6.1　幂函数 同步练习 -2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 本练习围绕幂函数概念、图像与性质，通过基础认知、技能应用、综合探究三层设计，实现从概念辨析到综合应用的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|幂函数概念、定义域、图像特征|以单选（如第1题概念辨析）、填空（如第7题解析式求解）为主，强化概念理解| |技能应用层|单调性、奇偶性、大小比较|通过图像分析（第4题）、多选（第6题性质判断）提升性质应用能力| |综合探究层|定义域、单调性综合应用、不等式恒成立|以解答题（第14题定义域与单调性，第15题奇偶性与恒成立问题）培养逻辑推理与综合运用能力|

6.1　幂函数 1.在函数y＝x－4，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 2.若f（x）＝，则函数f（4x－3）的定义域为（　　） A.R B. C. D. 3.函数f（x）＝xa＋b，不论a为何值，f（x）的图象均过点（m，0），则实数b的值为（　　） A.－1 B.1 C.2 D.3 4.如图所示，曲线C1和C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（　　） A.n＜m＜0 B.m＜n＜0 C.n＞m＞0 D.m＞n＞0 5. (2025秋·宝鸡期末) 已知幂函数, 则（　　） A. 8 B. 4 C.  D.  6.（多选）已知幂函数f（x）＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（　　） A.f（－2）＞f（1） B.f（－2）＜f（1） C.f（－2）＝f（－1） D.若｜a｜＞｜b｜＞0，则f（a）＜f（b） 7. (2025高一上·上海月考) 幂函数的图像过点，则幂函数的解析式为 　　　　 . 8.函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是　　　　. 9.已知幂函数f（x）＝x－2，若f（1－2a）＜f（a＋1），则a的取值范围是　　　　. 10.比较下列各组数的大小： （1）和3.； （2）和； （3）4.和3.. 11.在同一坐标系内，函数y＝xa（a≠0）和y＝ax－的图象可能是（　　） 12.（多选）已知实数a，b满足等式＝，则下列关系式中可能成立的是（　　） A.0＜b＜a＜1 B.－1＜a＜b＜0 C.1＜a＜b D.－1＜b＜a＜0 13. (2025高一上·南宁期末)已知函数是幂函数，且该函数是奇函数，则m的值是　　　　. 14.已知幂函数f（x）＝（m∈N*）. （1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； （2）若函数f（x）经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围. 15.已知函数f（x）＝xn－，且f（4）＝3. （1）判断f（x）的奇偶性并说明理由； （2）判断f（x）在区间（0，＋∞）上的单调性，并证明你的结论； （3）若在区间[1，3]上，不等式f（x）＞2x＋2m＋1恒成立，试确定实数m的取值范围. 6.1　幂函数 1.B　函数y＝x－4为幂函数；函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y＝x2＋2x不是y＝xα（α是常数）的形式，所以它不是幂函数；函数y＝1与y＝x0＝1（x≠0）不相等，所以y＝1不是幂函数. 2.D　易知f（x）＝的定义域为（0，＋∞），则4x－3∈（0，＋∞），即x∈，故选D. 3.A　∵幂函数y＝xa过定点（1，1），∴f（x）＝xa＋b过定点（1，1＋b），结合已知条件可知1＋b＝0，则b＝－1. 4.A　由题中图象可知，两函数在第一象限内单调递减，故m＜0，n＜0.由幂函数图象的特点知n＜m，故n＜m＜0. 5.A　由题意，，解得，所以，. 故选：A. 6.BD　幂函数f（x）＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则n＝－2，则f（x）＝，f（－x）＝f（x），且 f（x）在（0，＋∞）上单调递减，于是有f（－2）＝f（2）＜f（1）＝f（－1），则A错误，B正确，C错误；若｜a｜＞｜b｜＞0，则f（｜a｜）＜f（｜b｜），即f（a）＜f（b）成立，故D正确.故选B、D. 7. 　解析：设函数，由题意可得，解得，则．故答案为：． 8.－　解析：易知函数y＝x－3＝在[－4，－2]上单调递减，所以当x＝－2时，ymin＝（－2）－3＝＝－. 9.（－∞，－1）∪（－1，0）∪（2，＋∞） 解析：因为f（x）＝x－2（x≠0），f（x）为偶函数，易知f（x）在（0，＋∞）上单调递减，又f（1－2a）＜f（a＋1），所以f（｜1－2a｜）＜f（｜a＋1｜），所以｜1－2a｜＞｜a＋1｜＞0，解得a＞2或a＜0且a≠－1，所以a的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，0）∪（2，＋∞）. 10.解：（1）函数y＝在（0，＋∞）上单调递减，又3＜3.2，所以＞3.. （2）＝，＝，函数y＝在（0，＋∞）上单调递增，而＞，所以＞. （3）4.＞＝1，0＜3.＜＝1， 所以4.＞3.. 11.C　选项A中，幂函数的指数a＜0，则函数y＝ax－应为减函数，A错误；选项B中，幂函数的指数a＞1，则函数y＝ax－应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a＜0，则－＞0，函数y＝ax－与y轴交点的纵坐标应为正，D错误. 12.AC　画出y＝与y＝的图象（如图），设＝＝m，作直线y＝m.从图象知，若m＝0或1，则a＝b；若0＜m＜1，则0＜b＜a＜1；若m＞1，则1＜a＜b.故其中可能成立的是A、C. 13.1　解析：因为函数是幂函数，所以，解得或， 当时，，是奇函数，即符合题意； 当时，， ，满足，是偶函数，不符合题意， 综上，m的值是1. 故答案为：1.. 14.解：（1）∵m2＋m＝m（m＋1）（m∈N*），而m与m＋1中必有一个为偶数，∴m2＋m为偶数， ∴函数f（x）＝（m∈N*）的定义域为[0，＋∞），并且该函数在[0，＋∞）上是增函数. （2）∵函数f（x）经过点（2，）， ∴＝，即m2＋m＝2， 解得m＝1或m＝－2， 又∵m∈N*，∴m＝1，f（x）＝. 又∵f（2－a）＞f（a－1）， ∴解得1≤a＜. 故函数f（x）经过点（2，）时，m＝1，满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围为［1，）. 15.解：（1）由f（4）＝3得n＝1，所以f（x）＝x－，其定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）. 又f（－x）＝－x－＝－（ x－）＝－f（x）， 所以函数f（x）在（－∞，0）∪（0，＋∞）上为奇函数. （2）函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，证明如下： 任取x1，x2，且0＜x1＜x2，则x1－x2＜0，x1x2＞0， 则f（x1）－f（x2）＝（ x1－）－（ x2－）＝＜0， 即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增. （3）由f（x）＞2x＋2m＋1，得x－＞2x＋2m＋1， 2m＋1＜－x－＝－（ x＋）， 在区间[1，3]上，－（ x＋）的最小值是－5. 由2m＋1＜－5，得m＜－3，所以实数m的取值范围是（－∞，－3）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $