第6章 一次函数重难点复习（11大题型）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第6章 一次函数重难点复习 思维导图 题型一 函数基础 1．下列图象中，表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【详解】解：根据函数的定义，中的图象不是的函数， 不合题意； 中的图象是的函数， 符合题意． 故本题选：． 2．如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间与火车在隧道内的长度之间的关系用图象描述大致是　　 A． B． C． D． 【详解】解：火车进入隧道的时间与火车在隧道内的长度之间的关系具体可描述为： 当火车开始进入时逐渐变大，火车完全进入后一段时间内不变，当火车开始出来时逐渐变小， 故反映到图象上应选． 故本题选：． 3．函数的自变量的取值范围是　　． 【详解】解：由题意可得：且，解得：且． 自变量的取值范围是且． 故本题答案为：且． 4．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和2时，输出的值相等，则　　． 【详解】解：当时，， 当时，， 由题意可得：，解得：． 故本题答案为：5． 题型二 一次函数的定义 1．下列函数中，是的正比例函数的是　　 A． B． C． D． 【详解】解：、，是的正比例函数，故符合题意； 、，是的反比例函数，故不合题意； 、，是的一次函数，故不合题意； 、，是的二次函数，故不合题意． 故本题选：． 2．下列函数中，是的一次函数的是　　 A． B． C． D． 【详解】解：．不是一次函数，不符合题意； ．不是一次函数，不合题意； 、不是一次函数，不合题意； 、是一次函数，符合题意． 故本题选：． 3．已知函数是正比例函数，则常数的值为　　 A． B．0 C．1 D． 【详解】解：函数是正比例函数， ，解得：． 故本题选：． 4．若函数是一次函数，则的值为　　 A．1 B． C． D．0 【详解】解：是一次函数， 且，解得：且， ． 故本题选：． 题型三 一次函数的图象 1．一次函数的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】解：中，， 函数图象经过第二，三，四象限． 故本题选：． 2．若直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的　　 A． B． C． D． 【详解】解：直线经过一、二、四象限， ，， ， 选项中图象符合题意． 故本题选：． 3．在同一平面直角坐标系内，正比例函数与一次函数的图象可能为　　 A． B． C． D． 【详解】解：、正比例函数的图象可知：， 则一次函数图象过第一、二、四象限，故此选项不合题意； 、正比例函数的图象可知：， 则一次函数图象过第一、二、四象限，故此选项不合题意； 、正比例函数的图象可知：， 则一次函数图象过第一、三、四象限，故此选项不合题意； 、正比例函数的图象可知：， 则一次函数图象过第一、三、四象限，故此选项符合题意． 故本题选：． 4．一次函数的图象不经过第四象限，则的取值范围是　　． 【详解】解：一次函数的图象不经过第四象限， 且，解得：． 故本题答案为：． 题型四 一次函数的增减性与最值 1．一次函数的函数值随的增大而减小，它的图象不经过的象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】解：一次函数的函数值随的增大而减小， ，， 该函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故本题选：． 2．若点，，，，，在一次函数是常数）的图象上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【详解】解：一次函数是常数）中，， 随的增大而减小， ，，，，，， ， ． 故本题选：． 3．设，关于的一次函数，当时的最小值是　　 A． B． C． D．3 【详解】解：原式可以化为：， ， ，则函数值随的增大而增大， 当时，函数值最小，最小值是：． 故本题选：． 4．若函数中，，则的取值范围为　　． 【详解】解：时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，． 故本题答案为：． 题型五 一次函数图象上点的坐标特征 1．下列有关一次函数的说法中，错误的是　　 A．函数图象经过第一、二、四象限 B．的值随着的增大而减小 C．当时， D．函数图象与轴交点坐标为 【详解】解：一次函数解析式为，，， 函数图象经过第一、二、四象限，的值随着的增大而减小，函数图象与轴交点坐标为， 当时，， 四个选项中，只有选项说法错误． 故本题选：． 2．函数的图象如图所示，下列说法正确的是　　 A．当时， B． C．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 D．若点和点在直线上，则 【详解】解：直线经过点， 当时，，故不合题意； 一次函数图象经过第一、三象限， ，故不合题意； 一次函数与轴的交点坐标为，与轴的正半轴的交点坐标为， ，解得：，故符合题意； ∵点和点在直线上，随的增大而增大， ，故不合题意． 故本题选：． 3．对于一次函数，下列说法：①当时，随的增大而减小；②当时，函数图象一定交于轴的负半轴；③当时，函数图象经过原点；④函数图象一定经过点，其中正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：由题意可知：当时，随的增大而减小，故①正确； ∵当时，随的增大而增大，， ∴直线与轴的交点在的上方，故②错误； 当时，函数解析式为，函数图象经过点，故③正确； ∵，当时，，与的取值无关， ∴函数图象一定经过点，故④错误． 故本题选：． 4．在平面直角坐标系中，一次函数，，无论取何值，始终有，则的取值范围是　　． 【详解】解：∵无论取何值，始终有， ∴恒成立， ∵， ∴，且， ∴，解得：． 故本题答案为：． 题型六 一次函数与图象变换 1．将直线向下平移3个单位长度后，得到的直线是　　 A． B． C． D． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度得到直线为． 故本题选：． 2．将一次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象必定经过　　 A． B． C． D． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象解析式为， 当时，，故平移后的图象必定经过，符合题意； 当时，，故平移后的图象不经过，不合题意； 当时，，故平移后的图象不经过，不合题意； 当时，，故平移后的图象不经过，不合题意． 故本题选：． 3．如图，一次函数的图象与轴、轴交点分别为、两点，是上一点，若将沿直线对折，使刚好落到轴上的处，则点的坐标是　　． 【详解】解：由一次函数可得：点，， 即，， ， 由折叠可得：，， ， 设，则， ， ，解得：， 点的坐标为． 故本题答案为：． 题型七 待定系数法求一次函数表达式 1．将一次函数的图象平移后经过点，则平移后图象的函数表达式为　　． 【详解】解：设平移后的直线函数解析式为， 将点代入得：，解得：， ∴平移后图象的函数表达式为． 故本题答案为：． 2．一次函数，当时，则　　． 【详解】解：一次函数，当时， 下面两种情况讨论： ①当时，随的增大而增大， 即时，；时，， ，解得：， ； ②当时，随的增大而减小， 即时，；时，， ，解得：， ． 故本题答案为：2或． 3．如图，一次函数的图象与轴交于点．将该函数图象绕点逆时针旋转，则得到的新图象的函数表达式为　　． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点． ， 设一次函数的图象与轴交于点，则， 如图，设旋转后的直线为，过点作，垂足为点， 过点作轴，轴，△为等腰直角三角形， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 代入点，得：，解得：， 直线的解析式为：． 故本题答案为：． 4．已知与成正比例，当时，． （1）求与的函数关系式； （2）当时，求的取值范围． 【详解】解：（1）设与和函数关系式为：， 将，代入得：，解得：， 与和函数关系式为：， 与的函数关系式为：，即； （2），， ，，． 5．如图，直线与直线相交于点，交轴于点，交轴负半轴于点，且． （1）求直线和的解析式； （2）若是直线上一点，且的面积是9，求点的坐标． 【详解】解：（1）将点代入直线得：，解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， ， ， 将点，代入b得：，解得：， 直线的解析式为； （2）设点到轴的距离为， ， ， 当时，， 当时，， 或． 题型八 一次函数与二元一次方程组 1．已知直线与的交点的坐标为，则方程组形的解是　　 A． B． C． D． 【详解】解：直线与的交点坐标为， 方程组的解就是两个一次函数的交点坐标， 方程组的解为，． 故本题选：． 2．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为　　． 【详解】解：直线经过点， ，解得：， ， 关于的方程组的解为． 故本题答案为：． 3．关于、的二元一次方程组的解为，则一次函数的图象和一次函数的图象交点坐标是　　． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解为， 一次函数的图象和一次函数的图象交点坐标是． 故本题答案为：． 题型九 一次函数与一元一次方程、不等式 1．关于的方程的解为，则直线的图象一定过点　　 A． B． C． D． 【详解】解：关于的方程的解为， 时，， 直线的图象一定过点． 故本题选：． 2．已知关于的不等式的解集是，则直线与轴的交点是　　 A． B． C． D． 【详解】解：关于的不等式的解集是：， ，解得：， ，解得：， ∴直线解析式为， ∴直线与轴的交点是． 故本题选：． 3．一次函数的图象过点，则不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移2个单位得到， 一次函数的图象过点， 一次函数的图象过点， ， 不等式的解集是． 故本题选：． 4．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，随的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④，其中正确的是　　 A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【详解】解：由图象可得：对于函数来说，随的增大而增大，故①正确； ，，则函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确； 不等式可得，故不等式的解集是，故③错误； 可以得到，故④正确． 故本题选：． 5．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是　　． 【详解】解：直线与相交于点， 关于的方程的解是． 故本题答案为：． 题型十 用一次函数解决问题 1．如图，李大爷要围成的一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成另外三边总长恰好为24米，设边的长为米，边的长为米，则与之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【详解】解：由题意可得：菜园三边长度的和为，即， ∴， 由得：，即， ∴0<x<24． 故本题选：． 2．现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件．某物流公司的汽车在城市道路上匀速行驶后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上匀速行驶到达目的地．已知汽车在城市道路的行驶速度是乡村道路行驶速度的2倍．汽车行驶的时间（单位：与行驶的路程（单位：之间的关系如图所示．以下说法正确的是　　 ①汽车在乡村道路上行驶时间为 ②汽车在乡村道路上行驶速度为 ③汽车在高速路上行驶时间为 ④汽车在高速路上行驶速度为 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【详解】解：由图可知，前的行驶时间为， 汽车在城市道路上行驶速度是， 汽车在城市道路的行驶速度是乡村道路行驶速度的2倍， 汽车在乡村道路上行驶速度为， 汽车在乡村道路上行驶时间为，故①正确，②错误； 汽车在高速路上行驶时间为，故③错误； 汽车在高速路上行驶速度为，故④正确． 故本题选：． 3．甲、乙两车在同一直线上从地驶向地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车离开地的距离与甲行驶时间的函数图象．根据图中提供的信息，有下列说法： （1）的值为1；（2）的值为40；（3）乙车比甲车早到达地． 其中正确的有　　 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【详解】解：由题意可得：，故（1）正确； ，则，故（2）正确； （千米小时）， 设甲车休息之后行驶路程与时间的函数关系式为， 由题意可得：，解得：， ， 由图可知：甲、乙两车中先到达地的是乙车， 将代入得：， 乙车的行驶速度：， 乙车的行驶需要， ， 甲比乙迟到达地，故（3）正确． 故本题选：． 4．某商店销售甲、乙两种商品．如表为两次销售记录： 甲商品个 乙商品个 总销售额元 第一次 50 40 500 第二次 60 30 420 （1）求甲和乙的销售单价分别是多少？ （2）该商场计划再次购进两种商品共100个，根据市场实际需求，甲的数量不低于乙数量的4倍．已知甲的进价为1元个，乙的进价为6元个．设购买甲个，获得的利润为元； ①求关于的函数关系式，并求出自变量的取值范围； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【详解】解：（1）设甲的销售单价为元个，乙的销售单价为元个， 由题意可得：，解得：， 答：甲和乙的销售单价分别是2元个，10元个； （2）①设购买甲个，获得的利润为元， 由题意可得：， 甲的数量不低于乙数量的4倍． ，解得：， ； ②对于， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，此时，， 答：该商店购进甲80个，乙20个才能使销售总利润最大，最大利润是160元． 题型十一 一次函数综合题 1．如图直线与轴、轴分别交于点、两点，且点的坐标是，该直线上还有一点． ①则点坐标是　　；　　； ②在轴上是否存在一点，使得△为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ③若点的坐标为，点在轴上，△的面积为16，请直接写出出点的坐标． 【详解】解：①将点代入得，解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点坐标是， 将点代入得：， 故本题答案为：，； ②∵A，， ，， 又轴轴， ， （1）如图，当时， 则点是， 点是或； （2）如图，当时， 轴轴， ， 点是， （3）当时，设，则， 轴轴， ， ， ， ，即， 综上，点的坐标为或或或，； ③设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 直线与轴的交点坐标为， 设， 点的坐标为，，△的面积为16， ， 或， 点坐标是或． 2．材料一：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，则△△，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 材料二：如何确定点所在直线对应的函数关系式，我们可以设，，这样就可以把带入，可得，利用这样的方法就可以确定点所在直线对应的函数关系式了． 【模型应用】若一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2，当时，若点到经过原点的直线的距离的长为4，求点到直线的距离的长； （2）如图3，有一个点，若△是以为腰的等腰直角三角形，求直线对应的一次函数表达式； （3）如图4，在平面直角坐标系中，是直线上一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为　　． 【详解】解：（1）对于， 当时，，则， 当时，，解得：， ， ， ，，， ，， △△， ， ， ， 即点到直线的距离的长3； （2）①当时， 如图3.1，当时，过作轴于， 同理可证：△△， ，， ， ，， ， ，， 代入得：，解得：， ； 如图3.2，当时，过作轴于， ，， △△， ，， ， ，， ，， 代入得：，解得：， ； ②当时， 如图3.3，当时，过作轴于， 同理可证：△△， ，， ， ，， （不合题意，舍去）， 如图3.4，当时，过作轴于， ，， △△， ，， ， ，， ，， 代入得：，解得：， ； 综上，直线的表达式为或或； （3）设， 如图，过作轴于，过作于， 由旋转的性质得：，， ， △， ，， ， 令，， ， 点在直线上运动， 当与直线垂直时，最小， 设与轴交于、轴交于， 当时，， 当时，，解得：， ， ，， ， 设上的高为，则， ，即最小值为． 故本题答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 一次函数重难点复习 思维导图 题型一 函数基础 1．下列图象中，表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 2．如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间与火车在隧道内的长度之间的关系用图象描述大致是　　 A． B． C． D． 3．函数的自变量的取值范围是　　． 4．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和2时，输出的值相等，则　　． 题型二 一次函数的定义 1．下列函数中，是的正比例函数的是　　 A． B． C． D． 2．下列函数中，是的一次函数的是　　 A． B． C． D． 3．已知函数是正比例函数，则常数的值为　　 A． B．0 C．1 D． 4．若函数是一次函数，则的值为　　 A．1 B． C． D．0 题型三 一次函数的图象 1．一次函数的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的　　 A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系内，正比例函数与一次函数的图象可能为　　 A． B． C． D． 4．一次函数的图象不经过第四象限，则的取值范围是　　． 题型四 一次函数的增减性与最值 1．一次函数的函数值随的增大而减小，它的图象不经过的象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若点，，，，，在一次函数是常数）的图象上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 3．设，关于的一次函数，当时的最小值是　　 A． B． C． D．3 4．若函数中，，则的取值范围为　　． 题型五 一次函数图象上点的坐标特征 1．下列有关一次函数的说法中，错误的是　　 A．函数图象经过第一、二、四象限 B．的值随着的增大而减小 C．当时， D．函数图象与轴交点坐标为 2．函数的图象如图所示，下列说法正确的是　　 A．当时， B． C．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 D．若点和点在直线上，则 3．对于一次函数，下列说法：①当时，随的增大而减小；②当时，函数图象一定交于轴的负半轴；③当时，函数图象经过原点；④函数图象一定经过点，其中正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在平面直角坐标系中，一次函数，，无论取何值，始终有，则的取值范围是　　． 题型六 一次函数与图象变换 1．将直线向下平移3个单位长度后，得到的直线是　　 A． B． C． D． 2．将一次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象必定经过　　 A． B． C． D． 3．如图，一次函数的图象与轴、轴交点分别为、两点，是上一点，若将沿直线对折，使刚好落到轴上的处，则点的坐标是　　． 题型七 待定系数法求一次函数表达式 1．将一次函数的图象平移后经过点，则平移后图象的函数表达式为　　． 2．一次函数，当时，则　　． 3．如图，一次函数的图象与轴交于点．将该函数图象绕点逆时针旋转，则得到的新图象的函数表达式为　　． 4．已知与成正比例，当时，． （1）求与的函数关系式； （2）当时，求的取值范围． 5．如图，直线与直线相交于点，交轴于点，交轴负半轴于点，且． （1）求直线和的解析式； （2）若是直线上一点，且的面积是9，求点的坐标． 题型八 一次函数与二元一次方程组 1．已知直线与的交点的坐标为，则方程组形的解是　　 A． B． C． D． 2．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为　　． 3．关于、的二元一次方程组的解为，则一次函数的图象和一次函数的图象交点坐标是　　． 题型九 一次函数与一元一次方程、不等式 1．关于的方程的解为，则直线的图象一定过点　　 A． B． C． D． 2．已知关于的不等式的解集是，则直线与轴的交点是　　 A． B． C． D． 3．一次函数的图象过点，则不等式的解集是　　 A． B． C． D． 4．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，随的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④，其中正确的是　　 A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 5．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是　　． 题型十 用一次函数解决问题 1．如图，李大爷要围成的一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成另外三边总长恰好为24米，设边的长为米，边的长为米，则与之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 2．现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件．某物流公司的汽车在城市道路上匀速行驶后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上匀速行驶到达目的地．已知汽车在城市道路的行驶速度是乡村道路行驶速度的2倍．汽车行驶的时间（单位：与行驶的路程（单位：之间的关系如图所示．以下说法正确的是　　 ①汽车在乡村道路上行驶时间为 ②汽车在乡村道路上行驶速度为 ③汽车在高速路上行驶时间为 ④汽车在高速路上行驶速度为 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．甲、乙两车在同一直线上从地驶向地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车离开地的距离与甲行驶时间的函数图象．根据图中提供的信息，有下列说法： （1）的值为1；（2）的值为40；（3）乙车比甲车早到达地． 其中正确的有　　 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．某商店销售甲、乙两种商品．如表为两次销售记录： 甲商品个 乙商品个 总销售额元 第一次 50 40 500 第二次 60 30 420 （1）求甲和乙的销售单价分别是多少？ （2）该商场计划再次购进两种商品共100个，根据市场实际需求，甲的数量不低于乙数量的4倍．已知甲的进价为1元个，乙的进价为6元个．设购买甲个，获得的利润为元； ①求关于的函数关系式，并求出自变量的取值范围； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 题型十一 一次函数综合题 1．如图直线与轴、轴分别交于点、两点，且点的坐标是，该直线上还有一点． ①则点坐标是　　；　　； ②在轴上是否存在一点，使得△为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ③若点的坐标为，点在轴上，△的面积为16，请直接写出出点的坐标． 2．材料一：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，则△△，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 材料二：如何确定点所在直线对应的函数关系式，我们可以设，，这样就可以把带入，可得，利用这样的方法就可以确定点所在直线对应的函数关系式了． 【模型应用】若一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2，当时，若点到经过原点的直线的距离的长为4，求点到直线的距离的长； （2）如图3，有一个点，若△是以为腰的等腰直角三角形，求直线对应的一次函数表达式； （3）如图4，在平面直角坐标系中，是直线上一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$