复习专题06 幂指对函数的图象与性质（10考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

专题06 幂指对函数的图象与性质 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：根式与指数幂 1、根式 （1）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）的次方根的表示 当n是奇数时，，的值仅有一个，记为 当n是偶数，①时，的有两个值，且互为相反数，记为； ②时，不存在 （3）根式的性质（，且）：； 2、分数指数幂 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3、指数幂的运算性质 （1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （2）指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 知识点2：对数与对数运算 1、对数的概念与性质 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。 （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1). 指数式与对数式的关系 2、对数的的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 ①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 3、换底公式 （1）logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 选用换底公式时，一般选用e或10作为底数。 （2）换底公式的三个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad. 知识点3：幂函数的图象与性质 1、幂函数的概念与图象 （1）定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）幂函数的特征：①xα的系数是1；②xα的底数x是自变量；③xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等函数都不是幂函数． （3）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 2、一般幂函数的图象与性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 知识点4：指数函数的图象与性质 1、指数函数的概念 （1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． （2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 2、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 3、指数函数的底数对图象的影响 函数，，和，，的图象如图所示． （1）当且时，底数越大，图象越“陡”； 当且时，底数越小，图象越“陡”． （2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”． 知识点5：对数函数的图象与性质 1、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2、对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势， 又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴. 3、底数对对数函数图象的影响 （1）底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势； （2）函数与（，且）的图象关于轴对称； （3）底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． 考点剖析 【考点1 指数式与对数式的化简】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， 则， 即.故选：. 2．（24-25高一上·江苏苏州·月考）（多选）下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A选项，，A选项正确. B选项，，B选项正确. C选项，，C选项正确. D选项， ， 所以D选项错误.故选：ABC 3．（24-25高一上·辽宁大连·月考）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为，所以， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误.故选：ABC. 4．（24-25高一上·云南昆明·月考）计算： (1); (2) 【答案】(1)3；(2)11 【解析】（1）原式； （2）原式. 5．（24-25高一上·江苏苏州·月考）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)-2；(2)2；(3) 【解析】（1）； （2） ； （3） . 【考点2 幂指对函数的定义及解析式】 6．（24-25高一上·湖南·月考）“”是“为指数函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，是指数函数； 若是底数为的指数函数．则，且，解得， 故“”是“为指数函数”的充分不必要条件．故选：C. 7．（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【解析】因为函数是指数函数， 且，， 由解得或，，故选：D. 8．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·月考）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为.故选：C. 9．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．9 C． D． 【答案】D 【解析】设幂函数，代入点可得，解得，所以； 因此.故选：D 10．（24-25高一上·江苏盐城·月考）若幂函数的图象不过原点，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】对于幂函数， 有，解得或， 当时，，则幂函数为，显然其图象不过原点； 当时，，则幂函数为，显然其图象不过原点； 综上，或.故选：C. 【考点3 求幂指对函数的定义域】 11．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得， 所以函数的定义域是.故选：C. 12．（24-25高一上·山东·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使函数有意义， 则且，解得．故选：D. 13．（24-25高一上·山东淄博·月考）函数的定义域是 . 【答案】 【解析】函数的定义域满足： ，解得或， 所以函数的定义域为. 14．（24-25高一上·湖南·月考）已知幂函数的定义域是，则 ． 【答案】 【解析】因为函数为幂函数， 则，即，解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 15．（24-25高一上·天津·月考）函数定义域为 ，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由函数定义域为 ，可得不等式在上恒成立， ① 当时，不等式为显然成立； ② 当时，需使，解得. 综上可得，实数的取值范围是. 【考点4 求幂指对函数的值域】 16．（24-25高一上·广东惠州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，对称轴，开口向上，∴， ∴，∵，∴函数在上单调递减， ∴，故选：D 17．（23-24高一上·河北石家庄·月考）下列各函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，显然取尽正实数，因此的值域是，A不是； 对于B，，则，即，函数的值域为，B不是； 对于C，的值域为R，因此的值域为，C是； 对于D，由于，则且，即函数的值域为，D不是.故选：C 18．（23-24高二上·江苏南通·开学考试）已知函数，在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数，，令，则. 所以原函数转化为,又对称轴为， 所以当时，函数取得最小值，当或时，函数取得最大值为， 所以所求函数的值域为，故选：A． 19．（24-25高一上·天津北辰·月考）设函数，的值域是 ． 【答案】 【解析】当时，单调递减，所以， 故的值域为：， 当时，单调递增，，故的值域为：， 综上，的值域为. 20．（24-25高一上·江苏扬州·月考）已知且，若函数在上有最小值，则的取值范围为 【答案】 【解析】因函数在上有最小值，则在上有最小值， 则在上单调递减，得，又注意到此时， 则当时，有最小值. 故答案为： 【考点5 幂指对函数的图象问题】 21．（24-25高一上·湖北武汉·月考）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则指数的值依次可以是（    ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 【答案】D 【解析】由图可知，：在第一象限内单调递减，则指数的值满足； ：在第一象限内单调递增，且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足； ：在第一象限内单调递增，且图象呈现下凸趋势，则指数的值满足.故选：D. 22．（24-25高一上·河南商丘·月考）已知且，则函数的图象必经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】A 【解析】当时，函数的图象经过第一、二、四象限，如图， 当时，函数的图象经过第一、二、三象限，如图， 综上可知，函数的图象必经过第一、二象限．故选：A． 23．（24-25高一上·湖南·月考）函数的图象在图中的序号依次为（    ） A．①②③④ B．②①③④ C．①②④③ D．②①④③ 【答案】D 【解析】，两函数的定义域为， 因为，所以①为，②为， 两函数的定义域为， 因为，所以③为，④为.故选：D. 24．（24-25高一上·河北石家庄·月考）（多选）已知，，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为，且，所以有两种可能： 当，则在上是递减函数，且在上递减函数， 此时只有C满足，故C正确； 当，则在上是递增函数，且在上递增函数， 此时只有B满足，故B正确；故选：BC． 25．（24-25高一上·福建莆田·月考）（多选）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】BD 【解析】对于A，由图象可知函数单调递减，则，故A错误； 对于B，当时，，由图象可得，解得，故B正确； 对于C，，由是增函数，则，故C错误； 对于D，由，，则函数是增函数， 当时，，故D正确.故选：BD. 【考点6 幂指对函数过定点问题】 26．（24-25高一上·福建福州·月考）已知函数（且）的图像恒过定点，则 ． 【答案】5 【解析】令，解得，函数值与没有关系，此时， 故函数过定点，即，，所以. 故答案为：5. 27．（24-25高一上·山东临沂·月考）函数且的图像过定点，且点在幂函数的图像上，则 ． 【答案】 【解析】令，解得，此时，故， 设，将代入得，解得， 故，故，. 故答案为： 28．（24-25高一上·山西·月考）已知函数（，且）的图象恒过点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】令，解得， 又， 所以函数，且）的图象恒过点， 即，，所以．故选：B． 29．（24-25高一上·广东揭阳·月考）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D． 【答案】B 【解析】由的图象恒过定点，可得，，则； 因， 当且仅当时等号成立， 由，可解得， 故当时，的最小值为8.故选：B. 30．（24-25高一上·广东揭阳·月考）（多选）已知，且，下列函数中一定经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为时，，，故选：BCD. 【考点7 幂指对函数的单调性问题】 31．（24-25高一上·江苏镇江·月考）函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【解析】因为是幂函数， 所以，解得或， 又因为该函数在上为增函数，所以，故选：D. 32．（24-25高一上·江西宜春·月考）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得或，即函数的定义域为， 令，得，因为函数在上单调递增， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以根据复合函数同增异减的性质可得的单调递增区间为.故选：C. 33．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间上是减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则函数由函数和复合而成， 而是减函数，则在上是增函数，从而，所以， 由当时，恒成立， 所以当时，，解得， 综上，的取值范围为.故选：. 34．（24-25高一上·重庆·月考）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知函数是由指数函数和二次函数复合而成的； 再由复合函数单调性可得，使二次函数在区间上单调递减即可； 因此，可得.故选：D 35．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 在区间（1,2）上单调递增，则 a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，因为函数在区间上单调递增， 而在区间上单调递增， 函数在区间上单调递增，且恒有． 令，显然函数在区间上单调递增， 因此函数在区间上单调递增，且． 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，且恒成立，因此． 当时，由在区间上单调递增，得，解得． 由，得，解得，因此． 综上所述，的取值范围是.故选：D 【考点8 比较幂指对的大小】 36．（24-25高一上·广东佛山·期中）设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以.故选B. 37．（24-25高一上·湖北武汉·月考）设，，，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，， 因为函数为增函数，，所以， 故.故选：A. 38．（24-25高一上·辽宁大连·月考）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由在上单调递减，则； 由在上单调递增，则； 由在上单调递增，则. 综上可得，，即.故选：D. 39．（24-25高三上·贵州六盘水·月考）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是上的增函数， 所以，即， 又因为是增函数，所以， 又是上的增函数， 所以，即， 综上所述，a，b，c的大小关系为.故选：A. 40．（24-25高一上·湖南邵阳·月考）若函数为偶函数，对任意的，，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，且，都有， 所以函数在上单调递减． 又函数为偶函数，所以函数的图象关于直线对称， 所以．又，， 因为，所以； 因为，所以． 所以，所以， 即．故选：A 【考点9 幂指对函数解不等式】 41．（24-25高一上·福建福州·月考）若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】单调递减， 所以，解得：.故选：A 42．（24-25高一上·江苏·月考）已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以函数的定义域为， 关于原点对称，且，所以为偶函数， 又时，是单调递增函数，所以是单调递减函数， 根据对称性知时，所以是单调递增函数， 由得，解得.故选：C. 43．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 由于，所以的定义域为， 又 ，所以是奇函数， 当时，为增函数，为增函数， 所以是增函数，则， 由是奇函数可知，在上单调递增， 由得，即， 则，解得或， 所以不等式的解集为.故选：D 44．（24-25高一上·上海·月考）已知，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由于幂函数，定义域为，偶函数，且在单调递减， 所以由， 可得：，且， 对平方可得：， 解得：，又， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 45．（24-25高一上·广东广州·月考）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由，，得， 即，令， 则，则， 设， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减，又， 则，即，解得， 所以不等式的解集为. 【考点10 幂指对函数综合应用】 46．（24-25高一上·山东日照·月考）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值； (2)若，求的取值范围； (3)设，求的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3)2 【解析】（1）由是幂函数，得，解得或， 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，，在上单调递减，符合题意， 所以． （2）若，即， ∵函数在上单调递增， ∴，解得． （3），则，， ∵， ∴，当且仅当取等号， ∴的最大值为2． 47．（24-25高一上·天津·月考）已知函数. (1)求函数的定义域，判断函数的奇偶性并证明: (2)若，求实数的取值范围； (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 【答案】(1)定义域为，函数为偶函数，证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 故函数为偶函数. （2）当时，， 由得，解得， 由可得，解得， 所以，实数的取值范围是. （3）因为，则， 因为存在使得不等式成立， 则，解得， 因此，实数的最大值为. 48．（24-25高一上·安徽亳州·月考）已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； (3)函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为函数为奇函数， 所以，即，即， 所以，解得， 经检验不符题意，所以； （2）由（1）得， 由，解得，所以函数的定义域为， 令，函数在上单调递减，而函数是增函数， 所以函数上单调递减， 由，得， 则，即， 所以，解得， 即不等式的解集为； （3）由题意，函数和在上的值域的交集不为空集， 由（2）可知：时，为减函数， 又，所以的值域为， 若，则在上单调递减，则的值域为， 此时只需，即，所以； 若，则在上单调递增，则的值域为， 此时与的交集显然为空集，不满足题意；   综上所述，实数的范围是. 49．（24-25高一上·山东淄博·月考）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值. (2)试判断的单调性并证明，并求的值域. (3)解关于的不等式. 【答案】(1)；(2)单调递增，理由见解析，的值域为；(3) 【解析】（1）为定义域为R上的奇函数，故， ，即， 故，解得； （2）由（1）知，，在R上单调递增， 任取，且， ， 因为，在R上单调递增，故， 又， 所以，故， 所以在R上单调递增， ，变形得到，解得， 故的值域为； （3）为定义域为R上的奇函数， 故， 由（2）知，在R上单调递增， 所以，令， 则，解得， 故，解得， 不等式解集为 50．（24-25高一上·湖南·月考）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若，存在实数m，，使得当的定义域为时，的值域为，求实数a的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）若则，令， 令，其对应的二次函数图象开口向上，对称轴为， 所以当时， 所以的最小值为. （2）因为，所以在上单调递增， 所以当的定义域为时，的值域为， 即， 即在上有两个不同的实数解， 即在上有两个不同的实数解， 令，所以在上有两个不同的实数解， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 过关检测 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏苏州·月考）使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得：，解得：且， 所以的取值范围是，故选：D 2．（24-25高一上·江苏·月考）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由解得， 所以的定义域是.又在上单调递减，在定义域上单调递增， ，的开口向下，对称轴为， 根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是.故选：D 3．（24-25高一上·山东·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】结合对数运算性质化简得：，， 又因为，所以， 因为，所以，则，即，故．故选：C 4．（24-25高一上·山东·月考）已知，，，则的值为（    ） A．或0 B．1 C． D．1或0 【答案】A 【解析】因为， 所以由， 得，化简得， 即，解得或. 又， 故当时，； 当时，； 综上，的值为或0.故选：A. 5．（24-25高一上·云南昆明·期中）幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】因为幂函数在上单调递增， 则，解得或.故选：B. 6．（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】．设， 则．因为，所以， 当时，；当时，．故选：A． 二、多选题 7．（24-25高一上·山东·月考）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是增函数 B． C．的图象关于轴对称 D．的值域为 【答案】ABD 【解析】的定义域为， 对于A：，因为在上递增， 所以在上递减，所以在上递增，故正确； 对于B：，故正确； 对于C：因为，所以， 所以的图象不可能关于轴对称，故错误； 对于D：，因为，所以， 所以，所以的值域为，故正确；故选：ABD. 8．（24-25高一上·江西南昌·月考）关于函数，下列说法正确的有（    ） A． B．的函数图象关于y轴对称 C．的函数图象关于原点对称 D．在定义域上单调递减 【答案】AC 【解析】对于A，由，可得，故A正确； 对于B,C,因为，其定义域为， 显然定义域关于原点对称，且， 即为奇函数，所以的图像关于原点对称，故B错误，C正确； 设，则， 因为在和上单调递减， 又在定义域上单调递增， 所以在和上单调递减，故D错误；故选：AC. 9．（24-25高一上·江苏徐州·月考）下列命题正确的是（    ） A．是函数在上单调递增的充分不必要条件 B．关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 C．若正数a、b满足，则； D．已知函数为奇函数，且，当时， 【答案】ACD 【解析】对于A，由函数在上单调递增，得，解得， 因此是函数在上单调递增的充分不必要条件，A正确； 对于B，依题意，是方程的根，且，则， 不等式化为，于是，解得，B错误； 对于C，由正数满足，得， ， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由幂函数满足，得，解得， 由，得或，当时，为偶函数，不满足题意； 当时，为奇函数，满足题意，则， 于是 ， 由，得，则，D正确.故选：ACD 三、填空题 10．（24-25高一上·福建泉州·月考）已知函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【解析】由得，所以的定义域是， 又， 令，则， ， 所以时，，时，，所以值域为， 故答案为：． 11．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】因为为幂函数， 则，解得，或， 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意， 且在上单调递减，在上单调递增， 若，则，解得或， 即不等式的解集为. 故答案为：. 12．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数分别为上的偶函数和奇函数，且，若对于任意，任意，使得成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由①可得， 又函数分别为上的偶函数和奇函数， 则，，则②， ①②可得，则， ①②可得，则， 当时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，， 其中在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 则， ，即， 由任意，使得成立， 当时，则，此时满足对于任意，任意， 使得成立， 当时，可得，即，解得，即， 综上，所以的取值范围为. 四、解答题 13．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数m的取值集合. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 令，由，则， 所以. （2）由，则， 由，则令，所以， 故在上恒成立， 等价于不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 可得，解得， 当时，不等式对于恒成立. 14．（24-25高一上·吉林·期中）己知函数的图象经过点． (1)求a的值； (2)求不等式的解集； (3)若成立，求m的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由函数的图象经过点，得， 而，则，所以. （2）由（1）知，，的定义域为R，， 即函数为奇函数，又在上单调递增，在上单调递减， 因此在上单调递增，不等式， ，于是，解得或， 所以的解集为. （3）由（2）知，不等式， 则，依题意，，恒成立， 而当时，，当且仅当时取等号，因此， 所以m的取值范围是. 15．（24-25高一上·河北邢台·月考）已知幂函数的图象经过点，函数. (1)求的解析式； (2)讨论的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； (3)若且，讨论函数的单调性，说明你的理由. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (3)在上单调递减，在上单调递增；理由见解析 【解析】（1）设，则，解得，； （2）， 在上单调递减，在上单调递增，证明如下： 设，则 . 当时，， 故，， 故， 则，即在上单调递减； 当时，， 故，， 故， 则，即在上单调递增； （3）当时，为增函数，若，则，若，则， 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减得在上单调递减， 在上单调递增. 当时，为减函数，若，则，若，则， 由复合函数单调性满足同增异减得在上单调递减， 在上单调递增. 在上单调递减，在上单调递增. 综上可知，在上单调递减，在上单调递增. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 幂指对函数的图象与性质 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：根式与指数幂 1、根式 （1）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）的次方根的表示 当n是奇数时，，的值仅有一个，记为 当n是偶数，①时，的有两个值，且互为相反数，记为； ②时，不存在 （3）根式的性质（，且）：； 2、分数指数幂 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3、指数幂的运算性质 （1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （2）指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 知识点2：对数与对数运算 1、对数的概念与性质 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。 （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1). 指数式与对数式的关系 2、对数的的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 ①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 3、换底公式 （1）logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 选用换底公式时，一般选用e或10作为底数。 （2）换底公式的三个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad. 知识点3：幂函数的图象与性质 1、幂函数的概念与图象 （1）定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）幂函数的特征：①xα的系数是1；②xα的底数x是自变量；③xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等函数都不是幂函数． （3）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 2、一般幂函数的图象与性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 知识点4：指数函数的图象与性质 1、指数函数的概念 （1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． （2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 2、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 3、指数函数的底数对图象的影响 函数，，和，，的图象如图所示． （1）当且时，底数越大，图象越“陡”； 当且时，底数越小，图象越“陡”． （2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”． 知识点5：对数函数的图象与性质 1、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2、对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势， 又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴. 3、底数对对数函数图象的影响 （1）底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势； （2）函数与（，且）的图象关于轴对称； （3）底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． 考点剖析 【考点1 指数式与对数式的化简】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏苏州·月考）（多选）下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁大连·月考）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南昆明·月考）计算： (1); (2) 5．（24-25高一上·江苏苏州·月考）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【考点2 幂指对函数的定义及解析式】 6．（24-25高一上·湖南·月考）“”是“为指数函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 8．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·月考）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．9 C． D． 10．（24-25高一上·江苏盐城·月考）若幂函数的图象不过原点，则（    ） A． B． C．或 D．或 【考点3 求幂指对函数的定义域】 11．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·山东·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·山东淄博·月考）函数的定义域是 . 14．（24-25高一上·湖南·月考）已知幂函数的定义域是，则 ． 15．（24-25高一上·天津·月考）函数定义域为 ，则实数的取值范围是 . 【考点4 求幂指对函数的值域】 16．（24-25高一上·广东惠州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·河北石家庄·月考）下列各函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·江苏南通·开学考试）已知函数，在上的值域为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·天津北辰·月考）设函数，的值域是 ． 20．（24-25高一上·江苏扬州·月考）已知且，若函数在上有最小值，则的取值范围为 【考点5 幂指对函数的图象问题】 21．（24-25高一上·湖北武汉·月考）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则指数的值依次可以是（    ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 22．（24-25高一上·河南商丘·月考）已知且，则函数的图象必经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 23．（24-25高一上·湖南·月考）函数的图象在图中的序号依次为（    ） A．①②③④ B．②①③④ C．①②④③ D．②①④③ 24．（24-25高一上·河北石家庄·月考）（多选）已知，，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·福建莆田·月考）（多选）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【考点6 幂指对函数过定点问题】 26．（24-25高一上·福建福州·月考）已知函数（且）的图像恒过定点，则 ． 27．（24-25高一上·山东临沂·月考）函数且的图像过定点，且点在幂函数的图像上，则 ． 28．（24-25高一上·山西·月考）已知函数（，且）的图象恒过点，则（    ） A． B． C．1 D．2 29．（24-25高一上·广东揭阳·月考）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D． 30．（24-25高一上·广东揭阳·月考）（多选）已知，且，下列函数中一定经过点的是（    ） A． B． C． D． 【考点7 幂指对函数的单调性问题】 31．（24-25高一上·江苏镇江·月考）函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（    ） A． B．0 C． D．2 32．（24-25高一上·江西宜春·月考）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间上是减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·重庆·月考）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 在区间（1,2）上单调递增，则 a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点8 比较幂指对的大小】 36．（24-25高一上·广东佛山·期中）设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·湖北武汉·月考）设，，，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·辽宁大连·月考）设，则（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高三上·贵州六盘水·月考）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一上·湖南邵阳·月考）若函数为偶函数，对任意的，，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 【考点9 幂指对函数解不等式】 41．（24-25高一上·福建福州·月考）若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高一上·江苏·月考）已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高一上·上海·月考）已知，则实数的取值范围是 . 45．（24-25高一上·广东广州·月考）不等式的解集为 . 【考点10 幂指对函数综合应用】 46．（24-25高一上·山东日照·月考）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值； (2)若，求的取值范围； (3)设，求的最大值. 47．（24-25高一上·天津·月考）已知函数. (1)求函数的定义域，判断函数的奇偶性并证明: (2)若，求实数的取值范围； (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 48．（24-25高一上·安徽亳州·月考）已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； (3)函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 49．（24-25高一上·山东淄博·月考）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值. (2)试判断的单调性并证明，并求的值域. (3)解关于的不等式. 50．（24-25高一上·湖南·月考）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若，存在实数m，，使得当的定义域为时，的值域为，求实数a的取值范围. 过关检测 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏苏州·月考）使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏·月考）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东·月考）已知，，，则的值为（    ） A．或0 B．1 C． D．1或0 5．（24-25高一上·云南昆明·期中）幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C． D．或 6．（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 7．（24-25高一上·山东·月考）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是增函数 B． C．的图象关于轴对称 D．的值域为 8．（24-25高一上·江西南昌·月考）关于函数，下列说法正确的有（    ） A． B．的函数图象关于y轴对称 C．的函数图象关于原点对称 D．在定义域上单调递减 9．（24-25高一上·江苏徐州·月考）下列命题正确的是（    ） A．是函数在上单调递增的充分不必要条件 B．关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 C．若正数a、b满足，则； D．已知函数为奇函数，且，当时， 三、填空题 10．（24-25高一上·福建泉州·月考）已知函数，则函数的值域为 ． 11．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 12．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数分别为上的偶函数和奇函数，且，若对于任意，任意，使得成立，则的取值范围为 ． 四、解答题 13．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数m的取值集合. 14．（24-25高一上·吉林·期中）己知函数的图象经过点． (1)求a的值； (2)求不等式的解集； (3)若成立，求m的取值范围． 15．（24-25高一上·河北邢台·月考）已知幂函数的图象经过点，函数. (1)求的解析式； (2)讨论的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； (3)若且，讨论函数的单调性，说明你的理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$