第18讲 等腰三角形（讲义，2考点+3命题点18种题型（含2种解题技巧）)-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第四章 三角形 第18讲 等腰三角形 （思维导图+2考点+3命题点18种题型（含2种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 等腰三角形 考点二 等边三角形 04题型精研·考向洞悉 命题点一 等腰三角形的性质与判定 ►题型01 分类讨论思想在等腰三角形中的应用 ►题型02 根据等边对等角求解或证明 ►题型03 根据三线合一求解或证明 ►题型04 在格点图中画等腰三角形 ►题型05 根据等角对等边求边长 ►题型06 根据等角对等边证明 ►题型07 确定构成等腰三角形的点 ►题型08 等腰三角形性质与判定综合 命题点二 等边三角形的性质与判定 ►题型01 利用等边三角形的性质求解 ►题型02 等边三角形的判定 ►题型03 等边三角形性质与判定综合 命题点三 热考题型汇总 ►题型01 手拉手模型 ►题型02 与等腰三角形有关的折叠问题 ►题型03 与等腰三角形有关的动点问题 ►题型04 与等腰三角形有关的新定义问题 ►题型05 与等腰三角形有关的规律探究问题 ►题型06 与等腰三角形有关的多结论问题 ►题型07 探究等腰三角形中存在的线段数量关系 01考情透视·目标导航 中考考点 考查频率 新课标要求 等腰三角形 ★★ 理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理. 等边三角形 ★★ 探索等边三角形的性质定理及其判定定理. 【考情分析】该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 【特殊】顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°. 【注意】等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 等腰三角形性质： 1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴， ①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴， ②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴. 2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 等腰三角形的判定： 1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形； 2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【总结】证明两个角相等的方法： 1）如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明. 2）如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决. 【易错易混】 1）底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）. 2）等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． 3）等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 2．（2024·四川·中考真题）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为 度． 3．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 4．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    5．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    考点二 等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 等边三角形的性质： 1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； 2）等边三角形的三条边相等； 3）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定： 1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形； 2）三个角都相等的三角形是等边三角形. 3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【补充】 1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 3）在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． 4）等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川·中考真题）如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 4．（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C． D． 5．（2023·福建·中考真题）如图，在菱形中，，则的长为 ．    04题型精研·考向洞悉 命题点一 等腰三角形的性质与判定 ►题型01 分类讨论思想在等腰三角形中的应用 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 【易错点】注意所求结果需满足三角形三边关系. 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 2．（2022·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）若等腰三角形的周长是，其中一边长是，则该等腰三角形的底边长是（ ） A． B． C． D． 4．（2024·上海·模拟预测）等腰三角形的一个内角为，随机选取1个内角，度数为 5．（2024·四川达州·模拟预测）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此三角形顶角度数为 ． ►题型02 根据等边对等角求解或证明 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西·中考真题）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．    3．（2024·山西·中考真题）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E，液压杆．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图， 在中，， 若，为的中线， 点E在边上(不与端点重合)，与交于点 F， 若， 则 ． ►题型03 根据三线合一求解或证明 1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 2．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 4．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在中，，是边上的中线，点在的延长线上，连接，过点作交的延长线于点，连接、，求证：四边形是菱形．    ►题型04 在格点图中画等腰三角形 1．（2021·吉林·中考真题）图①、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，以点，，为顶点画一个等腰三角形； （2）在图②中，以点，，，为顶点画一个面积为3的平行四边形． 2．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上． (1)在图中画以为斜边的等腰直角，点D在小正方形的格点上； (2)在（1）的条件下，在图中以为边画，点C在小正方形的格点上，使，且 连接，直接写出线段的长． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上.按要求完成下列画图． (1)在图1中画出一个以为底的等腰，使，点在格点上，并直接写出的周长； (2)在图2中的边上找一点，连接，使．(要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法) ►题型05 根据等角对等边求边长 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则 ． 2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是 ．      3．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 ．    4．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则的值是 ． ►题型06 根据等角对等边证明 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．12 D．24 2．（2024·山东·中考真题）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ． 3．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 4．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，平分，请直接写出的形状． ►题型07 确定构成等腰三角形的点 1．（2024·贵州毕节·一模）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（2022·江苏南京·一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，过原点O的直线与反比例函数 的图象交于，两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点．    (1)求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出x的取值范围； (2)在y轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．   4．（2020·四川广元·中考真题）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）在x轴上存在一点C，使为等腰三角形，求此时点C的坐标； （3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． ►题型08 等腰三角形性质与判定综合 1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 3．（2024·山东威海·中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 4．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 命题点二 等边三角形的性质与判定 ►题型01 利用等边三角形的性质求解 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是 ． 2．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 4．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（    ） A． B． C． D． ►题型02 等边三角形的判定 1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上 填上一个适当的条件． 2．（2022·青海西宁·中考真题）如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（    ）    A．△AOB是等边三角形 B．PE=PF C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形 3．（2020·山西·中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（2020·四川雅安·中考真题）如图，四边形内接于圆，，对角线平分． （1）求证：是等边三角形； （2）过点作交的延长线于点，若，求的面积． ►题型03 等边三角形性质与判定综合 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长 （结果保留）． 2．（2024·海南·中考真题）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则： （1）的度数是 ； （2）的长是 ． 4．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 命题点三 热考题型汇总 ►题型01 手拉手模型 常见模型种类： 等腰三角形 手拉手模型 等边三角形 手拉手模型 等腰直角三角形 手拉手模型 正方形 手拉手模型 【小结】 1）头顶头，左手拉左手，右手拉右手，那么，头左左≌头右右. 2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE. 1．（2020·四川广元·中考真题）如图所示，均为等边三角形，边长分别为，B、C、D三点在同一条直线上，则下列结论正确的 ．（填序号） ①   ② ③为等边三角形    ④ ⑤CM平分 2．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 3．（2024·河南驻马店·二模）【问题发现】 （1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图1 所示， 是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路    将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在 中，易得 ，由，得，， 之间的数量关系为_______． 【类比分析】 （2）如图2所示，当点在线段的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程； 【拓展延伸】 （3）若（1）中的点 在射线上，且 请直接写出的度数．    4．（2023·河南郑州·二模）由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．    (1)【问题发现】 如图1所示，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点P，和的数量关系是 　 　；和的位置关系是 　 　； (2)【类比探究】 如图2所示，点P是线段上的动点，分别以、为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段、于点M、N． ①求的度数； ②连接交于点H，直接写出的值； (3)【拓展延伸】 如图3所示，已知点C为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于N，连接交于M，连接，直接写出线段的最大值．   5．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；     图1 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图2 ►题型02 与等腰三角形有关的折叠问题 1．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 2．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究： 独立思考：小明：“当点落在上时，．” 小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长．” 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：    问题1：在等腰中，由翻折得到． （1）如图1，当点落在上时，求证：； （2）如图2，若点为中点，，求的长． 问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展． 问题2：如图3，在等腰中，．若，则求的长． ►题型03 与等腰三角形有关的动点问题 1．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．    (1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当点E与点C重合时，求t的值． (3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在▱中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点． (1)若点与点重合，则线段的长度为______． (2)随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长度；若改变，请说明理由． 3．（2024·山东德州·中考真题）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； (3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 4．（2023·重庆·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．    (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值． 70．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ． ►题型04 与等腰三角形有关的新定义问题 1．（2024·山东日照·二模）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”． (1)如图①，和互为“友好三角形”，点D是边上一点（不与点B重合），，，，连接，则________（填“<”或“=”或“>”），________°； (2)如图②，和互为“友好三角形”，点D是边上一点，，，，M、N分别是底边的中点，请探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，和互为“友好三角形”，点D是边上一动点，，，，M、N分别是底边的中点，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示） 3．（2024·山东济宁·二模）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”， ，，与为“同源角”． (1)如图1和为“同源三角形”， 与为“同源角”，请你判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若“同源三角形”和上的点B，C，D在同一条直线上，且，求的值； (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点Q，P，连接，，，试说明是等腰直角三角形． ►题型05 与等腰三角形有关的规律探究问题 1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为 ．    74．（2024·四川广安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，所有三角形均为等边三角形，已知点，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是 ．    2．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；……，依次类推，则点的横坐标为 ． 3．（2021·四川达州·中考真题）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． ►题型06 与等腰三角形有关的多结论问题 1．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是 ．（填序号） 2．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．    3．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（    ）    A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 4．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． ►题型07 探究等腰三角形中存在的线段数量关系 1．（2023·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，对角线、交于点，的平分线分别交、于点、，交的延长线于点，为的中点，连结、，分别交、于点、． (1)求证：； (2)探究与的关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 2．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是正方形，点M在上，点N在的延长线上，，连接，，点H在的延长线上，，点E在线段上，且，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，使得，交于点F．    (1)线段与线段的关系是______． (2)若，，求的长． (3)求证：．     3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题． (1)如图一，在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G.利用面积证明：． (2)如图二，将矩形沿着折叠，使点A与点C重合，点B落在处，点G为折痕上一点，过点G作于M，于N.若，，求的长． (3)如图三，在四边形中，E为线段上的一点，，，连接，且，，，，求的长． 4．（2024·湖北十堰·模拟预测）问题探究：在综合实践活动课上，小明将绕点顺时针旋转任意角至（如图1），第三边所在直线与对应边所在直线相交于点，发现夹角与有直接的关系：当为锐角时，与的关系为________；当为钝角时，与的关系为________． 迁移应用：如图2，当，将绕点顺时针旋转角至（点在上）时，若点恰好在延长线上，试探究之间的关系． 拓展实践：若中，（如图3），将绕点顺时针旋转角至（点在上）时，若点恰好在延长线上，试问：是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由． $$第四章 三角形 第18讲 等腰三角形 （思维导图+2考点+3命题点18种题型（含2种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 等腰三角形 考点二 等边三角形 04题型精研·考向洞悉 命题点一 等腰三角形的性质与判定 ►题型01 分类讨论思想在等腰三角形中的应用 ►题型02 根据等边对等角求解或证明 ►题型03 根据三线合一求解或证明 ►题型04 在格点图中画等腰三角形 ►题型05 根据等角对等边求边长 ►题型06 根据等角对等边证明 ►题型07 确定构成等腰三角形的点 ►题型08 等腰三角形性质与判定综合 命题点二 等边三角形的性质与判定 ►题型01 利用等边三角形的性质求解 ►题型02 等边三角形的判定 ►题型03 等边三角形性质与判定综合 命题点三 热考题型汇总 ►题型01 手拉手模型 ►题型02 与等腰三角形有关的折叠问题 ►题型03 与等腰三角形有关的动点问题 ►题型04 与等腰三角形有关的新定义问题 ►题型05 与等腰三角形有关的规律探究问题 ►题型06 与等腰三角形有关的多结论问题 ►题型07 探究等腰三角形中存在的线段数量关系 01考情透视·目标导航 中考考点 考查频率 新课标要求 等腰三角形 ★★ 理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理. 等边三角形 ★★ 探索等边三角形的性质定理及其判定定理. 【考情分析】该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 【特殊】顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°. 【注意】等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 等腰三角形性质： 1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴， ①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴， ②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴. 2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 等腰三角形的判定： 1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形； 2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【总结】证明两个角相等的方法： 1）如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明. 2）如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决. 【易错易混】 1）底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）. 2）等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． 3）等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 2．（2024·四川·中考真题）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的尺规作法是解题的关键．根据，，由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得，由尺规作图过程可知为的角平分线，由此可得． 【详解】解： ，， ， 根据尺规作图过程，可知为的角平分线， ， 故， 故答案为：． 3．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 4．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    【答案】4 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4 5．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    【答案】见解析 【分析】根据勾股定理可得，结合题意与网格的特点分别作图即可求解． 【详解】解：如图所示，    如图①，，则是等腰三角形，且是锐角三角形， 如图②，，，则，则是等腰直角三角形， 如图③，，则是等腰三角形，且是钝角三角形， 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 考点二 等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 等边三角形的性质： 1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； 2）等边三角形的三条边相等； 3）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定： 1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形； 2）三个角都相等的三角形是等边三角形. 3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【补充】 1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 3）在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． 4）等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·四川·中考真题）如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，判断出为等边三角形是解题的关键． 【详解】解： ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 4．（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，D是的中点， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∴． 故选：A． 5．（2023·福建·中考真题）如图，在菱形中，，则的长为 ．    【答案】10 【分析】由菱形中，，易证得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 等腰三角形的性质与判定 ►题型01 分类讨论思想在等腰三角形中的应用 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 【易错点】注意所求结果需满足三角形三边关系. 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 2．（2022·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】11或13/13或11 【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解． 【详解】解：∵（a﹣3）2+=0， ∴，， 当为腰时，周长为：， 当为腰时，三角形的周长为， 故答案为：11或13． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）若等腰三角形的周长是，其中一边长是，则该等腰三角形的底边长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质，可以分为是腰或底边两种情况；结合三角形的三边关系可以确定三角形的三边的长度，由此确定选项．本题主要考查等腰三角形，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：依题意， 当是等腰三角形的底边时， 则其腰长是， 能够组成三角形； 当是等腰三角形的腰时， 则其底边是， ∵ ∴不能够组成三角形； 故该等腰三角形的底边长为． 故选：A． 4．（2024·上海·模拟预测）等腰三角形的一个内角为，随机选取1个内角，度数为 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，判断出的角是顶角是解题的关键． 根据角是钝角判断出只能是顶角，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴的角一定是顶角， ∴底角的度数为 ∴随机选取1个内角，度数为或． 故答案为：或． 5．（2024·四川达州·模拟预测）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此三角形顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的内容，要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．解决等腰三角形的问题时分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， ， 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即，    此时， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． ►题型02 根据等边对等角求解或证明 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 2．（2024·陕西·中考真题）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．    【答案】/90度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，结合三角形内角和定理，可证明，再根据等腰三角形的性质可知，由此即得答案． 【详解】是所对的圆周角，是所对的圆心角， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（2024·山西·中考真题）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E，液压杆．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及平行线的性质，根据题意得出，确定，再由对顶角及平行线的性质即可求解 【详解】解：∵等长的支架交于它们的中点E，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D 4．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图， 在中，， 若，为的中线， 点E在边上(不与端点重合)，与交于点 F， 若， 则 ． 【答案】 【分析】如图，倍长至，使，连接，易证，设，在中，，则，，利用勾股定理求出，证明，得到，设，由相似三角形，得，从而可得答案． 【详解】解：如图，倍长至，使，连接， ∵为的中线， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴，设， 在中，， 则， 解得：， ∵，，，为的中线， ∴，， ， ， ， ， ， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得．经检验符合题意； ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的中线，全等三角形的判定与性质，解题的关键是构建全等三角形与相似三角形． ►题型03 根据三线合一求解或证明 1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案； 【详解】解：如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴； 如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴， 故答案为：或 2．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出． 【详解】解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 4．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A. ， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 5．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在中，，是边上的中线，点在的延长线上，连接，过点作交的延长线于点，连接、，求证：四边形是菱形．    【答案】证明见解析 【分析】先根据等腰三角形的性质，得到垂直平分，进而得到，，，再利用平行线的性质，证明，得到，进而得到，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：，是边上的中线， 垂直平分， ，，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键． ►题型04 在格点图中画等腰三角形 1．（2021·吉林·中考真题）图①、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，以点，，为顶点画一个等腰三角形； （2）在图②中，以点，，，为顶点画一个面积为3的平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可：如以为顶点，为 底边，即可做出等腰三角形； （2）作底为1，高为3的平行四边形即可． 【详解】解：（1）如图①中，此时以为顶点，为底边，该即为所求（答案不唯一）． （2）如图②中，此时底，高，因此四边形即为所求． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键掌握等腰三角形和平行四边形的基本性质． 2．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论： ①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个； ②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个． 故共有3个点， 故选：B．    【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上． (1)在图中画以为斜边的等腰直角，点D在小正方形的格点上； (2)在（1）的条件下，在图中以为边画，点C在小正方形的格点上，使，且 连接，直接写出线段的长． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，等腰直角三角形的特征，解直角三角形的应用等知识，掌握相关知识点是解题关键． （1）利用网格，结合等腰直角三角形的性质，取格点，连接、即可； （2）结合已知条件，取格点，连接、、，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； 由勾股定理得：． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上.按要求完成下列画图． (1)在图1中画出一个以为底的等腰，使，点在格点上，并直接写出的周长； (2)在图2中的边上找一点，连接，使．(要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法) 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了在格点图中画等腰三角形，平行线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等． （1）以为底的等腰，则点在的垂直平分线上，结合，即点到的距离等于点到的距离，即可确定点的位置；再根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出的值，即可求出的周长； （2）根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等可推得，即可得出． 【详解】（1）解：如图：点即为所求． 则， 故的周长为． （2）解：如图：． 理由：如图： ∵，，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴． ►题型05 根据等角对等边求边长 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，，，进而得出，再由等角对等边的性质，得到，即可求出的长． 【详解】解：在中，， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：5． 2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是 ．    【答案】/ 【分析】此题考查了正五边形以及等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．根据正五边形以及等腰三角形的性质得出，再证明，根据相似三角形的性质求出，最后由线段和差即可求出的长． 【详解】解：如图，连接交于点，    ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 3．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 ．    【答案】4 【分析】由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 4．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则的值是 ． 【答案】 【分析】先根据勾股定理得出，根据的面积是2，求出点到的距离为，根据的面积，求出点到的距离为，即可得出点到的距离为，根据相似三角形的判定与性质，得出，求出，，根据等角对等边求出，即可求出，即可得出最后结果． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵的面积是2， ∴点到的距离为， 在中，点到的距离为， ∴点到的距离为， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形高的有关计算，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解题的关键是求出点到的距离为，点到的距离为． ►题型06 根据等角对等边证明 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．12 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， 由作图知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又的面积为8， ∴的面积是， 故选B． 2．（2024·山东·中考真题）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ． 【答案】 【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，过作于， 由作图可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为； 故答案为： 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作． 3．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证，再利用求出边长，从而求解即可． 【详解】解：∵折叠， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：． 4．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，平分，请直接写出的形状． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定． （1）由平行证明，由等量代换得到，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明，即可证明； （2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，据此即可得到是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ►题型07 确定构成等腰三角形的点 1．（2024·贵州毕节·一模）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以A点为圆心，为半径作弧交直线l于点、，再先以B点为圆心，为半径作弧交直线l于点，最后作的垂直平分线交直线l于点． 【详解】解：如图，点为所作， 故答案为：A． 2．（2022·江苏南京·一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ． 【答案】a＞8或a=4 【分析】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形，另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个． 【详解】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形， 过点M作MH⊥OB于H，当MH＞MN，即MH＞4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 当MH=4时， ∵∠AOB=30°， ∴OM=2MH=8， ∴当a＞8时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 此时a=4， 故答案为：a＞8或a=4 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会特殊位置解决问题． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，过原点O的直线与反比例函数 的图象交于，两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点．    (1)求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出x的取值范围； (2)在y轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，或 (2)点M的坐标为或或或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及等腰三角形，熟知待定系数法及利用分类讨论的数学思想是解题的关键． （1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k，利用数形结合的思想即可求出x的取值范围． （2）先求出点C坐标，再根据分类讨论的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，将A点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数的解析式为． 由函数图象可知，在直线和之间的部分及直线右侧的部分， 反比例函数的图象在一次函数的图象的上方，即． 所以x的取值范围是：或． （2）将代入反比例函数解析式得， 所以点C的坐标为． 则． 如图：    当时， ， 所以点坐标为(或． 当时，点在的垂直平分线上， 又因为点C坐标为， 所以点坐标为． 当时，点M在OC的垂直平分线上， 过点作轴于点， 令，则，， 在N中， 即， 解得． 所以点M的坐标为． 综上所述：点M的坐标为或或或． 4．（2020·四川广元·中考真题）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）在x轴上存在一点C，使为等腰三角形，求此时点C的坐标； （3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】（1），；（2），，，；（3）-12<x<0或x>3 【分析】（1）因为反比例函数过A、B两点，所以可求其解析式和n的值，从而知B点坐标，进而求一次函数解析式； （2）分三种情况：OA=OC，AO=AC，CA=CO，分别求解即可； （3）根据图像得出一次函数图像在反比例函数图像上方时x的取值范围即可. 【详解】解：（1）把A（3，4）代入， ∴m＝12， ∴反比例函数是； 把B（n，-1）代入得n＝−12． 把A（3，4）、B（-12，−1）分别代入y＝kx＋b中： 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）∵A（3，4），△AOC为等腰三角形，OA=， 分三种情况： ①当OA=OC时，OC=5， 此时点C的坐标为，； ②当AO=AC时，∵A（3，4），点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称， 此时点C的坐标为； ③当CA=CO时，点C在线段OA的垂直平分线上， 过A作AD⊥x轴，垂足为D， 由题意可得：OD=3，AD=4，AO=5，设OC=x，则AC=x， 在△ACD中， ， 解得：x=， 此时点C的坐标为； 综上：点C的坐标为：，，，； （3）由图得： 当一次函数图像在反比例函数图像上方时， -12<x<0或x>3， 即使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：-12<x<0或x>3. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想. ►题型08 等腰三角形性质与判定综合 1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定： （1）证明，得到，即可得证； （2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 3．（2024·山东威海·中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图： 证明，即可求得； 应用（1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，； 应用（2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接． 【详解】感悟： ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． 应用： （1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，，图形如图所示． （2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，图形如图所示． 根据作图可得：， 又， ∴， ∴. 4．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析；（3）是定值 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论； （2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得； （3）根据题目要求画图，设，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得，过点作于，于，过点作于，利用，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵，是的角平分线，， ∴， ∴； ∴，； 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 如图，由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴； （2）猜想：，理由如下： 如图，延长至使，连接，过作于，延长交于， ∵，平分， ∴为等边三角形，，， 设，， ∴，，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ， ∴； （3）补全图形如图所示： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 如图，过点作于，于，过点作于， ， ， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由是确定的，由作图可得为定长，而和为定值， 为定值， 即为定值． 【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 命题点二 等边三角形的性质与判定 ►题型01 利用等边三角形的性质求解 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，扇形面积的计算，三角函数的应用，曲边三角形是由三段弧组成，如果周长为，则其中的一段弧长就是，所以根据弧长公式可得，即正三角形的边长为．那么曲边三角形的面积=三角形的面积+三个弓形的面积，从而可得答案． 【详解】解： 曲边三角形的周长为，为等边三角形， 曲边三角形的面积为： 故答案为：． 2．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形，为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出，的值即可得到答案． 【详解】解：作，交y轴于点F， 由题可得：， 是等边三角形，， ∴是的角平分线， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵等边，于点D，长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴新钢架减少用钢 ， 故选：D． ►题型02 等边三角形的判定 1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上 填上一个适当的条件． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：添加，理由如下： 为等腰三角形， ， 为等边三角形， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握三角形的判断定理． 2．（2022·青海西宁·中考真题）如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（    ）    A．△AOB是等边三角形 B．PE=PF C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形 【答案】D 【分析】利用等边三角形的判定定理可判定选项A；根据角平分线的性质可判定选项B；利用HL可证明△PAE≌△PBF；利用菱形的判定定理可判定选项D． 【详解】解：∵∠MON=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，故选项A成立，不符合题意； 由作图知：射线OP是∠MON的平分线，且PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE=PF，故选项B成立，不符合题意； 由作图知：AP=BP，又PE=PF，∴△PAE≌△PBF(HL) ，故选项C成立，不符合题意； ∵OA与AP不一定相等，∴四边形OAPB不一定是菱形，故选项D不成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定、菱形的判定． 3．（2020·山西·中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明是等边三角形，求解，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， 所以则图中摆盘的面积 故选B． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 4．（2020·四川雅安·中考真题）如图，四边形内接于圆，，对角线平分． （1）求证：是等边三角形； （2）过点作交的延长线于点，若，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断； （2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积=四边形ABCD的面积=. 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O． ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ABC=60°， ∴∠ADC=120°， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB=∠CDB=60°， ∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°， ∴∠ABC=∠BCA=∠BAC， ∴△ABC是等边三角形； （2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N． ∴∠AMD=90° ∵∠ADC=120°， ∴∠ADM=60°， ∴∠DAM=30°， ∴DM=AD=1，AM=， ∵CD=3， ∴CM=CD+DE=1+3=4， ∴S△ACD=CD-AM=×3×=， 在Rt△AMC中，∠AMD=90°， ∴AC=， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=， ∴BN=， ∴S△ABC=××=， ∴四边形ABCD的面积=+=， ∵BE∥CD， ∴∠E+∠ADC=180°， ∵∠ADC=120°， ∴∠E=60°， ∴∠E=BDC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠EAB=∠BCD， 在△EAB和△DCB中， ， ∴△EAB≌△DCB（AAS）， ∴△BDE的面积=四边形ABCD的面积=. 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． ►题型03 等边三角形性质与判定综合 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长 （结果保留）． 【答案】/ 【分析】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，得到． 由平行四边形的性质推出，判定是等边三角形，得到，由弧长公式即可求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 由题意得：， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：． 2．（2024·海南·中考真题）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则： （1）的度数是 ； （2）的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用三角形相似及可得，再利用三角形的外角性质结合可求得； （2）作交的延长线于点，利用直角三角形的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：(已知)， ，， ， ， 为等边三角形， ，， ， ，， 如图，过点作的延长线于点， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：，． 4．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，即平分． ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴是直径， ∴； （2）解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 命题点三 热考题型汇总 ►题型01 手拉手模型 常见模型种类： 等腰三角形 手拉手模型 等边三角形 手拉手模型 等腰直角三角形 手拉手模型 正方形 手拉手模型 【小结】 1）头顶头，左手拉左手，右手拉右手，那么，头左左≌头右右. 2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE. 1．（2020·四川广元·中考真题）如图所示，均为等边三角形，边长分别为，B、C、D三点在同一条直线上，则下列结论正确的 ．（填序号） ①   ② ③为等边三角形    ④ ⑤CM平分 【答案】①②③⑤ 【分析】①根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE； ②过E作,根据等边三角形求出ED、CN的长，即可求出BE的长； ③由等边三角形的判定得出△CMN是等边三角形； ④证明△DMC∽△DBA，求出CM长； ⑤证明M、F、C、G四点共圆，由圆周角定理得出∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，得出∠BMC＝∠DMC，所以CM平分∠BMD. 【详解】解：连接MC，FG，过点E作EN⊥BD，垂足为N， ①∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°， ∴∠ACE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE＝120°， 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE；①正确； ②∵△CDE都是等边三角形，且边长为3cm. ∴CN=cm，EN=cm. ∵BC=5cm. ∴，②正确； ③∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE， 在△ACG和△BCF中， ∴△ACG≌△BCF（ASA）， ∴CG＝CF 而∠GCF＝60°， ∴△CFG是等边三角形，③正确； ⑤∵∠EMD＝∠MBD＋∠MDB＝∠MAC＋∠MDB＝60°＝∠FCG， ∴M、F、C、G四点共圆， ∴∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°， ∴∠BMC＝∠DMC， ∴CM平分∠BMD，⑤正确； ④∵∠DMC=∠ABD，∠MDC=∠BDA ∴△DMC∽△DBA ∴ ∴ ∴CM=.④错误. 故答案为：①②③⑤. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 2．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）；（4）；（5）且；理由见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由和均为等边三角形，可证，可得，，由点、、在同一条直线上，可求即可； （2）延长到，使得，由，可证为等边三角形，可得，由，，可证为等边三角形，可证，可得即可； （3）由，由与都是等边三角形，可证，可得，，可证是直角三角形且即可； （4）将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、．先证，再证，最后证，可得； （5）由两个等腰直角三角形和中，，，，可证，可得，再求即可； 【详解】解：（1）如图， 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ．， 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为：，． （2）证明：如图中，延长到，使得． ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． ． （3）解：以为边构造等边，连接，如图3所示： 与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 故答案为：； （4）解：如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、． 由（1）可知， ，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ． （5）且； 理由如下：， ． ． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述：且． 3．（2024·河南驻马店·二模）【问题发现】 （1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图1 所示， 是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路    将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在 中，易得 ，由，得，， 之间的数量关系为_______． 【类比分析】 （2）如图2所示，当点在线段的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程； 【拓展延伸】 （3）若（1）中的点 在射线上，且 请直接写出的度数．    【答案】（1）；（2）（1）中结论成立，见解析；（3）75°或15° 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是灵活运用这些性质，并正确作出辅助线． （1）根据题意可得是直角三角形，根据勾股定理和全等三角形对应边线段相等即可求解； （2）将线段绕点逆时针旋转得线段．可证明，进而得到，，进而证明，进而得到在中，，再根据勾股定理即可求解； （3）分两种情况讨论：当点在上时，当点在延长线上时，在利用前面结论在中得， 得，进而得出． 【详解】证明：（1）将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，，   ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ； （2）（1）中结论成立． 理由：将线段绕点逆时针旋转得线段． 如图1所示，连接，．    ∵ 为等腰直角三角形， ∴，． 由旋转性质可知为等腰直角三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴，． ； 在中，且 （3）如图所示，当点D在上时，    同理可得：，，，， ∴在中， ∴． ∵， ∴； 如图3所示，当点在延长线上时，，，    ∴． 综上所述，的度数为或． 4．（2023·河南郑州·二模）由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．    (1)【问题发现】 如图1所示，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点P，和的数量关系是 　 　；和的位置关系是 　 　； (2)【类比探究】 如图2所示，点P是线段上的动点，分别以、为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段、于点M、N． ①求的度数； ②连接交于点H，直接写出的值； (3)【拓展延伸】 如图3所示，已知点C为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于N，连接交于M，连接，直接写出线段的最大值． 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【分析】（1）证明，即可得到，，问题得证； （2）①连接、、，证明，再证明，即可得出结果；②证明，即有，即可求解； （3）证明为等边三角形，就有MN=CN，由条件可以得出，即有，可得，设为x，则有，用相似三角形的性质把用含x的式子表示出来，从而求出最大值． 【详解】（1）∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）①连接、、，AC    ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵和为等边三角形， ∴，，． ∴， 即． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设为x，则有， ∴， ∴， ∴， ∴当时，NC有最大值是， 即点C在的中点时，线段最大，最大值是． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及二次函数的最值的运用．在解答的过程中书写全等三角形时对应顶点的字母要写在对应的位置上，灵活运用顶点式求最值． 5．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；     图1 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图2 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：，， 理由如下：由（1）的方法得，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键． ►题型02 与等腰三角形有关的折叠问题 1．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等边对等角，过点E作于H，则四边形是矩形，则，根据，可得的最小值为6，则由折叠的性质可得的最小值为6；如图所示，连接，证明，得到，则，利用勾股定理得到当最大时，最大，即最大时，最大，则当与点B重合时，最大，设此时，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴的最小值为6， 由折叠的性质可得， ∴的最小值为6； 如图所示，连接， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最大，即最大时，最大， ∴当与点B重合时，最大， 设此时，则， ∴， 解得， ∴的最大值为 故答案为：，． 2．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得：，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 即， 故选：B． 4．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究： 独立思考：小明：“当点落在上时，．” 小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长．” 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：    问题1：在等腰中，由翻折得到． （1）如图1，当点落在上时，求证：； （2）如图2，若点为中点，，求的长． 问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展． 问题2：如图3，在等腰中，．若，则求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；问题2： 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据折叠以及三角形内角和定理，可得 ，根据邻补角互补可得，即可得证； （2）连接，交于点，则是的中位线，勾股定理求得，根据即可求解； 问题2：连接，过点作于点，过点作于点，根据已知条件可得，则四边形是矩形，勾股定理求得，根据三线合一得出，根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】（1）∵等腰中，由翻折得到 ∴， ， ∵， ∴； （2）如图所示，连接，交于点，    ∵折叠， ∴，，，， ∵是的中点， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 问题2：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， 则， 在中，，,， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． ►题型03 与等腰三角形有关的动点问题 1．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．    (1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当点E与点C重合时，求t的值． (3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)等腰三角形， (2) (3) 【分析】（1）过点Q作于点H，根据“平行线+角平分线”即可得到，由，得到，解得到； （2）由为等边三角形得到，而，则，故，解得； （3）当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，，则，此时；当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，此时，因此，故可得，此时；当点P在上，重合部分为， 此时，，解直角三角形得，故，此时，再综上即可求解． 【详解】（1）解：过点Q作于点H，由题意得：    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴在中，； （2）解：如图，    ∵为等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 即， ∴； （3）解：当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，    ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由（2）知当点E与点C重合时，， ∴； 当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，如图，    ∵是等边三角形， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 当点P与点D重合时，在中，， ∴， ∴； 当点P在上，重合部分为，如图，    ∵ ， 由上知， ∴， ∴此时， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点P与点B重合时，， 解得：， ∴， 综上所述：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在▱中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点． (1)若点与点重合，则线段的长度为______． (2)随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长度；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变，， 【分析】（1）当点与点重合时，、、、、共线，，为的中位线，即可求出的长度． （2）构造，使为的中位线，再构造，进而证得是等边三角形，得出 ．然后由和为等边三角形，推导出，然后再由，最后得出和的长度不变． 【详解】（1）解：当点与点重合时，如图①， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ，． ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴．， ∴、、三点共线， ∵，， ∴、、、共线， ∵点、分别是，的中点， ∴． ∴． 故答案为：． （2）解：结论：不变． 如解图②，连接并延长到点，使得，连接，，延长，交于点，连接．延长至点，使得，连接，，设与交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ，． ∵点为中点， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，． ∵， ， ∴，． ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴． 在平行四边形中， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴．， 由旋转得，， ∵，， ∴，， ∴， 又，， ∴（）． ∴， ∴为等边三角形． ∵点、为、的中点， ∴为的中位线， ． ∵． ∴．即的长度不变； ∵和都为等边三角形． ∴，，，， ∴， ∴（）． ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形． 同理：为等边三角形． ∴．， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∴． ∵为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴为中点， ∴ ， ∴． 故和的长度都不变． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形和等边三角形的性质，三角形中位线的性质以及平行线分线段成比例．本题的难点是构造得出 ． 3．（2024·山东德州·中考真题）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； (3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 【答案】(1) (2)的大小不发生变化，，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质得，由等边对等角和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得，进而可求出的度数； （2）连接交于点O，证明得，再证明即可求出的度数； （3）过点C作于H，求出，则；由旋转的性质得，，，设，则；如图所示，过点D作于G，则可得到，，由勾股定理得；证明，在中，由勾股定理得 ；再求出，即可得到． 【详解】（1）解：由旋转的性质得． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：的大小不发生变化，，理由如下： 连接交于点O， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点C作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴； 由旋转的性质得，，， 设， ∵， ∴， 如图所示，过点D作于G， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴, ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴或（舍去）； ∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合）， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 4．（2023·重庆·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．    (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值． 【答案】(1)当时，；当时，； (2)图象见解析，当时，y随x的增大而增大 (3)t的值为3或 【分析】（1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用周长减去即可； （2）在直角坐标系中描点连线即可； （3）利用分别求解即可． 【详解】（1）解：当时， 连接，    由题意得，， ∴是等边三角形， ∴； 当时，；    （2）函数图象如图：    当时，y随t的增大而增大； （3）当时，即； 当时，即，解得， 故t的值为3或． 【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键． 70．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ． 【答案】6 【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果． 【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3 ∴AB=AC 当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”； 当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意； 所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6． 故答案为6． 【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． ►题型04 与等腰三角形有关的新定义问题 1．（2024·山东日照·二模）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”． (1)如图①，和互为“友好三角形”，点D是边上一点（不与点B重合），，，，连接，则________（填“<”或“=”或“>”），________°； (2)如图②，和互为“友好三角形”，点D是边上一点，，，，M、N分别是底边的中点，请探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，和互为“友好三角形”，点D是边上一动点，，，，M、N分别是底边的中点，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示） 【答案】(1)=；120 (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理和等腰三角形的性质： （1）先判断出，进而判断出，得出，，即可得出答案； （2）在上截取，使，连接，先判断出，进而判断出，最后利用等边三角形性质求解，即可得出答案； （3）方法同（2）可得解 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴和是等边三角形， ∴ ∴； 故答案为：=；120； （2）解：；理由如下：如图， 在上截取，使，连接， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵ ∴， ∵，，， ∴ 由（1）知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴； （3）解：；理由如下：如图， 在上截取，使，连接交于K， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵ ∴， ∵，，， ∴ 由（1）知，， ∴， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 3．（2024·山东济宁·二模）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”， ，，与为“同源角”． (1)如图1和为“同源三角形”， 与为“同源角”，请你判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若“同源三角形”和上的点B，C，D在同一条直线上，且，求的值； (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点Q，P，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3)见解析 【分析】（1）根据得到得到，证明即可得证； （2）根据“同源三角形”和，且，得到且，得到，结合，得到，结合对等角相等，得到，代入求值即可； （3）证明，可证． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】（1）∵和为“同源三角形”， 与为“同源角”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）设的交点为O， ∵“同源三角形”和，且， ∴且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 由（1）可知， ∴． ∵，的中点Q，P，， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形． ►题型05 与等腰三角形有关的规律探究问题 1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据题意，结合图形依次求出的坐标，再根据其规律写出的坐标即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，， 是等腰直角三角形，， ， 是等腰直角三角形， 同理可得：均为等腰直角三角形， ， 根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形， 依次可得： 由此可推出：点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出的坐标，找出其坐标的规律． 74．（2024·四川广安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，所有三角形均为等边三角形，已知点，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及规律型中点的坐标，找出点坐标变化的规律“为奇数时横坐标为，为偶数时横坐标为3，纵坐标为”成为解题的关键． 根据等边三角形的性质可得出根据点的变化找出变化规律为奇数时横坐标为，为偶数时横坐标为3，纵坐标为，然后根据规律即可解答． 【详解】解：根据等边三角形的性质可得出以及坐标可得： 观察发现规律：为奇数时横坐标为，为偶数时横坐标为3，纵坐标为， ∵为偶数， ∴的横坐标为3，纵坐标为， ∴的坐标是． 故答案为：． 2．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；……，依次类推，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数图像上点的坐标特征和等边三角形的性质及等腰三角形的三线合一性质，得出：点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，找出规律即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，点作轴交直线于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为，即， ∵是等边三角形，轴，， ∴点的横坐标为，即， ∴， ∵是等边三角形，轴， ∴点的横坐标为，即， ∴， ∵是等边三角形，轴， ∴点的横坐标为，即， 以此类推，点的横坐标为， ∴当时，点的横坐标为． 故答案为： 【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质．解题的关键是找出点的横坐标的变化规律． 3．（2021·四川达州·中考真题）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，点A每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题． 【详解】解：由题意，点A每6次绕原点循环一周， ， 点在第四象限，， ， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型． ►题型06 与等腰三角形有关的多结论问题 1．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】设正方形的边长为，，根据折叠的性质得出，根据中点的性质得出，即可判断①，证明四边形是平行四边形，即可判断②，求得，设，则，勾股定理得出，进而判断③，进而求得，，勾股定理求得，进而根据余弦的定义，即可判断④，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵为的中点， ∴ 设正方形的边长为， 则 ∵折叠， ∴， ∴ ∴是等腰三角形，故①正确； 设， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ，即是的中点，故②正确； ∵， ∴ 在中，， ∵ ∴ 设，则， ∴ ∴ ∴，， ∴，故③正确； 连接，如图所示， ∵，， 又 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴，故④不正确 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．    【答案】②③④ 【分析】根据等腰三角形的三线合一可知，可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出，，，利用判断②；根据相似可以得到，判断③；利用将军饮马问题求出最小值判断④． 【详解】解：∵，， ∴， 在点P移动过程中，不一定， 相矛盾， 故①不正确；    延长交于点H, 则为矩形， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴ 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故③正确， ， 即当 的最小值，作B、D关于的对称点, 把图中的向上平移到图2位置，使得，连接，即为的最小值，则，, 这时， 即的最小值是20， 故④正确； 故答案为：②③④    【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（    ）    A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】由折叠性质和平行线的性质可得，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出，再求出即可判断②正确；由得，求出即可判断③正确；根据即可判断④错误． 【详解】由折叠性质可知：， ∵， ∴． ∴． ∴． 故正确； ∵，， ∴． ∵， ∴． 故正确； ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 故正确； ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴与不相似． ∴． ∴与不平行． 故错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键． 4．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】由题意易得，，，，则可证，然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∵，， ∴，故①正确； ∴， ∴，，故③正确； ∵，，， ∴，；故②错误； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确； 故答案为①③④． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键． ►题型07 探究等腰三角形中存在的线段数量关系 1．（2023·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，对角线、交于点，的平分线分别交、于点、，交的延长线于点，为的中点，连结、，分别交、于点、． (1)求证：； (2)探究与的关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定解答即可； （2）利用证明，可得出，，结合三角形内角和与对顶角的性质可得出； （3）利用勾股定理和等腰直角三角形的性质可求出，，的长度，证明，利用相似三角形的性质求出的长度，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）证明∶∵四边形是矩形， ∴，，，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，理由： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵F是的中点， ∴，，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，明确题意，正确的识别图形是解题的关键． 2．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是正方形，点M在上，点N在的延长线上，，连接，，点H在的延长线上，，点E在线段上，且，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，使得，交于点F．    (1)线段与线段的关系是______． (2)若，，求的长． (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）求证，即可得证结论；     （2）由题知，，于是，可证，所以，于是； （3）连接，令，则，中，，可求，所以，得证；延长线段至点I，使，可证，得，于是． 【详解】（1）解： ∵四边形是正方形， ∴，. ∴ 又∵， ∴ ∴． （2）解：由题知，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：连接，令，则， 中，， ∴． 中，． ∴． ∴． ∴． 延长线段至点I，使，连接，则垂直平分， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴．      【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等；添加辅助线，构造全等三角形，从而求证线段之间的相等关系是解题的关键． 3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题． (1)如图一，在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G.利用面积证明：． (2)如图二，将矩形沿着折叠，使点A与点C重合，点B落在处，点G为折痕上一点，过点G作于M，于N.若，，求的长． (3)如图三，在四边形中，E为线段上的一点，，，连接，且，，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用等面积法，根据等腰中，，即可得到结论； （2）根据题中条件，利用折叠性质得到，结合矩形中得到，从而有，从而确定是等腰三角形，从而利用（1）中的结论得到，结合勾股定理及矩形性质即可得到结论； （3）延长交于，连接，过点作于，根据，，，得到是等腰三角形，从而由（1）知，在中，，在中，，，联立方程求解得，从而得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G， 由得， ； （2）解：连接，过点作于，如图所示： 根据折叠可知， 在矩形中，，则， ，即是等腰三角形， 在等腰中，，边上有一点G，过点G作于M，于N，过点作于，由（1）可得， 在中，，，则， 在四边形中，，则四边形为矩形， ，即； （3）解：延长交于，连接，过点作于， 在四边形中，E为线段上的一点，，，则， 又 ， ， ，即是等腰三角形， 由（1）可得， 设， ，，， 在中，， 在中，，， ，解得， 经检验，x=1是方程的解用符合题意， ，即． 【点睛】本题考查几何综合，涉及到等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、折叠的性质、勾股定理求线段长、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂题意，掌握（1）中的证明过程与结论并运用到其他情境中是解决问题的关键． 4．（2024·湖北十堰·模拟预测）问题探究：在综合实践活动课上，小明将绕点顺时针旋转任意角至（如图1），第三边所在直线与对应边所在直线相交于点，发现夹角与有直接的关系：当为锐角时，与的关系为________；当为钝角时，与的关系为________． 迁移应用：如图2，当，将绕点顺时针旋转角至（点在上）时，若点恰好在延长线上，试探究之间的关系． 拓展实践：若中，（如图3），将绕点顺时针旋转角至（点在上）时，若点恰好在延长线上，试问：是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】问题探究：相等；互补；迁移应用：；拓展实践：是定值，为 【分析】问题探究：由旋转的性质结合四边形的内角和即可得出答案； 迁移应用：由旋转的性质可得：，，求出，得出，求出，将绕点顺时针旋转得到，则与重合，、、三点在一条直线上，，，从而由等腰直角三角形的性质得出即可得解； 拓展实践：根据，建立方程，得出，从而得出，，将绕点顺时针旋转至，作于，由旋转的性质得出，，证明点、、三点共线，解直角三角形得出，从而得出，即可得解． 【详解】问题探究：如图：当为锐角时， ， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当为锐角时，与的关系为相等； 如图，当为钝角时， ， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当为钝角时，与的关系为互补； 迁移应用：如图， ， 由旋转的性质可得：，，， ∴，， ∴， ∴， 由问题探究可知：， ∴， ∴，， ∴， 将绕点顺时针旋转得到，则与重合， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴、、三点在一条直线上， ∴， ∴； 拓展实践：由旋转的性质可得：，，，， 由迁移应用可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 如图，将绕点顺时针旋转至，作于， ， 由旋转的性质可得：，， ∴，， ∴点、、三点共线， 在中，， 由得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、解直角三角形、三角形外角的定义及性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． $$