7.3圆柱的侧面展开图（分层练习）（题型专练）数学青岛版九年级下册

7.3圆柱的侧面展开图 1．下列平面图形中，是圆柱的侧面展开图的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且，．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（    ）cm． A．14 B．12 C．10 D．8 3．一个圆柱体和一个圆锥体的底面周长之比是，它们的体积比也是，圆柱和圆锥的高的比是（    ） A． B． C． D． 4．如图，矩形的长与宽分别为a和b，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则a和b要满足的数量关系是(    ) A． B． C． D． 5．下图是（   ）的展开图． A．棱柱 B．棱锥 C．圆柱 D．圆锥 6．一批规格相同的圆柱形油桶，高为1.2 m，底面半径为0.4 m，现将这批油桶外侧面刷上防锈漆，每平方米费用是1元．如果花费1000元给油桶刷漆，那么能把油桶外侧面刷满防锈漆的油桶个数是（　　） A．347 B．336 C．332 D．331 7．如图，是一个有盖子的圆柱体水杯，底面周长为6πcm，高为18cm，若盖子与杯体的重合部分忽略不计，则制作10个这样的水杯至少需要的材料是（　　） A．108π cm2 B．1080π cm2 C．126π cm2 D．1260π cm2 8．如图，圆柱的高线长为10cm，轴截面ABCD的面积为240cm2，则圆柱的侧面积是（　　） A．240 cm2 B．40πcm2 C．480 cm2 D．480πcm2 9．为庆祝“六•一”儿童节，幼儿园要用彩纸包裹底圆直径为，高为的一根圆柱的侧面．若每平方米彩纸元，则包裹这根圆柱侧面的彩纸共需 元．（接缝忽略不计，） 10．如图，圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为 ． 11．如图，把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，下列关于两个几何体的结论：①表面积不变；②表面积变大；③体积不变；④体积变大．其中结论正确的序号为 ． 12．已知一个圆柱的底面半径为3，高为5，则这个圆柱的侧面积为 . 13．如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为 cm（容器壁厚度忽略不计）． 14．已知一个圆柱的侧面展开图是如图所示的长方形，长为，宽为，那么这个圆柱底面圆的半径是多少？ 15．今有一个圆柱体和下面的器材，怎样用这些器材分别测出圆柱体的周长和直径，并算出的值．（器材有：刻度尺、纸条、三角板、钢针） 16．妈妈给小丽的圆柱形的玻璃杯（底面直径，高）用布料做了一个水杯套（只包住侧面和下底面）．（计算结果用π表示） (1)求出至少用布料多少平方厘米？ (2)求这个杯子最多可以盛水多少立方厘米？ 17．如图所示，有一个圆柱，它的高为9厘米，底面周长为24厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁要沿侧面到上底面B点取食物，问它爬行的最短路程是多少厘米？ 18．垃圾分类，从我做起．易拉罐是可回收垃圾，一吨易拉罐融化后能结成一吨很好的铝块，可少采20吨铝矿．生活中的易拉罐是一种类似于圆柱体的立体图形． （1）圆柱体的侧面展开图是______（填“长方形”“圆”或“扇形”）； （2）圆柱体的铝制易拉罐上、下两个底面的半径都是，侧面高为，制作这样一个易拉罐需要面积多大的铝材？（不计接缝，结果保留)． 19．明明家打算在一块长为16m，宽为4m的矩形土地上搭建一个截面为半圆形的全封闭蔬菜棚，并全部盖上塑料薄膜（如图所示），则所需薄膜的面积至少为多少平方米？（结果可含π，不考虑埋入土中部分的面积） 1．如图，一圆柱体的底面周长为3πcm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，爬行的最短路程是（    ）． A．3πcm B．5cm C．cm D．cm 2．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（    ） A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米 3．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是(　　) A．13 cm B．4cm C．4cm D．52 cm 4．如图①，O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD＝24cm，AB＝25cm．若弧AMD的长为底面周长的，如图②所示． （1）求⊙O的半径； （2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果可保留π和根号） 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3圆柱的侧面展开图 1．下列平面图形中，是圆柱的侧面展开图的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的特点分析侧面展开图的特点，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形； 又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形． 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，掌握常见几何体的展开图是解题的关键． 2．如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且，．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（    ）cm． A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长12cm，求出 AB 的值，由BC=10cm，DC=2cm，求出 DB的值，再在 Rt△ ABD 中，根据勾股定理求出 AD 的长，即可得答案． 【详解】解：圆柱侧面展开图如下图所示， ∵圆柱的底面周长为12cm， ∴ AB =6cm， ∵BC=10cm，DC=2cm， ∴DB=8， 在 Rt△ABD 中，( cm )， 即蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 D 的最短距离是10cm， 故选： C ． 【点睛】此题主要考查了圆柱的平面展开图，以及勾股定理的应用，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图． 3．一个圆柱体和一个圆锥体的底面周长之比是，它们的体积比也是，圆柱和圆锥的高的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式知道底面周长的比就是半径的比，设圆柱的底面半径是1，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是1，则圆锥的体积是3，再根据圆柱的体积公式与圆锥的体积公式得出圆柱的高与圆锥的高，进而根据题意，进行比即可． 【详解】解：设圆柱的底面半径是1，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是1，则圆锥的体积是3， 则：， 故选：． 【点睛】此题主要考查了圆柱的体积公式与圆锥的体积公式，关键在于熟悉圆柱的体积公式与圆锥的体积公式，利用公式推导出圆柱与圆锥的高的关系． 4．如图，矩形的长与宽分别为a和b，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则a和b要满足的数量关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆柱的底面周长等于剩余长方形的长，列出方程，整理可得答案． 【详解】解：组成圆柱后，圆柱的底面周长=剩余长方形的长． 即 整理得：． 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，解决本题的关键是得到圆柱的底面周长和剩余长方形的长之间的等量关系． 5．下图是（   ）的展开图． A．棱柱 B．棱锥 C．圆柱 D．圆锥 【答案】C 【分析】根据展开图中的上下底面是圆，侧面是长方形即可判断. 【详解】解：展开图中上下底面是圆，中间是长方形，符合圆柱的展开图. 故答案选：C 【点睛】本题考查学生的空间想象能力，圆柱的展开图中，上下底面是圆，侧面是长方形. 6．一批规格相同的圆柱形油桶，高为1.2 m，底面半径为0.4 m，现将这批油桶外侧面刷上防锈漆，每平方米费用是1元．如果花费1000元给油桶刷漆，那么能把油桶外侧面刷满防锈漆的油桶个数是（　　） A．347 B．336 C．332 D．331 【答案】D 【分析】花费是1000元，每平方是1元，因而可以刷1000米，求出油桶的侧面积，用1000除以油桶的侧面积即可求得． 【详解】要先求出油桶的侧面积，即π×2×0.4×1.2=0.96π. 每平方米费用是1元，则每桶的费用为0.96π元， 所以花费1000元给油桶刷漆个数为：1000÷0.96π≈331(个). 故选:D. 【点睛】考查了圆柱侧面积的计算，掌握圆柱侧面积的计算方法是解题的关键. 7．如图，是一个有盖子的圆柱体水杯，底面周长为6πcm，高为18cm，若盖子与杯体的重合部分忽略不计，则制作10个这样的水杯至少需要的材料是（　　） A．108π cm2 B．1080π cm2 C．126π cm2 D．1260π cm2 【答案】D 【分析】求出一个水杯的表面积乘以10即可得到所需材料多少. 【详解】设底面半径为r， 则2πr=6π， 解得r=3， ∴底面积为9π， 侧面积为：6π×18=108π ∴一个杯子的表面积为：108π+2×9π=126π， ∴制作10个这样的水杯至少需要的材料是10×126π=1260πcm2. 故选:D. 【点睛】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是熟知一个杯子的表面积的计算方法. 8．如图，圆柱的高线长为10cm，轴截面ABCD的面积为240cm2，则圆柱的侧面积是（　　） A．240 cm2 B．40πcm2 C．480 cm2 D．480πcm2 【答案】A 【分析】底面直径=轴截面面积÷高；侧面积=底面周长×高． 【详解】圆柱的高线长为10cm,轴截面的面积为240cm2， 则可求出圆柱的直径是240÷10=24 cm， 所以侧面积=24π×10=240πcm2. 故选A. 【点睛】考查圆柱的相关计算，掌握圆柱侧面积的计算公式是解题的关键. 9．为庆祝“六•一”儿童节，幼儿园要用彩纸包裹底圆直径为，高为的一根圆柱的侧面．若每平方米彩纸元，则包裹这根圆柱侧面的彩纸共需 元．（接缝忽略不计，） 【答案】 【分析】先求出圆柱的侧面积，然后求出包裹这根圆柱侧面的彩纸需要的钱数． 【详解】解：圆柱的侧面积为：， ∴需要彩纸的面积为， 则包裹这根圆柱侧面的彩纸共需（元）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求圆柱的侧面积，解题的关键是熟练掌握圆柱侧面积公式，求出圆柱的侧面积． 10．如图，圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为 ． 【答案】/5厘米 【分析】把圆柱体沿展开，则的长是圆柱体底面圆周长的一半，在中利用勾股定理即可求出的长，的长就是蚂蚁在圆柱体的侧面爬行的最短路程． 【详解】把圆柱体沿展开，得到矩形，如下图所示， 连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线． ∵圆柱体的底面圆周长为， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆柱体的侧面展开，两点之间线段最短，勾股定理的应用，熟练掌握圆柱体的侧面展开的特征是解本题的关键． 11．如图，把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，下列关于两个几何体的结论：①表面积不变；②表面积变大；③体积不变；④体积变大．其中结论正确的序号为 ． 【答案】②③ 【分析】设圆柱的半径为r，高为h；根据圆柱的切割方法与拼组特点可知：拼成的长方体的长是圆柱底面周长的一半，即是πr；宽是半径的长度是r，高是原来圆柱的高h，由此利用长方体的表面积公式，代入数据即可解答． 【详解】设圆柱的半径为r，高为h；则拼成的长方体的长πr；宽是r，高是h， ①原来圆柱的表面积为：2πr2+2πrh； 拼成的长方体的表面积为：(πr×r+πr×h+h×r)×2=2πr2+2πrh+2hr 所以拼成的长方体的表面积比原来的圆柱的表面积变大了． ②原来圆柱的体积为：πr2h 拼成的长方体的体积为：πr×r×h=πr2h 所以拼成的长方体和圆柱的体积大小没变． 所以拼成的长方体的表面积比原来的圆柱的表面积变大了，但是体积没变； 故答案为：②③ 【点睛】本题考查了圆柱的表面积和体积计算公式，长方体表面积和体积计算公式，是简单的立方体切拼问题． 12．已知一个圆柱的底面半径为3，高为5，则这个圆柱的侧面积为 . 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积就是底面周长×高计算． 【详解】解：圆柱的侧面面积=π×3×2×5=30π． 故答案为:30π． 【点睛】本题考查了圆柱体的侧面积的计算公式，关键是掌握:圆柱侧面积=底面周长×高． 13．如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为 cm（容器壁厚度忽略不计）． 【答案】34 【分析】首先展开圆柱的侧面，即是矩形，接下来根据两点之间线段最短，可知CF的长即为所求；然后结合已知条件求出DF与CD的长，再利用勾股定理进行计算即可. 【详解】如图为圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段CF是蜘蛛由C到F的最短路程. 根据题意，可知DF=18-1-1=16（cm），CD（cm）， ∴（cm）， 即蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm. 故答案为34. 【点睛】此题是有关最短路径的问题，关键在于把立体图形展开成平面图形，找出最短路径； 14．已知一个圆柱的侧面展开图是如图所示的长方形，长为，宽为，那么这个圆柱底面圆的半径是多少？ 【答案】2或3 【分析】考查了圆柱的侧面展开图，注意分长为底面周长和宽为底面周长两种情况讨论求解． 分底面周长为和两种情况讨论，求得底面半径． 【详解】解：①底面周长为时，圆柱底面圆的半径为； ②底面周长为时，圆柱底面圆的半径为． 答：这个圆柱底面圆的半径是2或3． 15．今有一个圆柱体和下面的器材，怎样用这些器材分别测出圆柱体的周长和直径，并算出的值．（器材有：刻度尺、纸条、三角板、钢针） 【答案】见解析 【分析】用刻度尺和三角板采用辅助法测量圆柱体的直径；用刻度尺、纸条、钢针测量圆柱体的周长；用周长除以直径就是圆周率π． 【详解】解：用纸条把圆柱体围起来，用钢针扎一下，用刻度尺量出两个洞的距离就是圆柱体的周长C； 两个三角板直角边相对置于桌面，圆柱体横放在中间，用刻度尺量出两个三角板边的距离就是圆柱体底面圆的直径； 用周长除以直径即是圆周率． 【点睛】此题考查的是辅助法进行长度测量方法的应用，属于间接测量，体现的是等效替换思想． 16．妈妈给小丽的圆柱形的玻璃杯（底面直径，高）用布料做了一个水杯套（只包住侧面和下底面）．（计算结果用π表示） (1)求出至少用布料多少平方厘米？ (2)求这个杯子最多可以盛水多少立方厘米？ 【答案】(1)至少用布料平方厘米 (2)这个杯子最多可以盛水立方厘米 【分析】（1）如图可知，布料的面积为：长方形的面积加上圆的面积，根据长方形的面积为：底面周长乘以高，圆的面积为：，即可； （2）如图可知，该水杯为圆柱，根据圆柱的体积为：，即可． 【详解】（1）解：布料的面积为：， 答：至少用布料平方厘米． （2）解：， 答：这个杯子最多可以盛水立方厘米． 【点睛】本题考查圆柱的知识，解题的关键是掌握圆柱的表面积计算和体积公式． 17．如图所示，有一个圆柱，它的高为9厘米，底面周长为24厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁要沿侧面到上底面B点取食物，问它爬行的最短路程是多少厘米？ 【答案】它爬行的最短路程是15厘米． 【分析】根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如下图， 由题意得： ， 由勾股定理得：， 它爬行的最短路程是15厘米． 【点睛】本题考查了对勾股定理，平面展开-最短路径问题，解题的关键是理解题意知道蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长． 18．垃圾分类，从我做起．易拉罐是可回收垃圾，一吨易拉罐融化后能结成一吨很好的铝块，可少采20吨铝矿．生活中的易拉罐是一种类似于圆柱体的立体图形． （1）圆柱体的侧面展开图是______（填“长方形”“圆”或“扇形”）； （2）圆柱体的铝制易拉罐上、下两个底面的半径都是，侧面高为，制作这样一个易拉罐需要面积多大的铝材？（不计接缝，结果保留)． 【答案】（1）长方形；（2）制作这样一个易拉罐需要面积为的铝材． 【分析】（1）根据圆柱体的侧面展开图的特点即可得； （2）根据圆柱体的表面积等于两个底面面积加上侧面积即可得． 【详解】（1）圆柱体的侧面展开图是长方形； （2）由题意得：， 答：制作这样一个易拉罐需要面积为的铝材． 【点睛】本题考查了圆柱体的侧面展开图、以及表面积，掌握理解圆柱体的相关知识是解题关键． 19．明明家打算在一块长为16m，宽为4m的矩形土地上搭建一个截面为半圆形的全封闭蔬菜棚，并全部盖上塑料薄膜（如图所示），则所需薄膜的面积至少为多少平方米？（结果可含π，不考虑埋入土中部分的面积） 【答案】36π(m2)． 【分析】圆柱的表面积=侧面积+两个底面积=底面周长×高+2π半径2．所需薄膜的面积=圆柱表面积的一半． 【详解】所需薄膜的面积即为圆柱的表面积的一半，根据表面积公式可得π×4×16÷2+π×（4÷2）2÷2×2=36π(m2)． 答：所需薄膜的面积至少为36π平方米. 【点睛】考查圆柱的计算，掌握圆柱侧面积的计算方法是解题的关键. 1．如图，一圆柱体的底面周长为3πcm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，爬行的最短路程是（    ）． A．3πcm B．5cm C．cm D．cm 【答案】D 【分析】先把圆柱体沿AB剪开，则AD的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求出AC的长． 【详解】 如图所示，圆柱体的侧面展开图： ∵底面圆周长为3πcm， ∴AD=cm， 又∵AB=4cm， ∴在Rt△ABC中，AC==cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 2．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（    ） A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米 【答案】B 【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可. 【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示， 作点A的对称点B， 连接PB， 则PB为所求， 根据题意，得PC=8，BC=6， 根据勾股定理，得PB=10， 故选B. 【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键. 3．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是(　　) A．13 cm B．4cm C．4cm D．52 cm 【答案】D 【分析】本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决..要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】如图， 由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为xcm， ∵∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm， ∴x2=(12×4)2+202∴x2=(12×4)2+202， 所以彩带最短是52cm． 故选D． 【点睛】本题考查了平面展开−−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高， 4．如图①，O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD＝24cm，AB＝25cm．若弧AMD的长为底面周长的，如图②所示． （1）求⊙O的半径； （2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果可保留π和根号） 【答案】（1）⊙O的半径为8cm；（2）木块的表面积为（384＋400）πcm2． 【分析】（1）根据弧AMD的长为底面周长的，可将扇形的圆心角求出，再根据弦AD的长可将⊙O的半径求出； （2）圆柱形木块的表面积S=2S圆＋S侧，将上下两个圆的面积和侧面的面积求出，相加即可． 【详解】（1）如图，连接OA，OD，过O作OE⊥AD，垂足为E， 因为弧AMD的长为底面周长的，所以扇形AMD的圆心角为360°×＝240°． ∠AOD＝360°﹣240°＝120°． 因为OE⊥AD，所以∠AOE＝×120°＝60°，AE＝AD． 因为AD＝24cm，所以AE＝12cm．在Rt△AOE中，sin∠AOE＝， 所以AO＝，即⊙O的半径为8cm． （2）设圆柱的表面积为S，则S＝2S圆＋S侧，2 S圆＝2π×（8）2＝384π（cm2）， S侧＝2π×8×25＝400π（cm2）， 所以S＝（384＋400）πcm2 答：木块的表面积为（384＋400）πcm2． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$