重难点01 相交线与平行线热考模型（10种模型汇总+专题训练+10种模型解析）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

重难点01 相交线与平行线热考模型 （10种题型汇总+专题训练+10种模型解析） 【题型汇总】 题型01 三线八角的识别 已知 图示 结论（性质） 直线AB、CD被直线EF所截，且AB与CD不平行 1）同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8； 2）内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8； 3）同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5； 4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8. 直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD 1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8； 2）内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8； 3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°； 4）对顶角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8. 解题方法：运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线的性质及其他有关角的性质、定义进行计算. 1．（2024七年级上·全国·专题练习）分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角． 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在用数字表示的角中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？ 题型02 猪蹄模型 猪蹄模型 猪蹄模型-进阶（又称“锯齿”模型） 条件 AB∥DE a∥b 图示 结论 ∠B+∠E=∠BCE ∠B+∠CMN+∠E=∠BCM+∠MNE 左拐角之和=右拐角之和 辅助线作法：过拐点作平行线，有多少拐点就作多少平行线. 【补充】选、填题结论直接套用，解答题需写过程. 3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线，直线和直线、分别交于点和点，为直线上一点，、分别是直线、上的定点．设，，． (1)若点在线段（、两点除外）上）运动时，问、、之间的关系是什么？说明理由． (2)在的前提下，若点在线段之外时，、、之间的关系又怎样？ 5．（2024七年级上·全国·专题练习）综合与探究： 已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，与的平分线交于点，猜想与之间有何数量关系？并说明理由． (3)如图3，与的平分线交于点，猜想与之间有何数量关系？并说明理由． 6．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 题型03 铅笔头模型 铅笔头模型 铅笔头模型-进阶 条件 AB∥DE AB∥DE a∥b 图示 结论 ∠B+∠BCE+∠E=360° ∠B+∠BMN+∠MNE+∠E=540° [类推] 7．（20-21七年级下·广东东莞·期中）（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    8．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 10．（23-24七年级下·山西运城·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 题型04 大脚模型 类型 大脚模型 骨折模型 已知 AB∥CD 图示 结论 ∠E=∠1-∠3 即：脚尖度数=大角-小角 ∠E=∠3-∠1 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知． (1)，求的度数； (2)猜想三者之间的关系并加以说明． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，，，，请判断与的位置关系，并说明理由． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 14．（23-24七年级下·广东韶关·期中）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点A作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中． ①若，，则的度数为______； ②若，，求的度数． （3）如图3，若，点P在、外部，请直接写出、、之间的关系． 15．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）【感知探究】 如图①，已知，点M在上，点N在上，求证： 【类比迁移】 如图②，的数量关系为（不需要证明） 【结论应用】 如图③，已知，，则 【拓展延申】 如图④，已知，分别平分和，探究之间的关系，并说明理由 题型05 蛇形模型 条件 AB∥CD 图示 结论 ∠BCD+∠D-∠B=180° ∠BCD+∠B-∠D=180° 16．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 17．（23-24七年级下·辽宁营口·阶段练习）如图， ，点在直线，之间，连接，．    (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数； 18．（22-23六年级下·山东烟台·期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．    解：过点作，所以　　，　　， 又因为， 所以．    解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图1，已知，求的度数； (3)深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，请直接写出的度数； ②如图3，请判断、、之间的数量关系，并说明理由．    19．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图，已知，，求的度数； (2)如图，判断、、之间的数量关系为 ． (3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 题型06 平行平分三等角 解题大招：平行平分得三等角. 20．（24-25七年级上·全国·期末）如图，，直线分别与直线交于点E，F，点G在上，平分．若，求的度数．    21．（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，是的角平分线，，，求的度数． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，三角形的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，求的度数． 题型07 平行线折叠问题 记住三句话: ①折叠前后对应角，对应边相等. ②折叠不改变原先的平行关系. ③以折线为对称轴. 23．（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，在长方形中，，，，，将长方形沿着直线折叠，使点C落在处，交于点E，求的度数． 24．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 25．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 26．（23-24七年级下·福建三明·期中）综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 (1)知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 27．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处． (1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论； (2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论． (3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 题型08 三角板拼接模型 常见的三角板与三角板（平行）拼接模型： 类型 两条斜边平行 斜边于直角边平行 两条直角边平行 图示 顶点在斜边上 顶点在直角边上 顶点在边上 顶点重合 【提示】根据平行线的性质及三角形内角和进行角度计算，计算线段长时会用到特殊角的三角函数值. 28．（23-24七年级下·山东临沂·期中）在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》．已知：，，，．                            (1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，张明将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点B在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线上，顶点C在直线上，若，请直接写出与之间的关系式． 29．（23-24七年级下·四川乐山·期末）将一副三角板按如图放置，其中点在同一直线上，，，． (1)若相交于点，求的度数； (2)将图中的绕点以每秒的速度顺时针旋转得，设运动时间为秒．当为何值时，与第一次平行； (3)绕点以每秒的速度顺时针旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转得，旋转过程中若射线、、中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分，设运动时间为秒，请求出满足条件的值． 30．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，友情提示：，，． (1)①若，则的度数为________． ②若，则的度数为________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)若且点在直线的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）． 31．（2025七年级下·江苏扬州·专题练习）在七年级的“平行线的性质与判定”的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中．请同学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题： 【初步感知】 （1）如图2，将上述三角板的直角顶点重合在一起．当时，_________． （2）如图3，当CA平分时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由． 【深度探究】 （3）将上述三角板按图4所示的方式摆放，点A，B在直线GH上，点D，F在直线MN上，直线，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为，且，则是否存在t的值，使边BC与另一块三角板DEF的一条边平行？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）将上述三角板按图5所示的方式摆放，点C与点D重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转，使点F在直线BC上方，当两块三角板的两条边互相平行时，若度数的最大值为m，最小值为n，则_________． 32．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 题型09 直尺与三角板拼接模型综合 类型一 直尺与30°角的三角板拼接 图示 解题方法 利用三线八角求解 结论 ∠1+∠2=90° ∠1=∠2 ∠1+∠2=90° 类型二 直尺与45°角的三角板拼接 图示 解题方法 遇拐点作平行线 三线八角+三角板特殊角求解 三角板特殊角求解 结论 ∠1+∠2=90° ∠1=∠2=75° ∠1=105° 【提示】直尺本身含平行线，根据平行线性质及三角形的内角和进行角度计算. 33．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点E、F、的角平分线交于点D，H为线段上一动点（不与A、B重合），连接交于点． (1)当时，求． (2)在线段上任意移动时，求，，之间的关系． (3)在（1）的条件下，将绕着点以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 34．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，请直接写出________°，________°（结果用含的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，若恰好是的倍，求的值． 35．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角板如图1所示摆放，直线．    (1)如图2，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，三角板不动，设旋转时间为秒，当第一次旋转到时，的值是多少？ (2)若三角板不动，而三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，求当第一次旋转到时，的值是多少？ (3)若三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，若边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 36．（22-23八年级下·河南郑州·开学考试）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作， ∵， ∴ 又∵， ∴． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能． 方法运用： 如图2，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如上方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，求的度数． 37．（23-24七年级下·湖北鄂州·期末）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)【特例初探】如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，请求的度数． (2)【技能提升】在（1）的条件下，若比的一半多，求n的值． (3)【综合运用】如图2，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 38．（23-24七年级下·重庆江北·期末）如图，直线，一副教学三角板中，，，，现按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上． (1)如图1，当平分时，求的值； (2)若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为t秒． ①在旋转过程中，如图2所示，当边，求的值． ②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当边时的值． 题型10 等积模型 条件：AB∥CD 图形： 结论：1)2) 39．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． (1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； (2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 40．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，对角线，交于点O，若的面积为8，求的面积．    41．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，P是长方形外一点，的面积为a．若的面积为b，则的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）    42．（23-24七年级上·福建福州·开学考试）如图，正方形和正方形并排放置，和相交于点，已知厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01 相交线与平行线热考模型 （10种题型汇总+专题训练+10种模型解析） 【题型汇总】 题型01 三线八角的识别 已知 图示 结论（性质） 直线AB、CD被直线EF所截，且AB与CD不平行 1）同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8； 2）内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8； 3）同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5； 4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8. 直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD 1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8； 2）内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8； 3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°； 4）对顶角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8. 解题方法：运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线的性质及其他有关角的性质、定义进行计算. 1．（2024七年级上·全国·专题练习）分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角． 【答案】图1中同位角有：与，与，与，与；内错角有：与，与；同旁内角有：与，与； 图2中同位角有：与，与；同旁内角有：与． 【分析】本题考查了同位角、内错角，同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． 根据两直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角是同位角，可得同位角；两个角在截线的两侧，被截两直线的中间的角是内错角，可得内错角；两个角在截线的同侧，被截两直线的中间的角是同旁内角，可得同旁内角． 【详解】解：如图1， 同位角有：与，与，与，与； 内错角有：与，与； 同旁内角有：与，与． 如图2， 同位角有：与，与； 同旁内角有：与． 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在用数字表示的角中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？ 【答案】同位角：和和；内错角：和和；同旁内角：和和和和． 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．依此即可得出答案． 【详解】解：同位角：和，和； 内错角：和，和； 同旁内角：和，和，和，和． 题型02 猪蹄模型 猪蹄模型 猪蹄模型-进阶（又称“锯齿”模型） 条件 AB∥DE a∥b 图示 结论 ∠B+∠E=∠BCE ∠B+∠CMN+∠E=∠BCM+∠MNE 左拐角之和=右拐角之和 辅助线作法：过拐点作平行线，有多少拐点就作多少平行线. 【补充】选、填题结论直接套用，解答题需写过程. 3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）过点作，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可知，，从而推出与的关系； （2）分别过点，，，作，，，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系； （3）分别过点，，，，，作，，，，，从而知道，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过点作， ，， ， ，， ； （2）同理（1）得：，理由如下： 分别过点，，，作，，， ，，， （3）同理（1）得：． 理由如下：分别过点，，，，，作，，，，， ， ， ，，，，，， ． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线，直线和直线、分别交于点和点，为直线上一点，、分别是直线、上的定点．设，，． (1)若点在线段（、两点除外）上）运动时，问、、之间的关系是什么？说明理由． (2)在的前提下，若点在线段之外时，、、之间的关系又怎样？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． （1）过点P作，根据可知，故可得出，，再由即可得出结论； （2）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段的延长线上与点P在线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，过点作， 因为， 所以， 所以，． 又因为， 所以； （2）解：①当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， 所以． 因为，所以， 所以， 所以； ②当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）综合与探究： 已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，与的平分线交于点，猜想与之间有何数量关系？并说明理由． (3)如图3，与的平分线交于点，猜想与之间有何数量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查平行线的性质和角的和差运算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，根据平行公理的推论、平行线的性质可得，，从而得到，代入数据计算即可； （2）由（1）中的结论得，，根据角平分线的定义得，，可得结论； （3）由（1）中的结论和邻补角的定义得与的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ，， ， 的度数为； （2）解：， 理由：由（1）可知：，， ，分别平分，， ，， ， ； （3）解：， 理由：由（1）可知：，， ，分别平分，， ，， ， ， ． 6．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)等于 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可． （3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过作． 由（1）①． ， ， ②， ①②得， 即， ， ， ． 答：、、三者之间的数量关系：． （3）证明：、分别平分和， ，， 由（1）结论得：， ， ． ， ， ， 由三角形内角和得： ． 答：等于． 题型03 铅笔头模型 铅笔头模型 铅笔头模型-进阶 条件 AB∥DE AB∥DE a∥b 图示 结论 ∠B+∠BCE+∠E=360° ∠B+∠BMN+∠MNE+∠E=540° [类推] 7．（20-21七年级下·广东东莞·期中）（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4） 【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到； （2）过点P作，由，得到，从而得到结论； （3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由：如图，过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即； 如图（4）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 8．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系． （1）过点E作直线，利用平行线的性质证明，，即可得到； （2）过点E作，利用平行线的性质证明，，即可证明，即； （3）由（1）可得，再证明，由（2）可知，，即可证明． 【详解】（1）解：过点E作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图所示，过点E作， ， ， ，， ， 即． （3）解：①，理由如下： 由（1）可得， 平分，平分， ，， ， 由（2）可知，， ． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 【答案】（1），，见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义； （1）直接由两直线平行，同旁内角互补可得图①答案；如图，过点作，证明，再利用平行线的性质可得图②的答案； （2）如图，过点作，证明，再结合（1）的结论可得答案； （3）过作．证明，可得．求解，再结合角平分线的定义可得答案． 【详解】解：（1）  ，理由如下： 理由：∵， ∴． 如图，过点作． ， ， ， ． （2）如图，过点作． ， ， ∴， 结合（1）的结论可得：， ∴； （3）如图，过作． ， ， ． ， ． 平分，平分， ， 10．（23-24七年级下·山西运城·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5），理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键． （1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断； （2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论； （3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断； （4）根据角平分线的定义得到，，再根据（1）中结论可作出判断； （5）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图①，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图③， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4）如图④，∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴， 由（1）得，， ∴， 故答案为：； （5），理由： 如图⑤，过C作，则， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴ 题型04 大脚模型 类型 大脚模型 骨折模型 已知 AB∥CD 图示 结论 ∠E=∠1-∠3 即：脚尖度数=大角-小角 ∠E=∠3-∠1 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知． (1)，求的度数； (2)猜想三者之间的关系并加以说明． 【答案】(1)30度 (2)，见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用； （1）由可得，由可得，再进一步解答即可； （2）由（1）可得，即，再整理即可． 【详解】（1）解： ， ． ， ． ， ， ． （2）解：． 理由如下： 由（1）可知，， 即， ， 整理，得． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，，，，请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据平行线的性质求出，由角的和差关系可求出，则可判断与互补，然后根据平行线的判定可得出，最后根据平行线的传递性即可得出结论． 【详解】解：． 理由： ，， ． 又 ， ． 又， ， ， 又， ． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ (2)，见解析 (3)图中，图中 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）根据平行线的性质补充完整即可； （2）过点P作，根据平行线的性质求解即可； （3）过点P作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点作，如图所示， 所以 (①两直线平行，同旁内角互补)． 因为，， 所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②这两条直线也互相平行)， 所以 (③两直线平行，同旁内角互补)， 所以④，即． 故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ （2）解：猜想． 理由：过点P作，如图所示， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以，即； （3）解：图中，图中． 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴； 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴． 14．（23-24七年级下·广东韶关·期中）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点A作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中． ①若，，则的度数为______； ②若，，求的度数． （3）如图3，若，点P在、外部，请直接写出、、之间的关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． （1）根据平行线的性质和平角的定义，即可证明结论； （2）①过点作，由平行线的性质，得出，，即可求出的度数；②根据平行线的性质，得出，，即可得到答案； （3）根据平行线的性质，得出，，即可得到答案． 【详解】解：（1）证明：， ，， ， ， 即三角形的内角和为； （2）解：①如图，过点作， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作， ， ， ， ， ． 15．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）【感知探究】 如图①，已知，点M在上，点N在上，求证： 【类比迁移】 如图②，的数量关系为（不需要证明） 【结论应用】 如图③，已知，，则 【拓展延申】 如图④，已知，分别平分和，探究之间的关系，并说明理由 【答案】感知探究：见解析；类比迁移：；结论应用：；拓展延伸：，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，如图①根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （4）过点E作，过点F作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】感知探究 证明：过点作， 则， 类比迁移 ． 证明∶如图②，过作， ， ， ， ， ， 即∶． 故答案为∶； 结论应用 如图③，过作， ， ， ， ， ， 拓展延伸 理由如下： 过点E作，过点F作， 则， ， ， ， ， 平分平分， ， ， ， ， ， 即 题型05 蛇形模型 条件 AB∥CD 图示 结论 ∠BCD+∠D-∠B=180° ∠BCD+∠B-∠D=180° 16．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行的判定及性质；过点向左作，过点向右作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得 ，，由角的和差得，即可求解；掌握平行的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点向左作，过点向右作， 则， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 17．（23-24七年级下·辽宁营口·阶段练习）如图， ，点在直线，之间，连接，．    (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数； 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，利用平行线的判定及性质即可得解； （2）由（1）得，将代入即可得解． 本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， 理由如下：过点作，如图，      ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∴， 解得． 18．（22-23六年级下·山东烟台·期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．    解：过点作，所以　　，　　， 又因为， 所以．    解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图1，已知，求的度数； (3)深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，请直接写出的度数； ②如图3，请判断、、之间的数量关系，并说明理由．    【答案】(1)； (2) (3)①；②，理由见解析 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等即可得出结论； （2）过点作，根据两直线平行同旁内角互补得出，，即可得到最后结论； （3）①的度数为，过点作，根据平行线性质求得，，即可求得的度数；②，过点作，根据平行线性质得到，，即可退出最后结论． 【详解】（1）解：过点作， ，， 又因为， 所以；    （2）解：如图，过点作，   ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①的度数为；    理由：过点作， ， ， ， ， ， ， ； ②，    理由：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质进行推理． 19．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图，已知，，求的度数； (2)如图，判断、、之间的数量关系为 ． (3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可求出的度数； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，又，即可得出； （3）交于点，由，得出，由得出，由，得出，由对顶角相等得出，由角平分线的性质得出，即，由（2）得：，代入计算即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，过点作，则， ，， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3，设交于点， ， ， ∵ ∴， ， ， ， ， 平分， ， ， 由（2）得：， ， ． 题型06 平行平分三等角 解题大招：平行平分得三等角. 20．（24-25七年级上·全国·期末）如图，，直线分别与直线交于点E，F，点G在上，平分．若，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，求出，角平分线推出，再根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可． 【详解】解：因为， 所以． 因为平分， 所以． 因为， 所以． 21．（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，是的角平分线，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，先求出，再结合角平分线的定义得到，然后根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ∴． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，三角形的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了有关角平分线的角度计算，平行线的性质等；由三角形内角和得，由角平分线的定义得，由平行线的性质得，再根据三角形内角和，即可求解；能熟练利用平行线的性质求角度是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 题型07 平行线折叠问题 记住三句话: ①折叠前后对应角，对应边相等. ②折叠不改变原先的平行关系. ③以折线为对称轴. 23．（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，在长方形中，，，，，将长方形沿着直线折叠，使点C落在处，交于点E，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠，解题关键是根据平行线的性质和折叠得出角之间的关系，然后利用已知角求解． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 【答案】(1) ； ； ； ； ； ； (2)． 【分析】（）根据平行线的判定与性质即可求解； （）利用（）中的结论即可求解； 本题考查了平行线的性质和平行定理推论，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，同理， 同理：； （2）由上可知：， ∵，， ∴． 25．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】〖任务1〗  〖任务2〗  〖任务3〗 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可； （2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可； （3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：〖任务1〗如图1，则， 又∵ ∴， ∴； 〖任务2〗解：由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 〖任务3〗由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 26．（23-24七年级下·福建三明·期中）综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 (1)知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，由平行线的性质得，推出，即可得出． 【详解】（1）解：①由题意得：， ， ， ， ； ②结论： 理由：由题意得：， ， ， ， ， （2），理由如下： 由题意得：，， ， ， ， ． 27．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处． (1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论； (2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论． (3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）作，根据平行线的性质和折叠的性质即可求解； （）根据平行线的性质，折叠的性质和角度和差； （）根据平行线的性质，折叠的性质和角度和差； 本题考查了平行线的性质额折叠的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3），理由： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 题型08 三角板拼接模型 常见的三角板与三角板（平行）拼接模型： 类型 两条斜边平行 斜边于直角边平行 两条直角边平行 图示 顶点在斜边上 顶点在直角边上 顶点在边上 顶点重合 【提示】根据平行线的性质及三角形内角和进行角度计算，计算线段长时会用到特殊角的三角函数值. 28．（23-24七年级下·山东临沂·期中）在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》．已知：，，，．                            (1)李华将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，张明将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点B在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，仍然使顶点B在直线上，顶点C在直线上，若，请直接写出与之间的关系式． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)，理由见详解 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）过点作，根据平行线的性质及角的和差求出，即可判定，根据平行公理推论即可推出； （3）过点作直线，则，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作， 则， ， ， ， ， 又， ； （3）解：，理由如下： 如图3，过点作直线， ， ， ，， ， ． 29．（23-24七年级下·四川乐山·期末）将一副三角板按如图放置，其中点在同一直线上，，，． (1)若相交于点，求的度数； (2)将图中的绕点以每秒的速度顺时针旋转得，设运动时间为秒．当为何值时，与第一次平行； (3)绕点以每秒的速度顺时针旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转得，旋转过程中若射线、、中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分，设运动时间为秒，请求出满足条件的值． 【答案】(1)； (2)秒； (3)值为或或秒． 【分析】（）根据三角板的特点，及三角形的外角性质即可求解； （）根据平行线的性质即可求解； （）分如图，当射线为平分线时，如图，当射线为平分线时，如图，当为平分线线时，三种情况讨论即可； 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和旋转的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由题意得，，， ∴； （2）如图，， ∴， ∴（秒）， （3）分情况讨论， 如图，当射线为平分线时， ∴， 解得：； 如图，当射线为平分线时， ∴， 解得：； 如图，当为平分线线时， ∴， 解得：， 综上可知：满足条件的值为或或秒． 30．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，友情提示：，，． (1)①若，则的度数为________． ②若，则的度数为________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)若且点在直线的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）． 【答案】(1)①；② (2)．理由见解析 (3)可能为或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质． （1）①根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； ②根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据以及，进行计算即可得出结论； （3）分2种情况进行讨论：当时，当时，分别求得角度即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②因为，， 所以， 所以， 故答案为：； （2）解：猜想：．理由如下： 因为，， 所以， 即； （3）解：可能为或． 当时， 所以， 因为， 所以； 当时， ． 31．（2025七年级下·江苏扬州·专题练习）在七年级的“平行线的性质与判定”的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中．请同学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题： 【初步感知】 （1）如图2，将上述三角板的直角顶点重合在一起．当时，_________． （2）如图3，当CA平分时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由． 【深度探究】 （3）将上述三角板按图4所示的方式摆放，点A，B在直线GH上，点D，F在直线MN上，直线，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为，且，则是否存在t的值，使边BC与另一块三角板DEF的一条边平行？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）将上述三角板按图5所示的方式摆放，点C与点D重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转，使点F在直线BC上方，当两块三角板的两条边互相平行时，若度数的最大值为m，最小值为n，则_________． 【答案】（1），（2）．理由见解析，（3）存在，t的值为10或40或55．（4） 【详解】解：（1） （2）．理由如下： 因为CA平分，所以．因为，即，，所以．因为，所以，所以． （3）分情况讨论：①如图1，当时，延长AC交MN于点P，延长BC交MN于点Q，则．因为，所以，所以，所以．由题可知，旋转角，所以，解得．②如图2，当时，延长BC交MN于点T．同理可得，．所以，解得．③如图3，当时，设EF交MV于点K，延长EF交GH于点O．同理可得，．由三角形外角的性质，得，所以，解得．综上所述，t的值为10或40或55． （4）当三角板DEF绕点C旋转时，因为，点F在直线BC上方，所以．分情况讨论：①如图4，当时，，因为，所以；②如图5，当时，；③如图6，当时，；④如图7，当时，，所以；⑤如图8，当时，延长BC交EF于点G，则，由三角形外角的性质，得，所以．综上所述，度数的最大值，最小值，所以． 32．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为15秒或45秒或60秒 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （2）过F作．由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，过作，分别利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，过作． ∴，， ∴． ∴，， ∴． （2）解：如图2，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴． （3）解：如图3，当时， ∵，， ∴， ∴． ∴， 解得：． 如图4，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 如图5，当时，过作． ∵，， ∴． ∴，． ∴， 解得：． 综上，三角板旋转的时间为15秒或45秒或60秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 故答案为：15秒或45秒或60秒． 题型09 直尺与三角板拼接模型综合 类型一 直尺与30°角的三角板拼接 图示 解题方法 利用三线八角求解 结论 ∠1+∠2=90° ∠1=∠2 ∠1+∠2=90° 类型二 直尺与45°角的三角板拼接 图示 解题方法 遇拐点作平行线 三线八角+三角板特殊角求解 三角板特殊角求解 结论 ∠1+∠2=90° ∠1=∠2=75° ∠1=105° 【提示】直尺本身含平行线，根据平行线性质及三角形的内角和进行角度计算. 33．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点E、F、的角平分线交于点D，H为线段上一动点（不与A、B重合），连接交于点． (1)当时，求． (2)在线段上任意移动时，求，，之间的关系． (3)在（1）的条件下，将绕着点以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3)t为6或12或21或24或30 【分析】（1）由三角形内角和定理求出，由，得到，由，则，由角平分线和平行线性质得到，即可得到答案； （2）由得到，由即可得到结论； （3）分五种情况画图求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）∵， ∴， ∵， ∴； （3）由（1）知，，， ∴， 如图1，当时，， ∵， ∴此时是旋转了， 此时，； 如图2，当时， ∵， ∴此时是旋转了， 此时，； 如图3，当时， ∵， ∴此时是旋转了， 此时，； 如图4，当时，设与相交于点S， ∴， ∴， ∴此时是旋转了， 此时，； 如图5，当时， ∴， ∴此时是旋转了， 此时，； ∴当的其中一边与的某一边平行时，t为6或12或21或24或30． 【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、旋转等知识，分情况讨论是解题的关键． 34．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，请直接写出________°，________°（结果用含的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，若恰好是的倍，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用； （1）求解，证明，，再进一步解答可得答案； （2）由恰好是的倍，结合（1）的结论，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ，， ， （2）解：恰好是的倍， ， 解得， 的值是． 35．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角板如图1所示摆放，直线．    (1)如图2，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，三角板不动，设旋转时间为秒，当第一次旋转到时，的值是多少？ (2)若三角板不动，而三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，求当第一次旋转到时，的值是多少？ (3)若三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，若边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)7.5 (2)20 (3)15或60 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的特征，三角形内角和和外角的性质，解决本题的关键是找到相对应的情形，本题图形比较抽象，关键是准确画出图形，找到符合题意的情形，不要漏解． （1）设直线与，分别交于，，根据平行线的性质得到，再利用外角的性质求出，再除以速度可得时间； （2）延长交于点，根据平行线的性质得到，再表示出，得到方程，解之即可； （3）分，，表示出相应角，利用平行线的性质，三角形内角和与外角的性质得到方程，解之即可得到值．将一副三角板如图1所示摆放，直线． 【详解】（1）解：如图，， 设直线与，分别交于，，   ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，延长交于点，   ， ． ， ， ，， ， ， ； （3）解：如图，当时， 设直线与，分别交于，，    此时，， ， ， ， ， ，即， 解得：； 如图，当时， 延长，，分别与交于，，    此时，，， ， ， ，即， ，， ， 解得：； 综上：所有满足条件的的值为15或60． 36．（22-23八年级下·河南郑州·开学考试）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作， ∵， ∴ 又∵， ∴． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能． 方法运用： 如图2，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如上方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，求的度数． 【答案】． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点G做的平行线，则，由平行线的性质得到，，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点G做的平行线 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵． ∴． 37．（23-24七年级下·湖北鄂州·期末）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)【特例初探】如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，请求的度数． (2)【技能提升】在（1）的条件下，若比的一半多，求n的值． (3)【综合运用】如图2，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)n的值是40 (3)当秒或秒，存在 【分析】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． （1）根据，，，根据平行线的性质得出．，．，即可求解； （2）根据比的一半多列方程，计算可求解； （3）分两种情况，分别画出图形，根据内错角和同位角相等列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． ∴，． ∴， ∴； （2）解：∵比的一半多， ∴． 解得，． ∴n的值是40． （3）解：存在．理由如下： 旋转至时共花时间， 第一种情况：如图①所示， ∵， ∴． 又∵， ∴． ，符合题意． 第二种情况：如图②所示， ∵而，， ∴， ，符合题意． 综上所述：当秒或秒，存在． 38．（23-24七年级下·重庆江北·期末）如图，直线，一副教学三角板中，，，，现按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上． (1)如图1，当平分时，求的值； (2)若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为t秒． ①在旋转过程中，如图2所示，当边，求的值． ②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当边时的值． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意利用分类讨论的思想求解． （1）利用平行线和角平分线的性质即可解决问题； （2）①画出图形，设延长线与交于点，利用平行线的性质即可求解； ②先讨论第一次和第二次的情况，分别画出图形进行解答，再探索的规律即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵，速度为每秒3度， ∴旋转的度数范围为， 则只有一种情况，如图， 设延长线与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边，的值为； ②如图，当第一次时，延长交于． ∵， ∴， 过点作，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 如图，当第二次时，延长交于， ∵， ∴， 过点作，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 本题，结合， 相当于是求当时的， 可通过平移两三角板将、重合，转化为共点旋转， 共点旋转时从某次到下一次，和需相向旋转角度和， 设这段时间为， 则， 得：， 即每隔秒一次， 即每隔秒一次， 又， 故第三次，第四次， 综上所述，满足条件的的值为或或或． 题型10 等积模型 条件：AB∥CD 图形： 结论：1)2) 39．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． (1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； (2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 【答案】(1)，同底等高的两个三角形的面积相等 (2)与，与 【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线之间的距离等知识点，掌握“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”是解题的关键． （1）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答； （2）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答． 【详解】（1）解：∵直线，, ∴点P和点C到直线n的距离相等． 又∵在和中，， ∴（同底等高的两个三角形的面积相等）． 故答案为：，同底等高的两个三角形的面积相等． （2）解：设直线m和n之间的距离为h ∵, ∴． ∴,即． 故答案为：与，与． 40．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，对角线，交于点O，若的面积为8，求的面积．    【答案】8 【分析】本题考查平行线间距离相等，三角形面积公式．根据题意过点B，C分别作的垂线，交直线于点E，F，可得，继而得到，再减去公共部分三角形即，即可得到答案． 【详解】解：过点B，C分别作的垂线，交直线于点E，F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 41．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，P是长方形外一点，的面积为a．若的面积为b，则的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）    【答案】/ 【分析】作于M，交于N，根据长方形的性质，三角形面积的公式，分割法求面积解答即可． 本题考查了三角形的面积公式，分割法表示面积，熟练掌握三角形面积表示是解题的关键． 【详解】解：作于M，交于N， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴，， ∵的面积为a．若的面积为b， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， 故答案为．    42．（23-24七年级上·福建福州·开学考试）如图，正方形和正方形并排放置，和相交于点，已知厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？    【答案】阴影部分的面积为平方厘米 【分析】连接，，根据正方形的性质及三角形面积公式推出阴影部分的面积，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，，    ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积， ∵厘米， ∴平方厘米， ∴阴影部分的面积为平方厘米． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积公式，平行线的判定和性质，熟记正方形的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$