专题4.2 等差数列（8类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.2 等差数列 【知识梳理】 1 【考点1：等差数列的基本量的求解】 2 【考点2：等差中项】 3 【考点3：等差数列的通项公式】 4 【考点4：等差数列的基本性质及应用】 5 【考点5：等差数列的单调性】 6 【考点6：求等差数列中的最大（小）项】 7 【考点7：等差数列的判定与证明】 9 【考点8：等差数列的实际应用】 11 【知识梳理】 1．等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果- ()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数， 那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数 列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有 2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则 -=(n-m)d 4．证明数列是等差数列的主要方法： 方法 解读 适合题型 定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题 前n项和公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 5．等差数列的性质： (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d. (5)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，遇见S奇，S偶时可分别运用性质及有关公式求解． (6){an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝. (7)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的. [方法技巧] 利用等差数列性质求解问题的注意点 (1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值． (2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等． [提醒]　一般地，am＋an≠am＋n，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是am－n＋am＋n＝2am.　　 【考点1：等差数列的基本量的求解】 【知识点：等差数列的基本量的求解】 1．（24-25高三上·上海浦东新·期末）若等差数列满足，，则 ． 2．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知数列为等差数列，，则 ． 3．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）若关于的方程和的四个根，可以组成首项为的等差数列，则的值是 . 4．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知递减等差数列，，是方程两个实根，当时，（    ） A．2026 B．2025 C．1012 D．2 6．（多选）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在数列中，已知，，且数列是等差数列，公差为d，则（    ） A． B． C． D． 【考点2：等差中项】 【知识点：等差中项】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前3项分别为，则的值为（   ） A．0 B．2 C．4 D．9 2．（24-25高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 3．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）和8的等差中项是 ． 4．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知三个数19，，31是等差数列，则 . 5．（24-25高三上·上海·期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是 【考点3：等差数列的通项公式】 【知识点：等差数列的通项公式】 1．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列满足且则的通项公式 . 4．（24-25高三上·河北·期中）已知数列中，且，则 . 5．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）（1）在等差数列中，，求的通项公式； （2）已知数列的前项和为，求数列的通项公式. 【考点4：等差数列的基本性质及应用】 【知识点：等差数列的基本性质及应用】 1．（24-25高二上·内蒙古兴安盟·阶段练习）在等差数列中，，则的值为（   ） A．6 B．12 C．24 D．48 2．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知等差数列中，，则=（     ） A．6 B． C．5 D． 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知是等差数列，且，则的值是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 4．（24-25高三上·辽宁·期中）公差不为的等差数列满足，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）在2和14之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）等差数列中，若，为方程的两根，则等于（   ） A．10 B．15 C．20 D．40 7．（24-25高二上·天津静海·阶段练习）设公差的等差数列中，满足，则的值为 . 8．（2024·河北·模拟预测）已知正项等差数列满足，则 . 【考点5：等差数列的单调性】 【知识点：等差数列的单调性】 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二·全国·课后作业）（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（多选）（24-25高二·全国·假期作业）（多选）下面是关于公差的等差数列的四个命题，正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 4．（24-25高二上·全国·课后作业）画出数列，的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，为等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【考点6：求等差数列中的最大（小）项】 【知识点：求等差数列中的最大（小）项】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 3．（2024·安徽·二模）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为 ． 4．（24-25高一·全国·单元测试）已知数列的通项公式为. （1）试问10是数列中的项吗？ （2）求数列中的最小项. 5．（2024·安徽安庆·三模）已知数列中，，数列满足. (1)求证:数列是等差数列，写出的通项公式； (2)求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项. 【考点7：等差数列的判定与证明】 【知识点：等差数列的判定与证明】 1．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津·阶段练习）若数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)证明是等差数列. 3．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 4．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）已知在数列中，，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且. (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)若在数列中，，且，则判断数列是否为等差数列，并说明理由. 【考点8：等差数列的实际应用】 【知识点：等差数列的实际应用】 1．（24-25高二上·陕西汉中·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 2．（2024·四川绵阳·三模）在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（    ） A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺 3．（23-24高三上·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 4．（24-25高二上·全国·期末）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 5．（24-25高三上·福建福州·开学考试）百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 等差数列 【知识梳理】 1 【考点1：等差数列的基本量的求解】 2 【考点2：等差中项】 5 【考点3：等差数列的通项公式】 7 【考点4：等差数列的基本性质及应用】 9 【考点5：等差数列的单调性】 12 【考点6：求等差数列中的最大（小）项】 15 【考点7：等差数列的判定与证明】 19 【考点8：等差数列的实际应用】 23 【知识梳理】 1．等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果- ()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数， 那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数 列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有 2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则 -=(n-m)d 4．证明数列是等差数列的主要方法： 方法 解读 适合题型 定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题 前n项和公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 5．等差数列的性质： (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d. (5)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，遇见S奇，S偶时可分别运用性质及有关公式求解． (6){an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝. (7)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的. [方法技巧] 利用等差数列性质求解问题的注意点 (1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值． (2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等． [提醒]　一般地，am＋an≠am＋n，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是am－n＋am＋n＝2am.　　 【考点1：等差数列的基本量的求解】 【知识点：等差数列的基本量的求解】 1．（24-25高三上·上海浦东新·期末）若等差数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列性质可得，，再结合等差数列通项公式运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，可得， 即，解得 故答案为：. 2．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知数列为等差数列，，则 ． 【答案】12 【分析】根据等差数列的通项公式计算. 【详解】设数列的公差为， 则，. 故答案为：12. 3．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）若关于的方程和的四个根，可以组成首项为的等差数列，则的值是 . 【答案】 【分析】根据等差数列性质计算得到；，再利用韦达定理求出、，即可得解. 【详解】不妨设方程和的四个根为，设其所成等差数列的公差为， 则，，又，所以，则， 所以，， 故，，则 故答案为： 4．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】方法1：由等差数列的通项公式代入求解即可. 方法2：由可得，两式相减可得公差，结合等差数列通项公式代入求解即可. 方法3：特值法，令、，结合等差数列通项公式求解即可. 【详解】方法1：因为为等差数列，设其公差为，则，， 所以， 所以， 所以，解得. 方法2：因为，所以， 两式相减可得， 所以的公差． 所以，则， 故，所以，解得． 方法3：当时，； 当时，． 两式相减可得， 所以的公差， 所以，代入中，解得. 故选：C. 5．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知递减等差数列，，是方程两个实根，当时，（    ） A．2026 B．2025 C．1012 D．2 【答案】B 【分析】根据二次方程求和，再根据等差数列的公式，即可求解. 【详解】方程的两个根是1和2024， 又等差数列递减，则，， 数列的公差为，所以，故． 故选：B． 6．（多选）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在数列中，已知，，且数列是等差数列，公差为d，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设，根据是等差数列，利用等差中项分别求出和可判断A和B；根据可判断C和D. 【详解】根据题意，设，数列是等差数列， 则，， ，即，解得，故A正确； ，即，解得，故B正确； ，得，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【考点2：等差中项】 【知识点：等差中项】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前3项分别为，则的值为（   ） A．0 B．2 C．4 D．9 【答案】B 【分析】利用等差中项求解. 【详解】解：因为等差数列的前3项分别为， 所以，解得． 故选：B 2．（24-25高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【分析】运用等差中项概念及性质可解. 【详解】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 3．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）和8的等差中项是 ． 【答案】3 【分析】由等差中项定义求解即可. 【详解】由等差中项定义可知，和8的等差中项为. 故答案为：3 4．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知三个数19，，31是等差数列，则 . 【答案】5 【分析】由已知结合等差中项公式即可求解. 【详解】因为三个数19，，31成等差数列， 所以. 故答案为：5 5．（24-25高三上·上海·期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是 【答案】 【分析】求出的值，设等差数列、、的公差为，求出的取值范围，利用正弦定理、两角和与差的余弦公式、弦化切，可求得所求代数式的取值范围. 【详解】若锐角的三个内角、、的度数成等比数列， 则，解得，不妨设角为最小角， 设等差数列、、的公差为，则，， 所以，， ， 由题意可知，因为、为锐角，且， 即，解得，则， 所以， . 故答案为：. 【考点3：等差数列的通项公式】 【知识点：等差数列的通项公式】 1．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等差数列通项公式可求. 【详解】数列中，，， 所以数列是首项，公差的等差数列， 所以. 故选：A. 2．（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案. 【详解】由题意得，即，则． 故选：A． 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列满足且则的通项公式 . 【答案】 . 【分析】根据等差数列定义可判断数列为等差数列，再由等差数列通项公式计算可得. 【详解】由可知数列是以为首项，1为公差的等差数列， 即可得，所以. 故答案为： 4．（24-25高三上·河北·期中）已知数列中，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，由此可得，代入求值即可. 【详解】因为，所以， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 5．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）（1）在等差数列中，，求的通项公式； （2）已知数列的前项和为，求数列的通项公式. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用等差数列通项公式表示出不同的项，然后代入，求解即可； （2）利用数列通项与前项和的关系求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∴ 由，得， 解得 所以等差数列的通项公式为; （2）当时， 当时， 检验， 所以. 【考点4：等差数列的基本性质及应用】 【知识点：等差数列的基本性质及应用】 1．（24-25高二上·内蒙古兴安盟·阶段练习）在等差数列中，，则的值为（   ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】D 【分析】根据等差数列下标和的性质即可求的值． 【详解】由等差数列的性质知：， 由，，即， 故选：D. 2．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知等差数列中，，则=（     ） A．6 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据下标和性质直接计算即可求解出结果. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知是等差数列，且，则的值是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【分析】由等差数列的性质求解即可. 【详解】因为是等差数列，所以也成等差数列， 则， 所以． 故选：B. 4．（24-25高三上·辽宁·期中）公差不为的等差数列满足，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的下标和性质，结合基本不等式，求解即可. 【详解】由题可知，，则，所以， 所以， 当且仅当且时，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 5．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）在2和14之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出，再利用基本不等式 “1”的妙用求出最小值. 【详解】依题意，令这个等差数列为，，， 则，因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 6．（24-25高二上·全国·课后作业）等差数列中，若，为方程的两根，则等于（   ） A．10 B．15 C．20 D．40 【答案】B 【分析】根据韦达定理求得，然后利用等差数列下标和的性质求解即可. 【详解】∵，为方程的两根，∴， 由等差数列的性质得，即， ∴. 故选：B 7．（24-25高二上·天津静海·阶段练习）设公差的等差数列中，满足，则的值为 . 【答案】 【分析】先根据已知条件求得，再利用等差数列的性质化简、，即可求得比值. 【详解】因为为等差数列，所以， 所以，，， 因为，所以， 整理得：，即， 因为，所以，根据等差数列的性质，有： ， ， 所以. 故答案为： 8．（2024·河北·模拟预测）已知正项等差数列满足，则 . 【答案】1 【分析】根据等差数列下标和性质可得，即可得结果. 【详解】因为为等差数列，且， 则，即， 且，所以. 故答案为：1. 【考点5：等差数列的单调性】 【知识点：等差数列的单调性】 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C 2．（多选）（24-25高二·全国·课后作业）（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的通项性质可判断是等差数列，根据等差数列的单调性即可逐一判断. 【详解】由,知，故数列是等差数列，且公差为． 由等差数列的单调性可得，若，则公差，所以数列是递增数列，故A，B一定成立； 若，则，所以数列是递增数列，所以，故C一定成立；当时，不成立，故D不一定成立． 故选：ABC． 3．（多选）（24-25高二·全国·假期作业）（多选）下面是关于公差的等差数列的四个命题，正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】AD 【详解】在等差数列中，，∴数列为递增数列，A正确；令，则，当时，可能是先减后增，B错误；，当时，数列递减，C错误；，∴是递增数列，D正确．故选AD． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）画出数列，的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率． 【答案】 【分析】根据题意，可得该数列为等差数列且公差为，从而作出图像，由此得解. 【详解】由题知，数列是一个等差数列， 其首项为，公差为，则，可得图象如下：    因此，通过图象上所有点的直线的斜率为. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，为等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【答案】(1) (2)图象见解析 (3)数列是单调递减数列 【分析】（1）设，根据已知的两个点列出关于,的方程组，解出,的值； （2）描出为正整数时的点，即可得到的图象； （3）根据公差的正负判断数列的单调性. 【详解】（1）设， 因为，在等差数列的图像上，所以，， 即 解得 故数列的通项公式为. （2）数列的图象是直线上横坐标为正整数的离散的点，如图所示：    （3）因为，所以是递减数列. 【考点6：求等差数列中的最大（小）项】 【知识点：求等差数列中的最大（小）项】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求得数列的公差，进而求得其通项公式，从而求得，利用二次函数的知识求得最小值. 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 3．（2024·安徽·二模）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为 ． 【答案】196 【分析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列， 则， 令，解得， 则数列的最大项为， 所以该数列最大项和最小项之和为． 故答案为：196. 4．（24-25高一·全国·单元测试）已知数列的通项公式为. （1）试问10是数列中的项吗？ （2）求数列中的最小项. 【答案】（1）8  （2）当或时，取得最小值-20. 【分析】（1）将10代入通项公式，解得，即可得出结论； （2）根据数列的函数性，结合二次函数的性质与项数的特征，即可得出结论. 【详解】解（1）令，即， 解得（舍去）或， 因此10是数列中的第8项. （2）由，且知， 当或时，取得最小值-20. 所以数列中的最小项为： 【点睛】本题考查数列的通项公式及其函数性、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 5．（2024·安徽安庆·三模）已知数列中，，数列满足. (1)求证:数列是等差数列，写出的通项公式； (2)求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项. 【答案】(1)证明见解析，； (2)，最大项为，最小项为. 【分析】（1）通过已知条件化简变形，凑出这种形式，凑出常数，就可以证明数列是等差数列，并利用等差数列的通项公式求出通项公式； （2）利用的通项公式求出数列的通项公式，把通项公式看成函数，利用函数图像求最大值和最小值；或利用函数的单调性即得. 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴，又， 所以， ∴数列是以1为公差的等差数列； 又∵，， ∴是以为首项，为公差的等差数列， ∴，； （2）∵， 所以， ∴作函数的大致图象，    ∴由图知，在数列中，最大项为，最小项为； 另解：因为， 当时，数列是递减数列，且，， 当时，数列是递减数列，且， 所以在数列中，最大项为，最小项为. 【考点7：等差数列的判定与证明】 【知识点：等差数列的判定与证明】 1．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解. 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·天津·阶段练习）若数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)证明是等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系求解即可； （2）由（1），结合等差数列的定义即可证明. 【详解】（1）， 当时，； 当时，， 又符合上式，所以. （2）由（1）知，则， 所以，又， 所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列. 3．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 【答案】(1)数列是等差数列，理由见解析 (2) 【分析】（1）先根据题意得，然后利用等差数列的定义判断即可； （2）由（1）结合已知可得数列的首项为，公差为，从而可求出数列的通项公式. 【详解】（1）数列是等差数列，理由如下： 因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以，， 因为， 所以 为常数， 所以数列是以为公差的等差数列； （2）因为，， 所以， 由（1）可知数列是等差数列，且公差为， 因为的公差为，的公差为， 所以数列的公差， 所以数列的通项公式为. 4．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）已知在数列中，，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)最小值，最大值3，理由见解析 【分析】（1）求，化简后由等差数列定义证明 （2）先求的通项公式后得出的通项公式，结合单调性求解 【详解】（1）证明：因为，， 所以当时， . 又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知，则. 设函数，在区间和上单调递减， 结合函数的图象可知， 当时，取得最小值； 当时，取得最大值3. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且. (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)若在数列中，，且，则判断数列是否为等差数列，并说明理由. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【分析】（1）利用，求得数列的通项公式，进而可得结论； （2）利用（1）的结论可求得，可得结论. 【详解】（1）当时，， 当时，得， 则， 化简得， 当时，成立. 综上所述，数列的通项公式为， 当时，，故数列为等差数列. （2）因为，且， 所以， 当时，，故数列为等差数列. 【考点8：等差数列的实际应用】 【知识点：等差数列的实际应用】 1．（24-25高二上·陕西汉中·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为. 故选：D 2．（2024·四川绵阳·三模）在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（    ） A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺 【答案】B 【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,冬至的晷长为,根据题意，结合等差数列的性质，列出方程组求解即得. 【详解】解：设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,冬至的晷长为,则,解得, 故选：B. 3．（23-24高三上·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【分析】由，，变形得到的通项公式，从而得到不等式组，求出此数列的项数. 【详解】由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……， 故，， 被5除余3的数为3，8，13……，故，， 被7除余1的数为1，8，15……，故，， 由，，， 故，， 令，解得：， 因为，所以，故此数列的项数为20. 故选：D 4．（24-25高二上·全国·期末）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 【答案】167 【分析】根据题意可得是首项为0，公差为12的等差数列，根据，解不等式即可. 【详解】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为， 则既是3的倍数，也是4的倍数， 故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列， 所以， 令，即，且，解得， 且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167． 故答案为：167 5．（24-25高三上·福建福州·开学考试）百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【答案】 ； . 【分析】根据等差数列的性质进行求解即可. 【详解】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假， 所以有， 若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有； 若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有， 所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天， 故答案为：；. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$