第01讲 数列的概念及其函数特性（4考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第二册）

第01讲 数列的概念及其函数特性 课程标准 学习目标 ①数列的定义 ②数列的通项公式 ③数列的递推公式 1. 理解数列的定义和表示方法。 2. 掌握通过观察数列的规律写出通项公式的方法。 3. 能够根据通项公式求出数列的特定项，通过递推公式求出数列的通项公式。 知识点01 数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 （3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 【即学即练1】下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 知识点02 数列的分类 （1）按照项数分：有限和无限 （2）按单调性来分： 【即学即练1】 已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 . 知识点03 数列两种常用表示方法 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 （2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【即学即练1】已知数列满足，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 知识点04 数列的前n项和 若数列的前项和为，通项公式为，则 注意：根据求时，不要忽视对的验证． 【即学即练1】设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 . 题型01 数列的通项公式 【典例1】已知数列的前4项依次为，则其通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1】数列，，，，的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】数列的第9项是（    ） A． B．19 C． D．17 【变式3】数列的一个通项公式 . 【变式4】（多选）已知，下列选项能正确表示数列的公式有（    ） A． B． C． D． 题型02 求数列中特定项 【典例2】已知数列满足，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式1】已知数列满足：，，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式2】已知数列满足，，则（    ） A．10 B．13 C．37 D．118 【变式3】已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（    ） A．2015 B．2016 C．1518 D．1519 【变式4】已知数列满足，且，则（    ） A．3 B． C． D． 题型03 数列的递推公式求通项公式 【典例3】已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】在数列中，，.则（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式3】已知数列满足，且，则（   ） A．54 B．55 C．56 D．57 【变式4】已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式. 题型04 数列的前n项和 【典例4】已知数列的通项公式为，则根据题意，该数列的前4项和（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1】若数列的前项和公式为，则的通项公式为 . 【变式2】（多选）已知数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知数列的前项和满足，则 . 【变式5】已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上． (1)求； (2)求数列的通项公式． 题型05 数列的函数特性 【典例5】若数列满足，其前项和为，则（    ） A．既无最大值，又无最小值 B．当且仅当时，取得最小值 C．当且仅当时，取得最小值 D．， 【变式1】已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知数列的通项公式为，则中的项最大为（    ） A． B．0 C． D．2 【变式3】已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知数列的通项公式为（λ为实数），若是严格增数列，则λ的取值范围为 ． 1.，数列1，，7，，31，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2.若数列满足，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 3.已知数列的前项积，则的值为（   ） A．9 B．5 C． D． 4.斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（    ） A． B． C． D． 5.（多选）已知数列满足，，则下列各数是的项的有（    ） A． B． C．2 D．3 6．（多选）下列数列中，为递增数列的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 8.在数列中，，且，则 ． 9．数列满足，且，则 ． 10．已知数列满足：，，则 ． 11.数列的通项公式为．若为递增数列，则的取值范围 12.根据下列条件，写出数列的前5项： （1），； （2），. 13.已知数列的前项和为． (1)求的最大值； (2)求数列的通项公式． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 数列的概念及其函数特性 课程标准 学习目标 ①数列的定义 ②数列的通项公式 ③数列的递推公式 1. 理解数列的定义和表示方法。 2. 掌握通过观察数列的规律写出通项公式的方法。 3. 能够根据通项公式求出数列的特定项，通过递推公式求出数列的通项公式。 知识点01 数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 （3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 【即学即练1】下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 【答案】C 【解析】对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列的第项为，故C正确； 对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误. 故选：C. 知识点02 数列的分类 （1）按照项数分：有限和无限 （2）按单调性来分： 【即学即练1】 已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为数列是递增数列，当时，，可得， 当时，，即，解得， 又，所以，解得或. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 知识点03 数列两种常用表示方法 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 （2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【即学即练1】已知数列满足，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】因为，， 令，则； 令，则； 令，则； 可知数列为周期为的周期数列，所以. 故选：A. 知识点04 数列的前n项和 若数列的前项和为，通项公式为，则 注意：根据求时，不要忽视对的验证． 【即学即练1】设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 . 【答案】 【详解】由，可得时，； 当时，． 此时，当时，， 综上，可得． 故答案为：． 题型01 数列的通项公式 【典例1】已知数列的前4项依次为，则其通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不合题意；对于D，，不合题意． 故选：B 【变式1】数列，，，，的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【详解】由已知得奇数项为正，偶数项为负，每一项的分子为1，分母为项数， 所以. 故选：B. 【变式2】数列的第9项是（    ） A． B．19 C． D．17 【答案】D 【详解】观察数列，可得其通项公式可以为， 所以. 故选：D. 【变式3】数列的一个通项公式 . 【答案】 【详解】由题意可知，数列的奇数项为负，偶数项为正，分母为的指数幂，分子为项数的倍， 则通项公式为. 故答案为： 【变式4】（多选）已知，下列选项能正确表示数列的公式有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对A，当为奇数时，，不符合数列，故A错误； 对B，由，可得， 由可得，故， 由，可知当为奇数时，；由，可知当为偶数时，. 故该递推公式符合数列，故B正确； 对C，当时，，不符合数列，故C错误； 对D，当为奇数时，，当为偶数时，， 符合数列的通项公式，故D正确. 故选：BD. 题型02 求数列中特定项 【典例2】已知数列满足，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以数列的周期为3，所以. 故选：C. 【变式1】已知数列满足：，，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】由题设，则， 即，则. 故选：B 【变式2】已知数列满足，，则（    ） A．10 B．13 C．37 D．118 【答案】C 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：. 【变式3】已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（    ） A．2015 B．2016 C．1518 D．1519 【答案】C 【详解】依题意，， 因此数列是以2为周期的周期数列， 所以该数列前2024项的和为. 故选：C 【变式4】已知数列满足，且，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意数列满足，由， 得，，，， 由此可知数列是周期为的周期数列，所以. 故选：C 题型03 数列的递推公式求通项公式 【典例3】已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数对任意都有， 数列满足① 又② ①②得：， 得. 故选：B. 【变式1】已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得， 所以，又，所以， 经检验时也成立， 所以. 故选：B 【变式2】在数列中，，.则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】，即， 所以，, 显然满足上式，所以， 则. 故选：C. 【变式3】已知数列满足，且，则（   ） A．54 B．55 C．56 D．57 【答案】C 【详解】由题意可知，， 所以，，，……，， 所以上面9个式子相加得， 所以. 故选：C 【变式4】已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式. 【解析】，，，. 猜想. 题型04 数列的前n项和 【典例4】已知数列的通项公式为，则根据题意，该数列的前4项和（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【详解】因为， 所以， 则该数列的前4项和. 故选：A. 【变式1】若数列的前项和公式为，则的通项公式为 . 【答案】 【详解】当时：； 当时：； 经检验，不满足上式， 综上所述：. 故答案为：. 【变式2】（多选）已知数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，，可得 ，故A正确；B错误； 对于C，由上可知，数列是以3为周期的周期数列， 则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 【变式4】已知数列的前项和满足，则 . 【答案】10 【详解】由题得. 故答案为：10. 【变式5】已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上． (1)求； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)，，， (2) 【详解】（1）由点均在函数的图象上，可得， 则，， ，. （2）由点均在函数的图象上，可得， 当时，可得； 当时，， 经检验，当时不成立， 所以数列的通项公式为. 题型05 数列的函数特性 【典例5】若数列满足，其前项和为，则（    ） A．既无最大值，又无最小值 B．当且仅当时，取得最小值 C．当且仅当时，取得最小值 D．， 【答案】D 【详解】因为数列、均为递增数列，所以，数列为递增数列， 因为，， 故当时，；当时，. 无最大值，但有最小值，且最小值为、，即. 所以，D对，ABC均错. 故选：D. 【变式1】已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当n2时，，即； 当n＝2时，，即； 当n2时，，即. 所以， ， 所以数列中的最大项为 或 ，且. 故选：A. 【变式2】已知数列的通项公式为，则中的项最大为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【详解】. 当时，函数单调递减， 则当时，数列单调递减， 所以中的项最大为. 故选：D. 【变式3】已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知， 因为数列是递增数列， 所以当时，，即； 当时，，且， 所以，即，即， 所以或． 综上可得的取值范围为． 故选：C. 【变式4】已知数列的通项公式为（λ为实数），若是严格增数列，则λ的取值范围为 ． 【答案】 【详解】根据题意，若是严格增数列，且， 则，在时恒成立， 变形可得在时恒成立，因为, 所以必有，即λ的取值范围为； 故答案为：． 1.，数列1，，7，，31，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A：因为，故A错误； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：检验可知对均成立，故D正确； 故选：D. 2.若数列满足，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】∵数列满足，，∴， ∴，，，， ∴是周期为3的周期数列，而，故． 故选：A 3.已知数列的前项积，则的值为（   ） A．9 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】数列前项积，即， 则当时，， 两式相除，得， 所以. 故选：C. 4.斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，，， 则. 故选：C. 5.（多选）已知数列满足，，则下列各数是的项的有（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】AD 【详解】因为，所以， 所以数列的周期为3，所以的项的有. 故选：AD. 6．（多选）下列数列中，为递增数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A.，所以， 所以为递增数列，故A正确； 对于B，，所以为递减数列，故B错误； 对于C，因为，则，，所以不单调，故C错误； 对于D，，所以，所以为递增数列，故D正确. 故选：AD. 7．（多选）下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由于，故数列是递增数列； 对于B，由于，故数列是递增数列； 对于C，由于，，故数列不是递增数列； 对于D，由于， 当时，，，即， 又，所以数列是递增数列． 故选：ABD. 8.在数列中，，且，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，又，即为常数数列， 所以，则，则. 故答案为： 9．数列满足，且，则 ． 【答案】 【详解】数列中，，由，得，则， 因此数列是以2为周期的周期数列，， 所以，. 故答案为： 10．已知数列满足：，，则 ． 【答案】 【详解】由题意得：，，，， 所以数列是周期为4的周期数列， 所以. 故答案为：2. 11.数列的通项公式为．若为递增数列，则的取值范围 【答案】 【详解】解：∵数列是单调递增数列， ∴， ，化为恒成立， 因为且，则， ，即， 故答案为：. 12.根据下列条件，写出数列的前5项： （1），； （2），. 【解析】（1）因为，， 所以， ， ， ， 故数列的前5项分别为1，3，7，15，31. （2）因为， 所以， ， ， ， 故数列的前5项分别为3，3，3，3，3. 13.已知数列的前项和为． (1)求的最大值； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以， 所以的最大值为. （2）当时，，所以， 当时，符合的情况， 所以. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$