7.3圆柱的侧面展开图（教学课件）数学青岛版九年级下册

主讲： 青岛版九年级下册 第7章 空间图形的初步认识 7.3圆柱的侧面展开图 新课导入 思考：在生活中常遇的圆柱形物体，如：油桶、铅笔、圆形柱子等. 那么圆柱有哪些特征？ 新课讲授 侧面 底面 高 2个 都是圆，并且大小一样 1个 曲面 无数条 长度都相等 圆柱的特征 1 新课讲授 思考：矩形ABCD，绕直线AB旋转一周得到的图形是什么？ B C D A B C D A 矩形ABCD绕直线AB旋转一周所得的图形是一个圆柱，直线AB叫做圆柱的轴，圆柱侧面上平行于轴的线段CD叫做圆柱的母线. 矩形的另一组对边AD，BC是上、下底面的半径. 圆柱一个底面上任意一点到另一底面的垂线段叫做圆柱的高. ①圆柱的轴通过上、下底面的圆心，且垂直于上、下底； ②圆柱的母线平行于轴且长都相等，等于圆柱的高； ③圆柱的底面圆平行且相等. 新课讲授 思考：你们还记得长方体、正方体的展开图吗？ 你能类比棱柱的展开图得到圆柱的展开图吗？ 新课讲授 思考：圆柱的侧面展开后是什么形状？ 动手操作： 请同学按小组拿出橡皮、蜡笔、水彩笔、固体胶水等有商标纸的圆柱形实物，按下图所示把商标纸剪开，再展开，观察商标纸的形状. 思考：(1)圆柱的侧面展开后是什么形状？ 新课讲授 圆柱的侧面展开后是得到一个长方形. (2)这个长方形的长、宽与圆柱有什么关系？ 把这个长方形重新包在圆柱上，你能发现什么？ 新课讲授 底面 底面 底面的周长 底面 底面 高 底面的周长 长方形的长＝圆柱底面的周长，宽＝圆柱的高. 圆柱的侧面积＝圆柱地面的周长×高 圆柱的侧面展开图 2 新课讲授 h r h 底面的周长 圆柱的侧面展开图 2 ①圆柱的侧面展开图为矩形； ②一边是圆柱的母线（高），一边是圆柱底面圆的周长； ③S圆柱侧=底面圆周长×圆柱母线（S圆柱侧=底面周长×高）. 典例分析 例1 一个圆柱形茶叶桶的侧面贴着商标纸，圆柱底面半径是5cm，高是20cm.这张商标纸展开后是一个长方形，它的长和宽各是多少厘米？ 长方形的长=圆柱的底面周长 长： 2×5×3.14 ＝10×3.14 ＝31.4（cm） 长方形的宽=圆柱的高 答：它的长是31.4cm，宽是20cm. 宽: 20cm 典例分析 例2 如图，要用钢板制作一个无盖的圆柱形水箱，它的高为2.5m，容积为10m3，求需用钢板的面积（不计加工余量，精确到0.1m2）. 2.5m 解：由题意可知，h=2.5m ，V=10m3. 设水箱底面半径为 r (m)， 由V r = ≈ S侧 =2πrh ≈ 2≈17.75 (m2) S底 = ≈ ≈ 4.01 (m2) S底 = S侧 + S底≈17.75.8 (m2) 所以，共需钢板约21.8m2. 典例分析 例3 如图，在一个高与底面直径相等的圆柱内放置一个体积最大的球，已知球的体积公式为V球= ，表面积公式为S球= 4，其中r为球的半径. 求该球与它的外切圆柱的体积的比及它们的表面积的比. 解：设圆柱的体积为V圆柱，圆柱的全面积为S圆柱， 圆柱的底面半径为r，那么圆柱的高等于2r，圆 柱内放置的体积最大的球的半径等于r. ∵ V圆柱 = ∴ . ∵ S圆柱 =2S底 + S侧 ∴ 典例分析 例4 如图,一个圆柱体的底面周长为24cm,母线AB为4cm,BC是上底的直径.一只蚂蚁从下底面的点A处出发爬行到上底面的点C处. (1)如果它沿圆柱体的侧面爬行,其最短路径长是多少(精确到0.1cm)? 解（1）将圆柱体的侧面沿母线AB剪开，得到它的侧面展开图矩形ABB1A1 . 24 1 ∵BC cm， BB = = 由于圆柱的侧面展开图是平面图形， A，C是该平面内的两点，在A，C两点的连线中，线段AC最短.所以,蚂蚁从点A沿着圆柱体侧面爬行到点C时，如果沿着路径AC爬行，爬行的路径最短，最短路径约为12.6 cm. . 6 12 12 4 . cm 4 . 12 2 2 2 2 cm . BC AB AC AB ABC RT cm， ∴BC ≈ + = + = = = 由勾股定理，得 中， △ 在 2 1 1 BB ， 由已知 典例分析 例4 如图,一个圆柱体的底面周长为24cm,母线AB为4cm,BC是上底的直径.一只蚂蚁从下底面的点A处出发爬行到上底面的点C处. (2)如果将蚂蚁“沿圆柱体的侧面”改为“沿圆柱体的表面”,(1)中的答 案还是最短路径吗? (2)因为底面圆的周长为24 cm，所以底面圆的直径 所以，如果将蚂蚁“沿圆柱侧面”改为“沿圆柱的表面”， （1）中的答案不是最短路径. 蚂蚁由A处先沿母线AB 爬到B处，再沿上底面直径BC爬到C的路径长为 典例分析 例4 如图,一个圆柱体的底面周长为24cm,母线AB为4cm,BC是上底的直径.一只蚂蚁从下底面的点A处出发爬行到上底面的点C处. (3)当圆柱体底面半径r变化,而母线长h不变时,试比较沿圆柱体侧面由 A处爬行到C处的最短路径与沿母线AB再沿上底面直径BC爬行到C处的路径的长短. (3)当圆柱体底面半径r变化，圆柱体母线长h不变时，设沿圆柱体侧面从A处到C处的最短路径长为l1，可知 设路径A-B-C的长为l2. 典例分析 例4 典例分析 例5 云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的.如图所示的是公园内云顶滑雪场U型池的示意图,该场地可以看成是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成的,它的横截面图中半圆的半径为 m,其边缘AB=CD=24 m,点E在CD上,CE=4 m.一名滑雪爱好者从点A滑到点E,求他滑行的最短路线长.   典例分析 例6 如图,圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm,底面圆周长为16 cm,在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿1 cm,且与蜂蜜相对的点B处,求蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程.(杯壁厚度不计) 课堂小结 特征 展开图 最短路径 圆柱的 侧面展开图 ①圆柱的轴通过上、下底面的圆心，且垂直于上、下底； ②圆柱的母线平行于轴且长都相等，等于圆柱的高； ③圆柱的底面圆平行且相等. ①圆柱的侧面展开图为矩形； ②一边是圆柱的母线（高）， 一边是圆柱底面圆的周长； ③S圆柱侧=底面圆周长×圆柱母线 （S圆柱侧=底面周长×高）. 展成平面图进行计算 学以致用 练1. 一个圆柱侧面展开图是正方形，这个图形的高是底面半径的（　 ）. C A. 2倍 B. 3倍 C. 2倍 若圆柱的底面圆半径为3 cm,母线长为4 cm,则这个圆柱的侧面积为( ).    A.12 cm2　　          　B.24 cm2 C.12π cm2　　         　D.24π cm2 D D. 倍 练2.   A.240 cm2　　         　B.240π cm2 C.480 cm2　　         　D.480π cm2 学以致用 练3. 一个圆柱的底面圆半径扩大为原来的2倍,高缩小到原来 A.扩大为原来的2倍　　　B.缩小到原来的 C.不变　　　             D.扩大为原来的4倍 如图,圆柱的母线长为10 cm,轴截面的面积为240 cm2,则圆柱的侧面积是    (　　) C B 练4. 学以致用 练5. 一个圆柱形水池的底面半径为4米，池深1.2米. 在池的内壁与底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是 平方米. 已知一个圆柱的底面半径为3米，高度为4米. 则S柱侧= 平方米. 已知圆柱的底面圆半径为2 cm,母线长为3 cm,则这个圆柱的表面积为 　　　　cm2.  一个底面圆直径是3厘米的圆柱,它的侧面展开是一个正方形,这个圆柱的高是 　　　　厘米.  20π 3π 练6. 练7. 练8. 学以致用 练9. 我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高三丈,周八尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看成一个圆柱体,该圆柱的高为3丈,底面圆周长为8尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是 　　　　丈.(1丈=10尺) 5 学以致用 练10. 一个圆柱体的表面积和长方形的面积相等，长方形的长等于圆柱体的底面周长，已知长方形的面积是251.2平方厘米，圆柱体的底面半径是2厘米． 圆柱体的高是多少厘米？ 解：251.2-3.14×（2+2）×2 =251.2-3.14×8 =251.2-25.12 =226.08（平方厘米） 226.08÷（3.14×2×2） =226.08÷12.56 =18（厘米） 答：圆柱体的高是18 厘米． 学以致用 练11. 一个圆柱的底面半径是3厘米，侧面展开后是一个正方形， 这个圆柱的侧面积是多少平方厘米？ 解：这个圆柱的底面周长是：3.14×3×2=18.84（厘米） 所以高也是18.84厘米， 侧面积是：18.84×18.84=354.9456（平方厘米）. 学以致用 练12. 有一圆形油罐底面圆的周长为24 m，高为6 m，一只蚂蚁从距底面1 m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ A B B A C 解：AC = 6 – 1 = 5 ， BC = 24 × = 12， 由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13 m . $$