方法技巧专题 构造等腰三角形的四种方法(PDF部分书稿)-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版 贵州专版）

∠EBD=∠FCD, ∠FCD.在△DEB和△DFC中， ∠DEB=∠F, =号∠ACB=是X90=45,·∠MEF=∠BAC+ DE-DF, ∠ECA=30°+45°=75°，∠ADC=90°-∠DAC=90° ∴，△DEB≌△DFC(AAS),∴.DB=DC:(2)如图③，过点 ∠MEF=∠NDF, D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F. 15=75°.在△FEM和△FDN中，J∠EMF=∠DNF, ,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF, FM-FN. ∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△DEB和Rt△DFC中， ∴.△FEM≌△FDN(AAS),∴.FE=FD:(2)成立.证明如 DB=DC:R△DEB≌R△DFC(HL),∠DBE= 下：过点F作FG⊥AB于点G,FZ⊥BC于点Z.:AD, DE=DF. CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线，∴.FG=FZ,∠FGE ∠DCF.:∠DCF+∠ACD=180°.∴∠DBE+∠ACD= =∠FZD=90°.：∠FDZ=∠B+∠BAD=60°+ 180°，即∠ABD+∠ACD=180 ∠BAC,∠FEG=∠BAC+∠ACE=∠BAC+ 1 2∠ACB=∠BAC+2(I80°-∠B-∠BAC)=∠BAC +2(180°-60°-∠BAC0=60+2 ∠BAC,∴.∠FEG= 图② ∠FEG=∠FDZ, 第2课时三角形的三条内角平分线 ∠FDZ.在△FEG和△FDZ中， ∠FGE=∠FZD, 新知梳理 FG=FZ. ①相等 ∴.△FEG≌△FDZ(AAS),∴.FE=FD. 例题引路 方法技巧专题构造等腰三角形的四种方法 【例】证明：设AG,BM交于点P,过点P分别作PD⊥ L.证明：过点D作DM∥AC,交BC于点M,∠DMB AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F.,AG平分 ∠BAC,BM平分∠ABC,∴.PD=PF,PD=PE,∴.PE ∠ACB,∠FDM=∠E.:AB=AC,.∠B=∠ACB. '.∠B=∠DMB.'.BD=MD.BD=CE,.MD=CE. PF,∴.点P在∠ACB的平分线CN上，∴.AG,BM,CN交 (∠MDF=∠E, 于一点.【例2】解：作三角形三条角平分线的交点即可. 在△DMF和△ECF中，∠MFD=∠CFE,∴.△DMF≌ 如图，点O即是小亭的中心位置 MD-CE. △ECF(AAS),∴.DF-EF.(也可过点E作EG∥AB交 BC的延长线于点G,证△BDF≌△GEF)2.证明：过点 基础过关 A作AM∥BC交BD的延长线于点M,则∠M=∠DBC. 1.C2.2:3:43.解：连接OA,过点O作OE⊥AB于 ,BD平分∠ABC.∴.∠ABD=∠DBC,∴∠M=∠ABD, 点E,OF⊥AC于点F.:BO.CO分别平分∠ABC和 ∴.AM=AB.,AM∥BC,EF∥BC,∴AM∥EF,.∠M= ∠ACB,∴.OE=OD=2,OF=OD=2,∴.Smw=SAw十 ∠M=∠DFE, S8w=0E·AB+20F·AC=0D·(AB+AC ∠DFE.在△ADM和△EDF中，∠ADM=∠EDF, AD-ED. =2×2X30=30.4B5B ∴.△ADM≌△EDF(AAS),∴.AM=EF,∴.AB=EF 能力提升 3.证明：延长AD交BC于点F.,BE平分∠ABC, 6.D7.8cm8.解：补充证明过程如下：，∠AMC ∴.∠ABD=∠FBD.,AD⊥BE,∴.∠ADB=∠FDB= 120,AM=CM.i∠Mc=∠MCA=合(180- 90°，∴.∠BAD=∠BFD.:∠BFD=∠CAD+∠C ∠BAD=∠CAD+∠C,4.证明：延长BA,CD相交 ∠AMC)=号×(180-120)=30.：△ABC为等边三 于点Q.:∠BAE=90°，∴.∠CAQ=90°，.∠BAE= ∠CAQ,∠ACQ+∠Q=90°..CD⊥BE,∴.∠BDC=90°. 角形，∴.∠B=∠BAC=∠BCA=60°，∴∠BAM=∠BAC ∴∠ABE+∠Q=90°，∴.∠ACQ=∠ABE.在△ABE和 +∠MAC=60°+30°=90°，∠BCM=∠BCA+∠MCA= ∠ABE=∠ACQ, 60°+30°=90°，.MA⊥BA,MC⊥BC.:PM平分 △ACQ中， AB=AC. ∴.△ABE≌△ACQ(ASA), ∠CPN,MQ⊥NP,∴.MQ=CM=AM.在Rt△MAN和 ∠BAE=∠CAQ, /MA=Q,:.R△MAN≌R△MQN(H, R△MQN中.{NN=MN, ∴.BE=CQ.:AB=AC,BD平分∠ABC,.∠QBD= ∠CBD.又，∠BDC=∠BDQ=90°，∴.∠Q=∠BCQ, .AN=QN.同理可得，CP=QP,∴.NP=QN+QP ∴.BQ=BC.又BD⊥CQ,∴.QD=CD,∴.CQ=QD+CD =AN+CP. =2CD,.BE=2CD.5.解：在DC上截取DE=BD,连 思维拓展 接AE.BD=DE,AD⊥BE,∴AD垂直平分BE.∴.AB 9.解：(1)FE=FD.理由如下：过点F作FM⊥AB于点 =AE.,AD⊥BC,.BD=DE=4.AB=AE,∠B= M,FN⊥BC于点N,FH⊥AC于点H,则∠FME= ∠FND=90°.：AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分 2∠C,∴.∠B=∠AED=2∠C.又：∠AED=∠C+ ∠EAC,.2∠C=∠C+∠EAC,·∠C=∠EAC,,AE= 线.∴.FM=FH=FN,∠MAF=∠FAC=2∠BAC EC.,CD=16.DE=4,∴.CE=CD-DE=16-4=12, 2(90°-∠B)=号×(90°-60)=15，∠BCE=∠ACE ∴.AB=AE=EC=12.6.证明：在边AC上截取AP= AB,连接PD.,AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠PAD.在 第5页（共36页） AB-AP. ∠MAE=∠VAF, △ABD和△APD中，)∠BAD=∠PAD,,.△ABD≌ △AEM和△AFN中.JAE=AF, ∴.△AEM≌ AD-AD. ∠E-∠F, △APD(SAS),∴.∠B=∠APD,BD=PD.:∠B= △AFN(ASA),∴.AM=AN.:BN=AB-AN,CM=AC 2∠C,∠APD=∠PDC+∠C,∴.2∠C=∠PDC+∠C. -AM.AB=AC,..BN=CM.12.A 13.4 ∴.∠PDC=∠C.∴.PD=PC.∴.BD=PC,∴.AB+BD= 14.解：(1)连接AE.:ADLBC于点D,且D为线段CE AP+PC=AC7.解：(1)如图，在BC上截取BD=BE, 的中点，AD垂直平分CE,∴AC=AE.,EF垂直平分 连接DE..AB=AC,∠BAC=100°，∴.∠ABC=∠C= AB...AE=BE,.BE=AC:(2)AE=BE,/B=35, 180-∠BA0O=40C:BE平分∠AC∠CBE ∠BAE=∠B=35.:AD⊥BC,.∠ADB=90, .∠BAD=90°-∠B=90°-35°=55°，∴.∠EAD= ∠ABE=20.:BD=BE.∠BDE=∠BED=号（I8O ∠BAD-∠BAE=55°-35=20°.：'AC=AE,AD⊥BC -∠CBE)=80°.又，∠BDE=∠C+∠CED,∠C=40°， ∴.∠EAD=∠CAD=20°.∴.∠BAC=∠BAD+∠CAD= .∠CED=40°=∠C,∴.DE=DC,过点E作EM⊥BA交 55+20°=75. BA的延长线于点M,作EN⊥BC于点N.,BE平分 易错易混专攻 ∠ABC,EM⊥BA,EN⊥BC,.EM=EN.'∠BAC= 1.B2.3√/10或103.120°或75或30 100°，.∠CAM=180°-∠BAC=80°.在△EMA和 常考题型演练 ∠EAM=∠EDN=80°， 1.D2.C3.24.55.证明：(1)，AD是∠BAC的平 △END中， ∠AME=∠DNE=90°，∴.△EMA≌ 分线.DE⊥AB,DC⊥AC,∴.DE=DC.在Rt△CDF和 EM=EN. RtAEDBE呻，PEDE,R△CDP≌R△EDB(H △END(AAS),.EA=ED.又，DE ..BC=BD+DC=BE+AE:(2)BC ∴.CF=EB:(2)由(1)，得DC=DE.在Rt△ADC和 =CE+AB.理由如下：在CB上截取 CP=CE,连接PE,如答图所示. 答图 R△ADE吨，CE:∴R△ADC2R△ADE(HD 180 ..AC=AE...AB=AE+EB=AC+EB=AF+CF+EB :AB=AC,∠BAC=108°，∴.∠ABC=∠C= =AF+2EB.6.解：(1)，AB=AC,∠A=40°，∴∠B= ∠BAC)=36,CP=CE,∠CPE=2I80°-∠C= ∠ACB=180°-∠A)=70.又：MN为AB的垂直平 72,.∠BPE=180°-∠CPE=108°，.∠BPE= 分线.MN⊥AB,∠MNB=90°，.∠M=90°-∠B= ∠BAC.:BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠PBE.在△ABE 90°-70=20°：(2)AB=AC,∠A=70°，·∠B=∠ACB /BAE=∠BPE. 号（180°-∠A)=5.又：MN为AB的垂直平分线， 和△PBE中，∠ABE=∠PBE,∴.△ABE≌△PBE(AAS), BE=BE, ∴.MN⊥AB,∠MNB=90°，.∠M=90°-∠B=90° .'BA=BP..'.BC=CP+BP=CE+AB. 55=35:(3)∠M=7∠A.理由如下：AB=AC,∠B 第一章整合与提升 高频考点突破 =∠ACB=号(180°-∠A)=90°-号∠A.又：MN为 1.C2.AD=AB(答案不唯一)3.D4.B5.C AB的垂直平分线，∴.MN⊥AB,∴.∠MNB=90°，∴∠M 6.a≤b7.解：(1)AE是∠BAC的平分线，∴∠DAE= ∠BAE.IDE∥AB,∴.∠DEA=∠BAE,∴.∠DAE= =90-∠B=90°-(90-2∠A）=7∠A ∠DEA,.AD=ED:(2),AB=AC,AE是∠BAC的平 第二章 一元一次不等式与一元 分线，∴.AE⊥BC,∴∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA 次不等式组 =90°.∠CAE=∠DEA,∴∠C=∠CED,∴.CD=DE =3.由(1)，得AD=DE=3,.AC=AD+CD=3+3=6. 1不等关系 8.解：(1)，△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB 基础过关 =60°.，DE∥AB,∴.∠B=∠EDC=60°，∠A=∠CED= 1.B2.D3.B4.C5.5x-y≥16.解：(1)3a+5 60°，.∠EDC=∠ECD=∠DEC=6O°.EF⊥ED, ≤3：(2)x2≥0：(3)-x-12:(4)x+17<5.x ∴.∠DEF-90°，.∠F-180°-∠DEF-∠EDC=180° 能力提升 90°-60°=30°：(2)由(1)，得∠F=30°.又：∠F+∠FEC 10十m、10 =∠ECD=60°，.∠F=∠FEC=30°，∴.CE=CF 7.B8.100+m>100 9.解：(1)①<②<③> ∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，.CE=DC=2,∴.CF ④>⑤>⑥>(2)当n=1或2时，+1<(n+1)“: =2.DF=DC+CF=2+2=4.9.D10.C11.解： 当n≥3时，+1>(n+1)":(3)2024>20252e. E-C长△AE 2不等式的基本性质 (1)在Rt△ABE和Rt△ACF中， 新知梳理 ≌Rt△ACF(HL),∴.∠BAE=∠CAF.∠CAE= ①不变②不变目改变 ∠BAE-∠BAC,∠BAF=∠CAF-∠BAC,·∠CAE= 例题引路 ∠BAF:(2)AM=AN,BN=CM.证明如下：由(1)，得 【例1】(1)>(2)>(3)<【例2】解：(1)根据不等式 ∠MAE=∠NAF,Rt△ABE≌Rt△ACF,∴.AE=AF.在 的基本性质1，两边都减去3.x,得5.x一3x<1,即2x<1. 第6页（共36页）方法技巧专题 构造等腰三角形的四种方法 类型1 作等腰三角形的腰或底的平行 类型2 利用“角平分线十垂线”构造等 线构造等腰三角形 腰三角形 万法想导 万局 (1)作腰的平行线构造等腰三角形: (1)延长AP交ON于点B,如图①; (2)延长BA,CE交于点M,如图②. (2)作底边的平行线。 BV 阁① 图② 3.如图,在/ABC中,BE平分/ABC交AC 于点E,ADBE于点D. 1.如图,在ABC中,AB三AC,点D在AE 求证:BAD= CAD十/C 上,点E在AC的延长线上,且BD=CE ## DE交BC于点F.求证:DF=EF 4.如图,在△ABC中,AB=AC,A=90{*},BE 是角平分线,CD BE交BE的延长线于点 D.求证:BE-2CD _### 2.如图,在ABC中,BD平分/ABC交AC 于点D,点E为CD上一点:且AD=DE EF//BC交BD于点F.求证:AB-EF. 23 数学II八年级下册(BS) 类型3 利用倍角关系,构造等腰三角形 类型4 利用截长补短,构造等腰三角形 万法指是 万法指局 在△ABC中,ABC=2C,可作AB=AD(如图①) 如图,已知AB十BD=DC,在DC上截取DE=BD, 或作BE平分ABC(如图②). 或延长CB至点F,使BF一AB #①# C 图② 7.如图,已知在△ABC中,AB-AC, BAC= 5.如图,在△ABC中,B=2 C,AD BC于 100{*},BE平分/ABC交AC于点E 点D.若BD=4.CD=16,求AB的长 (1D)求证:BC一BE士AE (2)探究;若 BAC一108*,其他条件不变,则 BC的长等于哪两条线段的和呢?试说 明理由. 6.如图,在ABC中,AD平分/BAC交BC于点 D.且 B-2/C求证:AB+BD-AC 第一章 三角形的证明 24