专题04 有理数加减运算（重难点讲义）数学新教材北师大版七年级上册

该初中数学讲义通过知识框架系统梳理有理数加减运算知识体系，将加法法则、减法法则、运算律等基础知识点，与凑整分组、抵消分组等简便运算方法，以及转化思想按“基础-方法-思想”递进关系呈现，用框架图清晰展示重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于“题型分层+方法指导”设计，基础题型如|﹣5|﹣（﹣1）巩固运算能力，实际应用题如气温差问题培养应用意识，综合题如幻圆填数发展推理意识。巩固与强化训练分层设置，助力不同层次学生提升，为教师实施精准复习教学提供有效支持。

专题 04 有理数加减运算 1. 掌握有理数加减法则与运算律，能完成整数、分数、小数混合加减简算； 2. 能解决增减变化类实际应用问题； 3．依托转化思想统一运算形式，分组凑整简化复杂计算； 4. 综合解决多层括号混合加减应用题。 （一）基础核心知识点 加法法则：同号相加，取同号，绝对值相加；异号相加，取绝对值大数符号，大数减小数；互为相反数相加得0；一个数加0仍得原数。 减法法则：，减去一个数等于加它的相反数。 加法运算律：交换律；结合律。 和式简写：加减混合统一为加法后，省略括号与加号，只保留数字前符号。 （二）简便运算固定方法 凑整分组：同分母分数、可凑±10/±100的小数、整数优先结合； 抵消分组：互为相反数两项优先合并，直接得0； 统一形式：算式同时含分数、小数时统一化为一类再计算。 （三）核心数学思想 转化思想：全部减法统一转化为加法，将两种运算简化为单一加法运算。 题型 01 加减法基础化简运算 【典例1】计算|﹣5|﹣（﹣1）的值为（　　） A．6 B．4 C．﹣6 D．﹣4 A【解析】|﹣5|﹣（﹣1）＝5+1＝6． 故选：A． 【变式】与2+（﹣1）﹣（﹣3）相等的是（　　） A．2+1﹣3 B．2﹣1﹣3 C．2+1+3 D．2﹣1+3 D【解析】根据有理数加减运算法则可知： 2+（﹣1）﹣（﹣3）＝2﹣1+3． 故选：D． 题型 02加减混合运算的实际应用 【典例2】2026年3月1日，林州喜迎马年的第一场瑞雪，巍峨的太行山被白雪勾勒仿若仙境．林州当天的天气预报“最高气温1℃，最低气温﹣1℃”．那么这一天的最低气温比最高气温低（　　） A．﹣2℃ B．2℃ C．1℃ D．﹣1℃ B【解析】根据题意得1﹣（﹣1）＝1+1＝2（℃）．即这一天的最低气温比最高气温低2℃， 故选：B． 【变式】阳光中学举办了一场足球比赛，七年级（1）班在3场足球赛中的成绩是：第1场3：2胜，第2场1：3负，第3场4：1胜，则七年级（1）班在这次比赛中总的净胜球数（进球数减去失球数）是　　 ． 2球【解析】第1场比赛进3球，失2球，净胜球数为：3﹣2 ＝1（球）， 第2场比赛进1球，失3球，净胜球数为：1﹣3＝﹣2（球）， 第3场比赛进4球，失1球，净胜球数为4﹣1＝3（球）， 总的净胜球数为三场净胜球数之和，即1+（﹣2）+3＝2（球）． 答：七年级（1）班在这次比赛中总的净胜球数是2球．故答案为：2球． 题型 03 加减混合综合运算 【典例3】如图，若在以同一点为中心的三个三角形的顶点处填入9个数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则m﹣n＝　　 ． 1【解析】﹣4﹣2+3＝﹣3，m＝﹣3﹣1﹣（﹣4）＝0，﹣3﹣0﹣2＝﹣5， n＝﹣3﹣3﹣（﹣5）＝﹣1， m﹣n＝0﹣（﹣1）＝1．故答案为：1． 【变式】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将﹣6，8，﹣10，12，﹣14，16，﹣18，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个圈上4个数之和都相等，则a+b的值为 　　 ． ﹣28或10【解析】如图， ∵﹣6+8﹣10+12﹣14+16﹣18+20＝8，∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4， ∴﹣14+12+16+a＝4， ∴a＝﹣10，∵12+8+a+c＝4，b+16﹣14+d＝4，∴c＝﹣6，b+d＝2， ∴b＝﹣18或b＝20，当b＝﹣18时，d＝20，此时a+b＝﹣10﹣18＝﹣28， 当b＝20时，d＝﹣18，此时a+b＝﹣10+20＝10．∴a+b的值为﹣28或10． 【巩固训练】 1. 若﹣2+？＝1，则“？”表示（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 D【解析】∵﹣2+3＝1，∴？＝3．故选：D． 2. 在计算（）+（）时，按照有理数加法法则，需转化成（　　） A．+（） B．+（） C．﹣（） D．﹣（） A【解析】（）+（）＝﹣（），故选：A． 3. 小高家的冰箱有冷藏室和冷冻室，分别设置温度为4℃和﹣20℃．这台冰箱的冷藏室温度比冷冻室温度高（　　） A．24℃ B．20℃ C．16℃ D．4℃ A【解析】4﹣（﹣20）＝24（℃），答：冷藏室温度比冷冻室温度高24℃．故选：A． 4. 规定：（→2）表示向右移动2，记作+2，则按照（→3），（←4）移动两次，可以用算式表示为（　　） A．3+（﹣4） B．﹣3+（﹣4） C．﹣3+4 D．3+4 A【解析】根据题意可知，向右移动3记作+3，向左移动4记作﹣4，列算式得3+（﹣4）． 故选：A． 5. 计算：　　 ． ﹣2【解析】 ＝﹣2，故答案为：﹣2． 6. 若“方框”表示运算x﹣y+z+w，则“方框”＝　　 ． ﹣8【解析】根据题意得：“方框”＝﹣2﹣3+3﹣6＝﹣8，故答案为：﹣8． 7. “一个数与﹣2相加，和是负数”，请写出一个满足上述条件的数：　　 ． ﹣3（答案不唯一）【解析】∵﹣3+（﹣2）＝﹣5，∴满足条件的数是﹣3（答案不唯一），故答案为：﹣3（答案不唯一）． 8. 小李不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，则墨迹盖住的所有整数和为　　 ． ﹣4【解析】由图可知，右边盖住的整数是0、1、2，左边盖住的整数是﹣4、﹣3， ∴和为﹣4+（﹣3）+0+1+2＝﹣4，故答案为：﹣4． 9. 计算：（1）4﹣（﹣28）+（﹣2）；（2）﹣10+3+（﹣5）﹣|﹣3|． 解:（1）原式＝4+28﹣2＝30； （2）原式＝﹣10+3﹣5﹣3＝﹣15． 10. 计算：． 解:原式 ． 【强化训练】 1. （2026•榆树市模拟）已知|a|＝3，|b|＝1，且a+b＜0，则a﹣b的值为（　　） A．﹣2或﹣4 B．2或4 C．﹣2或2 D．2或﹣4 A【解析】∵|a|＝3，|b|＝1，∴a＝±3或b＝±1， ∵a+b＜0， ∴a＝﹣3，b＝1或a＝﹣3，b＝﹣1， ∴a﹣b＝﹣3﹣1＝﹣4，或﹣3﹣（﹣1）＝﹣2， ∴a﹣b的值为﹣2或﹣4；故选：A． 2. （2026•双流区校级开学）小张同学在计算一道减法时，把被减数十位上的8错看成了3，把减数个位上的3错看成了8，结果（　　） A．减少了1 B．不变 C．增加了55 D．减少了55 D【解析】根据题意，设原被减数为a，原减数为b，原差为a﹣b， ∵被减数十位上的8错看成3， ∴看错后的被减数为：a﹣（8×10﹣3×10）＝a﹣（80﹣30）＝a﹣50， ∵减数个位上的3错看成8， ∴看错后的减数为：b+（8﹣3）＝b+5， ∴看错后的差为：（a﹣50）﹣（b+5）＝a﹣50﹣b﹣5＝a﹣b﹣55， ∴结果比原结果减少了55．故选：D． 3. （2026•曲周县模拟）若|a|＝4，|b|＝2，且a+b的绝对值与它的相反数相等，则a+b的值是（　　） A．﹣2 B．﹣6 C．﹣2或﹣6 D．2或6 C【解析】∵|a|＝4，|b|＝2， ∴a＝±4，b＝±2， ∵a+b的绝对值与它的相反数相等，即|a+b|＝﹣（a+b）， ∴a+b≤0， ∴a＝﹣4，b＝±2， 当a＝﹣4，b＝﹣2时，a+b＝﹣6； 当a＝﹣4，b＝2时，a+b＝﹣2；故选：C． 4. （2025秋•丰泽区期末）我们规定“※”是一种数学运算符号，A※B＝（A+B）﹣（A﹣B），那么3※（﹣5）＝　　 ． ﹣10【解析】∵A※B＝（A+B）﹣（A﹣B）， ∴3※（﹣5） ＝[3+（﹣5）]﹣[3﹣（﹣5）] ＝（﹣2）﹣8 ＝﹣10． 5. （2025秋•路南区期末）幻方最早起源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则x﹣y的值为 　﹣2　 ． ﹣2【解析】8+2+（﹣4）＝6，∴y＝6﹣7﹣（﹣4）＝3，x＝6﹣2﹣3＝1， ∴x﹣y＝1﹣3＝﹣2． 6. （2025秋•九龙坡区期末）已知x，y满足x﹣|y|＞2且|x|+|y|＝4，则符合条件的整数x，y的值中，x+y＝　　 ． 4【解析】∵x﹣|y|＞2且x、y为整数， ∴x为大于3的整数， ∵|x|+|y|＝4∴x＝4，∴y＝0，∴x+y＝4+0＝4． 7. （2026•双流区校级开学）计算：． 解:原式 ． 8. （2025秋•芜湖期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 ． 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 解:原式 ． 9. （2025秋•綦江区期末）对于任意有理数a，b定义一种新运算：a⊕b＝（a﹣b）﹣|a+b|． （1）若a＝﹣3，b＝2，求a⊕b的值； （2）求（﹣3⊕5）⊕（﹣2）的值． 解:（1）对于任意有理数a，b定义一种新运算：a⊕b＝（a﹣b）﹣|a+b|． ∵a⊕b＝（a﹣b）﹣|a+b|，a＝﹣3，b＝2， ∴a⊕b＝（﹣3﹣2）﹣|﹣3+2| ＝﹣5﹣1 ＝﹣6． （2）原式＝[（﹣3﹣5）﹣|﹣3+5|]⊕（﹣2） ＝﹣10⊕（﹣2） ＝[﹣10﹣（﹣2）]﹣|﹣10+（﹣2）| ＝﹣8﹣12 ＝﹣20． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 04 有理数加减运算 1. 掌握有理数加减法则与运算律，能完成整数、分数、小数混合加减简算； 2. 能解决增减变化类实际应用问题； 3．依托转化思想统一运算形式，分组凑整简化复杂计算； 4. 综合解决多层括号混合加减应用题。 （一）基础核心知识点 加法法则：同号相加，取同号，绝对值相加；异号相加，取绝对值大数符号，大数减小数；互为相反数相加得0；一个数加0仍得原数。 减法法则：，减去一个数等于加它的相反数。 加法运算律：交换律；结合律。 和式简写：加减混合统一为加法后，省略括号与加号，只保留数字前符号。 （二）简便运算固定方法 凑整分组：同分母分数、可凑±10/±100的小数、整数优先结合； 抵消分组：互为相反数两项优先合并，直接得0； 统一形式：算式同时含分数、小数时统一化为一类再计算。 （三）核心数学思想 转化思想：全部减法统一转化为加法，将两种运算简化为单一加法运算。 题型 01 加减法基础化简运算 【典例1】计算|﹣5|﹣（﹣1）的值为（　　） A．6 B．4 C．﹣6 D．﹣4 【变式】与2+（﹣1）﹣（﹣3）相等的是（　　） A．2+1﹣3 B．2﹣1﹣3 C．2+1+3 D．2﹣1+3 题型 02加减混合运算的实际应用 【典例2】2026年3月1日，林州喜迎马年的第一场瑞雪，巍峨的太行山被白雪勾勒仿若仙境．林州当天的天气预报“最高气温1℃，最低气温﹣1℃”．那么这一天的最低气温比最高气温低（　　） A．﹣2℃ B．2℃ C．1℃ D．﹣1℃ 【变式】阳光中学举办了一场足球比赛，七年级（1）班在3场足球赛中的成绩是：第1场3：2胜，第2场1：3负，第3场4：1胜，则七年级（1）班在这次比赛中总的净胜球数（进球数减去失球数）是　　 ． 题型 03 加减混合综合运算 【典例3】如图，若在以同一点为中心的三个三角形的顶点处填入9个数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则m﹣n＝　　 ． 【变式】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将﹣6，8，﹣10，12，﹣14，16，﹣18，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个圈上4个数之和都相等，则a+b的值为 　　 ． 【巩固训练】 1. 若﹣2+？＝1，则“？”表示（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 2. 在计算（）+（）时，按照有理数加法法则，需转化成（　　） A．+（） B．+（） C．﹣（） D．﹣（） 3. 小高家的冰箱有冷藏室和冷冻室，分别设置温度为4℃和﹣20℃．这台冰箱的冷藏室温度比冷冻室温度高（　　） A．24℃ B．20℃ C．16℃ D．4℃ 4. 规定：（→2）表示向右移动2，记作+2，则按照（→3），（←4）移动两次，可以用算式表示为（　　） A．3+（﹣4） B．﹣3+（﹣4） C．﹣3+4 D．3+4 5. 计算：　　 ． 6. 若“方框”表示运算x﹣y+z+w，则“方框”＝　　 ． 7. “一个数与﹣2相加，和是负数”，请写出一个满足上述条件的数：　　 ． 8. 小李不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，则墨迹盖住的所有整数和为　　 ． 9. 计算：（1）4﹣（﹣28）+（﹣2）； （2）﹣10+3+（﹣5）﹣|﹣3|． 10. 计算：． 【强化训练】 1. （2026•榆树市模拟）已知|a|＝3，|b|＝1，且a+b＜0，则a﹣b的值为（　　） A．﹣2或﹣4 B．2或4 C．﹣2或2 D．2或﹣4 2. （2026•双流区校级开学）小张同学在计算一道减法时，把被减数十位上的8错看成了3，把减数个位上的3错看成了8，结果（　　） A．减少了1 B．不变 C．增加了55 D．减少了55 3. （2026•曲周县模拟）若|a|＝4，|b|＝2，且a+b的绝对值与它的相反数相等，则a+b的值是（　　） A．﹣2 B．﹣6 C．﹣2或﹣6 D．2或6 4. （2025秋•丰泽区期末）我们规定“※”是一种数学运算符号，A※B＝（A+B）﹣（A﹣B），那么3※（﹣5）＝　　 ． 5. （2025秋•路南区期末）幻方最早起源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则x﹣y的值为 　﹣2　 ． 6. （2025秋•九龙坡区期末）已知x，y满足x﹣|y|＞2且|x|+|y|＝4，则符合条件的整数x，y的值中，x+y＝　　 ． 7. （2026•双流区校级开学）计算：． 8. （2025秋•芜湖期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 ． 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 9. （2025秋•綦江区期末）对于任意有理数a，b定义一种新运算：a⊕b＝（a﹣b）﹣|a+b|． （1）若a＝﹣3，b＝2，求a⊕b的值； （2）求（﹣3⊕5）⊕（﹣2）的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $