7.2直棱柱的侧面展开图（教学课件）数学青岛版九年级下册

主讲： 青岛版九年级下册 第7章 空间图形的初步认识 7.2 直棱柱的侧面展开图 新课导入 思考：观察下列立方体，它们的形状有什么共同特点？ 上下面相互平行，侧面均为矩形，侧棱垂直于上下面. 新课讲授 棱柱的底面：两个互相平行的面.简称底. 棱柱的侧面：其余各面. 棱柱的侧棱：相邻侧面的公共边. 棱柱的顶点：侧面与底面的公共顶点. 棱柱的有关概念 1 A’ B’ C’ D’ E’ F’ A B C D E F 底面 顶点 侧棱 侧面 新课讲授 通常用表示底面各顶点的字母来表示棱柱. 棱柱的表示方法 棱柱ABC-A1B1C1 棱柱ABCD-A1B1C1D1 B C C1 A B C A1 B1 C1 A B C D A1 B1 C1 D1 A D E A1 B1 D1 E1 棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1 棱柱的表示方法 2 新课讲授 根据底面图形的边数，我们分别称图中的立体图形为直三棱柱、直四棱柱、直五棱柱、直六棱柱. 例如，长方体和正方体都是直四棱柱.底面是正多边形的棱柱叫作正棱柱. 3 4 5 6 直五 棱柱 直六 棱柱 直三 棱柱 直四 棱柱 棱柱的分类1 3 新课讲授 按侧棱与底面是否垂直可分为： （1） 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱. （2）侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱. 斜棱柱 直棱柱 棱柱的分类2 3 新课讲授 (1) 有两个面互相平行，称它们为底面； (2)其余各个面均为矩形，称它们为侧面； (3)侧棱（指两个侧面的公共边）垂直于底面. 在几何中，我们把上述这样的立体图形称为直棱柱， 其中“棱”是指两个面的公共边. 直棱柱的定义 4.1 直棱柱的特征 4.2 新课讲授 还有一类几何体也是我们常见的，我们把这类几何体称为棱台. 多面体 直棱柱 斜棱柱 棱柱 棱锥 棱台 新课讲授 　　收集几个直棱柱模型，再把侧面沿一条侧棱剪开，它们的侧面能否展开成平面图形，是矩形吗？ 　　将直棱柱的侧面沿着一条侧棱剪开，可以展开成平面图形，像这样的平面图形称为直棱柱的侧面展开图.如下图所示是一个直四棱柱的侧面展开图. 直棱柱的侧面展开图是一个矩形，这个矩形的长是直棱柱的底面周长，宽是直棱柱的侧棱长（高）. 直棱柱的侧面展开图 4 新课讲授 常见直棱柱的侧面展开图 棱柱的侧面展开图是一个矩形，矩形的宽等于棱柱的侧棱长，矩形的长等于棱柱的周长. 典例分析 例1 如图为一个直三棱柱，试画出它的侧面展开图，并求侧面展开图的面积. 解析：要注意对应边的长度相等，侧面是3个长方形，底面是2个全等的直角三角形，侧面积是3个长方形的面积之和. 2.5cm 2cm 1.5cm 3cm 侧面积=3×2.5+3×2+3×1.5=18（平方厘米） 典例分析 例2 一个食品包装盒的侧面展开图如图所示，它的底面是边长为2的正六边形，这个包装盒是什么形状的几何体？试根据已知数据求出它的侧面积. 解：根据图示可知该包装盒的侧面是矩形，已知上、下底面是正六边形，因此这个几何体是正六棱柱（如图所示）. 由已知数据可知它的底面周长为2×6=12， 因此它的侧面积为12×6=72. 典例分析 例3 已知直四棱柱的底面是菱形，它的一条边长为3，一个角为60°，直四棱柱的侧棱长为6，求出它的表面积. 解：由题意可知，该直四棱柱的侧面展开图是一个宽为6、长为12的矩形. A B C D O 3 ∴ S侧＝6×12＝72 S菱形ABCD＝ AB×BC×sin60°×2 ＝ ×3×3× ×2＝ ∴ S表＝S侧＋2S菱形ABCD＝72＋ 典例分析 例4 684 630 612 468 468 504 36 6 3 3 9 24 18 12 3 12 6 9 12 9 6 6 18 6 某种长方体形肥皂在出厂前按每组4块进行打包,肥皂的尺寸为3cm×6cm×9cm. (1)你能设计出几种打包方式?画图说明. 解：（1）可有6种不同的打包方式， 典例分析 例4 某种长方体形肥皂在出厂前按每组4块进行打包,肥皂的尺寸为3cm×6cm×9cm. (2)在你设计的打包方式中,哪一种方式打包最节省包装材料? 解：（2）分别计算图①~⑥长方体的表面积，得 ① 2×（4×6×9）+ 2×（4×3×9）+ 2×（3×6）= 684（cm2 ）； ② 2×（4×6×9）+ 2×（3×9）+ 2×（4×3×6）= 630（cm2 ）； ③ 2×（4×6×9）+ 2×（2×3×9）+ 2×（2×3×6）= 612（cm2 ）； ④ 2×（2×6×9）+ 2×（2×3×9）+ 2×（4×3×6）= 468（cm2 ）； ⑤ 2×（6×9）+ 2×（4×3×9）+ 2×（4×3×6）= 468（cm2 ）； ⑥ 2×（2×6×9）+ 2×（4×3×9）+ 2×（2×3×6）= 504（cm2 ）. 在上述长方体的表面积中，长方体 ④ 和 ⑤ 的表面积最小， 所以按图 ④或⑤所示的方式包装，最节省包装材料. 典例分析 例5 图是一个几何体从不同方向看到的形状． （1）写出这个几何体的名称 （2）根据图中标出的数据求出这个几何体的体积和表面积． 典例分析 例6 用棱长为2cm的若干小正方体按如图所示的规律在地面上搭建若干个几何体，图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，...，第n层(n为正整数)． (1)搭建第④个几何体的小立方体的个数为______； (2)分别求出第②、③个几何体的所有露出部分(不含底面)的面积； 典例分析 例6 用棱长为2cm的若干小正方体按如图所示的规律在地面上搭建若干个几何体，图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，...，第n层(n为正整数)． (1)搭建第④个几何体的小立方体的个数为______； (2)分别求出第②、③个几何体的所有露出部分(不含底面)的面积； (3)为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆(不含底面)，已知喷涂1cm2需要油漆0.2克，求喷涂第20个几何体，共需要多少克油漆？ 典例分析 例7 如图,一只苍蝇停落在一个无盖的棱长为1m的立方体形箱子 的顶点D'处.藏在箱子底部的顶点B处的一只蜘蛛发现了这只苍蝇. (1)如果蜘蛛沿着BB'—B'A'—AD'的路径去捕捉苍蝇,要爬行多少路程? (2)如果蜘蛛沿着BA'—AD'的路径去捕捉苍蝇,要爬行多少路程? (3)蜘蛛沿箱子内壁上的哪条路径去捕捉苍蝇,爬行的路程最短? 解：(1)BB'+B'A'+AD'=1+1+1=3(m); (2)在Rt△BB'A'中，根据勾股定理得， 典例分析 例7 （3）将这个箱子的侧面沿侧棱 CC′展开，便得到这个箱子的侧面展开图 .由基本事实“两点之间，线段最短”可知，B，D′两点的最短路径为线段 BD′，设 BD′与 AA′的交点为 E，由 Rt△EAB ≌ Rt△EA'D′，可知 AE = A'E，即E为AA′的中点.如图，取 AA′的中点 E，分别连接 BE，ED′，此时，路径 BE—ED′的长为BD′= （m）. 所以，蜘蛛沿路径BE—ED′爬行的路径最短，最短路程为 m. 如图,一只苍蝇停落在一个无盖的棱长为1m的立方体形箱子 的顶点D'处.藏在箱子底部的顶点B处的一只蜘蛛发现了这只苍蝇. (3)蜘蛛沿箱子内壁上的哪条路径去捕捉苍蝇,爬行的路程最短? 典例分析 例8 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为 A→M→N→A1，则蚂蚁爬行的最短路程是 √ 解:正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1的长为最短路程.故选A. 典例分析 例9 如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝ ，点E为AB上的动点，则D1E＋CE的最小值为 √ 典例分析 例9 解:如图，连接AD1，BC1分别延长至F，G，使得AD＝AF，BC＝BG，连接EG，FG， ∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正四棱柱， ∴AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1， ∴AB⊥AF，AB⊥BG， 又AB＝AD＝AF， ∴四边形ABGF为正方形， ∴D1E＋CE的最小值为D1G， ∴D1E＋CE的最小值为 . 典例分析 例10 如图，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为______. F 典例分析 例11 发现与探索：小丽发现通过用两种不同的方法计算同一几何体体积，就可以得到一个恒等式．如图是边长为(a+b)的正方体，被如图所示的分割线分成8块． (1)用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为______； 典例分析 例11 发现与探索：小丽发现通过用两种不同的方法计算同一几何体体积，就可以得到一个恒等式．如图是边长为(a+b)的正方体，被如图所示的分割线分成8块． (2)已知a+b=4，ab=2，利用上面的规律求a3+b3的值． 课堂小结 概念 侧面 展开图 最短路径 直棱柱的 侧面展开图 棱柱的有关概念和简单性质，认识棱柱的底面、侧面侧棱. 棱柱的侧面展开图和表面展开图，根据展开图想象所描述的实际物体.画出简单的棱柱侧面展开图，计算棱柱的侧面积和表面积. 理解棱柱的侧面展开图，体会空间图形和平面图形的相互转化. 学以致用 练1. 下列说法正确的是（ ） A.棱柱的侧棱长可能不相等 B.棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C.棱台的侧面是等腰梯形 D.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 D 练2. A D C B 下面几何图形中，是直棱柱的是（　　） D 学以致用 练3. 下列的三幅平面图是三棱柱的表面展开图的有（ ） 甲 乙 丙 A.甲乙 B.甲丙 C.乙丙 D.甲乙丙 A 学以致用 练4. 一个正方体的每个面都有一个汉字，其展开图如图所示，那么在该正方体中和“值”字相对的字是（　　） A、记 B、观 C、心 D、间 A 学以致用 练5. 如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分， 其中EH∥A′D′，剩下的几何体是( ) A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 C 学以致用 练6. 如图直三棱柱的上下底面是直角三角形，请根据图中所标的数据求直三棱柱表面展开图的面积． A B C D E F 3cm 4cm 6cm 解：在直角△ABE中，根据勾股定理得到 AB＝ ＋ ＝ ＋ ＝5 则直棱柱的面积 =2× ×3×4+4×6+3×6+5×6 =84（cm2）. 学以致用 练7. 一个正五棱柱的侧面积为250cm2，高为10cm，如果把它的底面边长变为原来的2倍，高不变，那么它的侧面积变为多少？ 解：设原来底面边长为a cm，扩大后的底面边长为2a cm， 根据题意可得现在的侧面积为，5×（2a×10）, 因为原侧面积为5a×10=250， 所以a=5，把5代入5×（2a×10） 结果为500，故现在的侧面积变为500cm2 . A. B. C. D. A.2 B. C.＋1 D.2＋ ∴EG＝＝＝CE， 又D1G＝＝＝， $$