7.2直棱柱的侧面展开图（5大题型提分练）（题型专练）数学青岛版九年级下册

7.2直棱柱的侧面展开图 题型一 几何体展开图 1．若某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体是（   ） A．圆柱 B．棱柱 C．圆锥 D．棱锥 2．在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（ ） A．吉 如 意 B．意 吉 如 C．吉 意 如 D．意 如 吉 3．下列图形经过折叠能围成棱柱的是（   ） A． B． C． D． 4．下列图形中，经过折叠不能围成一个棱柱的是（   ） A． B． C． D． 5．下列图形中三棱柱的表面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 6．如图所示的图形，折叠后能围成（   ） A．直三棱柱 B．直四棱柱 C．直五棱柱 D．直六棱柱 7．将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面，使和重合，所围成的几何体是（   ） A． B． C． D． 8．下列不是三棱柱展开图的是（   ） A． B． C． D． 9．把如图所示的纸片折叠起来，可以得到的几何体是 ． 10．如图所示是某些多面体的表面展开图，请将这些多面体的名称写出来． （1）     （2）     （3） 题型二 几何体的表面积 1．一个六棱柱的侧棱长为，底面边长都是，则该六棱柱的侧面积为 ． 2．一个几何体的展开图如图所示，每个小长方形的形状和大小都完全相同． (1)请写出这个几何体的名称； (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积． 3．如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)若从正面看到的长方形的宽为4，长为9，从左面看到的宽为3，从上面看到的直角三角形的斜边为5，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 4．如图，是一个长方体及其展开图，已知展开图阴影部分的面积为． (1)求的值； (2)若用一张长方形铁皮直接裁剪，然后做成这个长方体形状的储物盒，这张铁皮的长和宽至少要多少厘米？ 5．如图所示的八棱柱，它的底面边长都是5厘米，侧棱长都是6厘米，回答下列问题： (1)这个八棱柱一共有多少个面？它们的形状分别是什么？图形哪些面的形状、面积完全相同？ (2)这个八棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？ (3)沿一条侧棱将其侧面全部展成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？ 5．废品回收能够节能环保，对保护环境、节约能源和带动社会效益起积极作用．食品包装盒回收时需将其展开再处理，如图是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出包装盒的几何体名称； (2)用，表示这个几何体的表面积（侧面积与上、下底面面积之和），并计算当，时，S的值． 7．如图是一个食品包装盒的展开图. (1)请写出这个包装盒的多面体形状的名称； (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积（全面积是侧面积与两个底面积之和）. 题型三 几何体的体积 1．某品牌牛奶包装盒的表面展开图如图所示（单位：），则此包装盒体积是 （包装材料厚度不计） 2．如图，一个长方体的表面展开图中四边形是正方形，则根据图中数据可得原长方体的体积是 ． 3．如图1，这是形状为长方体的某种包装盒，它的长：宽：高，其展开图如图2所示（不包含包装盒的黏合处），设该包装盒的长为分米． (1)展开图中的长度为_____分米．（用含的式子表示） (2)若的长度为18分米，现对包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为元，求整个包装盒外表面涂色的费用． 4．（1）如图1所示的平面图形是几个立体图形的表面展开图，请写出这些立体图形的名称． ①__________；②__________；③__________；④__________． （2）如图2是某立体图形的表面展开图，请计算该立体图形的体积． 5．综合与探究 【主题】制作无盖长方体盒子 【操作】如图1为一块长、宽的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． 【实践探究】 (1)求折成的无盖长方体盒子的体积． (2)若用这样的一块长方形纸板折成一个高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，求该盒子需要涂色的面积． 6．小颖设计了一个无盖的长方体收纳盒，她用若干个长方形拼成了如图所示的展开图，并标上了字母，据你所学的知识，回答下列问题： (1)小颖将展开图折叠成无盖的长方体，若她想让折叠后的B在底面，则她应该剪去哪个面？ (2)已知，所有棱长的和是，求这个长方体收纳盒的容积． 7．如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体的名称是______，其底面半径为______； (2)根据图中所给信息，求该几何体的表面积和体积（结果保留）． 8．一个无盖的长方体包装盒展开后的平面图形如图所示（单位：），a，b，c分别是该长方体包装盒的长、宽、高．已知，求该长方体包装盒的体积．    9．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    题型四 正方体的展开图 1．小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒，如图，六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，把正方体沿某些棱剪开，得到的展开图可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图1，先将正方体相对的两个面涂上阴影，再将正方体沿某些棱剪开后，得到如图2所示的展开图，没有被剪开的棱为（   ） A． B． C．CD D． 4．下列属于如图所示正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 5．某一正方体的侧面展开图如图所示，则该正方体是（    ） A． B． C． D． 6．明明用纸（如图）折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，与其他空盒子混放在一起，只凭观察，选出墨水所在盒子为（   ） A． B． C． D． 7．把如图所示的图形折叠（图案朝外）起来会变成（   ） A． B． C． D． 题型五 最短距离问题 1．如图，一只蚂蚁从长和宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（    ）    A． B． C． D．无法确定 2．如图，一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为 cm． 3．如图，圆柱形透明容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是 ． 4．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A处出发沿长方体表面爬行到处，若长方体的长，宽，高，则蚂蚁爬行的最短路径是 ． 1．【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 2．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）如图，下列四幅图中不是长方体的表面展开图的是______． 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒，方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍． （3）若有盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______，外围周长最大时的表面展开图共有______种不同的形状，请任选一种画出该长方体的展开图（要求：借助直尺或三角板作图，图中标明长、宽、高的数据）． 3．某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有______（只填写序号）． 【制作纸盒】综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子． （2）如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，此时，表面展开图的外围周长为，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子，制作成的无盖长方体盒子的体积是______； （3）如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，则，此时表面展开图的外围周长为______，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．求制作成的有盖盒子的体积． 【拓展探究】 若长方体的长、宽、高分别为4、3、6．将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则当该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时，该长方体形盒子表面展开图的外围的最大周长是______． 4．综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．     问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 5．追本溯源 题（1）来自课本中的习题改编，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． (1)如图1，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图2，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？ 6．一块边长为的正方形薄钢片制作一个长方体盒子. (1)如果要做成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形(如图1)，然后把四边折合起来(如图2). ①求做成的盒子底面积与截去小正方形边长之间的函数关系式； ②当做成的盒子的底面积为时，试求该盒子的容积. (2)如果要做成一个有盖的长方体盒子，其制作方案要求同时符合下列两个条件： ①必须在薄钢片的四个角上各截去一个四边形(其余部分不能裁截)； ②折合后薄钢片既无空隙又不重叠地围成各盒面. 请你画出符合上述制作方案的一种草图(不必说明画法与根据)；并求当表面积为时，该盒子的高. 7．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是（单选）______； A．B． C． D． (2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则下列平面图形中，可能是该长方体表面展开图的有（多选）______（填序号）； (3)下图是题（2）中长方体的一种表面展开图，在图上取A、B、C三个顶点（），若P、Q分别从A、C同时出发，点P以1个单位/秒的速度向点C运动，点Q个以0．5单位/秒的速度向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动，求运动多少时间时，B、P、Q三点中，有一个点正好是另两个点的中点？ (4)事实上，题（2）中长方体的表面展开图还有不少，题（3）的外围周长为52，请你写出该长方体表面展开图的最大外围周长为______． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2直棱柱的侧面展开图 题型一 几何体展开图 1．若某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体是（   ） A．圆柱 B．棱柱 C．圆锥 D．棱锥 【答案】C 【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体展开图的特征是解题的关键．根据圆锥的展开图是扇形与圆解题即可． 【详解】解：某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体是圆锥， 故选：C． 2．在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（ ） A．吉 如 意 B．意 吉 如 C．吉 意 如 D．意 如 吉 【答案】A 【分析】本题考查的是简单几何体的展开图，利用四棱锥的展开图的特点可得答案． 【详解】解：由题意可得，原几何体是四棱锥， ∴A、B、C处依次写上的字可以是吉，如，意或如，吉，意． 故选：A． 3．下列图形经过折叠能围成棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查棱柱的展开图，解题的关键是掌握棱柱的定义和展开图的形状．利用空间想象能力判断图形是否可以折成棱柱即可． 【详解】解：A、经过折叠能围成棱柱的是圆柱；不符合题意； B、经过折叠不能围成棱柱，不符合题意； C、经过折叠能围成圆锥；不符合题意； D、经过折叠能围成棱柱的是四棱柱，符合题意． 故选：D． 4．下列图形中，经过折叠不能围成一个棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查棱柱的展开图，熟练掌握棱柱的展开图是解题的关键．根据棱柱的展开图进行判断即可． 【详解】 解：可以围成四棱柱，不符合题意， 可以围成四棱柱，不符合题意， 可以围成四棱柱，不符合题意， 不可以围成棱柱，符合题意， 故选D． 5．下列图形中三棱柱的表面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三棱柱的展开图，关键用两个底面的位置来判断． 根据三棱柱的两个底面是三角形，并且在上下的两侧，直接判断即可． 【详解】解：三棱柱的两个底面是三角形，并且在上下的两侧，三个侧面是长方形，可判断B正确； 故选：B 6．如图所示的图形，折叠后能围成（   ） A．直三棱柱 B．直四棱柱 C．直五棱柱 D．直六棱柱 【答案】B 【分析】本题考查几何体的展开图，侧面为四个长方形，底边为长方形，故原几何体为直四棱柱． 【详解】解：根据展开图可知，侧面为四个长方形，底边为长方形， 所以此表面展开图是直四棱柱的展开图． 故选：B. 7．将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面，使和重合，所围成的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的展开图；根据将图中阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面，则其上面和下面是两个大小不同的圆，且上面的圆比下面的小，所以可判断围成的几何体是一个圆台． 【详解】解：由于展开图是扇形减去扇形，于是可得围成的侧面的上面和下面是两个大小不同的圆，且上面的圆比下面的小，所以围成的几何体为一个圆台， 故选：B． 8．下列不是三棱柱展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三棱锥的展开图形是三个矩形和两个三角形，根据立体图形展开图的特性可以找出正确答案． 【详解】Ａ．上下围起，左右封闭即可变成一个三棱柱，不符题意； Ｂ．矩形围起来之后，两个三角形会重叠，底面没有三角形，不能围成三棱锥，不符题意； C．上下围起，左右封闭即可变成一个三棱柱，不符题意； D．斜着的矩形旋转60°即可与中间矩形闭合，再和下面矩形闭合，左边三角形闭合，可变成一个三棱柱，不符题意． 故选：B． 9．把如图所示的纸片折叠起来，可以得到的几何体是 ． 【答案】三棱柱 【分析】此题主要考查的是几何体的展开图，熟记几何的侧面、底面图形特征即可求解． 根据几何体特征，侧面为矩形，上下底面为三角形，则图中纸片折叠起来可以得到三棱柱． 【详解】解：根据几何体特征，图中纸片折叠起来可以得到三棱柱． 故答案为：三棱柱． 10．如图所示是某些多面体的表面展开图，请将这些多面体的名称写出来． （1）     （2）     （3） 【答案】 三棱锥 三棱柱 长方体 【分析】本题主要考查了立体图形的展开图，熟悉各立体图形的展开图的特点是解题的关键． 分别根据对应的展开图写出这些几何体的名称即可． 【详解】解：（1）有四个三角形的面，折叠后可得到三棱锥，也称四面体； （2）两个底面是三角形，三个侧面是长方形，折叠后可得三棱柱； （3）有六个面，折叠后可得长方体． 故答案为：三棱锥；三棱柱；长方体． 题型二 几何体的表面积 1．一个六棱柱的侧棱长为，底面边长都是，则该六棱柱的侧面积为 ． 【答案】300 【分析】本题考查了几何体的侧面积，解题的关键是确定几何体侧面是什么图形．根据题意可知该六棱柱的侧面是6个长为，宽为的长方形，然后根据长方形的面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：， 即侧面展开图形面积是． 故答案为：300． 2．一个几何体的展开图如图所示，每个小长方形的形状和大小都完全相同． (1)请写出这个几何体的名称； (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积． 【答案】(1)正六棱柱 (2) 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为6个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：因为几何体的底面是正六边形， 所以这个几何体是正六棱柱． （2）解：因为正六棱柱的六个侧面是完全相同的小长方形， 所以侧面积为． 3．如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)若从正面看到的长方形的宽为4，长为9，从左面看到的宽为3，从上面看到的直角三角形的斜边为5，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 【答案】(1)三棱柱 (2)这个几何体中所有棱长的和是51，表面积是120． 【分析】此题考查判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键． （1）只有棱柱从左面看和从正面看才能出现长方形，根据从上面看是三角形，可得到此几何体为三棱柱； （2）3条长的高，加上两个三角形的周长就是几何体的所有棱长和；三个长为，宽分别为、、的长方形的面积与两个直角三角形的面积和就是表面积． 【详解】（1）解：这个几何体是三棱柱． 故答案为：三棱柱； （2）解：这个几何体的所有棱长的和． 表面积． 4．如图，是一个长方体及其展开图，已知展开图阴影部分的面积为． (1)求的值； (2)若用一张长方形铁皮直接裁剪，然后做成这个长方体形状的储物盒，这张铁皮的长和宽至少要多少厘米？ 【答案】(1) (2)长至少，宽至少 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用， （1）根据图形列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据长方体的长、宽、高求出长方体展开图所在长方形的长和宽即可． 【详解】（1）解：∵展开图阴影部分的面积为， ∴， 解得：． （2）解：铁皮的长为：， 铁皮的宽为：， 答：用一张长方形铁皮直接裁剪，然后做成这个长方体形状的储物盒，这张铁皮的长至少，宽至少． 5．如图所示的八棱柱，它的底面边长都是5厘米，侧棱长都是6厘米，回答下列问题： (1)这个八棱柱一共有多少个面？它们的形状分别是什么？图形哪些面的形状、面积完全相同？ (2)这个八棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？ (3)沿一条侧棱将其侧面全部展成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？ 【答案】(1)共有10个面，其中上、下两个底面，8个侧面；上、下底面是八边形，侧面都是长方形；上、下底面的形状、面积完全相同，8个侧面的形状、面积完全相同 (2)共有24条棱，其中侧棱的长度都是6厘米，其他棱长都为底面边长5厘米 (3)240平方厘米 【分析】本题考查了棱柱的相关知识，解决本题的关键是应理解棱柱的构造特点． （1）根据正八棱柱的特征答题； （2）n棱柱有个面，条棱，据此求解； （3）侧面展开图为长方形，求出长为厘米，宽是6厘米，即可求出面积． 【详解】（1）解：这个八棱柱一共有10个面，其中上、下两个底面，8个侧面；上、下底面是八边形，侧面都是长方形；上、下底面的形状、面积完全相同，8个侧面的形状、面积完全相同； （2）解：这个八棱柱一共有条棱，其中侧棱的长度都是6厘米，其他棱长都为底面边长5厘米； （3）解：将其侧面沿一条棱展开，展开图是一个长方形，长为厘米，宽是6厘米，因而面积是（平方厘米）． 5．废品回收能够节能环保，对保护环境、节约能源和带动社会效益起积极作用．食品包装盒回收时需将其展开再处理，如图是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出包装盒的几何体名称； (2)用，表示这个几何体的表面积（侧面积与上、下底面面积之和），并计算当，时，S的值． 【答案】(1)长方体 (2) 【分析】本题考查了长方体的展开图，代数式及代数式求值； （1）根据利用长方体及其表面展开图的特点，即可求解． （2）根据长方体的表面积长宽长高宽高，列出代数式，进而将，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：包装盒的几何体名称为：长方体； （2）解：． 当，时，． 7．如图是一个食品包装盒的展开图. (1)请写出这个包装盒的多面体形状的名称； (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积（全面积是侧面积与两个底面积之和）. 【答案】(1)六棱柱； (2)；． 【分析】本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟悉平面图形的折叠及立体图形的展开图． 根据展开图是由两个全等的正六边形和六个全等的矩形组成的，可知包装盒是一个六棱柱； 侧面积为个长方形的面积之和，底面积为两个正六边形的面积之和，两者相加即可得出全面积. 【详解】（1）解：这个包装盒是一个六棱柱； （2）解：这个包装盒的侧面是个长为，宽为的长方形， 这个包装盒的侧面积是； 这个包装盒的两个底面是两个全等的正六边形， 如下图所示， 一个正六边形可以被分成个全等的等边三角形， 六棱柱底面正六边形的边长为， 且正六边形可看作是六个全等的正三角形组成，正三角形的边长为六边形的边长， 每一个正等边三角形的面积为， 六棱柱的两个底面的面积之和为， ． 题型三 几何体的体积 1．某品牌牛奶包装盒的表面展开图如图所示（单位：），则此包装盒体积是 （包装材料厚度不计） 【答案】224000 【分析】本题考查图形的展开图，从平面图形到立体图形的思维，根据体积公式解题是关键．从展开图可得包装盒为长方体，先求出底面积，再乘以高计算即可． 【详解】解：包装盒的底面积为，包装盒的高为， 这种牛奶包装盒的体积是． 故答案：224000． 2．如图，一个长方体的表面展开图中四边形是正方形，则根据图中数据可得原长方体的体积是 ． 【答案】12 【分析】此题主要考查了几何体的展开图，利用已知图形得出各边长是解题关键． 利用正方形的性质以及图形中标注的长度得出，进而得出长方体的长、宽、高进而得出答案． 【详解】解：如图， 四边形是正方形， ， 立方体的高为：， ， 原长方体的体积是：． 故答案为：12． 3．如图1，这是形状为长方体的某种包装盒，它的长：宽：高，其展开图如图2所示（不包含包装盒的黏合处），设该包装盒的长为分米． (1)展开图中的长度为_____分米．（用含的式子表示） (2)若的长度为18分米，现对包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为元，求整个包装盒外表面涂色的费用． 【答案】(1) (2)包装盒外表面涂色的费用是27元． 【分析】本题考查了列代数式、长方体的表面积公式、一元一次方程的应用，读懂题意，列出代数式是解题的关键． （1）根据长：宽：高，且该包装盒的长为分米，得到宽为分米，高为分米，结合长方体的展开图即可求解； （2）根据的长度为分米，以及（1）的结论可求出的值，进而求出长方体的长、宽、高，然后求出长方体的表面积，最后根据平方分米涂料的价格元，即可求解． 【详解】（1）解：包装盒的长：宽：高，且该包装盒的长为分米， 宽为分米，高为分米， 分米， 故答案为：； （2）解：由（1）得的长度为分米， 又分米， ， 解得：， 包装盒的长为分米，宽为分米，高为分米， 包装盒的表面积为： （平方分米）， 包装盒外表面涂色的费用为：（元）， 答：包装盒外表面涂色的费用是27元． 4．（1）如图1所示的平面图形是几个立体图形的表面展开图，请写出这些立体图形的名称． ①__________；②__________；③__________；④__________． （2）如图2是某立体图形的表面展开图，请计算该立体图形的体积． 【答案】（1）圆柱；圆锥；六棱柱；长方体；（2） 【分析】本题主要考查了简单几何体展开图的特点，解题的关键是： （1）根据圆柱，圆锥，棱柱和长方体展开图的特点可得答案； （2）根据圆柱展开图的特点判定该几何体为圆柱，然后根据圆柱的体积公式求解即可． 【详解】解∶（1）图①侧面展开图是长方形，底面展开图是圆，则该几何体为圆柱； 图②侧面展开图是半圆，底面展开图是圆，则该几何体为圆锥； 图③侧面展开图是6个长方形，底面展开图是两个六边形，则该几何体是六棱柱； 图④是长方体展开图； 故答案为：圆柱；圆锥；棱柱；长方体； （2）    答：该立体图形的体积为． 5．综合与探究 【主题】制作无盖长方体盒子 【操作】如图1为一块长、宽的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． 【实践探究】 (1)求折成的无盖长方体盒子的体积． (2)若用这样的一块长方形纸板折成一个高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，求该盒子需要涂色的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的表面积与体积的计算，熟练的求解体积与表面积是解本题的关键． （1）由长方体的体积公式进行计算即可； （2）根据无盖的长方体的表面积公式计算即可． 【详解】（1） ． 答：折成的无盖长方体盒子的体积为． （2）由题意可得表面积为： ． ∴该盒子需要涂色的面积为． 6．小颖设计了一个无盖的长方体收纳盒，她用若干个长方形拼成了如图所示的展开图，并标上了字母，据你所学的知识，回答下列问题： (1)小颖将展开图折叠成无盖的长方体，若她想让折叠后的B在底面，则她应该剪去哪个面？ (2)已知，所有棱长的和是，求这个长方体收纳盒的容积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何体的展开与折叠； （1）根据长方体的展开图可得面D与面B相对，结合题意，即可求解； （2）根据题意求得，然后根据长方体的体积公式，即可求解． 【详解】（1）解：将展开图折叠成长方体后，其中面D与面B相对，要让折叠后的B在底面，则她应该剪去面D； （2）因为所有棱长的和是， 所以． 因为， 所以， 所以这个长方体收纳盒的容积为 7．如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体的名称是______，其底面半径为______； (2)根据图中所给信息，求该几何体的表面积和体积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱； (2)表面积为；体积为． 【分析】本题主要考查了几何体的展开图； （1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论； （2）依据圆柱的表面积和体积计算公式，即可得到该几何体的侧面积和体积． 【详解】（1）解：该几何体的名称是圆柱，其底面半径为1， 故答案为：圆柱；1； （2）该几何体的表面积为 该几何体的体积． 8．一个无盖的长方体包装盒展开后的平面图形如图所示（单位：），a，b，c分别是该长方体包装盒的长、宽、高．已知，求该长方体包装盒的体积．    【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，由题图，得该长方体包装盒的长宽，宽高，宽高高，求得a，b，c即可求解． 【详解】解：由题意，得，， 所以该长方体包装盒的体积为． 9．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求．    题型四 正方体的展开图 1．小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒，如图，六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解： 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， A、“预”的对面是“考”，“祝”的对面是“成”，“中”的对面是“功”，故本选项错误； B、“预”的对面是“功”，“祝”的对面是“考”，“中”的对面是“成”，故本选项错误； C、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，故本选项正确； D、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“成”，“考”的对面是“功”，故本选项错误． 故选：C． 2．如图，把正方体沿某些棱剪开，得到的展开图可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是解题的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A、B都不符合，且D折叠后图案正方形所在的位置正好与图中的位置相反，所以能得到的图形是C． 故选：C． 3．如图1，先将正方体相对的两个面涂上阴影，再将正方体沿某些棱剪开后，得到如图2所示的展开图，没有被剪开的棱为（   ） A． B． C．CD D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据正方体表面展开图的特征进行解答即可． 【详解】解：如图2，由展开图的形状可知，棱没有被剪开， 故选：D． 4．下列属于如图所示正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据正方体表面三角形和长方形的位置关系逐项判定即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】、选项两个长方形所在面互为相对面，不符合题意； 、选项当三角形所在面为正面时，其中一个长方形所在面为左面，不符合题意； 、选项经过折叠得到题图几何体，符合题意； 、选项三角形所在面和其中一个长方形所在面互为相对面，不符合题意； 故选：． 5．某一正方体的侧面展开图如图所示，则该正方体是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查几何体的展开图，根据正方体表面展开图的特点即可求解. 【详解】根据正方体表面展开图的特点， A、B选项，两个圆为相对的面，故错误； C选项正面的阴影部分三角形方向不对，故错误； D选项正确； 故选D. 6．明明用纸（如图）折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，与其他空盒子混放在一起，只凭观察，选出墨水所在盒子为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体展开图的识别，掌握立体几何展开图中相对面，相邻面的关系及特点是解题的关键． 根据题意，展开图是“”型，从上往下，第一行与第三行为相对面，第二行中第一列与第四列为相邻面，由此即可求解． 【详解】解：从上往下，第一行与第三行为相对面，第二行中第一列与第四列为相邻面， 如图所示， 线段与线段重合，故A选项错误，不符合题意，B选项正确，符合题意； C选项中，阴影部分的位置不对，不符合题意；D选项中，阴影部分的两个面位置不对，不符题意； 故选：B ． 7．把如图所示的图形折叠（图案朝外）起来会变成（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形展开图的认识．在本题的解决过程中，可以动手进行具体折纸、翻转活动也可以． 【详解】解：通过实际动手操作可知正确的为B． 故选：B． 题型五 最短距离问题 1．如图，一只蚂蚁从长和宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，解题的关键是将长方体展开，构造直角三角形，然后利用勾股定理解答． 将长方体纸箱按照不同方式展开，分别根据勾股定理求出不同展开图中AB的长，再找到其中最短者即为蚂蚁所行的最短路程． 【详解】解：如图（1）所示：，    如图（2）所示：， 最短路径为． 故选B． 2．如图，一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为 cm． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆柱的侧面展开图是矩形，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离，由勾股定理求出的长即得到问题的答案． 【详解】解：如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离， ∵， ∴， 故答案为：10． 3．如图，圆柱形透明容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是 ． 【答案】20 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算． 把圆柱的侧面展开，作点关于的对称点，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：作点关于的对称点， 如图所示， 则蜘蛛所走的最短路线长度为． 故答案为：20． 4．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A处出发沿长方体表面爬行到处，若长方体的长，宽，高，则蚂蚁爬行的最短路径是 ． 【答案】 【分析】根据展开图的不同类型，利用勾股定理计算比较即可． 本题考查了几何体的展开图，勾股定理，熟练掌握展开图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，长方体的长，宽，高， 根据展开图，得到解法如下： 第一种展开图， 根据题意，得， ； 第二种展开图中，根据题意，得 ； 第三种展开图中，根据题意，得， ； 故爬行的最短路程为， 故答案为：． 1．【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号） 【实践探索】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____． 【实践分析】 （3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【答案】（1）②（2）①②1000（3）见解析， 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可． 【详解】（1）解：②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：②； （2）①解：由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）解：由题意知：边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，如图， 所以该长方体表面展开图的最大外围周长为． 2．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）如图，下列四幅图中不是长方体的表面展开图的是______． 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒，方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍． （3）若有盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______，外围周长最大时的表面展开图共有______种不同的形状，请任选一种画出该长方体的展开图（要求：借助直尺或三角板作图，图中标明长、宽、高的数据）． 【答案】（1）③；（2）①400；②1000；③2；（3）70；3；见解析 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成进行判断即可； （2）①根据长方形面积公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； ③分别求出无盖盒子的体积和有盖盒子体积，即可求解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，可得答案． 【详解】解：（1）根据长方体的结构，③不能折成一个长方体，因此③不是长方体的表面展开图． （2）①长方体纸盒的底面面积为， ∴长方体纸盒的底面积为， ②长方体纸盒的底面积为， ∴该长方体纸盒的体积为， ③无盖盒子的体积：， 有盖盒子的体积：， ∵， ∴制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的倍； （3）如图所示，    ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为； 外围周长最大时的表面展开图共有3种不同的形状；长方体的展开图，如图所示： 3．某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有______（只填写序号）． 【制作纸盒】综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子． （2）如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，此时，表面展开图的外围周长为，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子，制作成的无盖长方体盒子的体积是______； （3）如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，则，此时表面展开图的外围周长为______，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．求制作成的有盖盒子的体积． 【拓展探究】 若长方体的长、宽、高分别为4、3、6．将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则当该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时，该长方体形盒子表面展开图的外围的最大周长是______． 【答案】（1）①⑤⑥（2）588（3）80， 拓展探究：70 【分析】本题主要考查了立体图形表面展开图．熟练掌握正方体、长方体表面展开图特征，是解题的关键． （1）是正方体的表面展开图的有①⑤⑥； （2）长方体的一边长为14，另一边长也为14，体积为588； （3）表面展开图的外围周长为80，盒子一边长为14，另一边长为4，体积为168； 拓展探究：画出该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时的图形，计算其周长为70． 【详解】解：（1）是正方体的表面展开图的有①⑤⑥； 故答案为：①⑤⑥； （2）长方体的另一边长为： 另一边长为：， 体积为：； 故答案为：588； （3）表面展开图的外围周长为：， 盒子一边长为：， 另一边长为：， 体积为：， 故答案为：80； 拓展探究： 如图，是该长方体形盒子表面展开图的外围周长最大时的情形， 其周长为：． 故答案为：70． 4．综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可； （2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，． 如图2，． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． （2）解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，， 根据勾股定理得． 因为， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． 5．追本溯源 题（1）来自课本中的习题改编，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． (1)如图1，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图2，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可； （2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，． 如图2，． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． （2）解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，， 根据勾股定理得． 因为， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． 6．一块边长为的正方形薄钢片制作一个长方体盒子. (1)如果要做成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形(如图1)，然后把四边折合起来(如图2). ①求做成的盒子底面积与截去小正方形边长之间的函数关系式； ②当做成的盒子的底面积为时，试求该盒子的容积. (2)如果要做成一个有盖的长方体盒子，其制作方案要求同时符合下列两个条件： ①必须在薄钢片的四个角上各截去一个四边形(其余部分不能裁截)； ②折合后薄钢片既无空隙又不重叠地围成各盒面. 请你画出符合上述制作方案的一种草图(不必说明画法与根据)；并求当表面积为时，该盒子的高. 【答案】(1)①；②盒子的容积=13500cm3；(2)当表面积为时，该盒子的高为. 【分析】(1)的解题关键是用含的代数式表示底面的边长，然后利用面积公式求出与的函数关系式； (2)是本题的难点，解题的关键是准确把握长方体盒子的对称性，设元并列出方程.经分析，问题(2)所截去的四个四边形中必有2个同样形状、同样大小的矩形和2个同样形状、同样大小的正方形，且当正方形的边长为时，矩形的两边分别为和30，把握这个特征，于是问题轻松求解. 【详解】解:(1)①由题意得：盒子底面的边长为， 所以. ②当时， 即， 解得，， 但当时，， 所以不符合题意，舍去. 所以当时，小正方形边长为，此时盒子的容积. (2)由题意得：截去的四个四边形的各边如图3所示. 所以有， 整理得：， 解得：，(不合题意，舍去).即. 答：当表面积为时，该盒子的高为. 【点睛】试题以身边的题材为背景，重点考查方程应用能力及动手操作能力.试题立意新，构思巧妙，突出学数学、用数学的课改理念.画出草图是解答的关键，若草图各边比例不规范，各边必要的标注欠缺；表面积概念不清，导致不能准确找到等量关系. 7．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是（单选）______； A．B． C． D． (2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则下列平面图形中，可能是该长方体表面展开图的有（多选）______（填序号）； (3)下图是题（2）中长方体的一种表面展开图，在图上取A、B、C三个顶点（），若P、Q分别从A、C同时出发，点P以1个单位/秒的速度向点C运动，点Q个以0．5单位/秒的速度向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动，求运动多少时间时，B、P、Q三点中，有一个点正好是另两个点的中点？ (4)事实上，题（2）中长方体的表面展开图还有不少，题（3）的外围周长为52，请你写出该长方体表面展开图的最大外围周长为______． 【答案】(1)B (2)①②③ (3)当运动时间为或或或或或或或或或或时，B、P、Q三点中，有一个点正好是另两个点的中点 (4)70 【分析】（1）根据平面图形的折叠和立体图形的表面展开图的特点，正方体的展开图共有11种，只要对比选项，选出属于这11种的图的选项即可． （2）由平面图形的折叠和立体图形的表面展开图的特点解题，选出属于长方体展开图的项即可． （3）依据题意画出图形，然后求出的长，再把A、B、C放在数轴上，利用数轴上两点中点公式进行讨论求解即可； （4）画出图形，依据外围周长的定义计算即可 【详解】（1）解：正方体的所有展开图，如下图所示： 只有B属于这11种中的一个， 故选：B． （2）解：由长方体展开图的特点可知，可能是该长方体表面展开图的有①②③， 故答案为：①②③． （3）解；设运动的时间为t， 如图1所示，由题意得，， 设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为4，点C在数轴上表示的数为7， ∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为， 当B是的中点时，则， 解得； 当P是的中点时，则， 解得； 当Q时的中点时，则， 解得； 如图2所示，由题意得，， 设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为7，点C在数轴上表示的数为11， ∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为， 当B是的中点时，则， 解得； 当P是的中点时，则， 解得； 当Q时的中点时，则， 解得； 如图3所示，由题意得，， 设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为11，点C在数轴上表示的数为14， ∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为， 当B是的中点时，则， 解得（舍去）； 当P是的中点时，则， 解得； 当Q时的中点时，则， 解得； 如图4所示，由题意得，， 设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为7，点C在数轴上表示的数为10， ∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为， 当B是的中点时，则， 解得； 当P是的中点时，则， 解得； 当Q时的中点时，则， 解得； 如图5所示，由题意得，， 设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为6，点C在数轴上表示的数为9， ∴运动t秒后，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为， 当B是的中点时，则， 解得； 当P是的中点时，则， 解得； 当Q时的中点时，则， 解得； 综上所述，当运动时间为或或或或或或或或或或时，B、P、Q三点中，有一个点正好是另两个点的中点； （4）解：外围周长最大的表面展开图，如下图： 观察展开图可知，外围周长为， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了平面图形的折叠和立体几何体的展开图，有理数与数轴，熟练掌握几何体的展开图的特征是解题的关键． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$