专题10 角度中的旋转问题（4大题型）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（北师大版2024）

专题10 角度中的旋转问题 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（4大题型） 题型一 旋转中的角度求值问题 题型二 旋转中的角度定值问题 题型三 旋转中的角度探究类问题 题型四 旋转中的分类讨论问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 旋转中的角度求值问题 ⭐技巧积累与运用 角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）；(3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 2．（23-24七年级上·广东江门·期末）如图，三角板的直角顶点在直线上． (1)如图1，点在直线的同侧，若，则的度数为_____________； (2)如图2，点在直线的同侧，若平分平分，求的度数； (3)如图3，绕点旋转三角板，使点在直线的异侧，当时，求的度数． 旋转中的角度定值问题 1．（23-24七年级上·湖北十堰·期末）已知 与互补，将绕点O逆时针旋转．    (1)若①如图1，当时， ； ②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数； (2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由． 2．（23-24七年级上·广东东莞·期末）如图1，一直角三角尺的直角顶点O在直线上，一边在射线上，另一边在直线的上方，将直角三角尺在平面内绕点O顺时针旋转，且平分，平分，如图2． (1)如图2，当时，①则______°．②求的度数， (2)如图2，在直角三角尺旋转过程中，的度数是否发生变化，请通过计算说明理由． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 旋转中的角度探究类问题 1．（23-24七年级上·江西萍乡·期末）刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），，，，保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（如图2），旋转时间为t（）秒．      计算  当平分时，求t的值； 判断  判断与的数量关系，并说明理由； 操作  若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板停止时，三角板也停止，直接写出在旋转过程中，与的数量关系． 3．（2024七年级上·广东·专题练习）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数．(2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）．(3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转．①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 旋转中的分类讨论问题 1．（23-24七年级上·辽宁营口·期末）数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由； (2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度； (3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 2．（23-24七年级上·山东临沂·期末）将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分．(1)如图，若，求的度数；(2)若，求的度数； (3)将直角三角板绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中，当时，求的度数．    1．（2024·江苏·七年级校考期中）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（　 ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线分别平分、，当时， ． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则x与y之间的数量关系为 ． 4．（23-24七年级上·河北唐山·期中）如图，已知，当绕着点旋转且在内部时， ． 5．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么；②是定值 ③若变小，则变大；④ 6．（23-24七年级下·浙江金华·期末）定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 7．（23-24七年级上·天津和平·期末）已知，射线在内部，作的平分线和的平分线．(1)如图①，当时，求的度数：(2)在图①中，当射线在内绕点O旋转，的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，求的度数： (3)当射线绕点O旋转到外部，且、都在直线的右侧时，请在图②中画出的平分线和的平分线，并猜想的大小是否发生变化？如果不变，直接写出的度数．如果变化，请说明理由． 8．（2024七年级上·重庆·专题练习）已知射线在的内部，射线平分，射线平分．(1)如图①，，则_________； (2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数． 9．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）如图1，已知，的余角比它的补角的少20°． (1)求的度数；(2)如图1，当射线从处绕点以5度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射线始终在的内部，当时，求旋转时间．(3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点以5度/秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线处以度/秒的速度绕点顺时针旋转，当这两条射线重合于射线处（在的内部）时，，求的值．（注：本题中所涉及的角都是小于的角） 1．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，已知，将绕点旋转，使射线的夹角为，平分，，，则的度数为 （用含的代数式表示）．    2．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）知识准备：如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题：如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    3．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，射线上有一点，一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． (1)当第一次转至与垂直时， ；（用含的代数式表示） (2)当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求的值； (3)如图2，当射线绕点旋转到时，点到达射线上的点处． 此时，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度一同旋转，旋转一周停止运动，再经过 秒，与所在直线垂直． 4．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图1，射线上有A、B两点，，．一动点P从点O出发，以每秒4个单位的速度沿射线的方向运动，当点P到达点A时，射线开始绕点A按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时点P降速一半沿射线的方向运动（如图2），当点P到达点B时，射线旋转停止，接着，射线开始绕点B按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时点P再降速一半沿射线的方向运动（如图3），设点P运动的时间为t秒． (1)的长等于________；当点P到达点B时，等于________； (2)当射线与所在直线第一次重合（不包括图2的情形）时，点P是线段的中点吗？为什么？ (3)在射线旋转的过程中，若它与所在直线第二次重合时所有运动停止，则t为多少秒时，所在直线与所在直线垂直？ 5．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）数学综合实践课上，小明用一块直角三角板进行探究：将三角板的直角顶点O放在直线上，将边落在射线上，边位于直线上方，三角板 绕点O顺时针旋转，旋转角为a，作直线平分交所在直线于点E． (1)提出问题：如图1，若旋转角，求的度数； (2)探索发现：如图2，若旋转角时，求的值； (3)拓展探究：继续旋转三角板，若旋转角时，此时与还存在（2）中的结论吗？若存在，说明理由；如不存在，直接写出与之间的关系． 6．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）钟面上的数学 基本概念：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，通常 [简单认识]时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知：（1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °： [初步研究]（2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻： ①当时， ；②当时， ； （3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角 ． [深入思考]（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）． ①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻是 ； ②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻． 7．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知：是直线上的一点，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，请探究和之间的数量关系．（直接写出结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 角度中的旋转问题 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（4大题型） 题型一 旋转中的角度求值问题 题型二 旋转中的角度定值问题 题型三 旋转中的角度探究类问题 题型四 旋转中的分类讨论问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 旋转中的角度求值问题 ⭐技巧积累与运用 角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）；(3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 【答案】(1)100(2)，(3) 【分析】本题考查角的数量关系，数形结合是解答本题关键．（1）根据可得答案；（2）先分别表示出，，根据，求解即可；（3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可． 【详解】（1）∵，，∴， ∴；故答案为：100； （2）如图，∵，，， ∴，， ∵，， ∴，； （3）①当时，如图， ∵，∴，， ∵，， ∴； ②当时，如图， ∵，∴，， ∴． 综上所述：的度数为． 2．（23-24七年级上·广东江门·期末）如图，三角板的直角顶点在直线上． (1)如图1，点在直线的同侧，若，则的度数为_____________； (2)如图2，点在直线的同侧，若平分平分，求的度数； (3)如图3，绕点旋转三角板，使点在直线的异侧，当时，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题主要考查平角的意义，角平分线有关的计算：（1）根据平角的意义进行计算即可； （2）根据平分线的意义求出，再加上即可得到结论； （3）求得，又，结合，求出，再由平角的意义可得结论 【详解】（1）∵且 ∴；故答案为：； （2）∵是的平分线，是的平分线， ∴∴ ∵∴ ∴ ∴； （3）∵∴ 又，且，∴ ∴，∴ 旋转中的角度定值问题 1．（23-24七年级上·湖北十堰·期末）已知 与互补，将绕点O逆时针旋转．    (1)若①如图1，当时， ； ②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数； (2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由． 【答案】(1)①150；②，或，(2)不改变，其度数为 【分析】（1）①先根据求出，再根据计算即可；②设，分两种情况：(Ⅰ) 在内部，(Ⅱ) 在内部，分别讨论即可；（2）设，求出所有情况后判断即可． 【详解】（1）①∵，∴， ∵，，∴，故答案为150； ②(Ⅰ)当在内部时（如图1），设，则， ， 由得，，解得， ∴， ∴；       (Ⅱ) 当在内部时（如图2）， 设，则， 由得，，解得， ，， ∴； （2）不改变，其度数为．设，由条件知，分四种情况： ⅰ)当在内部时（如图3），  ， ，， ∴； ⅱ) 当在内部时（如图4），  ， ，∴； ⅲ)当在内部时（如图5），  ， ，∴； ⅳ)当在外部时（如图6），  ； 综上所述，在旋转过程中，的度数不改变，其度数为． 【点睛】本题考查了角的和差，关键是运用角的和差正确表示所需要的角． 2．（23-24七年级上·广东东莞·期末）如图1，一直角三角尺的直角顶点O在直线上，一边在射线上，另一边在直线的上方，将直角三角尺在平面内绕点O顺时针旋转，且平分，平分，如图2． (1)如图2，当时，①则______°．②求的度数， (2)如图2，在直角三角尺旋转过程中，的度数是否发生变化，请通过计算说明理由． 【答案】(1)①②(2)不发生变化，理由见详解 【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的定义，角的和差运算； （1）①由平角的定义得即可求解；②由角平分线的定义得，，由即可求解； （2）设，由平角的定义得，由角平分线的定义得，，由即可求解； 理解定义，能用已知角的和差表示所求角是解题的关键． 【详解】（1）解：①，故答案为：； ②平分，， ，， 平分，，； （2）解：设，， 平分，，， 平分， ，的度数没有发生变化． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 【答案】(1)(2)3或(3)当时，；当时， 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分．（1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可；（2）先求出的度数和t的最大值，从而可知停止运动时，在的右侧，因此，分在左侧和右侧两种情况，再根据列出等式求解即可；（3）因本题中的角均为大于且小于的角，则需分与在一条直线上、与在一条直线上、与在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案． 【详解】（1）解：平分， ，故答案为：； （2） 由题意知，当转到时，两条射线均停止运动 此时（秒）则停止转动时， 即从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧 因此，分以下2种情况： ①当在左侧时， 则由得，解得 ②当在右侧时， 则由得，解得 综上，t的值为3或7.5； （3）射线从开始转动至结束时，转动时间为（秒） 由题意，分与在一条直线上（）、与在一条直线上（）、与在一条直线上（）三个临界位置 ①当时，如图1所示 此时， 则为定值 ②当时，如图2所示 此时， 则不为定值 ③当时，如图3所示 此时， 则为定值 ④当时，如图4所示 此时， 则不为定值 综上，当或时，为定值． 旋转中的角度探究类问题 1．（23-24七年级上·江西萍乡·期末）刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可；（3）分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线，，； （2）解：，， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线，，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ，，， 综上，度数为 或． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），，，，保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（如图2），旋转时间为t（）秒．      计算  当平分时，求t的值； 判断  判断与的数量关系，并说明理由； 操作  若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板停止时，三角板也停止，直接写出在旋转过程中，与的数量关系． 【答案】计算：；判断：当时，，当时，；操作： 【分析】本题主要考查角度的和差关系和角平分线性质，计算：根据角平分线性质得，结合旋转速度即可求的时间；判断：分两种情况和，分别求得和即可找得到关系；操作：由题意知和，即可得，进一步可求得和，即可发现其关系． 【详解】解：计算∵，平分，∴， ∵三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，∴．∴t的值为2.25． 判断 当时，如图1，据题意，得，∴， ∵，∴，∴， 当时，如图2，据题意，得，∴， ∵，∴，∴； 操作 ∵，，∴， ∴， ∵，∴，则． 3．（2024七年级上·广东·专题练习）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数．(2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）．(3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转．①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 【答案】(1)(2)(3)①．理由见解析；②， 【分析】本题主要考查角的运算、角平分线的定义，解题关键是正确运用相关定义，利用角的和差倍分关系进行计算．（1）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则．（2）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则．（3）①当旋转至题图2的位置时，设，同理可得，则，即，由，，两式相减即可得到结果； ②在图1中，反向延长得到射线  ，由对顶角和角平分线的性质易得，于是，由（2）可知，进而，即；在图1中，由角平分线的性质和平角的定义易得，即，由知，于是，将代入上式，化简即可得到结果． 【详解】（1）解：，， 平分，， 是直角，即，； （2）解：，， 平分，， 是直角，即，，故答案为：； （3）解：①．理由如下： 当旋转至题图2的位置时，设，则， 平分，， ，，即， ，， ，； ②在图1中，．理由如下： 由已知，过点O的一条射线，使得恰好平分，反向延长得到射线，如图， 则平分，，又，， ，由（2）知，若，则， ，，即； 在图2中，．理由如下： 平分，，又， ，即，由①知，， ，，， 将代入，得，整理得． 旋转中的分类讨论问题 1．（23-24七年级上·辽宁营口·期末）数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由； (2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度； (3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见详解(2)9或6或12(3)或或，理由见详解 【分析】本题主要考查再新定义下线段的数量关系和角度之间的关系，以及一元一次方程的应用， 根据线段中的关系和“幸福点”的定义即可求得；分情况讨论点C的位置，结合“幸福点”定义找到对应关系计算即可；计算射线和射线移动过程中所形成的角，分情况讨论构成角的“幸福线”所在位置，找到对应关系计算即可； 【详解】（1）解：是，理由如下：∵点C为线段的中点，∴，∴， 则线段的中点是这条线段的“幸福点”； （2）∵点C为线段的“幸福点”，，∴，或，或； 当，则；当，则，解得； 当，则，解得，那么； 综上所述，线段的长度9或6或12； （3）根据题意得，，则，， 当重合时，，解得，∴射线与射线运动时间为， ∵射线是以射线、为边构成角的“幸福线”， ∴，或，或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t为或或时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”． 2．（23-24七年级上·山东临沂·期末）将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分．(1)如图，若，求的度数；(2)若，求的度数； (3)将直角三角板绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中，当时，求的度数．    【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）根据平角的定义即可得出的度数；（2）设，则，，根据角平分线的定义可得，根据列方程求出x的值，进而可得的度数；（3）分两种情况讨论：①在直线上方，②在直线下方．根据平角的定义可得，再根据角的和差即可求出的度数．本题主要考查了平角的定义，角平分线的概念及角的和差，正确理解题意，注意利用分类讨论是解题的关键． 【详解】（1），， ，． （2）设，则，， ∵平分，， ，，解得， ． （3）①如图，  在直线上方，． ∵平分，． ，． ②如图，  在直线下方，． ∵平分，． ，． 综上，的度数为或． 1．（2024·江苏·七年级校考期中）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（　 ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况进行讨论：当转动较小角度的平分时，；当转动较大角度的平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值． 【解析】解：分两种情况：①如图平分时，，即，解得； ②如图平分时，，即，解得． 综上所述，当平分时，的值为2.5或32.5．故选：． 【点睛】本题考查角的动态问题，理解题意并分析每个运动状态是解题的关键． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线分别平分、，当时， ． 【答案】/12度 【分析】分两种情况讨论：当点E在直线上方时，当点E在直线下方时，用含x的式子分别表示出和，再由，建立关于x的方程，即可求解． 【详解】解：设，当点E在直线上方时，则， ∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，解得：，即； 当点E在直线下方时，则， ∵平分，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，解得：，此时， ∴此情况不存在，舍去；故答案为： 【点睛】本题考查了角的计算，画出图形，分类讨论思想和方程思想是解决问题的关键． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则x与y之间的数量关系为 ． 【答案】或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】解：设运动的时间为秒，∵于点，∴， ∴，∴. 当与成一条直线时，则，∴. (秒)， (秒)，∴秒时停止运动. 当时，，∴，∴； 当时，，，∴. 综上所述，与之间的数量关系为或， 故答案为：或． 4．（23-24七年级上·河北唐山·期中）如图，已知，当绕着点旋转且在内部时， ． 【答案】/150度 【分析】本题主要考查了平面图形中角的计算，设，求出，，是解题的关键． 【详解】解：设，∵， ∴，， ∴．故答案为：． 5．（23-24七年级下·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么；②是定值 ③若变小，则变大；④ 【答案】①②③④ 【分析】由题意得到，，进行整理即可分别进行判断． 【详解】解：，， ，， ， 即，即， 当，则，故①正确； ，，故②正确； ，若变小，则变大，故③正确； ， ，，故④正确； 综上所述，故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了角的有关计算；解题的关键是结合图形对角进行正确拆分、组合． 6．（23-24七年级下·浙江金华·期末）定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意将本题分成两种情况讨论①，②，根据两种情况分别讨论并计算即可． 【详解】解：∵，，是的两条三分线， ∴， ①当，如图， 如原图所示：，所以； ②当时，如图，则， 所以，．故答案为：或． 【点睛】本题考查角的运算，旋转的性质，能够熟练掌握分类讨论思想是解决本题的关键． 7．（23-24七年级上·天津和平·期末）已知，射线在内部，作的平分线和的平分线．(1)如图①，当时，求的度数：(2)在图①中，当射线在内绕点O旋转，的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，求的度数： (3)当射线绕点O旋转到外部，且、都在直线的右侧时，请在图②中画出的平分线和的平分线，并猜想的大小是否发生变化？如果不变，直接写出的度数．如果变化，请说明理由． 【答案】(1)；(2)的度数不变，为；(3)的度数不变，为． 【分析】（1）根据角平分线的定义，分别平分和，则可求得 的值，；（2）结合角的特点，根据，求得结果进行判断和计算；（3）正确作出图形，根据的大小作出判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵分别平分和，∴， ∴； （2）解：的度数不变，为，理由如下： 由题意可得：； （3）解：的度数不变，为，理由如下：如下图： ∵分别平分和， ∴，故的度数不变，为． 【点睛】本题考查了角的计算，掌握角的特点与角平分线的定义是关键． 8．（2024七年级上·重庆·专题练习）已知射线在的内部，射线平分，射线平分．(1)如图①，，则_________； (2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了几何图形中角度计算，角平分线的意义，掌握角度的计算是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，根据即可求解；（2）同理（1）即可求得． 【详解】（1）解： 平分，平分， ， ，， ，； （2）解：同理（1）得：， ，． 9．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）如图1，已知，的余角比它的补角的少20°． (1)求的度数；(2)如图1，当射线从处绕点以5度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射线始终在的内部，当时，求旋转时间．(3)如图2，若射线为的平分线，当射线从处绕点以5度/秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线处以度/秒的速度绕点顺时针旋转，当这两条射线重合于射线处（在的内部）时，，求的值．（注：本题中所涉及的角都是小于的角） 【答案】(1)(2)4秒或12秒(3) 【分析】（1）根据余角和补角的定义列出关于的方程，解方程即可得出答案； （2）设旋转时间为秒，分到达前，到达后，分别列出关于t的方程解方程即可得出答案； （3）先根据角平分线的定义求出，得出，设相遇时，旋转的时间为秒，用t表示出，，根据，得出，根据，列出关于t的方程，求出t的值，再求出x即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，，解得：； （2）解：设旋转时间为秒，根据射线的运动可知，， 当到达前，，∴，解得； 当到达后，，∴，解得； 答：当时，旋转时间为4秒或12秒； （3）解：∵，平分，∴， ∴， 设相遇时，旋转的时间为秒，根据射线的运动可知，， ， ∴，∴，即， ∵，∴，即， 整理得，解得：，∴，解得：． 【点睛】本题主要考查了余角、补角的有关计算，一元一次方程的应用，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，根据角度关系列出方程，解方程，并注意分类讨论． 1．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，已知，将绕点旋转，使射线的夹角为，平分，，，则的度数为 （用含的代数式表示）．    【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算，分两种情况：当在外部时，当在内部时，分别计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当在外部时，由题意可得：，   ，   ， ，， 平分，， ； 如图，当在内部时，由题意可得：， ，， 平分，， ； 综上所述：的度数为或，故答案为：或． 2．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）知识准备：如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题：如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    【答案】（1）18厘米/分钟；（2）7厘米/分钟 【分析】（1）根据题意可求出点P的运动时间，由点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，即得出点Q的运动时间与点P的运动时间相等，再求出点Q运动的距离，最后由速度=路程÷时间求解即可； （2）求出点P的运动时间，即得出点O的运动时间和点Q的运动时间，从而可求出点O的运动距离，再求出点Q的运动距离，最后根据速度=路程÷时间求解即可． 【详解】解：（1）∵，点P旋转的速度为45度/分钟， ∴点P的运动时间为：分钟．∵点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为2分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟； （2）当点P第二次运动到直线上时，点P绕点O顺时针旋转了， ∴此时点P的运动时间为：分钟． ∵点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，∴点O的路程为厘米． ∵点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为6分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟． 【点睛】本题考查线段上的动点问题，解题关键在于数形结合思想的运用和掌握速度=路程÷时间． 3．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，射线上有一点，一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． (1)当第一次转至与垂直时， ；（用含的代数式表示） (2)当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求的值； (3)如图2，当射线绕点旋转到时，点到达射线上的点处． 此时，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度一同旋转，旋转一周停止运动，再经过 秒，与所在直线垂直． 【答案】(1)(2)或4(3)或或 【分析】（1）由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为，时间为3秒，则； （2）由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为6秒，当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点，①当为中点，，即，计算求解即可；②当为中点，，即，计算求解即可；当绕点顺时针旋转时，时间为秒，为中点，，即，计算求解即可； （3）由题意知，分三种情况求解：情况一：如图1，则，，，，由与所在直线垂直，可得，即，计算求解即可；情况二：如图2，同理可得，即，计算求解即可；情况三：如图3，同理可得，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为， ∴时间为（秒），∴，故答案为：； （2）解：由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点， ①当为中点，，即，解得； ②当为中点，，即，解得，； 当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 为中点，，即，解得 综上，的值为1或4； （3）解：由题意知，分三种情况求解：情况一：如图1， ∴，，∴，， ∵与所在直线垂直，∴，即，解得，； 情况二：如图2，∴，，∴， ∵与所在直线垂直，∴，即，解得，； 情况三：如图3， ∴，，∴，， ∵与所在直线垂直，∴，即， 解得，，解得，； 综上所述，再经过或或秒，与所在直线垂直，故答案为：或或． 【点睛】本题考查了旋转，与线段中点有关的计算，角度计算，互余，一元一次方程的应用．熟练掌握旋转，与线段中点有关的计算，角度计算，互余，一元一次方程的应用是解题的关键． 4．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图1，射线上有A、B两点，，．一动点P从点O出发，以每秒4个单位的速度沿射线的方向运动，当点P到达点A时，射线开始绕点A按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时点P降速一半沿射线的方向运动（如图2），当点P到达点B时，射线旋转停止，接着，射线开始绕点B按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时点P再降速一半沿射线的方向运动（如图3），设点P运动的时间为t秒． (1)的长等于________；当点P到达点B时，等于________； (2)当射线与所在直线第一次重合（不包括图2的情形）时，点P是线段的中点吗？为什么？ (3)在射线旋转的过程中，若它与所在直线第二次重合时所有运动停止，则t为多少秒时，所在直线与所在直线垂直？ 【答案】(1)24，；(2)点P是线段的中点，理由见解析；(3)25秒或37秒． 【分析】（1）利用，即可得解；用的长度除以点的运动速度，求出时间，求出射线旋转的度数，进而求出的度数即可；（2）求出射线与所在直线第一次重合时，所用的时间，利用点的运动速度乘以时间，求出的长，利用求出的长，比较的大小关系，即可得出结论；（3）分射线旋转和旋转两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，∴，∴， 由题意，得：点从点移动到点所需时间为：秒， ∴射线旋转的度数为：，∴；故答案为：； （2）点P是线段的中点．理由如下： 当射线旋转时，射线与所在直线第一次重合时，如图1， ∴射线旋转时间为：秒，∴．∴．∴． ∴当射线与所在直线第一次重合时，点P是线段的中点． （3）点P从点O运动到点B所需时间：秒 如图，当旋转到或的位置时，， ①当旋转到的位置时 由（1）知， ∴，此时，旋转的度数为：， ∴旋转的时间为：秒，∴秒； ②当从的位置，再旋转到达时，第二次与垂直，此时旋转的总度数为：，∴旋转的时间为：秒，∴秒； 综上：t为25秒或37秒时，所在直线与所在直线垂直． 【点睛】本题考查线段的计算，角度的计算．正确的理解题意，画出图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 5．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）数学综合实践课上，小明用一块直角三角板进行探究：将三角板的直角顶点O放在直线上，将边落在射线上，边位于直线上方，三角板 绕点O顺时针旋转，旋转角为a，作直线平分交所在直线于点E． (1)提出问题：如图1，若旋转角，求的度数； (2)探索发现：如图2，若旋转角时，求的值； (3)拓展探究：继续旋转三角板，若旋转角时，此时与还存在（2）中的结论吗？若存在，说明理由；如不存在，直接写出与之间的关系． 【答案】(1)(2)(3)不存在， 【分析】（1）当旋转角时，则，，，根据角平分线定义得，由此可得的度数； （2）当旋转角时，则，，根据角平分线定义得，则，由此可得的值； （3）当旋转角时，则，，根据角平分线定义得，，由此可得与之间的关系． 此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 【详解】（1）解：当旋转角时，则， ，，， 平分，，； （2）解：当旋转角时，则，， 平分，， ，，； （3）解：不存在，与之间的关系是：，理由如下： 当旋转角时，则，， 平分，， ，， 即，，． 6．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）钟面上的数学 基本概念：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，通常 [简单认识]时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知：（1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °： [初步研究]（2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻： ①当时， ；②当时， ； （3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角 ． [深入思考]（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）． ①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻是 ； ②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻． 【答案】（1）；6；（2）答案不唯一；②答不唯一案；（3）；（4）①2点分；2点分；②2点6分和2点分，2点分 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，钟面角．（1）根据1小时分解答即可；（2）钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，找到时针和分针相隔3个数字的时刻和相隔6个数字的时刻即可； （3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4，根据时针和分针的速度即可求解；（4）①设此时对应的时刻是2点x分，根据时针和分针转动的角度相同即可求解；②令时针所在直线为，分针所在直线为，分两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为． ∴时针每分钟转动，分针每分钟转动，故答案为：；6； （2）①某个时刻的钟面角α为，可为或，②某个时刻的钟面角α为，可为， 故答案为：①或；②； （3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4，则时针转动的角度是，分针转动的角度是， 此时钟面角， ∵，∴，故答案为：； （4）①时针恰好与分针重叠：设此时对应的时刻是2点x分，根据题意得， ，解得，，∴这一时刻是2点分，故答案为：2点分； 时针恰好与分针垂直：设此时对应的时刻是2点y分，则有： 或，解得：或， ∵时为3点整，不合题意，舍去，∴此时对应的时刻是2点分； ②令时针所在直线为，分针所在直线为，设此时对应的时刻是2点m分，为和角平分线时：，解得：； 为和角平分线时：，解得：； 为时针，为分针，平分时：，， ∵平分，∴，∴，解得：， 答：当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，此时对应的时刻在2点6分和2点分，2点分． 7．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知：是直线上的一点，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，请探究和之间的数量关系．（直接写出结果） 【答案】(1)(2)(3)时，；时， 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键． （1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分两总情况：①时，时，分别计算可求解． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵是直角，∴，∴， ∵平分，∴，∴； （2）解：∵平分平分，∴， ∴，∵，∴； （3）解：①时，由题意得， ∴，∴； ②时，由题意得，∴，∴． 综上，时，时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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