-24七年级下·山西朔州·期末）劳动人民具有无穷无尽的智慧．如图，这是艺术灯安装师傅安装灯管时使用的工具，利用这个工具既能保证灯管间的距离相等，又能保证灯管相互平行，灯管相互平行的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 10．（2024·山西大同·二模）若，则下列图形一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，直线被直线所截，与交于点C，平分，，，试说明：． 12．（23-24七年级下·广东广州·期末）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（     ）． 又∵平分（     ）， ∴______（     ）． （     ）． 又∵（已知）， （______）（     ）． ∴（     ）． 【题型四：两直线平行，同位角相等】 13．（2023·云南红河·一模）如图，若，，则 °． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，直线，点在直线上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，如在同一直线上，平分，，若的度数为，则的度数为 ． 16．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，已知．求证：． 证明：∵（已知）， ∴（   ①   ）， ∴（   ②   ）， ∵（已知）， ∴③　　 （  ④  ）， ∴⑤ （内错角相等，两直线平行）， ∴．（   ⑥   ）． 【题型五：两直线平行，内错角相等】 17．（23-24九年级下·吉林长春·自主招生）如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若，则等于 度． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，直线c分别与a、b相交于A、C两点，于点A，交直线b于点B．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 19．（23-24七年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，．若，，则的度数是 ． 20．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，且，点D在线段上，连接，且平分． 求证：． 证明：（已知）， （________________）， （平角的定义）， ∴， 平分（已知）， ________（角平分线的定义）， （________________）， （已知）， （________________）， （________________）． 【题型六：两直线平行，同旁内角互补】 21．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，直线被直线所截，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 22．（2024·四川雅安·模拟预测）如图，已知，是的平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 24．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，，，，那么 的度数是 ． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 平行线的判定与性质（六大题型总结） 【题型一：同位角相等，两直线平行】 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 【思路点拨】 本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，先由“同角的补角相等”可得，由然后根据同位角相等，两直线平行即可得证，熟记平行线的判定是解题的关键． 【解题过程】 解：能 理由： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：能. 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线，，被直线所截，平分，已知，求证：． 【思路点拨】 本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质和平角定义，根据角平分线得，结合已知得，那么，，利用同位角相等两直线平行即可得． 【解题过程】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在的边上，点在的延长线上，连接，若，，，求证：． 【思路点拨】 本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等两直线平行是解题的关键；先证明，通过等量代换可证，再根据平行线的判定可证． 【解题过程】 证明：， ， ， ， ， ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，交点分别为． 现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．    【思路点拨】 本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键． 设经过t秒时木棒a，b平行，分情况讨论：当秒时；当秒时；当时；当时，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案 【解题过程】 解：设经过t秒时木棒a，b平行，根据题意得： 当秒时，，解得：； 当秒时，，解得：； 当秒时，木棒a停止运动， 当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：； ，解得：， 当时，木棒b停止运动， 综上所述，经过3或21或75或165秒时木棒a，b平行， 故答案为：或或或． 【题型二：内错角相等，两直线平行】 5．（23-24七年级下·广东清远·期中）小泽在课桌上摆放了一副三角板，如图所示，得到，依据是 ． 【思路点拨】 本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定作答即可． 【解题过程】 解：由题意知，， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 6．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线过点C，若，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【思路点拨】 本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，根据，，可得，从而得到，由内错角相等，两直线平行即可得到答案． 【解题过程】 解：， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）如图，点P在上，点G在上，已知，平分，交于点E，平分，请说明的理由． 解∶∵（已知） （______） ∴（_________） ∵平分， ∴______（_________） ∵平分， ∴_____， ∴（等量代换） ∴（_____） 【思路点拨】 本题考查平行线的判定，根据同角的补角相等，角平分线平分角，以及内错角相等，两直线平行，进行作答即可．掌握平行线的判定定理，是解题的关键． 【解题过程】 证明：∵（已知） （平角的定义） ∴（同角的补角相等） ∵平分， ∴（角平分线的定义） ∵平分， ∴， ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 8．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，直线交于点O，分别平分和，已知．    （1）若，求的度数； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 【思路点拨】 本题考查与角平分线有关的计算，平行线的判定，找准角度之间的等量关系，是解题的关键． （1）根据角平分线平分角，得到，结合平角的定义和，进行求解即可； （2）角平分线平分角，结合平角的定义推出，推出，即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型三：同旁内角互补，两直线平行】 9．（23-24七年级下·山西朔州·期末）劳动人民具有无穷无尽的智慧．如图，这是艺术灯安装师傅安装灯管时使用的工具，利用这个工具既能保证灯管间的距离相等，又能保证灯管相互平行，灯管相互平行的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【思路点拨】 本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结果． 【解题过程】 解：∵工具的两个同旁内角均为， ∴两个角的和为180度， ∴两直线平行； 故选C． 10．（2024·山西大同·二模）若，则下列图形一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可． 【解题过程】 解：A．∵和是同位角， ∴无法推出，不符合题意； B．∵和是内错角， ∴无法推出，不符合题意； C．如图所示， ∵， ∵ ∴ ∴，符合题意； D．如图所示， ∵， ∴ ∵和是同位角， ∴无法推出，故不符合题意； 故选：C． 11．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，直线被直线所截，与交于点C，平分，，，试说明：． 【思路点拨】 此题考查了平行线的判定．根据角平分线定义及对顶角性质，则，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得解． 【解题过程】 证明：平分，， ， ， ， ， ∴． 12．（23-24七年级下·广东广州·期末）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（     ）． 又∵平分（     ）， ∴______（     ）． （     ）． 又∵（已知）， （______）（     ）． ∴（     ）． 【思路点拨】 本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【解题过程】 证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 【题型四：两直线平行，同位角相等】 13．（2023·云南红河·一模）如图，若，，则 °． 【思路点拨】 本题考查了平行线的性质以及邻补角，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．由，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数，进而可得出结论． 【解题过程】 解：，， ． 又， ． 故答案为：80． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，直线，点在直线上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了平行线的性质以及平角的概念．根据两条直线平行，同位角相等，得的同位角是．再根据平角的定义即可求得． 【解题过程】 解：， ∴， ， ， 又， ， ． 故选：A． 15．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，如在同一直线上，平分，，若的度数为，则的度数为 ． 【思路点拨】 本题考查了邻补角，角平分线，平行线的性质等知识．熟练掌握邻补角，角平分线，平行线的性质是解题的关键．由题意得，由平分，可得，由，可得，然后作答即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，已知．求证：． 证明：∵（已知）， ∴（   ①   ）， ∴（   ②   ）， ∵（已知）， ∴③　　 （  ④  ）， ∴⑤ （内错角相等，两直线平行）， ∴．（   ⑥   ）． 【思路点拨】 本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 按照步骤作答即可． 【解题过程】 证明：∵（已知）， ∴（   同旁内角互补，两直线平行  ）， ∴（   两直线平行，同位角相等  ）， ∵（已知）， ∴（  等量代换  ）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴．（  两直线平行，同位角相等   ）． 【题型五：两直线平行，内错角相等】 17．（23-24九年级下·吉林长春·自主招生）如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若，则等于 度． 【思路点拨】 本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质得,又，即可得. 【解题过程】 解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴. 故答案为：. 18．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，直线c分别与a、b相交于A、C两点，于点A，交直线b于点B．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查平行线的性质，垂直的定义，根据，可得，进而可得，再根据两直线平行、内错角相等，可得． 【解题过程】 解：如图， ， ， ， ， ， ， 故选C． 19．（23-24七年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，．若，，则的度数是 ． 【思路点拨】 本题考查平行线的判定和性质，如图，过点作交于点，得，继而得到，根据角的和差得，再根据平行线的性质即可得解．解题的关键是掌握平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【解题过程】 解：如图，过点作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 故答案为：． 20．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，且，点D在线段上，连接，且平分． 求证：． 证明：（已知）， （________________）， （平角的定义）， ∴， 平分（已知）， ________（角平分线的定义）， （________________）， （已知）， （________________）， （________________）． 【思路点拨】 本题考查角平分线的定义，余角和补角的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练运用这些性质定理去证明；根据角平分线的定义，余角和补角的性质，平行线的性质去填空即可； 【解题过程】 证明：（已知）， （垂直定义）， （平角的定义）， ∴， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等角的余角相等）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）． 【题型六：两直线平行，同旁内角互补】 21．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，直线被直线所截，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补即可得出答案． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 22．（2024·四川雅安·模拟预测）如图，已知，是的平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及对顶角相等等知识点，由题意得：，由得，根据是的平分线得． 【解题过程】 解：由题意得：， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴ 故选：B 23．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了对顶角相等，平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 由对顶角相等可得，进而可得，由同旁内角互补两直线平行可得，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，由对顶角相等可得，于是得解． 【解题过程】 解：如图， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 24．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，，，，那么 的度数是 ． 【思路点拨】 本题考查的知识点是平行公理的推论、平行线的性质、角度的计算，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 作交于点，交于点，由平行公理的推论推得，再根据平行线的性质得到，，，最后由进行角度计算即可求解． 【解题过程】 解：作交于点，交于点， ， ， ，，， 又，， ， ， ， ． 故答案为：． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$