第六章 变量之间的关系 课件 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第六章 变量之间的关系 3 用关系式表示变量之间的关系 1 求两个变量之间的关系式的方法：1.根据表格中的数据，归纳出两个变 量之间的关系式。2.利用公式写出两个变量之间的关系式，比如三角形、 正方形的面积公式。 . . . . 2 知识点1 用关系式表示两个变量之间的关系 1.一辆汽车以的平均速度在公路上行驶，则所走的路程 与所用时间 之间的关系式为( ) D A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 3 2.一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余 的高度（厘米）与燃烧时间 （时）之间的关系式是( ) A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 4 3.一长为，宽为的长方形木板，现要在长边上截去长为 的一 部分（如图），则剩余木板的面积与 的关系式为 （其中 ）( ) C （第3题） A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 5 （第4题） 4. 如图所示，在三角形 中， 已知，高，动点由点沿 向点移动（不与点重合）。设的长为 ， 三角形的面积为，则与 之间的关系式为 ________________________。 1 星题 夯实四基 6 知识点2 求变量的值 5.变量与之间的关系式是，当自变量时，因变量 的值是( ) A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 7 6.弹簧原长（不挂重物） ，在弹性限度内，所挂重物每增加 ，弹簧的长度就增加 。 （1）在弹性限度内，弹簧总长与重物质量 的关系式为 ____________； （2）当重物质量为 （在弹性限度内）时，弹簧的总长是_______。 1 星题 夯实四基 8 7. 假设圆柱的高是 ，圆柱的底面半径由小到大变 化时，圆柱的体积也随之发生变化。 （1）在这个变化的过程中，自变量为________________，因变量为 ____________； （2）如果圆柱底面半径为，那么圆柱的体积 可以表示为 __________； （3）当由变化到时，由____变化到______ 。 圆柱的底面半径 圆柱的体积 1 星题 夯实四基 9 8.某中学数学兴趣小组准备围建一个长方形苗 圃园 ，其中一边靠墙，另外三边是由长 度为的篱笆围成的。如图，已知墙长 为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长 （1）求的长度与的长度 的关系式； 解： 。 为，的长度为，苗圃园的面积为 。 1 星题 夯实四基 10 （2）当时，求的长度以及苗圃园的面积 。 解：当时，的长度 ， 苗圃园的面积 。 1 星题 夯实四基 11 9.根据如图所示的流程图计算变量 的对应值，若输入变量 的值为1， 则输出的结果为( ) C A.2 B. C.1 D. 2 星题 提升四能 12 10.百货大楼进了一批花布,出售时要在进价的基础上加一定的利润，其 长度与售价 （元）如下表： 长度 1 2 3 4 … 售价 元 … 下列用表示 的关系式中，正确的是( ) B A. B. C. D. 2 星题 提升四能 13 11.“十一”期间，小明和父母一起开车到距家 的景点旅游，出发 前，汽车油箱内储油，当行驶 时，发现油箱剩余油量为 。（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的） （1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程 与剩余油量 的关系式； 解：该车平均每千米的耗油量为 。 。 （2）当时，求剩余油量 。 解：当时，剩余油量 。 2 星题 提升四能 14 12.某工厂计划从，两种产品中选择一种生产并销售，每日产销 件. 已知产品成本价为元/件为常数，且 ，售价为8元/件， 每日最多产销500件，同时每日支付专利费30元； 产品成本价为12元/ 件，售价为20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费元， （元）与每日产销（件）满足关系式。若产销， 两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出，与 的关系 式，并写出 的取值范围。 解：由题意得， ； 。 2 星题 提升四能 15 13. 某市在创设全国文明城市期间，在市区大道中间 的隔离护栏处加装了花卉盆栽，其平面示意图如图所示，假如每个盆栽 的宽度为1.2米，两个盆栽之间的距离为3米（支撑杆宽度忽略不计）。 盆栽个数 2 3 4 5 6 … 护栏总长度/米 5.4 9.6 18 … 3 星题 发展素养 16 （1）根据如图所示，将表格补充完整； 解：13.8; 22.2 3 星题 发展素养 17 （2）设有个盆栽，护栏总长度为米，则与 之间的关系式是______ ________； （3）求护栏总长度为81米时盆栽的个数。 解：当时， ， 解得 。 答：护栏总长度为81米时盆栽的个数为20。 3 星题 发展素养 18 $$第六章 变量之间的关系 1 现实中的变量 1 判断一个量是变量还是常量的方法：关键是看在变化过程中，该量的值 是否发生改变，或者说该量是否会取不同的数值；在变化过程中不变的 量是常量（连同它前面的符号），可以取不同数值的量是变量。 . . . . . . 2 知识点1 变量与常量 1. 小华同学在市场买某种水果，如图是称重时电子秤 的数据显示牌，则其中的常量是( ) A A.单价 B.金额 C.质量和单价 D.质量、单价和金额 1 星题 夯实四基 3 2.[2024滁州月考] 一根蜡烛原长12厘米，点燃 分钟后，剩余蜡烛的长 为 厘米，则在这个变化过程中，下列判断正确的是( ) C A.是常量 B.12是变量 C.是变量 D. 是常量 1 星题 夯实四基 4 知识点2 自变量与因变量 3. 在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的 水温会随着太阳照射时间的长短而变化，在这个变化过程中，因变量是 ( ) A A.热水器里的水温 B.太阳光的强弱 C.太阳照射时间的长短 D.热水器的容积 1 星题 夯实四基 5 4.[2024南京期中] 关于圆的周长公式 ，说法正确的是( ) B A. ， 是自变量，2是常量 B.是因变量，是自变量，2， 是常量 C.是自变量，2， ， 是常量 D.是自变量，是因变量，2， 是常量 1 星题 夯实四基 6 5.小亮帮母亲计算家庭4月份电费开支情况，下表是小亮家4月初连续8 天每天早上电表的读数： 日期/日 1 2 3 4 5 6 7 8 电表读数/度 21 24 28 33 39 42 46 49 表格中反映的变量是________________，自变量是______，因变量是 __________。 日期和电表读数 日期 电表读数 2 星题 提升四能 7 6. 我国的高铁技术发展日新月异，一次次惊艳世界， 成为我国装备制造的一张亮丽的名片。在高铁行驶过程中，司机在驾驶 室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄，如图表示了司机的 视野（度）随车速 （千米/时）变化而变化的情况。 速度 （千米/时） 50 100 400 视野 度 40 20 10 2 星题 提升四能 8 （1）在这个变化过程中，自变量是 ____________，因变量是_________ ___； 高铁的速度 司机的视野 （2）结合图象，表格中 ____， _____； 80 200 （3）若高铁司机视野不小于10度，则高铁行驶的速度最快是_________ ___； 400千米/时 2 星题 提升四能 9 （4）请举出生活中一个变量随另一个变量变化而变化的例子，并写出 自变量和因变量。 解：某天的气温随时间的变化而变化.自变量是时间，因变量是气温。 （答案不唯一，合理即可） 2 星题 提升四能 10 $$第六章 变量之间的关系 综合与实践 1 在解决一个新的数学问题的时候，我们一般要遵循“实验—观察—猜 想—验证”这样一个过程，即从特殊到一般。通过以上活动，可以提高 我们的数学研究能力。 1.当前计算机常用的数据形式是二进制，二进制数与十进制数之间的转 化问题、二进制数的计算问题十分常见。为了区分二进制与十进制的数， 我们一般在二进制数的右下角标注2，例如 。 2 （1）类比十进制的计数原理： ，把一个二进制 数转化为十进制数的方法为： 。 请你将二进制数转化为十进制数： ____。 19 3 （2）把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法， 将余数从下向上倒序写，就是结果。例如将十进制数302转化为二进制 数： ，， ， ，， ， ，， ， 所以 。 请你将十进制数101转化为二进制数，则 ___________。 4 （3）二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进 制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二 进制的数位有两个数码0和1，满二进一。 二进制的四则运算口诀如下： 加法：，，， 。 减法：，，， （同一数位不够 减时，向高一位借1当2）。 乘法：，，， 。 除法：， 。 5 请根据以上信息和所学的竖式计算相关知识，计算： ① ； 解： 。 ② ； 解： 。 ③ 。 解： 。 6 2.综合实践 【活动主题】探究图形面积与代数式之间的关系。 【活动资源】提供长度不同的两种木棒各4根（如图①）。 7 活动任务：运用以上8根木棒（不折断）摆成长方形或正方形，且木棒 全部用完。选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法（如图②）进 行研究。 8 【问题探究过程】 （1）发现问题： 请观察以上所有图形，并研究2种或2种以上摆法的图形面积之间的关系， 你发现哪些结论？ 例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍。 小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积。 聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新、更有意义的结论吗？ 你的发现是________________________________________。（请用简洁 的语言描述） 丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和 9 （2）提出问题： 请用代数式表示你的发现（设两种木棒的长度分别为， ）其中 ，四种图形面积分别为，，， 。 例如：小明的结论是 。 小张的结论是 ，你的结论是：______________。 10 （3）分析问题： 请用所学的数学知识证明你的结论。 例如：小明的证明方法如下。 证明：因为， ，所以 。 证明：因为， ， 所以 。又因为 ，所以 。 11 （4）拓展创新： 把甲摆法围成的大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形 （如图③），请用四个小长方形拼摆出边长为 的正方形，画出 示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系。 解：如图。 。 12 3.综合实践 项目 主题 探索七巧板的几何组成及其在图形拼接中的应用 13 项目 背景 我们熟知的七巧板是由宋代黄伯思设计的“燕几图”（“燕几”就是 “宴几”，也就是宴请宾客的案几）演变而来。到了明代，严澄将 “燕几图”里的方形案几改为三角形，发明了“蝶翅几”。而到了清 代初期，在“燕几图”和“蝶翅几”的基础上，兼有三角形、正方形 和平行四边形，能拼出更加生动、多样的图案的七巧板就问世了 （如图①网格中所示）。 _________________________________________________________________ 续表 14 驱动 任务 通过实际操作七巧板，了解其几何特性，并完成特定图形的拼接 任务。 研究步骤 （1）若正方形网格的边长为1，则图①中七巧板的七块拼板的总面积为 ___。 8 续表 15 （2）使用图①中的七巧板可以拼出一个轮廓如图②所示的长方形，请 在图②中画出拼图方法。（要求：画出各块拼板的轮廓） 解：如图①所示。 16 （3）随着七巧板的发展，出现了一些形式不同的七巧板，如图③所示 的是另一种七巧板。利用图③中的七巧板可以拼出一个轮廓如图④所示 的图形（大正方形的中间去掉一个小正方形），请在图④中画出拼图的 方法。（要求：画出各块拼板的轮廓） 解：如图②所示。 17 （4）分析（1）（2）（3），尝试找出七巧板几何上的规律。 （写出一条即可） 解：七巧板的拼接遵循面积守恒原则，即无论怎样组合，总面积不变。 （答案不唯一） 18 创新拼接 选择一个你感兴趣的图形（如动物或植物），使用七巧板进 行拼接，并描述你的拼接过程。 解：略 报告撰写 将你发现的几何规律和创新拼接的图形及拼接过程整理成一 份报告，展示你的理解和创造力。 解：略 19 $$第六章 变量之间的关系 4 用图象表示变量之间的关系 第1课时 用曲线型图象表示变量之间 的关系 1 图象法能直观、形象地描述两个变量之间的关系，但有的变量之间的关 系不能用图象完整地表示出来，图象只是反映两个变量之间关系的一部 分，且由图象确定的数值往往是近似的.在利用图象解决问题时，一定 要分清横轴和纵轴分别表示哪个变量。 . . . . 2 知识点 用图象表示变量间的关系 类型1 用曲线型图象表示两个变量间的关系 1.[2024江西] 将常温中的温度计插入一杯 的热水（恒温）中，温 度计的读数与时间 的关系用图象可近似表示为( ) C A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 3 2.下列各情景分别可以用图中的哪一幅图来近似地刻画？正确的顺序是 ______。 ①汽车紧急刹车（速度与时间的关系）； ②人的身高变化（身高与年龄的关系）； ③跳高运动员跳跃横杆（高度与时间的关系）； ④一瓶结了冰的矿泉水在桌面上放置（水温与放置时间的关系）。 1 星题 夯实四基 4 类型2 从曲线型图象中获取变量间关系的信息 3.如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度 随飞行时间 的变化情况，则这只蝴蝶飞行的 最高高度约为( ) D A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 5 4.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化， 如图所示，下列说法错误的是( ) D A.点表示的是12时骆驼的体温是 B.12时到次日凌晨4时骆驼体温一直下降 C.骆驼第一天12时体温与次日20时的体温相同 D.一天中，0时到12时骆驼的体温的变化范围是 到 1 星题 夯实四基 6 5. 图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面 的高度与旋转时间 之间的关系如图②所示。 1 星题 夯实四基 7 （1）根据图②填表： 0 3 6 8 12 … ___ ____ 5 ____ ___ … 5 70 54 5 （2）根据图中的信息，请求出摩天轮的周长。 解：由图象可知该摩天轮的直径为 ， 所以该摩天轮的周长为 。 1 星题 夯实四基 8 6. 下图反映了运动员进 行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间 的变化情况，如果血乳酸浓度降到 C A.运动后血乳酸浓度先升高再降低 B.当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过 C.采用静坐方式放松时，运动员大约 后就能基本消除疲劳 D.为更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松 以下，运动员就基本消除了疲劳，下列叙述错误的是( ) 2 星题 提升四能 9 7. 如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，给 出下列结论：①从立春到大寒，白昼时长先增大再减小；②夏至时白昼 时长最长；③立夏和立秋，白昼时长大致相等；④立春是一年中白昼时 长最短的节气. 其中正确的结论有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2 星题 提升四能 10 8.青春期男、女生身高变化情况不尽相同，如图 是小军和小蕊青春期身高的变化情况。 （1）图中反映了哪两个变量之间的关系?自变 量是什么？因变量是什么？ 解：反映了身高与年龄之间的关系，自变量是年龄，因变量是身高。 （2）, 两点分别表示什么？ 解：点表示小军和小蕊在11岁半时身高大约都是，点 表示小 军和小蕊在15岁时身高都是 。 2 星题 提升四能 11 （3）小蕊10岁时的身高大约是多少? 解：小蕊10岁时的身高大约是 。 （4）比较小军和小蕊的青春期身高情况的异同。 解：略。 2 星题 提升四能 12 9. 6月13日，某港口的潮水高度和时间 的部 分数据及关系图象如下： … 11 12 13 14 15 16 17 18 … … 189 137 103 80 101 133 202 260 … 3 星题 发展素养 13 （1）【数学活动】 ①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该关系图象。 解：如图所示。 3 星题 发展素养 14 ②观察该关系图象，当时，的值为多少？当的值最大时， 的 值为多少？ 解：通过观察该关系图象，可知当时，的值为200；当 的值最大 时， 的值为21。 3 星题 发展素养 15 （2）【数学思考】请结合该关系图象，写出该关系的两条性质或结论。 [答案] 该关系的两条性质如下（答案不唯一） ①当时，的值随 的增大而增大； ②当时， 有最小值，最小值为80。 3 星题 发展素养 16 （3）【数学应用】根据研究，当潮水高度超过 时，货轮能够安 全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？ [答案] 由图象知，当时，或或或 ， 故当或时， 。 答：当天和 （不含端点）这两个时间段适合货轮 进出此港口。 3 星题 发展素养 17 $$第六章 变量之间的关系 全章热门考点整合专训 1 变量之间的关系是初中数学的重要内容，是学习函数知识（以后将学） 的基础，也是各类考试常考的内容，题型常以填空题、选择题和解答题 的形式出现。本章热门考点可概括为两组概念、三个方法和一种思想。 2 考点1 两组概念 概念1 常量与变量 1.下列说法中，正确的是( ) C A.学校操场的周长是一个变量 B.圆周率 是一个变量 C.行驶中的汽车油箱中的存油量是一个变量 D.在公式中，若是常量，那么和 也都是常量 返回 3 概念2 自变量与因变量 2.小华在做关于弹簧的实验的过程中，把一根弹簧的上端固定，在其下 端悬挂物体，验证所挂物体质量与弹簧长度的关系，记录数据如下表： 所挂物体质量/千克 0 1 2 3 4 5 弹簧长度/厘米 12 15 18 21 24 27 4 据此回答下列问题： （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ 解：反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系，所挂物体质量是自变 量，弹簧长度是因变量。 （2）当所挂物体质量为5千克时，弹簧长度为多少？不挂物体时呢？ 解：当所挂物体质量为5千克时，弹簧长度为27厘米；不挂物体时，弹 簧长度为12厘米。 5 （3）当所挂物体质量为7千克（在弹性限度内）时，你能说出此时的弹 簧长度吗？ 解：由表格可知，在弹性限宽内，所挂物体质量每增加1千克，弹簧长 度增加3厘米，所以当所挂物体质量为7千克（在弹性限宽内）时，弹簧 长度为 （厘米）。 返回 6 考点2 三个方法 方法1 用表格表示变量之间的关系 3. 心理学家发现，学生对概念的接受能力 与提出概念 所用的时间（单位：）之间有如下关系（其中 ）： 提出概念所用的时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 学生对概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 7 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ 解：反映了提出概念所用的时间和学生对概念的接受能力 两个变量之 间的关系； 提出概念所用的时间是自变量，学生对概念的接受能力 是因变量。 （2）当提出概念所用的时间是 时，学生对概念的接受能力是多少？ 解：由表可知，当时， 。答：当提出概念所用时间是 时，学生的接受能力是53.5。 8 （3）根据表格中的数据回答：当提出概念所用的时间是几分钟时，学 生的接受能力最强？ 解：提出概念所用时间为13分钟时，学生的接受能力最强。 （4）根据表格中的数据回答：当 在什么范围内时，学生的接受能力在 增强？当 在什么范围内时，学生的接受能力在减弱？ 解：由表中数据可知：当时， 值逐渐增大，学生的接受能力 逐步增强；当时， 值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱。 返回 9 方法2 用关系式表示变量之间的关系 （第4题） 4.[2024渭南期中] 如图，一个圆的半径为 ，它的 半径增加后，圆的面积增加 。 （1）这个圆的面积增加量 与半径增加量 之间的关系式是_______________； （2）当这个圆的半径增加量从变化到 时， 这个圆的面积增加量从____变化到______ 。 返回 10 方法3 用图象表示变量之间的关系 5.[2024南京期末] 如图所示的图象中所反映的过程是：张强从家跑步去 体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家。 其中表示时间， 表示张强离家的距离。根据图象提供的信息，以下四 个说法中错误的是( ) D （第5题） A.体育场离张强家2.5千米 B.张强在体育场锻炼了15分钟 C.体育场离早餐店1千米 D.张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 返回 11 6. 人的大脑所能记忆的内容 是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐 渐被遗忘，德国心理学家艾宾浩斯第一个发现 了记忆遗忘规律。他根据自己得到的测试数据 （1）其中自变量是______，因变量是____________； 时间 记忆保持量 （2）在以下时间段内遗忘的速度最快的是____（填序号）； ；；； 。 ① 描绘了一条曲线（如图所示），这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线， 观察图象并回答下列问题： 12 （3）图中 点表示的意义是___________________________； 9小时后记忆保持量约为 （4）老师要求我们“堂堂清”“日日清”，请结合艾宾浩斯遗忘曲线谈谈 你的看法。 解：如不复习，会很快忘掉很多，只能保持大约 的记忆。老师要求 我们“堂堂清”“日日清”，是提示我们学习后要及时复习。（答案不唯一， 合理即可） 返回 13 考点3 一种思想 7.某校与部队联合开展红色之旅研学 活动，上午 ，部队官兵乘坐军 车从营地出发，同时学校师生乘坐大 巴从学校出发，沿公路（如图①）到 爱国主义教育基地进行研学.上午，军车在离营地 的地方追 上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘 坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路 程与所用时间 的关系如图②所示。 14 （1）求大巴离营地的路程与所用时间的关系式及 的值； 解：由图象可得，大巴速度为 ， 所以 。 当时，,解得，所以 。 （2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间。 解：由图象可得，军车速度为 。 设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为 ,根据题意，得 ，解得 ， 所以部队官兵在仓库领取物资所用的时间为 。 返回 15 $$第六章 变量之间的关系 专项突破10 变量之间关系的三种表 示方法 1 变量之间关系的表示方法共有三种：表格法、关系式法、图象法，它们 分别从数、式和形的角度反映了变量之间的关系。 2 方法1 用表格表示变量之间的关系 1.地表以下岩层的温度和它所处的深度有以下关系： 深度/ 1 2 3 4 5 6 7 温度/ 55 90 125 160 195 230 265 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ 解：反映了地表以下岩层的温度和它所处的深度之间的关系，深度是自 变量，温度是因变量。 3 （2）深度每增加 ，温度增加多少摄氏度？ 解：深度每增加，温度增加 。 （3）估计 深处的岩层温度是多少摄氏度。 解：估计深处的岩层温度是 。 4 方法2 用关系式表示变量之间的关系 2.已知池中有水，每小时抽出 。 （1）写出剩余水的体积与时间 之间的关系式。 解： 。 （2） 后，池中还有多少立方米的水？ 解：当时， ， 所以后，池中还有 的水。 （3）几小时后，池中还有 的水？ 解：当时，，解得 ， 所以后，池中还有 的水。 5 3.我国航天事业发展迅速，某玩具店抓住商机，先购进了1 000件相关 航天模型玩具进行试销，进价为50元/件。 （1）设每件玩具售价为元，全部售完的利润为元。求利润 （元） 关于售价 （元/件）的关系式。 解：依题意得 。 6 （2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种 航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的 用于支持某航模 兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好为10 000元，请问 该玩具店继续购进了多少件航天模型玩具？ 解：设该玩具店继续购进了件航天模型玩具，则总共有 件航天模型玩具，依题意得 ， 解得 。 答：该玩具店继续购进了4 000件航天模型玩具。 7 方法3 用图象表示变量之间的关系 4. 如图，取一根长的匀质木杆， 用细绳绑在木杆的中点 并将其吊起来，在中点的左侧距离中点 处挂一个重的物体， 在中点 的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹 簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足 ，如果用横 轴表示的数值，用纵轴表示的数值. 那么关于 的图象大致是( ) B A. B. C. D. 8 5. 【素材1】某景区游览路线及方向如图①所示，① ④⑥路段路程相等，⑤⑦⑧路段路程相等，②③两路段路程相等。 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟.小温游路 线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他所走的路程 与时间 的关系（部分数据）如图②所示，在2 100米处，他到出口还要 走10分钟。 9 【问题】路线①③⑥⑦⑧的各路段路程之和为( ) B A.4 200米 B.4 800米 C.5 200米 D.5 400米 10 [解析] 点拨：由图象可知，小州游玩行走的时间为 （分钟），小温游玩行走的时间为 （分钟）。设①④⑥路段路程为 米，⑤⑦ ⑧路段路程为米，②③路段路程为 米，由题意得， ，解得 ，所以游玩行走的速度为 （米/分钟）。由于游玩行走速度恒定，所 以小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为 （米），所以 ，所以路线①③⑥⑦⑧的各路段路程之和 为 （米）。 11 6.某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们生产的零件数 量（个）与生产时间 之间的关系如图所示。 （1）根据图象填空： ①甲、乙中，____先完成40个零件的生产任 务；在生产过程中，____因机器故障停止生 产的时长是____。 甲 甲 ②在甲完成生产任务之前，当 _______时， 甲、乙生产的零件个数相等。 或5.5 12 （2）谁在哪一段时间内的生产速度最快？求在该段时间内他每小时生 产零件的个数。 解：由图象得甲在 内的生产速度最快。 因为 （个）， 所以在该段时间内他每小时生产10个零件。 13 $$第六章 变量之间的关系 2 用表格表示变量之间的关系 1 用表格表示两个变量之间的关系，能准确地指出几组自变量与因变量的 值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分。 . . . . 2 知识点 用表格表示变量之间的关系 1.一种豆子的售价是2元/，豆子的总售价 （元）与售出豆子的质量 之间的关系如下表： 售出质量 0 0.5 1 1.5 2 2.5 总售价 元 0 1 2 3 4 5 （1）在这个表格中反映的是自变量________________和因变量_______ 之间的关系； （2）随着的逐渐增大， 的变化情况是__________。 售出豆子的质量 总售价 不断增大 1 星题 夯实四基 3 2. 某厂在设计一种易拉罐的过程中发现符合要求的易拉 罐的底面半径与用铝量有如下关系： 底面半径 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 用铝量 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ 解：反映了易拉罐底面半径和用铝量的关系，其中，易拉罐底面半径为 自变量，用铝量为因变量。 1 星题 夯实四基 4 （2）当易拉罐底面半径为 时，易拉罐需要的用铝量是多少？ 解：当底面半径为时，易拉罐需要的用铝量为 。 （3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？ 说说你的理由。 解：易拉罐底面半径为 时比较适宜，因为此时用铝量较少，成本低。 1 星题 夯实四基 5 3. 在高处让一物体由静止开始落下，它下落经过的时 间（秒）与下落的高度 （米）之间的关系如下表： 时间 秒 1 2 3 4 … 下落高度 米 … 请根据表格中的数据估计下落经过的时间为5秒时，下落的高度是_____ __米。 122.5 2 星题 提升四能 6 4.[2024榆林期中] 游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936 立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，它们的变化情况如表： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 存水量/立方米 858 780 702 624 546 468 根据表格中的数据，回答下列问题： （1）上表中__________是自变量；________________是因变量； （2）当放水时间为1小时时，游泳池的存水量为_____立方米；当放水 时间为4小时时，游泳池的存水量为_____立方米； 放水时间 游泳池的存水量 858 624 2 星题 提升四能 7 （3）说一说这个游泳池的存水量随着放水时间的增加是怎样变化的； 解：由表可知：随着放水时间的增加，存水量逐渐减小。 （4）请你估计当放水5.5小时和9小时时，游泳池的存水量分别是多少 立方米。 解：由表可知：每增加1小时，存水量减少78立方米。 由此估计：当放水5.5小时时，存水量为 （立方米）。 当放水9小时时，存水量为 （立方米）。 2 星题 提升四能 8 $$第六章 变量之间的关系 4 用图象表示变量之间的关系 第2课时 用折线型图象表示变量之间 的关系 1 根据图象读取信息时要把握的“三个方面”：1.读懂横轴和纵轴的意义； 2.对于某个具体的点，可分别向横轴、纵轴作垂线，从而求得自变量与 因变量具体的值； 3.在实际问题中要注意图象与横轴、纵轴的交点表 示的实际意义。 2 知识点 用图象表示变量之间的关系 类型1 用折线型图象表示两个变量间的关系 （第1题） 1.[2024秦皇岛模拟] 如图，汽车匀速通过隧道时，汽车 在隧道内的长度与汽车进入隧道的时间 之间的关系用 图象描述大致是( ) A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 3 （第2题） 2.[2024武汉] 如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径 不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水。下列图象能大致反 映水槽中水的深度与注水时间 的函数关系的是( ) D A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 4 类型2 从折线型图象中获取两个变量间关系的信息 3.小方一家去参观某国际博览会，上午9：00开车前往会展中心参观。 途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间。车修好后，他们继续开车 赶往会展中心。以下是他们家出发后离家的距离 与时间的关系图象。 分析图中信息，下列说法正确的是( ) D （第3题） A.途中修车花了 B.修车之前的平均速度是 C.车修好后的平均速度是 D.车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍 1 星题 夯实四基 5 （第4题） 4.“龟兔赛跑”的故事同学们都很熟悉，如图是乌 龟与兔子第一次比赛所跑的路程与时间 的关系。 下列说法：①兔子在中间睡了 ；②乌龟 在第 时追上了兔子；③兔子睡醒后跑得 更快了，速度提升了 ；④当乌龟到达 B A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 终点时，兔子距离终点还有 。其中正确的是( ) 1 星题 夯实四基 6 5.如图是一种轨道示意图，中间是一个圆， 为直径， 点，，，依次在同一直线上，且 。现有 两个机器人（看成点）分别从， 两点同时出发，沿着 D A. B. C. D. 轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为 和。若移动时间为，两个机器人之间的距离为 ， 则与 关系的图象大致是( ) 2 星题 提升四能 7 6.[2024资阳] 小王前往距家2 000米的公司参 会，先以 （米/分）的速度步行一段时间后， 再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会 议开始还有14分钟，小王距家的路程 （单位：米）与距家的时间 （单位：分钟） 5 之间的函数图象如图所示。若小王全程以 （米/分）的速度步行，则 他到达时距会议开始还有___分钟。 2 星题 提升四能 8 点拨：根据题意可得 （米/分），小王全程 以 （米/分）的速度步行，则他到达公司需要的时间为 （分钟），由图可知，会议开始时间为出发后 （分钟），所以若小王全程以 （米/分）的速度步行， 则他到达时距会议开始还有 （分钟）。 2 星题 提升四能 9 7.如图是一辆汽车在行驶途中的速度 随时间 变化的示意图。 （1）图象中的点到点、点到点、点到点 分别表明汽车在什么 状态？ 解：点到点表明汽车在匀速行驶，点到点 表明汽车在加速行驶， 点到点 表明汽车在减速行驶。 2 星题 提升四能 10 （2）汽车在点的速度是多少？在点 呢？ 解：汽车在点的速度是，在点的速度是 。 2 星题 提升四能 11 （3）司机在第开始先匀速行驶，之后立即减速行驶 停止，请你在图中补上从 以后汽车行驶的速度与时间的关系图象。 解：补图如图所示： 2 星题 提升四能 12 8.如图①，点是上靠近点的三等分点，点在上，动点 以每秒 的速度沿图①的边线运动，运动路径为 ， 相应的三角形的面积关于运动时间 的图象如图②，若 。 2 星题 提升四能 13 （1）求和 的长； 解：根据图象可知：当点在点时， 。因为 ，所以 。 又因为点是上靠近点 的三等分点， 所以 ， 所以 ； 当点从点运动到点时，三角形 的面积不变， 由题图②知，点从点运动到点需要，所以 。 2 星题 提升四能 14 （2）当时，求 的值； 解：当时，点在点 处， 所以 。 又因为当时，三角形 的面积不变， 所以当时， 的值为18。 2 星题 提升四能 15 （3）当时，求 的值。 解：由题图②知，当时，点在 上运动，所以 ， 所以易得 。 因为 ， 所以 ， 由题意得，当时，点到达 点， 所以 。 2 星题 提升四能 16 9. 甲乙两地相距 ，如 图表示往返于两地的公交车离甲地的距离 （单位： ）与从早晨7：00开始经过的时 间（单位： ）之间的关系。小明早晨7 B A. B. C. D. 点从甲地出发，匀速跑步去乙地，若他在中途与迎面而来的公交车相遇 3次，被同向行驶的公交车超越2次，则小明的速度可能是 ( ) 3 星题 发展素养 17 $$