7.4圆锥的侧面展开图（6大题型提分练）（题型专练）数学青岛版九年级下册

7.4圆锥的侧面展开图 题型一 求圆锥的侧面积 1．已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，则圆锥侧面积等于（    ） A． B． C． D． 2．如图是底面半径为6，高为8的实心圆锥体，现将圆锥体居中水平切一刀，下面的部分叫圆台，则该圆台的表面积是（　） A． B． C． D． 3．已知圆锥的底面积为，母线长为，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 4．若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的全面积为(  ) A． B． C． D． 5．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的母线与高的夹角为，母线长为，则它的侧面积为 ． 7．如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积是 ． 8．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，其底面圆周长为，则这个圆锥侧面展开图的面积是 ． 9．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的侧面积为 ． 题型二 求圆锥底面半径 1．如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（   ） A． B． C．2 D．4 2．综合实践课上，珍珍用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是（   ） A． B． C． D． 3．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将扇形围成个圆锥，若扇形半径为，，则圆锥的底面半径为 ． 5．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆周长为 （结果保留）． 6．如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，其中点O，A，B均在格点上，将扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ． 7．已知圆锥的母线长为，高为，则该圆锥侧面展开图的面积是 ． 8．一个圆锥侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的底面积是 ． 9．用一个圆心角为，半径为15的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 题型三 求圆锥的高 1．小明用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为，扇形的弧长是，那么这个圆锥的高是（   ） A． B． C． D． 2．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O、A、B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 3．用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（   ） A． B． C． D． 4．用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 5．在数学实践活动中，某同学用一个扇形制作了一个圆锥形的纸帽，若扇形的圆心角为，半径为6，则圆锥的高为 ． 6．如图，正六边形的边长为6，点B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． 题型四 求圆锥侧面展开图的圆心角 1．若圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 2．圆锥的母线长为3，底面半径为1，则这个圆锥侧面展开图的圆心角为（   ） A． B． C． D． 3．用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为等于 ． 4．底面半径为，母线为的圆锥侧面展开后所得扇形的圆心角度数为 ． 5．有一个半径为的扇形，将扇形围成一个底面半径为的圆锥，则该扇形的圆心角的度数为 ． 6．在直角三角形中，已知，，，如果把该三角形绕直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ． 7．圆锥的母线长是底面半径的4倍，则此圆锥侧面展开图的圆心角度数为 ． 题型五 圆锥的实际问题 1．如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 2．如图，《天下粮仓》的粮仓是由高4米、底面半径为3米的圆锥和底面半径为2.5米，高为6米的圆柱组成的一个几何体，若不计接缝和损耗，则制作这样一个粮仓的侧面需准备铁皮的面积是 ． 3．如图所示是一个侧面积为的圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，若其底面圆的半径为，则它的母线长为 cm． 4．湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为 ．（结果保留） 5．《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．    6．如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 ； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ． 题型六 圆锥侧面上最短路径问题 1．如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是 ． 3．如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    4．如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 5．如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是 ．    1．如图，已知扇形的半径为9，点在上，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且，若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面直径为 ． 2．有一直径为2的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r= ． 3．如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由修建于1996年．它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是20米，母线长为60米． (1)求这个圆锥的侧面积． (2)求此圆锥侧面扇形的圆心角． (3)现在在圆锥的底面上A处有一位攀岩高手，他要挑战从A出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A点，则他爬动的最短距离是_________米． 4．在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 5．如图是一款近似圆锥形帐篷，其侧面展开后是一个半径为、圆心角为的扇形，制作这顶帐篷（侧面与底面）需要多少平方米的材料？（结果保留）    6．图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 7．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 8．【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 9．综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 10．如图，圆锥可以看作以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体．旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边（另一条直角边）旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旅转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线．圆锥的侧面展开图是扇形．若扇形的半径为，圆心角为，面积为，弧长为，则有． 如果某圆锥的母线长是5，底面半径是3． (1)求该圆锥侧面展开图的面积； (2)是圆锥的一条母线，过圆锥底面圆心作的垂线，垂足为，求绕圆锥的轴旋转一周所得曲面将圆锥分成两部分的体积比． 11．综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点． (1)特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ． (2)问题提出：求证：． (3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图） 12．如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)过点B作的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.4圆锥的侧面展开图 题型一 求圆锥的侧面积 1．已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，则圆锥侧面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积计算公式：即可求解，圆锥侧面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥侧面积， 故选：D． 2．如图是底面半径为6，高为8的实心圆锥体，现将圆锥体居中水平切一刀，下面的部分叫圆台，则该圆台的表面积是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面积，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键：圆锥的侧面积公式为（r为底面半径，l为母线长）． 画纵切面图，求出母线长以及截得的小圆锥体的底面半径和母线长，则圆台的表面积用计算即可． 【详解】解：如图，设圆锥沿高线的纵切面为，则半径为，高为， ∴母线长为， ∴居中的横断面半径为，上部圆锥的母线长为， ∴圆台的表面积为： ， 故选：A． 3．已知圆锥的底面积为，母线长为，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥侧面积的求法．熟练运用圆锥的侧面积公式是正确解题的关键． 圆锥的侧面积底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 由题意， ， ∴圆锥的侧面积， 故选：D． 4．若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的全面积为(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算，先求出圆锥的底面圆的周长，再分别求出底面积和侧面积，即可得出答案． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为， ∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴圆锥的全面积为 故选：B． 5．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积的计算等知识点，根据“圆锥的侧面积”计算即可得解，熟练掌握圆锥的侧面积计算公式是解决此题的关键． 【详解】解：圆锥的侧面积（平方厘米）， 故选：C． 6．已知圆锥的母线与高的夹角为，母线长为，则它的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．先根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半得出圆锥底面半径，从而得到底面周长，最后利用扇形面积公式即可得出圆锥侧面积． 【详解】解：根据题意可知，圆锥底面半径为，则底面周长为 所以它的侧面积为 故答案为：． 7．如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，先计算，再利用计算即可． 【详解】解：∵，，， ， 圆锥的侧面积， 故答案为：． 8．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，其底面圆周长为，则这个圆锥侧面展开图的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，先求解扇形的半径，再利用圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，底面圆周长为， ∴， ∴ 这个圆锥侧面展开图的面积是； 故答案为： 9．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 设，则，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程求出，进而求得圆锥的侧面积． 【详解】解：设，则， 根据题意，得 解得， ， 圆锥的侧面积为． 故答案为：． 题型二 求圆锥底面半径 1．如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，正方形的性质以及圆锥的相关知识点，熟练掌握弧长公式及圆的周长公式是解决本题的关键． 根据题意，扇形中弧的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧的长，再结合圆的周长公式进行计算即可得解． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴圆锥底面周长为，解得， ∴该圆锥的底面圆的半径是， 故选：B． 2．综合实践课上，珍珍用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，设圆锥的底面半径为，根据扇形的弧长圆锥底面圆周长构建方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 由题意可得：， 解得：， 故这个圆锥形生日帽的底面半径是， 故选：C． 3．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的底面周长及侧面展开图，勾股定理，根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设圆锥底面半径为，则， 解得， 故选： D． 4．如图，将扇形围成个圆锥，若扇形半径为，，则圆锥的底面半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了圆锥的计算．熟练掌握圆锥的底面圆周长为扇形的弧长是解题的关键． 根据扇形的弧长等于圆锥的底面即可求解． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为， 则有， 解得， 故圆锥的底面半径为：5． 故答案为：5． 5．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆周长为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的扇形的弧长，根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，圆锥的底面圆周长为， 故答案为：． 6．如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，其中点O，A，B均在格点上，将扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是明确圆锥的底面圆的周长即为扇形的弧长．根据扇形的弧长公式求得弧长，再根据圆锥的底面圆的周长即为扇形的弧长进行求解． 【详解】解：， 设圆锥的底面半径为r， 根据题意，得， 解得， 故答案为：． 7．已知圆锥的母线长为，高为，则该圆锥侧面展开图的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先利用勾股定理求出底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积公式计算即可求解，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的母线长为，高为， ∴圆锥的底面圆的半径为， ∴圆锥侧面展开图的面积， 故答案为：． 8．一个圆锥侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的底面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，设圆锥的底面半径为，利用弧长公式得到，然后求出后求得底面积即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为， 根据题意得， 解得：， ∴该圆锥的底面积是 故答案为：． 9．用一个圆心角为，半径为15的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据题意，扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解． 【详解】解：依题意，， 解得： 故答案为：5． 题型三 求圆锥的高 1．小明用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为，扇形的弧长是，那么这个圆锥的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆锥的性质和勾股定理；设圆锥底面圆的半径是r，根据扇形的弧长可求出圆锥底面圆的半径，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】∵扇形的弧长是， ∴圆锥的底面周长是， 设圆锥底面圆的半径是， ∴，解得： ∴圆锥的高是 故选：A． 2．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O、A、B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算，先利用勾股定理的逆定理证明为等腰直角三角形，，设圆锥的底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后利用勾股定理计算该圆锥的高． 【详解】解：，，， ， 为等腰直角三角形，， 设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 该圆锥的高． 故选：A． 3．用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长=圆锥的底面周长，用扇形的弧长，可求圆锥的底面半径，利用勾股定理得出答案． 【详解】解：∵扇形的弧长， ∴圆锥的底面半径为， ∴这个圆锥形筒的高为． 故选：B． 4．用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长． 圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的高跟底面圆半径以及母线构成直角三角形，即可求解． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得 ， 解得， 圆锥的母线长为， 圆锥的高为． 故答案为：． 5．在数学实践活动中，某同学用一个扇形制作了一个圆锥形的纸帽，若扇形的圆心角为，半径为6，则圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，也考查了弧长公式和勾股定理． 先利用弧长公式得到圆心角为，半径为6的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 【详解】解：圆心角为，半径为的扇形的弧长， 圆锥的底面圆的周长为， 圆锥的底面圆的半径为2， 圆锥的高为． 故答案为：． 6．如图，正六边形的边长为6，点B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角，圆锥的侧面展开图的弧长与底面圆的关系，母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形的关系，弄清弧长与圆锥的底面圆的周长的关系及母线、底面圆的半径和高的关系是解题的关键． 根据正六边形的内角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长就是弧的长，求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，求解． 【详解】解：∵正六边形的边长为6， ∴， ∴弧的长为：， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图． ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高， 故答案为：． 题型四 求圆锥侧面展开图的圆心角 1．若圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算．根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数． 【详解】解：圆锥的底面半径为， 则底面周长为， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长为， 母线长为，则扇形的半径为， 根据弧长公式可得：，解得：， 故选：B． 2．圆锥的母线长为3，底面半径为1，则这个圆锥侧面展开图的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆锥的侧面展开图和弧长公式．设这个圆锥侧面展开图的圆心角为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长和圆锥的底面周长相等列式计算即可． 【详解】解：设这个圆锥侧面展开图的圆心角为， 由题意可得，， 解得， 即这个圆锥侧面展开图的圆心角为， 故选：A 3．用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的有关计算，圆锥侧面积的有关计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据圆周长公式求出弧长，进而求出扇形半径，再根据圆锥侧面积公式求得圆心角即可． 【详解】解：根据题意，扇形的弧长为圆锥的底面周长，底面半径， 设扇形的半径为R， ∴扇形的弧长为， ∴， ∵圆锥侧面积为， ∴圆锥侧面积， ∴． 故答案为：． 4．底面半径为，母线为的圆锥侧面展开后所得扇形的圆心角度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了弧长公式“”和圆锥的侧面展开图，熟练掌握圆锥的侧面展开图和弧长公式是解题关键．设所得扇形的圆心角度数为，根据弧长公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设所得扇形的圆心角度数为， 则， 解得， 故答案为：． 5．有一个半径为的扇形，将扇形围成一个底面半径为的圆锥，则该扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的弧长和圆锥的底面周长，根据扇形的弧长等于圆锥底面周长列方程求解即可． 【详解】解：设该扇形的圆心角的度数为， 由题意可得：， 解得， 故答案为：． 6．在直角三角形中，已知，，，如果把该三角形绕直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ． 【答案】216 【分析】本题考查求圆锥侧面展开图扇形的圆心角的度数，勾股定理求出的长，根据旋转的方式，得到底面圆的半径为，母线为，根据底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 由题意，得：圆锥的底面圆的半径为，母线为， 设展开后扇形的圆心角的度数为，则：， 解得：； 故答案为：216． 7．圆锥的母线长是底面半径的4倍，则此圆锥侧面展开图的圆心角度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的圆心角度数，设圆锥的底面圆半径为，圆锥侧面展开图的圆心角度数为，则母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于其展开图的扇形弧长列出方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，圆锥侧面展开图的圆心角度数为，则母线长为， 由题意得，， ∴， ∴此圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 故答案为：． 题型五 圆锥的实际问题 1．如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 2．如图，《天下粮仓》的粮仓是由高4米、底面半径为3米的圆锥和底面半径为2.5米，高为6米的圆柱组成的一个几何体，若不计接缝和损耗，则制作这样一个粮仓的侧面需准备铁皮的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆柱体和圆锥的侧面积，根据圆柱和圆锥的侧面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：圆锥的母线长， ； 故答案为：． 3．如图所示是一个侧面积为的圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，若其底面圆的半径为，则它的母线长为 cm． 【答案】12 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案．本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 【详解】解：底面圆的半径为， 底面圆的周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为， 设母线长为 ∵侧面积为的圆锥形冰淇淋外壳 ∴ 故答案为：12 4．湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，先计算底面半径和母线长，然后根据扇形面积公式计算即可．熟知圆锥的侧面是扇形以及扇形的面积计算方法是关键． 【详解】解：∵底面周长为米 ∴底面半径为： 母线长为：米 故粮仓的侧面积为：， 故答案为：． 5．《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．    【答案】22 【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数． 【详解】解：设米堆所在圆锥的底面半径为尺，由题意，得：， ∴， ∴米堆的体积为：， ∴米堆的斛数为：； 故答案为：22． 【点睛】本题考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大． 6．如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 ； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ． 【答案】 /180度 【分析】（1）勾股定理求出圆锥的高即可； （1）利用圆锥底面周长等于扇形的弧长，列式计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得，圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为； 即：水深cm； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴， ∴展开滤纸的圆心角为； 故答案为：． 【点睛】本题考查求圆锥的高，以及求扇形的圆心角．熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，是解题的关键． 题型六 圆锥侧面上最短路径问题 1．如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥底面圆的周长是侧面展开图扇形的弧长，列式计算即可． 【详解】解：设底面圆的半径为，母线长为， 由题意，得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查求圆锥的母线长．熟练掌握圆锥底面圆的周长是侧面展开图扇形的弧长，是解题的关键． 2．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故答案为：． 3．如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    【答案】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形．扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解． 连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵为底面圆的直径，， 设半径为r, ∴底面周长， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为， ∵圆锥母线， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：， 解得：， ∴， ∵半径， ∴是等边三角形， ∵点C为圆锥母线的中点， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 4．如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 【答案】 【分析】由题意得，圆锥的底面半径为3m，母线线长为6m．求出底面周长，根据圆的底面周长等于展开后扇形的弧长，可求得展开后扇形的圆心角为，即圆锥侧面展开为半圆．点正好在半圆的中点处，由此得为直角三角，根据勾股定理即可求出的长，即小猫所经过的最短路径． 本题主要考查了圆锥的侧面展开图，及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 【详解】为正三角形， ， ， ∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得： ， ，则， （m）， 故答案为：． 5．如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是 ．    【答案】 【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴圆锥的底面周长是， 则 ∴， 即圆锥侧面展开图的圆心角是， 如图所示，    ∴， ∵为母线的中点， ∴， ∴在圆锥侧面展开图中， ∴蚂蚁在圆锥侧面上从B爬到P的最短距离是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短距离问题，解题的关键是掌握圆锥的计算，勾股定理，将最短距离转化为平面上两点间的距离并正确计算． 1．如图，已知扇形的半径为9，点在上，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且，若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面直径为 ． 【答案】5 【分析】连接，能得的度数，再利用弧长公式和圆的周长公式可求解． 【详解】解：连接交于． 由折叠的知识可得：，， ， ， ， ，， 设圆锥的底面半径为，母线长为， ， ． ∴圆锥的底面直径为 故答案为：． 【点睛】本题运用了弧长公式和轴对称的性质以及解三角形、圆锥的侧面展开图等知识，关键是运用了转化的数学思想． 2．有一直径为2的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r= ． 【答案】 【分析】连接，延长交于点，连接、；根据扇形性质，得，结合圆周角性质，得；根据直径对应圆周角为直角的性质计算，得；通过三角函数计算，得；根据弧长公式，计算得，从而完成求解． 【详解】如图，连接，延长交于点，连接、 ∵扇形ABC ∴ ∴ ∵为直径 ∴ ∴， ∴ 由题意得：， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆、直角三角形两锐角互余、扇形、圆锥、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、三角函数、弧长的性质，从而完成求解． 3．如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由修建于1996年．它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是20米，母线长为60米． (1)求这个圆锥的侧面积． (2)求此圆锥侧面扇形的圆心角． (3)现在在圆锥的底面上A处有一位攀岩高手，他要挑战从A出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A点，则他爬动的最短距离是_________米． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了圆锥的侧面展开图，侧面积、弧长的计算，勾股定理； （1）利用圆锥侧面积公式直接计算即可求解． （2）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解； （3）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得他爬动的最短距离为腰长为，顶角为的等腰三角形的底边的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：这个圆锥的侧面积为（平方米）； （2）解：设此圆锥侧面扇形的圆心角为， 底面周长为 解得： （3）解：如图所示，在侧面展开图中，由两点之间线段最短得他爬动的最短距离为腰长为，顶角为的等腰三角形的底边的长，过点作 依题意，， ∴， ∴ ∴米 故答案为：． 4．在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用． （1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论； （2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积． 【详解】（1）解：如图所示： ∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形， ∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等． 由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系． 将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆， 则围成的圆锥形的侧面积． ∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度， 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：， 该侧面展开图的圆心角为． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等． ∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁． （2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为， 圆心角为， 滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为， 又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半， ∴滤纸重叠部分每层面积． 5．如图是一款近似圆锥形帐篷，其侧面展开后是一个半径为、圆心角为的扇形，制作这顶帐篷（侧面与底面）需要多少平方米的材料？（结果保留）    【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积与底面积的计算，先由扇形面积公式计算出帐篷的侧面需要的材料，设帐篷的底面半径为，则，求出底面半径，从而得出帐篷的底面需要的材料，即可得解． 【详解】解：由题意得：帐篷的侧面需要的材料为：， 设帐篷的底面半径为，则， 解得：， 帐篷的底面需要的材料为， 制作这顶帐篷（侧面与底面）需要的材料为：． 6．图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质． （1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出，再由即可求解； （2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算． 【详解】（1）解：根据题意得， ， ∴； （2）解：，，， 而， ， ． 7．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 8．【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可； （2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解． 【详解】（1），， ， ， 扇形纸板的圆心角度数为； （2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值， 由（1）得， , 彩带长度的最小值为． 9．综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 10．如图，圆锥可以看作以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体．旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边（另一条直角边）旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旅转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线．圆锥的侧面展开图是扇形．若扇形的半径为，圆心角为，面积为，弧长为，则有． 如果某圆锥的母线长是5，底面半径是3． (1)求该圆锥侧面展开图的面积； (2)是圆锥的一条母线，过圆锥底面圆心作的垂线，垂足为，求绕圆锥的轴旋转一周所得曲面将圆锥分成两部分的体积比． 【答案】(1) (2)上下两部分体积的比为 【分析】本题考查了勾股定理、扇形面积、圆锥体积，关键是勾股定理及面积相等关系的应用． （1）由得：，代入数值即可求解； （2）绕圆锥的轴旋转一周所得曲面是圆锥的侧面，设新圆锥的底面圆圆心为F，由勾股定理及面积关系可求得；由勾股定理求得，进而求得，再由面积关系可求得；绕圆锥的轴旋转一周所得曲面上面部分是共底的两个圆锥，下面部分用大圆锥体积减去这两个圆锥体积的和，即可求得两部分体积比． 【详解】（1）解：圆锥侧面展开图是扇形，其弧长为， 由，得； 即该圆锥侧面展开图的面积为； （2）解：绕圆锥的轴旋转一周所得曲面是圆锥的侧面，设新圆锥的底面圆圆心为F，如图， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴； 由勾股定理得，则； ∵， ∴； ∵绕圆锥的轴旋转一周所得曲面上面部分是共底的两个圆锥， ∴上面部分体积为：， 下面部分体积为：， ∴ ． 11．综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点． (1)特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ． (2)问题提出：求证：． (3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)彩带长度的最小值为． 【分析】（1）圆锥的底面周长等于扇形的弧长，求出，再根据半径经过的中点，得到，即可求出与OB的夹角； （2）根据（1）即可证明结论； （3）先求出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，得到，再连接，利用勾股定理得到长，即可求出彩带长度的最小值． 【详解】（1）由题意可知，圆锥的底面周长等于扇形的弧长， ， ， ，， ， 经过的中点， ， ， 与OB的夹角为， 故答案为：，； （2）由（1）得：， ； （3），， ， 圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，如下图， ， ， 连接，即为彩带长度的最小值， ，， 由勾股定理得：， 彩带长度的最小值为． 【点睛】本题考查了圆锥的性质，弧长公式，同弧或等弧所对的圆心角相等，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 12．如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)过点B作的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)能，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得可得是的半径，即可得证； （2）作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求，根据作图可得，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解； （3）根据弧长公式求得的长，继而求得圆锥的底面半径，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作于点，则与相切，继而求得的半径，比较与的大小，进而比较与圆锥底面半径的大小即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴是的半径， 又， ∴是的切线； （2）如图，作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求， 理由，∵， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴是的切线； （3）解：∵ ∴， ∴ 则圆锥的底面圆的半径为 如图，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作于点，则与相切， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由（1）可知之间的距离为， ∴, ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设的半径为，则， ∴ 解得 ∴, ∴， ∴， ， ∵， 又， ∴， 即， ∵． ∴能从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$