精品解析：湖北省宜昌市第十六中学教联体2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年湖北省宜昌十六中教联体九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有实数根，则k的取值范围是（ ） A. k≤1且k≠0 B. k≤1 C. k≥1 D. K<1且k≠0 4. 二次函数与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 设是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，所得图象的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是四边形的外接圆，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC = 6，BD =5，则△AED的周长是（ ） A. 17 B. 16 C. 13 D. 11 9. 如图，为的直径，弦，垂足为M．若，，则的半径为（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 20 10. 已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，计15分） 11. 已知是方程的一个解，则的值是 _____． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ___________． 13. 如图，中，将绕点A顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数为 _________． 14. 已知，是抛物线上两点，则，的大小关系为__________． 15. 如图，点A、B、P在上，，若M是上的动点，则等腰顶角的度数为____ 三、解答题（本大题共9小题，计75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，. （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标； （2）将（1）中所得先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，画出，并写出点的坐标； （3）若可以看作绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标. 18. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求k的取值范围； （2）若，满足，求实数k的值． 19. 已知：抛物线的顶点是，与x轴相交于点A、点B，且点A的坐标是． （1）求上述二次函数的解析式； （2）点C、D在抛物线上，且纵坐标都是3，点C在点D左侧，直接写出这两点的坐标； （3）在如图所示的直角坐标系中描出A，B，C，D，P五个点，并画出此抛物线； （4）观察图象，写出当时，y的取值范围． 20. 如图，是的直径，是弦，，于点E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，儿童公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图是其示意图．开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，；若喷水口上升到处，水线落地点为，． （1）求水线最高点与点之间的水平距离； （2）当喷水口在处时， 求水线的最大高度； 身高的小安要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 22. 5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园： 第x天的单价、销售量与x的关系如表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 ______ 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园： 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： （1）A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）； （2）求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润＝单价×销售量﹣固定成本） （3）①与x的函数关系式是_____； ②求第几天两樱桃园的利润之和为4000元； ③求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ 23. 如图1，在边长为8的正方形中，连接，点E在上，且，将点C绕点B逆时针旋转至F点，旋转角的度数为，连接，与相交于点G，连接，交于点H，当点C旋转到与点A重合时旋转停止． （1）如图2，当时， ①求证：； ②点H在线段的什么位置？请说明理由； （2）在旋转的过程中，是否存在为等腰三角形的情况？如果存在，请求出的长；如果不存在，请说明理由． 24. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为． （1）求该二次函数的解析式； （2）连接，当时，求的值； （3）设以为顶点的四边形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖北省宜昌十六中教联体九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 3. 若关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有实数根，则k的取值范围是（ ） A. k≤1且k≠0 B. k≤1 C. k≥1 D. K<1且k≠0 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程kx2+2x+1=0有实数根的条件是：①二次项系数不等于0；②根的判别式△=b2-4ac≥0． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有实数根， ∴△=22-4k≥0， ∴k≤1， ∵k≠0， ∴k的取值范围是：k≤1且k≠0， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 4. 二次函数与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由二次函数为，从而令，求出值，即可得与轴的交点坐标． 【详解】解：∵二次函数为， ∴令， 则． ∴二次函数与轴的交点坐标为． 故答案为：C． 5. 设是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，掌握是一元二次方程的两根时， ， ，是解题的关键．先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故选：A． 6. 将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，所得图象的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用“上加下减，左加右减”的平移规律是关键．依据题意，由抛物线为，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线为， 又根据“上加下减，左加右减”的平移规律， ∴向右平移1个单位，再向上平移4个单位后可得，新抛物线为，即． 故选：B． 7. 如图，是四边形的外接圆，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同弧上圆心角与圆周角的关系，求得∠A=60°，利用圆的内接四边形对角互补求解即可. 【详解】∵∠BOD=120°， ∴∠A=60°， ∵∠A+∠C=180°， ∴∠C=120°， 故选B. 【点睛】本题考查了圆心角和圆周角关系定理，圆内接四边形的性质，熟记两个定理是解题的关键. 8. 如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC = 6，BD =5，则△AED的周长是（ ） A. 17 B. 16 C. 13 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得BD＝BE，∠DBE＝60°，CD＝AE，可证△DBE是等边三角形，可得BD＝DE＝5，即可求解． 【详解】∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE， ∴BD＝BE，∠DBE＝60°，CD＝AE， ∴△DBE是等边三角形， ∴BD＝DE＝5， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC＝6， ∴AE+AD＝AC＝6， ∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE＝6+5＝11， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 9. 如图，为的直径，弦，垂足为M．若，，则的半径为（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 连接，先设，则，得，再由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：，或（舍去）， ∴． 即的半径为10， 故选：C． 10. 已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可 【详解】∵抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值． ∴c=1＞0，a-b+c= -1,4a-2b+c＞1， ∴a-b= -2,2a-b＞0， ∴2a-a-2＞0， ∴a＞2＞0， ∴b=a+2＞0， ∴abc＞0， ∵, ∴△==＞0, ∴有两个不等的实数根； ∵b=a+2，a＞2，c=1， ∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3， ∵a＞2， ∴2a＞4， ∴2a+3＞4+3＞7， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，计15分） 11. 已知是方程的一个解，则的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，从而得到的值． 【详解】解：是方程的一个解， ， ． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 13. 如图，中，将绕点A顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转得，，，则可得，再根据可得答案． 【详解】解：由旋转得，，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 已知，是抛物线上两点，则，的大小关系为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，依据题意，由抛物线为，可得抛物线对称轴是直线，开口向上，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合，进而可得，即可得解． 【详解】解：由题意，抛物线为， 抛物线对称轴是直线，开口向上． 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ． 故答案为：． 15. 如图，点A、B、P在上，，若M是上的动点，则等腰顶角的度数为____ 【答案】、或 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．首先连接，分别从若点M在优弧上与若点M在劣弧上，根据圆周角定理与等腰三角形的性质，即可求得等腰顶角的度数． 【详解】解：如图，连接， ①若点M在优弧上， ， 若，则等腰顶角的度数为； 若或，则等腰顶角的度数为：； ②若点M在劣弧上，则， 此时是顶角． ∴等腰顶角的度数为：、或． 故答案为：、或． 三、解答题（本大题共9小题，计75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． （1）直接利用因式分解法求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 或， ，； 【小问2详解】 解： 或， ， ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，. （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标； （2）将（1）中所得先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，画出，并写出点的坐标； （3）若可以看作绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标. 【答案】（1）图如下：； （2）图如下：. （3）. 【解析】 【分析】（1）分别将OA、OB、OC绕O点逆时针旋转90°，得到A1、B1、C1,然后连接，最后直接读出C1坐标即可. （2）分别将A1、B1、C1向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到A2、B2、C2, ,然后连接，最后直接读出C2坐标即可. （3）连接A A2, B B2然后分别作它们的垂直平分线，垂直平分线的交点即为旋转中心，写出坐标即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图：点E为旋转中心，坐标为. . 【点睛】本题主要考查了旋转变换，寻找旋转后的对应点和确定旋转中心是解答本题的难点. 18. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求k的取值范围； （2）若，满足，求实数k的值． 【答案】（1） （2）k＝1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据方程有实数根得出，解之可得． （2）利用根与系数的关系可用k表示出和的值，根据条件可得到关于k的方程，解方程即得答案． 【小问1详解】 解：由得，， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， 解得：，， ， ． 19. 已知：抛物线的顶点是，与x轴相交于点A、点B，且点A的坐标是． （1）求上述二次函数的解析式； （2）点C、D在抛物线上，且纵坐标都是3，点C在点D左侧，直接写出这两点的坐标； （3）在如图所示的直角坐标系中描出A，B，C，D，P五个点，并画出此抛物线； （4）观察图象，写出当时，y的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）如图， （4）． 【解析】 【分析】（1）设顶点式为，然后把点坐标代入求出的值，从而得到得到抛物线解析式； （2）解方程得到、点坐标； （3）先解方程得到点坐标，然后描点得到抛物线； （4）先确定和对应的函数值，再根据二次函数的性质得到时有最大值，然后确定当时的取值范围． 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式和二次函数的性质． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ，； 【小问3详解】 解：依题意，当时，， 解得，， ， 【小问4详解】 解：依题意，当时，； 当时，， 当时，有最大值4， 当时，的取值范围为． 20. 如图，是的直径，是弦，，于点E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理以及平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． （1）连接，，证明即可； （2）在中求，设，则，在中求x即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 21. 如图，儿童公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图是其示意图．开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，；若喷水口上升到处，水线落地点为，． （1）求水线最高点与点之间的水平距离； （2）当喷水口在处时， 求水线的最大高度； 身高的小安要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 【答案】（1）； （2）水线的最大高度为； 为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足，理由如下： 当时，， ∴，， ∴为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足． 【解析】 【分析】（）以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，易得喷水口在处的抛物线经过点和，那么可得抛物线的对称轴，结合点的坐标可得水线最高点与点之间的水平距离； （）根据抛物线上下平移，对称轴不变以及经过点和点求得当喷水口在处时的水线所在的抛物线的解析式，水线的最大高度即为对称轴与抛物线交点的纵坐标到轴的距离； 取，代入得到的抛物线解析式，求得对应的的值，即可判断出为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足的条件； 本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，解一元二次方程，建立平面直角坐标系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ∵， ∴点坐标为和，点坐标为， ∴所得抛物线的对称轴为：直线， ∵， ∴点的坐标为， ∴水线最高点与点之间的水平距离为； 【小问2详解】 解：设喷水口在处时，喷出的抛物线形水线的解析式为， ∵经过点，，对称轴与过点的抛物线的对称轴相同， ∴， 解得， ∴， ∴顶点坐标为，故水线的最大高度为； 答：水线的最大高度为； 略． 22. 5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园： 第x天的单价、销售量与x的关系如表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 ______ 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园： 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： （1）A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）； （2）求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润＝单价×销售量﹣固定成本） （3）①与x的函数关系式是_____； ②求第几天两樱桃园的利润之和为4000元； ③求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）①②第6天或第10天两樱桃园的利润之和为4000元③第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元 【解析】 【分析】本题综合考查了一次函数的应用、二次函数的应用、不等式等相关的知识点，实际问题中运用函数关系正确表示利润是解答的关键． （1）设第x天的单价m元与x满足的一次函数关系式为：，由题中表格可知：当时，；当时，；解方程组即可得到结论； （2）根据题意得到，于是得到A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式为； （3）①由图象可知：二次函数的图象经过点、，解方程组得到； ②根据题意方程，列方程即可得到结论； ③根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 设第x天的单价m元与x满足的一次函数关系式为：， 由题中表格可知：当 时，；当时，； ∴， 解得， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意可得：， 化简整理得：， ∴A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式为； 【小问3详解】 ①由图象可知：二次函数的图象经过点、， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； ②根据题意得， 解得，， 答：第6天或第10天两樱桃园的利润之和为4000元； ③， ∵， ∴当时，有最大值4800， ∴第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元； 23. 如图1，在边长为8的正方形中，连接，点E在上，且，将点C绕点B逆时针旋转至F点，旋转角的度数为，连接，与相交于点G，连接，交于点H，当点C旋转到与点A重合时旋转停止． （1）如图2，当时， ①求证：； ②点H在线段的什么位置？请说明理由； （2）在旋转的过程中，是否存在为等腰三角形的情况？如果存在，请求出的长；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） ①证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵，即， ∴为等边三角形， ∵点为的中点， ∴． ②在线段的中点位置，理由如下： 由（1）①知， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 如图，过点作于点， 则， ∴四边形是矩形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在线段的中点位置． （2）存在，的长为或 【解析】 【分析】（1）①证明为等边三角形，再根据点为的中点即可得证； ②先求出，，过点作于点，证明四边形是矩形，再证明，由此即可得； （2）分三种情况：①当时，可得，这与相矛盾，则此种情况不存在；②当时，过点作于点，在中，由勾股定理求出的长，再在中，由勾股定理求出的长；③当时，过点作于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，再在中，由勾股定理求出的长，利用三角形的面积公式可得的长，进而在中，由勾股定理求出的长，即可求出的长，再在中,利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 ①略； ②略； 【小问2详解】 解：存在，求解过程如下： 由为等腰三角形分以下三种情况： ①当时， ∵，， ∴，这与相矛盾，则此种情况不存在； ②当时，如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴在中，； ③当时，如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 综上，存在为等腰三角形的情况，此时的长为或2． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，注重分类讨论的思想是解题关键． 24. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为． （1）求该二次函数的解析式； （2）连接，当时，求的值； （3）设以为顶点的四边形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①S关于t的函数解析式为；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即，，过点P作于点E，利用解答即可； ②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．如图所示： ∴点P的纵坐标为4， ∴， ∴或， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①令，则， ∴或， ∴， ∴． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作于点D，如图， 则，， ∴， ∴ ， 当点P在的下方时， 即，， 过点P作于点E，如图， 则， ∴ ． 综上，S关于t的函数解析式为； ②当时， ， ∵， ∴当时，S有最大值为16， ∴． 当时，， ∴． 画出函数的大致图象，如图： 由图象可知：当时，存在2个符合条件的点P． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $