第07讲 基本初等函数的导数及求导法则（3考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第二册）

第07讲 基本初等函数的导数及求导法则 课程标准 学习目标 ①基本初等函数的概念 ②函数的求导法则 ③复合函数的求导法则 1. 掌握基本初等函数的概念，并能够熟练的初等函数导数公式。 2. 掌握函数的求导法则，并能够熟练的进行应用。 3. 掌握复合函数求导公式，并能够熟练应用这个公式。 知识点01 基本初等函数的导数 函数 导数 （c为常数） 【即学即练1】下列各式中正确的是（      ） A． B． C． D． 知识点02 求导法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 【即学即练2】下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 复合函数求导 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 【即学即练3】已知函数，则 . 题型01 基本初等函数的导数 【典例1】下列各式正确的是（    ） A． B．，且 C． D． 【变式1】（多选）下列各式正确的是（   ） A．B． C． D． 【变式2】(多选)下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】已知，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 题型02 导数的求导法则 【典例2】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的导数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 题型03 复合函数求导公式 【典例3】函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知某函数的导数为，则这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】函数的导数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】求下列函数的导数： (1)； (2)． 题型04 函数求导公式的应用 【典例4】在等比数列中，，若函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则 . 【变式2】若函数满足，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【变式3】若函数及其导函数满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知，直线与曲线相切，则的最小值是（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【变式5】一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 【变式6】已知曲线在点处的切线方程为，且函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是 . 1．已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，，，且，若，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（   ） A． B． C． D． 5．已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则曲线在处的切线的斜率为（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．（多选）若过点恰好可作曲线的两条切线，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 9．函数的图象在点处的切线的斜率为 ． 10．已知直线与曲线相切，则 . 11．已知，设函数的图象在点处的切线为l，则l与轴交点的坐标为 ． 12．已知函数，曲线在点处的切线方程为，则 ， ． 13．已知函数，则 ． 14．已知函数，若曲线在点处的切线过坐标原点，则实数的值为 ． 15．已知函数，则 . 16．若曲线在点处的切线的斜率为2，则 ． 17．设（为常数），曲线与直线在点相切，则 ， ． 18．已知满足，且在处的切线方程为，则 . 19．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 20．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 基本初等函数的导数及求导法则 课程标准 学习目标 ①基本初等函数的概念 ②函数的求导法则 ③复合函数的求导法则 1. 掌握基本初等函数的概念，并能够熟练的初等函数导数公式。 2. 掌握函数的求导法则，并能够熟练的进行应用。 3. 掌握复合函数求导公式，并能够熟练应用这个公式。 知识点01 基本初等函数的导数 函数 导数 （c为常数） 【即学即练1】下列各式中正确的是（      ） A． B． C． D． 【详解】AB选项，，AB错误； CD选项，，C错误，D正确. 故选：D. 知识点02 求导法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 【即学即练2】下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D错误. 故选：B. 知识点03 复合函数求导 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 【即学即练3】已知函数，则 . 【答案】 【详解】函数，求导得， 所以. 故答案为： 题型01 基本初等函数的导数 【典例1】下列各式正确的是（    ） A． B．，且 C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，该选项错误； 对于B，，该选项正确； 对于C，是个常数，所以，该选项错误； 对于D，，该选项错误； 故选：B. 【变式1】（多选）下列各式正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，，故A不正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：CD. 【变式2】(多选)下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，因为是常数函数，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，则，故D正确. 故选：ACD. 【变式3】已知，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，则. 故选：C． 【变式4】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5). 【详解】（1）. （2）； （3），所以； （4）； （5）. 题型02 导数的求导法则 【典例2】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C. 【变式1】函数的导数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】． 故选：C. 【变式2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意有： ， 令,则． 故选：D. 【变式3】（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A. ，选项A正确. B.，选项B正确. C.为常数，选项C正确. D. ，选项D错误. 故选：ABC. 【变式4】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） . （2）. （3）. （4）方法一 ： . 方法二 ： ， . 题型03 复合函数求导公式 【典例3】函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 故选：B. 【变式1】已知某函数的导数为，则这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，函数可以看作和的复合函数， ∴，符合题意； 对于B，，∴，不符合题意； 对于C，可以看作和的复合函数， ∴，不符合题意； 对于D，，∴，不符合题意． 故选：A. 【变式2】函数的导数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】． 故选：A 【变式3】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【解答过程】（1）设，则， 所以. （2）设，则， 所以. （3）设，则， 所以. （4）设，则， 所以. 【变式4】求下列函数的导数： (1)； (2)． 【解析】（1）. （2） 题型04 函数求导公式的应用 【典例4】在等比数列中，，若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 则，， 所以，. 因为是等比数列，且， 所以，， 所以，， 所以，. 故选：A. 【变式1】已知，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以，所以， 解得， 故答案为:. 【变式2】若函数满足，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由，得， 则，解得， 故选：C. 【变式3】若函数及其导函数满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，因为， 所以，解得， 所以，令，可得，解得. 故选：D. 【变式4】已知，直线与曲线相切，则的最小值是（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【详解】由，得， 令，得， 则，即， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D． 【变式5】一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 【答案】-2 【详解】因为，，所以，， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，由得，故， 故，解得， 所以，因此． 故答案为：． 【变式6】已知曲线在点处的切线方程为，且函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得，， 因为，所以， 则，所以， 所以，解得， 故，. 令，解得，解得， 因为在区间上没有零点， 所以，解得， 因为，所以，解得， 由，得，所以， 因为，所以或， 当时，；当时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 1．已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，. 故选：D. 2．已知函数，，，且，若，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知得， 所以． 故选：B. 3．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得曲线在处的切线斜率为. 由，得曲线在处的切线斜率为. 又曲线上总存在切线满足，且，而， 则， 故， 所以，解得， 即． 故选：D． 4．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点为，由，求导得， 则切线方程为：，而切线过点， 于是，又，则， 依题意，方程有且仅有两个不等实根，则， 解得或，所以符合题意. 故选：D 5．已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以. 令，得，所以， 所以，则. 故选：B． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则. 故选：D. 7．已知函数，则曲线在处的切线的斜率为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】∵，∴， ∴，即在处的切线的斜率为1. 故选：C. 8．（多选）若过点恰好可作曲线的两条切线，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】令，则， 设切点为，所以切线方程为，切线过点， 代入得，即方程有两个解， 则，解得或. 故选：BCD. 9．函数的图象在点处的切线的斜率为 ． 【答案】 【详解】因为，则， 故函数的图象在点处的切线的斜率为. 故答案为：. 10．已知直线与曲线相切，则 . 【答案】 【详解】由，得，设切点为， 则，，消去得， 函数在上单调递增，且， ，此时. 故答案为： 11．已知，设函数的图象在点处的切线为l，则l与轴交点的坐标为 ． 【答案】 【详解】由，， 而，则， 所以切线l的方程为， 令，得， 即l与轴交点的坐标为. 故答案为：. 12．已知函数，曲线在点处的切线方程为，则 ， ． 【答案】 1 1 【详解】． 由于直线的斜率为，且过点， 故即解得. 故答案为：1；1. 13．已知函数，则 ． 【答案】 【详解】令， 则，所以， 所以 ． 故答案为：. 14．已知函数，若曲线在点处的切线过坐标原点，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以． 又， 所以曲线在点处的切线方程为, 又该切线过坐标原点，所以，即， 解得:． 故答案为：. 15．已知函数，则 . 【答案】 【详解】函数，则， 则， 所以，则， 则. 故答案为：. 16．若曲线在点处的切线的斜率为2，则 ． 【答案】2 【详解】由题得， 由，得． 故答案为：2 17．设（为常数），曲线与直线在点相切，则 ， ． 【答案】 0 【详解】由曲线过点，可得，故． 由，得， 则，此即为曲线在点处的切线的斜率． 由题意，得，故，所以． 故答案为：①；②. 18．已知满足，且在处的切线方程为，则 . 【答案】-2 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以函数是R上的奇函数， 所以，解得，所以， 又， 故符合要求，则， 因为在处的切线方程为， 所以，即，解得，所以. 故答案为：-2 19．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）由幂函数的导数公式有； （2）由幂函数的导数公式有； （3）由幂函数的导数公式有； （4）由指数函数的导数公式有； （5）由对数函数的导数公式有. 20．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）． （2） ． （3）． （4）． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$