第03讲 分式（讲义）【2大考点12大题型】-2025年中考数学一轮复习【举一反三】系列（全国版）

第03讲 分式【2大考点12大题型】 考点一 分式的概念和性质 1、分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。 2、分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。 ；（C≠0）。 3、分式的约分和通分 定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。 【题型1 分式有、无意义的条件】 【例1】（2024·四川绵阳·中考真题）使代数式有意义的整数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据组合代数式有意义的条件，分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得， ∴使代数式有意义的整数有，，0，1． 共有4个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了代数式有意义的条件，关键是利用分式的分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，列不等式（组）求解，是常考题型，比较简单． 【变式1-1】（2024·福建泉州·模拟预测）若使某个分式无意义，则这个分式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件，即分母等于0． 根据分式无意义的条件，对每个式子进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、由，得，故A不符合题意； B、由，得，故B符合题意； C、由，得，故C不符合题意； D、由，得，故D不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（2024·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可． 【详解】∵式子有意义， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 【变式1-3】（2024内蒙古呼和浩特·一模）在算式中，不能为零的字母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数除法法则,分式有意义的理解，根据算式中，除数不为0即可解答． 【详解】解：中，不能为0，则不能为0， 在和中，不能为0，不能为0， 故答案为：． 【题型2 分式的值为0的条件】 【例2】（2024·江苏·中考真题）若代数式的值是0，则实数x的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由即可求解． 【详解】解：由分母不为零得： ∵代数式的值是0 ∴ 综上： 故选：B 【点睛】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为零．掌握分式有意义的条件是关键． 【变式2-1】（2024·四川成都·二模）若分式的值为，则的值为 ；若，则 ． 【答案】 1 或 【分析】根据分式值为的条件及配方法解一元二次方程即可求得答案． 本题考查分式值为的条件及配方法解一元二次方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【详解】解：由分式值为的条件可得且， 解得：； ， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：或； 故答案为：；或． 【变式2-2】（2024·上海·一模）当 时，分式的值为零． 【答案】 【分析】根据分式为零的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且且，解得． 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式值为零的条件，根据分式的值为0的条件列出方程是解答本题的关键． 【变式2-3】（2024·北京·一模）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件，因式分解，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解． 【详解】解：分式的值为， ， 解得：， 故答案为：． 【题型3 分式的值】 【例3】（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选C 【变式3-1】（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， ∴， ∴满足题意的x的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 【变式3-2】（2024·江苏扬州·三模）能使分式值为整数的整数有 个． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； ∴能使分式值为整数的整数有个． 故答案为：． 【变式3-3】（2024·福建·中考真题）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 【答案】4 【分析】由条件变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值． 【详解】由得：xy+y=x，即x-y=xy ∴ 故答案为：4 【点睛】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件，变形为x-y=xy，然后整体代入． 【题型4 分式的基本性质】 【例4】（2024·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ， 故选：A. 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 【变式4-1】（2024·山东济南·中考真题）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案． 【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍， A、，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键. 【变式4-2】（2024·河北邢台·模拟预测）把分式分母乘4，要使分式的值不变，分子应该加上（　　） A．4 B．7 C．21 D．28 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式基本性质是解题的关键．分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘上或除以相同的数 (0除外)，分式的大小不变；分式的分母乘上4，要使分式的大小不变，分子也要乘上4，然后即可算出分子应该加上几． 【详解】解：， ， 故选：C． 【变式4-3】（2024·河北·中考真题）若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵a≠b， ∴，选项A错误； ，选项B错误； ，选项C错误； ，选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 【题型5 约分、通分】 【例5】（21-22八年级上·河北沧州·阶段练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式与的公分母是，据此作出选择． 【详解】解：分式与的公分母是，则分式的分子应变为． 故选：A． 【点睛】本题考查了通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 【变式5-1】（2024·广东广州·二模）分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：，，的分母分别是、、，故最简公分母为． 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 【变式5-2】（2024·广西崇左·中考真题）化简：． ． 【答案】. 【详解】试题分析：先将分式的分子因式分解，再约分，即可求解：，故答案为a+b． 考点：分式的化简. 【变式5-3】（2024·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①当选择A、B时： ， ； ②当选择A、C时： ， ； ③当选择B、C时： ， ． 【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法． 【题型6 最简分式】 【例6】（2024·山东潍坊·模拟预测）已知三张卡片上面分别写有6，，，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为 ．（写出一个分式即可） 【答案】/ 【分析】直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式分析得出答案． 【详解】解：6为分母时不是分式， 不是分式， 不是最简分式， 是最简分式， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的基本性质以及最简分式的定义，解题的关键是掌握分式的基本性质以及最简分式的定义． 【变式6-1】（2024·福建福州·二模）若为实数，分式不是最简分式，则 . 【答案】0或－4 【分析】由分式不是最简分式可得x或x+2是x2+m的一个因式，分含x和x+2两种情况，根据多项式乘以多项式的运算法则求出m的值即可. 【详解】∵分式不是最简分式， ∴x或x+2是x2+m的一个因式， 当x是x2+m的一个因式x时，设另一个因式为x+a， 则有x（x+a）=x2+ax=x2+m， ∴m=0， 当x+2是x2+m的一个因式时，设另一个因式为x+a， 则有(x+2)(x+a)=x2+(a+2)x+2a=x2+m， ∴， 解得：， 故答案为：0或-4. 【点睛】本题考查最简分式的定义及多项式乘以多项式，根据题意得出x或x+2是x2+m的一个因式是解题关键. 【变式6-2】（2024·河北保定·一模）要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查约分，约掉分式分子分母的公因式就能将分式化为最简分式，熟记分式约分法则，准确找到分式分子分母公因式是解决问题的关键． 【详解】解：要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是， 故答案为：． 【变式6-3】（2024·河北石家庄·一模）有分别写有x，，的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有 的卡片． 【答案】x 【分析】根据最简分式是分子与分母没有公因式的分式以及分式的性质解答即可． 【详解】解：∵， ， 是最简分式， ∴应选择写有x的卡片， 故答案为：x． 【点睛】本题考查分式的性质、最简分式，熟记平方差公式，理解最简分式的定义是解答的关键． 考点二 分式的运算 1、分式的乘除 ①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 ②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ③分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分别乘方。 ④整数负指数幂：。 2、分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ①同分母分式的加减：； ②异分母分式的加法：。 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 【题型7 分式的乘除】 【例7】（2024·江西·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算乘方，再计算除法即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式乘方与除法运算法则是解题的关键． 【变式7-1】（2024·湖北随州·中考真题）的计算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把分母因式分解，再把除法转换为乘法，约分化简得到结果． 【详解】 = = =． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的除法，约分是解答的关键． 【变式7-2】（2024·河北·中考真题）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：      接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁 【答案】D 【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断． 【详解】∵ = = = = =， ∴出现错误是在乙和丁， 故选D． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键． 【变式7-3】（2024·宁夏银川·二模）老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示：    (1)求被手遮住部分的代数式． (2)等式左边代数式的值能等于吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设被手遮住部分的代数式为A，根据题意得出A的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可； （2）令原代数式的值为0，求出x的值，代入代数式中的式子进行验证即可． 【详解】（1）设被手遮住部分的代数式为A， 则 ； （2）原代数式的值不能等于0． 若原代数式的值为0，则，即，解得， 当时，，分式无意义， ∴故原代数式的值不能等于0． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类提问题时要注意x的取值要保证每一个分式有意义． 【题型8 分式的加减】 【例8】（2024·新疆乌鲁木齐·中考真题）若实数a，b满足，设，，则M，N的大小关系为M N．（用“>”、“=”或“<”连接） 【答案】= 【分析】本题考查了分式的混合运算，在解题时要注意先对分式进行化简，再代入求值即可． 本题只需要先对M、N分别进行化简，再把代入即可比较M、N的大小． 【详解】解：， ， ∵， ∴ ， ∴ 故答案为：＝． 【变式8-1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知=+，则实数A= ． 【答案】1 【分析】先计算出，再根据已知等式得出A、B的方程组，解之可得． 【详解】， ∵=+， ∴， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，熟练掌握分式加减运算的法则、得出关于A、B的方程组是解本题的关键． 【变式8-2】（2024·河北·中考真题）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3=7，则（1）用含x的式子表示m＝ ；（2）当y＝2时，n的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据题意，可以用含x的式子表示出m； （2）根据图形，可以用x的代数式表示出y，列出关于x的分式方程，从而可以求得x的值，进而得到n的值． 【详解】解：（1）由图可得， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式及分式方程及求出方程的解． 【变式8-3】（2024·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则 ． 【答案】5050 【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可． 【详解】解： ，， ， ， ， …， 故答案为：5050 【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键． 【题型9 分式的混合运算】 【例9】（2024·四川泸州·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】先计算括号内的，通分后利用同分母的分式运算法则求解，然后将除法变成乘法，约分即可得到结果． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握相关运算法则和运算顺序是解决问题的关键． 【变式9-1】（2024·山东威海·中考真题）试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可． 【详解】解：★= ★= ★= =， 故选A． 【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【变式9-2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …… (1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答； （2）根据分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： 故第一步错误． 故答案为：一． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键． 【变式9-3】（2024·河北·中考真题）如图，若为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案． 【详解】解∵1． 又∵x为正整数，∴1，故表示的值的点落在②． 故选B． 【点睛】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等． 【题型10 分式的化简求值】 【例10】（2024·西藏·中考真题）先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值． 【答案】，取，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时分子分解因式，约分得到最简结果，把合适的m值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∴取，原式． 【变式10-1】（2024·山东菏泽·中考真题）若，则代数式的值是 ． 【答案】15 【分析】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可． 【详解】解： = =a(a-2) =a2-2a， ∵a2-2a-15=0, ∴a2-2a=15， ∴原式=15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 【变式10-2】（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得，的值，将原分式化简后代入数值计算即可． 【详解】解：依题意，，且为整数，又，则， ； 当，时，原式． 【变式10-3】（2024·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且． （1）若a，b是整数，则的长是 ； （2）若代数式的值为零，则的值是 ． 【答案】 【分析】（1）根据图象表示出PQ即可； （2）根据分解因式可得，继而求得，根据这四个矩形的面积都是5，可得，再进行变形化简即可求解． 【详解】（1）①和②能够重合，③和④能够重合，， ， 故答案为：； （2）， ， 或，即（负舍）或 这四个矩形的面积都是5， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据． 【题型11 分式的最值问题】 【例11】（2024·河北沧州·模拟预测）观察分式变形过程：，其中“○”“□”“◇”分别盖住了一个整数. （1）“○”“□”“◇”表示的整数 ；（填“相同”或“不相同”） （2）当时，的最小值为 . 【答案】 相同 【分析】（1）根据分式变形步骤分别求出各个符号盖住的值即可得出结果； （2）将分式按照题干方法变形求解即可． 【详解】解：（1）， ∴， 故答案为：相同； （2）， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查分式的化简变形，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 【变式11-1】（2024·山东菏泽·一模）已知，，记． (1)若选择一个你喜欢的整数作为的值，求的值． (2)求的最大值． 【答案】(1)答案不唯一，如时， (2) 【分析】本题考查了分式的乘法运算，以及二次函数的最值问题，熟练掌握运算法则和相关知识点是解决本题的关键． （1）利用分式乘法运算法则计算即可； （2）将问题转化为二次函数求最值，配方即可． 【详解】（1）解：， 当时，； （2）解：， 令，∴当，即． 【变式11-2】（2024·福建泉州·模拟预测）由浅入深是学习数学的重要方法．已知权方和不等式为，当且仅当时，等号成立．那么：若正整数，，满足，求的最小值． 【答案】7 【分析】根据题意得出当且仅当时，取最小值，根据得出，根据得出，将其分别代入和，即可进行解答． 【详解】解：∵ ∴， 当且仅当时，等号成立，取最小值； 即时，等号成立； ∴， ∵， ∴， 把②代入①得：， 整理得：，则； 把②代入得：， ∴． 即的最小值为7． 【点睛】本题主要考查了整式混合运算，以及分式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，理解题中权方和不等式成立的条件． 【变式11-3】（2024·重庆沙坪坝·三模）如果有一个三位数，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，把的百位和个位互换位置得到数．并规定，例如918，∵且百位是9，∴918是“尔畔数”，． （1）判断946是不是“尔畔数”，求出； （2）已知和都是“尔畔数”，且，并规定，求的最大值为多少？ 【答案】（1）946不是“尔畔数”； ；（2）的最大值为． 【分析】（1）仿照样例进行计算便可； （2）设s和t的个位数分别是，且，，根据样例求出，，再根据，求得，，进而求得的最大值． 【详解】（1）∵， ∴946不是“尔畔数”； ； （2）∵s和t都是“尔畔数”， 设s和t的个位数分别是，且，， ∴， ， ， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴越大，才越大， ∴当时，最大，最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了新定义，分式的运算，关键是根据新定义，把新知识转化为常规知识进行解答． 【题型12 分式运算的实际应用】 【例12】（2024·福建宁德·一模）福安葡萄享有“北有吐鲁番，南有闽福安”的美誉，某农场分别种植甲、乙两种葡萄，去年甲种葡萄总产量3万千克，乙种葡萄总产量2万千克，原计划甲、乙两种葡萄都按元/千克出售，实际因成熟时间不同，甲种葡萄8折出售，乙种葡萄加价3元出售，实际总收入与计划总收入相同． (1)求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价分别是多少元？ (2)今年农场改进技术，两种葡萄品质提升、产量增加，农场准备在去年实际售价的基础上，单价都增加元（）后全部出售给某经销商，该经销商提供了以下两种收购方案： 方案一：甲、乙两种葡萄都按产量万千克收购； 方案二：甲、乙两种葡萄都按总价万元收购． 通过计算甲、乙两种葡萄的总平均单价，说明农场选用哪种方案合算． 【答案】(1)甲种葡萄的实际销售单价是8元，乙种葡萄的实际销售单价是元 (2)农场选择方案一合算，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式．熟练掌握一元一次方程的应用，列代数式是解题的关键． （1）根据题意，得，计算求解，进而可求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价； （2）由题意知，方案一的平均单价为． 方案二的平均单价为，比较大小，然后作答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴甲种葡萄的实际销售单价为（元）， 乙种葡萄的实际销售单价为（元）． 答：甲种葡萄的实际销售单价是8元，乙种葡萄的实际销售单价是元． （2）解：由题意知，方案一的平均单价为． 方案二的平均单价为， ∵ ． ∴农场选择方案一更合算． 【变式12-1】（2024·四川·中考真题）一辆货车送上山，并按原路下山．上山速度为千米/时，下山速度为千米/时．则货车上、下山的平均速度为（   ）千米/时． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平均速度＝总路程÷总时间，设单程的路程为s，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可． 【详解】解：设上山的路程为x千米， 则上山的时间小时，下山的时间为小时， 则上、下山的平均速度千米/时． 故选D． 【点睛】本题考查了列代数式以及分式的化简，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决本题的突破点． 【变式12-2】13．（2024·山东青岛·一模）临近五一劳动节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过节，租金为元，出发时，乙厂有名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来 元（用最简分式表示）． 【答案】 【分析】直接根据题意表示出平均每人要付的车费，进而结合分式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：由题意可得：（元）； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了最简分式，分式的加减，正确掌握分式的加减运算法则是解题关键． 【变式12-3】（2024·宁夏银川·一模）现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？ 【答案】小李两次加油的平均单价更低 【分析】本题考查列代数式、分式的加减，正确列出代数式是解答的关键．先求解小李两次加油每次300元的平均单价，再求得小王两次加油30升的平均单价，然后作差比较大小即可得出结论． 【详解】解：根据题意，小李两次加油每次300元的平均单价为（元/升）， 小王两次加油30升的平均单价为（元/升）， ∴ ， ∵， ∴，则， 故小李两次加油的平均单价更低． 【新考向：新考法】 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）定义运算“※”：，若的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】0或4或6或10 【分析】根据题中的新定义可分若5＞x，若5＜x，两种情况分别求解，最后合并结果． 【详解】解：若5＞x， 则=为整数， 则x=0或4或6（舍）或10（舍）， 若5＜x， 则=为整数， 则x=0（舍）或4（舍）或6或10， 综上：整数x的值为：0或4或6或10， 故答案为：0或4或6或10． 【点睛】此题主要考查了分式的值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是理解题中的新定义． 【新考向：新趋势】 1.（2024·江苏连云港·中考真题）若一个分式含有字母，且当时，它的值为12，则这个分式可以是 ．（写出一个即可） 【答案】答案不唯一，如等. 【详解】设这个分式为，将m=5代入得到=12，a=60，故这个分式是． 【新考向：新情境】 1．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算的解题过程： 解：① ② ③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 【答案】从第②步开始出现错误，正确过程见解析 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式即可．掌握相应的计算法则，是解题的关键． 【详解】解：从第②步开始出现错误． 正确的解题过程为： 原式． 【新考向：跨学科】 1.（2024·江苏扬州·一模）在物理并联电路里，支路电阻、与总电阻之间的关系式为，若，用、表示正确的是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题解析：， 得R2=． 故选B． 2．（2024·广西玉林·一模）综合与实践 【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题． （1）通过观察以下一位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为10，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果） （2）通过观察以下两位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果） 【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为x，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想； 【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．在如图1所示的电路中，Ω，Ω，滑动变阻器的最大电阻Ω，其等效电路图如图2所示，其中，在滑片从a端滑到b端的过程中，设Ω，请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值． 【答案】（1）；（2）；【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大．证明见解析；（3）2A 【分析】本题考查了二次函数的性质和分式的加法运算． （1）分别计算即可发现规律； （2）分别计算即可发现规律； 由题意，建立数学模型，利用二次函数知识解答即可； （3）设Ω，利用物理知识和分式加减知识，求出总电流为I，与x的函数关系式，再利用二次函数知识求最值即可． 【详解】解：（1）由，，…，，可知，当的值最大， 故答案为：； （2）由，，，，，…，，， 可知，当的值最大， 故答案为：； 【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大． 证明：设第一个数为x，则另一个数为，它们的积为y， 则有． ∵，则抛物线开口向下， ∴当时，y取最大值，为225， 此时这两数分别为15及，两数相等， ∴当这两数相等时，它们的乘积最大． （3）设Ω，则Ω，，设总电流为I，则 ． 由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小． 设． ∵，则抛物线W开口向下，且， ∴当时，W取最大值为25，此时I取最小值为（A），两支路电阻分别为（Ω）和（Ω），两支路电阻相等， ∴当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为2A． 3．（2024·江苏泰州·一模）（1）我们知道，盐水加盐后浓度会增加．请你用数学的方法证明这个结论； （2）化学实验室一容器内的40克食盐水中含盐4克．在实验室无食盐的情况下，如何处理，可使该容器内的食盐水浓度提高到原来的2倍？ 【答案】（1）见解析；（2）蒸发掉20克的水 【分析】（1）设盐水中含盐a克，含水b克，再加盐c克，则原浓度为，加盐后的浓度为，二者做差后即可证出结论； （2）用蒸发的方法，设蒸发x克水，根据要使该容器内的食盐水浓度提高到原来的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】（1）设盐水中含盐a克，含水b克，再加盐c克， 则原浓度为，加盐后的浓度为， ∴ >0， 故加盐后浓度变大． （2）用蒸发的方法，设蒸发x克水， 依意题有， 解得x=20， 经检验，x=20是原方程的解，且符合题意． 答：蒸发掉20克的水即可达到要求． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含a，b，c的代数式表示出浓度；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 1．（2024·湖北武汉·中考真题）已知，计算的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把代入原式即可求出答案． 【详解】解： = = =， ∵， ∴， ∴原式==1， 故选A. 【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则． 2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知，则分式与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键． 3．（2024·山东济宁·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的混合运算法则进行计算，先算小括号里面的加减，后算乘除，即可求得结果． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算的运算顺序和计算法则是解题的关键． 4．（2024·四川遂宁·中考真题）函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量x的取值范围． 【详解】根据题意得：， 解得：x≥﹣2且x≠1． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 5．（2024·湖北孝感·中考真题）已知二元一次方程组，则的值是（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】C 【分析】解方程组求出x、y的值，对所求式子进行化简，然后把x、y的值代入进行计算即可. 【详解】， 得，，解得， 把代入①得，，解得， ∴ ， 故选C. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，分式化简求值，正确掌握相关的解题方法是关键. 6．（2024·四川自贡·中考真题）化简： ＝ ． 【答案】 【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可． 【详解】 = 故答案为 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键． 7．（2024·湖北黄冈·中考真题）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则 ． 【答案】10 【分析】先根据求出（为正整数）的值，从而可得的值，再求和即可得． 【详解】解：， （为正整数）， ， ， ， ， 则， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键． 8．（2024·湖南郴州·中考真题）若分式的值不存在，则 ． 【答案】-1 【分析】根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可． 【详解】∵分式的值不存在， ∴x+1=0， 解得：x=-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键． 9．（2024·江苏镇江·中考真题）当 时，分式的值为零． 【答案】 【分析】根据分式的值为零时，分母不为，且分子为，求解即可． 【详解】分式 且 解得 ； 故答案为 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为零时，分母不为，且分子为，掌握分式的值为零的条件是解题的关键． 10．（2024·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0， ∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根， ∴a+b=4，ab=3， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 11．（2024·福建福州·中考真题）化简：． 【答案】． 【详解】试题分析：原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 试题解析：原式===． 考点：分式的混合运算． 12．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 13．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下： 解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式． (1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； (2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 【答案】(1)③ (2)见解析 【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底； （2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底， 应为：； （2）解： 当时，原式 14．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出的值，把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出的值是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴的平方根为， ∵， ∴， 又∵为的平方根， ∴， ∴原式． 15．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴ . 16．（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为 (2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键． （1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得． 【详解】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． （2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 分式【2大考点12大题型】 考点一 分式的概念和性质 1、分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。 2、分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。 ；（C≠0）。 3、分式的约分和通分 定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。 【题型1 分式有、无意义的条件】 【例1】（2024·四川绵阳·中考真题）使代数式有意义的整数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-1】（2024·福建泉州·模拟预测）若使某个分式无意义，则这个分式可以是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 【变式1-3】（2024内蒙古呼和浩特·一模）在算式中，不能为零的字母是 ． 【题型2 分式的值为0的条件】 【例2】（2024·江苏·中考真题）若代数式的值是0，则实数x的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-1】（2024·四川成都·二模）若分式的值为，则的值为 ；若，则 ． 【变式2-2】（2024·上海·一模）当 时，分式的值为零． 【变式2-3】（2024·北京·一模）若分式的值为0，则x的值为 ． 【题型3 分式的值】 【例3】（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式3-1】（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 【变式3-2】（2024·江苏扬州·三模）能使分式值为整数的整数有 个． 【变式3-3】（2024·福建·中考真题）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 【题型4 分式的基本性质】 【例4】（2024·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·山东济南·中考真题）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·河北邢台·模拟预测）把分式分母乘4，要使分式的值不变，分子应该加上（　　） A．4 B．7 C．21 D．28 【变式4-3】（2024·河北·中考真题）若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 约分、通分】 【例5】（2024·河北沧州·一模）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·广东广州·二模）分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·广西崇左·中考真题）化简：． ． 【变式5-3】（2024·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【题型6 最简分式】 【例6】（2024·山东潍坊·模拟预测）已知三张卡片上面分别写有6，，，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为 ．（写出一个分式即可） 【变式6-1】（2024·福建福州·二模）若为实数，分式不是最简分式，则 . 【变式6-2】（2024·河北保定·一模）要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是 ． 【变式6-3】（2024·河北石家庄·一模）有分别写有x，，的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有 的卡片． 考点二 分式的运算 1、分式的乘除 ①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 ②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ③分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分别乘方。 ④整数负指数幂：。 2、分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ①同分母分式的加减：； ②异分母分式的加法：。 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 【题型7 分式的乘除】 【例7】（2024·江西·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·湖北随州·中考真题）的计算结果为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·河北·中考真题）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：      接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁 【变式7-3】（2024·宁夏银川·二模）老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示：    (1)求被手遮住部分的代数式． (2)等式左边代数式的值能等于吗？请说明理由． 【题型8 分式的加减】 【例8】（2024·新疆乌鲁木齐·中考真题）若实数a，b满足，设，，则M，N的大小关系为M N．（用“>”、“=”或“<”连接） 【变式8-1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知=+，则实数A= ． 【变式8-2】（2024·河北·中考真题）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3=7，则（1）用含x的式子表示m＝ ；（2）当y＝2时，n的值为 ． 【变式8-3】（2024·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则 ． 【题型9 分式的混合运算】 【例9】（2024·四川泸州·中考真题）化简：． 【变式9-1】（2024·山东威海·中考真题）试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为(   ) A． B． C． D． 【变式9-2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …… (1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【变式9-3】（2024·河北·中考真题）如图，若为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【题型10 分式的化简求值】 【例10】（2024·西藏·中考真题）先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值． 【变式10-1】（2024·山东菏泽·中考真题）若，则代数式的值是 ． 【变式10-2】（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    【变式10-3】（2024·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且． （1）若a，b是整数，则的长是 ； （2）若代数式的值为零，则的值是 ． 【题型11 分式的最值问题】 【例11】（2024·河北沧州·模拟预测）观察分式变形过程：，其中“○”“□”“◇”分别盖住了一个整数. （1）“○”“□”“◇”表示的整数 ；（填“相同”或“不相同”） （2）当时，的最小值为 . 【变式11-1】（2024·山东菏泽·一模）已知，，记． (1)若选择一个你喜欢的整数作为的值，求的值． (2)求的最大值． 【变式11-2】（2024·福建泉州·模拟预测）由浅入深是学习数学的重要方法．已知权方和不等式为，当且仅当时，等号成立．那么：若正整数，，满足，求的最小值． 【变式11-3】（2024·重庆沙坪坝·三模）如果有一个三位数，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，把的百位和个位互换位置得到数．并规定，例如918，∵且百位是9，∴918是“尔畔数”，． （1）判断946是不是“尔畔数”，求出； （2）已知和都是“尔畔数”，且，并规定，求的最大值为多少？ 【题型12 分式运算的实际应用】 【例12】（2024·福建宁德·一模）福安葡萄享有“北有吐鲁番，南有闽福安”的美誉，某农场分别种植甲、乙两种葡萄，去年甲种葡萄总产量3万千克，乙种葡萄总产量2万千克，原计划甲、乙两种葡萄都按元/千克出售，实际因成熟时间不同，甲种葡萄8折出售，乙种葡萄加价3元出售，实际总收入与计划总收入相同． (1)求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价分别是多少元？ (2)今年农场改进技术，两种葡萄品质提升、产量增加，农场准备在去年实际售价的基础上，单价都增加元（）后全部出售给某经销商，该经销商提供了以下两种收购方案： 方案一：甲、乙两种葡萄都按产量万千克收购； 方案二：甲、乙两种葡萄都按总价万元收购． 通过计算甲、乙两种葡萄的总平均单价，说明农场选用哪种方案合算． 【变式12-1】（2024·四川·中考真题）一辆货车送上山，并按原路下山．上山速度为千米/时，下山速度为千米/时．则货车上、下山的平均速度为（   ）千米/时． A． B． C． D． 【变式12-2】13．（2024·山东青岛·一模）临近五一劳动节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过节，租金为元，出发时，乙厂有名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来 元（用最简分式表示）． 【变式12-3】（2024·宁夏银川·一模）现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？ 【新考向：新考法】 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）定义运算“※”：，若的值为整数，则整数x的值为 ． 【新考向：新趋势】 1.（2024·江苏连云港·中考真题）若一个分式含有字母，且当时，它的值为12，则这个分式可以是 ．（写出一个即可） 【新考向：新情境】 1．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算的解题过程： 解：① ② ③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 【新考向：跨学科】 1.（2024·江苏扬州·一模）在物理并联电路里，支路电阻、与总电阻之间的关系式为，若，用、表示正确的是 A． B． C． D． 2．（2024·广西玉林·一模）综合与实践 【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题． （1）通过观察以下一位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为10，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果） （2）通过观察以下两位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果） 【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为x，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想； 【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．在如图1所示的电路中，Ω，Ω，滑动变阻器的最大电阻Ω，其等效电路图如图2所示，其中，在滑片从a端滑到b端的过程中，设Ω，请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值． 3．（2024·江苏泰州·一模）（1）我们知道，盐水加盐后浓度会增加．请你用数学的方法证明这个结论； （2）化学实验室一容器内的40克食盐水中含盐4克．在实验室无食盐的情况下，如何处理，可使该容器内的食盐水浓度提高到原来的2倍？ 1．（2024·湖北武汉·中考真题）已知，计算的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知，则分式与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 3．（2024·山东济宁·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川遂宁·中考真题）函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1 5．（2024·湖北孝感·中考真题）已知二元一次方程组，则的值是（    ） A． B．5 C． D．6 6．（2024·四川自贡·中考真题）化简： ＝ ． 7．（2024·湖北黄冈·中考真题）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则 ． 8．（2024·湖南郴州·中考真题）若分式的值不存在，则 ． 9．（2024·江苏镇江·中考真题）当 时，分式的值为零． 10．（2024·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 ． 11．（2024·福建福州·中考真题）化简：． 12．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）先化简，再求值：，其中． 13．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下： 解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式． (1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； (2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 14．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 15．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 16．（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$