7.1几种常见的几何体（8大题型提分练）（题型专练）数学青岛版九年级下册

7.1几种常见的几何体 题型一 常见的几何体 1．下面几何体中，是圆柱的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键．根据圆柱体的特征判断即可． 【详解】解：A、是三棱柱，故此选项不符合题意； B、是长方体，故此选项不符合题意； C、是圆柱，故此选项符合题意； D、是圆锥，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列几何体中，属于柱体的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了认识立体图形，锥体包括圆锥和棱锥；柱体包括棱柱和圆柱，长方体是四棱柱属于柱体． 【详解】解：圆锥是锥体，不是柱体，三棱锥是锥体，不是柱体，长方体是四棱柱属于柱体，球是球体，不属于柱体，圆柱属于柱体， 长方体、圆柱属于柱体， 属于柱体的有个， 故选：B． 3．如图为小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（   ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的识别，根据棱柱，球，圆锥，圆柱的特点分析即可． 【详解】解：由题意可得：该作品中有棱柱，球，圆锥，没有圆柱， 故选：C． 4．下列几何体中，属于棱锥的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棱锥的定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．分析求解． 本题考查了棱锥甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．是圆柱，故此选项不合题意； B．是立方体，故此选项不合题意； C．是圆锥，故此选项不合题意； D．是棱锥，故此选项符合题意． 故选：D． 5．下列四个几何体中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的认识，根据圆柱体的特征逐项判断即可得解． 【详解】解：A、是四棱锥，故不符合题意； B、是圆柱，故符合题意； C、是四棱柱，故不符合题意； D、是三棱柱，故不符合题意； 故选：B． 题型二 组合体的构成 1．在墙角用若干个棱长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查由小正方体堆砌的几何体的体积，用小正方体的体积乘以个数即可得出结果． 【详解】解：由图可知，第1层有1个，第二层有3个，第三层有6个，共10个小正方体， ∴此几何体的体积为； 故答案为：10． 2．如图，小明用几个棱长为的正方体积木塔了一个几何体，则这个几何体的体积是 ．    【答案】9 【分析】本题主要考查了求简单几何体的体积，准确得出小正方体个数是解题的关键．求出一个小正方体的体积为立方厘米，再得出共用9个小正方体，因此求出总体积． 【详解】解：由图可知第一层有6个小正方体，第二层有个小正方体， ∴搭建这个几何体共用9个棱长为的小正方体， ∴该几何体的体积为：． 故答案为：9． 3．如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是 ，体积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了几何体的表面积与体积求法，在一个大正方体的上面的一个角上挖出一个棱长的小正方体，那么它的表面积没有发生变化；用原大正方体的体积减去小正方体的体积就得到余下部分的体积．据此解答即可． 【详解】解：余下部分的体积： ； 表面积：1； 答：余下部分的表面积是，体积是． 4．如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 【答案】见解析 【分析】本题考查了组合几何体的构成．熟练掌握常见的几何体是解题的关键． 根据常见的几何体的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，①是由一个正方体、一个圆柱体、一个圆锥体组成的组合体； ②是由一个圆柱体、一个长方体、一个三棱柱组成的组合体； ③是由一个五棱柱、一个球体组成的组合体． 5．分别说出下面的组合几何体是由哪两个简单几何体组成的． 【答案】圆锥和圆柱；四棱锥和四棱柱；球和正方体 【分析】本题主要考查了组合几何体的构成，熟练掌握组合几何体的构成是解题的关键． 由题图可直接判断出各组合几何体的构成． 【详解】解：由题图可以看出： 第个组合几何体是由圆锥和圆柱构成的， 第个组合几何体是由四棱锥和四棱柱构成的， 第个组合几何体是由球和正方体构成的． 题型三 立体图形的分类 1．下列几何体中，锥体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形的定义，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，注意球和圆的区别，球是立体图形，圆是平面图形．关键是根据锥体的概念判断．利用锥体的意义，直接选择答案即可． 【详解】解：A、是圆柱； B、是正方体； C、是三棱锥； D、是圆锥； 属于锥体的是D． 故选：D． 2．下列几何体中，属于锥体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的定义，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球体，注意球和圆的区别，球是立体图形，圆是平面图形．利用锥体的意义，直接选择答案即可． 【详解】解：①是圆锥，属于锥体，符合题意， ②是三棱锥，属于锥体，符合题意， ③是四棱柱，属于柱体，不符合题意， ④是球体，不符合题意， ⑤是圆柱，属于柱体，不符合题意， ∴属于锥体的有①②，共个． 故选：B． 3．如图，图中柱体的个数是 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了柱体的识别，一个多面体有两个面互相平行且全等，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体就为柱体，柱体分为圆柱和棱柱，据此进行判断即可． 【详解】解：柱体有①③④⑤⑥，共5个． 故答案为：5． 4．将如图几何体分类，柱体有 ，锥体有 ，球体有 ．（填序号） 【答案】 ①②③ ⑤ ④ 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握各定义是解题关键．解这类题首先要明确柱体、锥体、球体的概念，然后根据图示进行解答即可． 【详解】解：柱体包括圆柱和棱柱，所以柱体有①②③； 锥体包括圆锥和棱锥，所以锥体有⑤； 球体属于单独的一类，是有且只有一个连续曲面的立体图形，所以球体有④； 故答案为：①②③，⑤，④． 5．下列几何图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是 ，属于平面图形的是 ．（填序号） 【答案】 ③⑤⑥ ①②④ 【分析】本题考查了学生对平面图形与立体图形的理解与辨识能力.在数学几何学中，平面图形指的是所有点都位于同一平面上的图形，而立体图形则是在三维空间中占据体积的图形.因此，解题的关键在于准确区分这两种图形. 【详解】解：根据平面图形与立体图形的定义： 平面图形：①三角形，②长方形，④圆，这些图形的点都在同一平面上，因此它们是平面图形. 立体图形：③正方体，⑤圆锥，⑥圆柱，这些图形在三维空间中占据体积，因此它们是立体图形. 故属于立体图形的是③正方体，⑤圆锥，⑥圆柱，属于平面图形的是①三角形，②长方形，④圆. 故答案为：③⑤⑥； ①②④． 6．将图中的几何体分类，柱体有 ，锥体有 （填序号）． 【答案】 （1）（2）（3） （5）（6） 【分析】本题考查了几何体的分类，几何体一般分为柱体、锥体和球，首先要明确柱体，锥体的概念和定义，然后根据图示进行解答． 【详解】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有：（1）、（2）、（3）； 锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有（5）、（6）． 故答案为：（1）、（2）、（3）；（5）、（6）． 题型四 几何体中点、棱、面 1．围成下列几何体的各个面中，每个面都是平的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是立体图形的认识，掌握平面与曲面的概念是解题的关键．根据平面与曲面的概念判断即可． 【详解】解：A、六个面都是平面，故本选项正确； B、侧面不是平面，故本选项错误； C、球面不是平面，故本选项错误； D、侧面不是平面，故本选项错误； 故选：A． 2．一个棱柱有24条棱，则这个棱柱共有几个面（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查认识立体图形，掌握棱柱的形体特征是正确判断的前提．根据n棱柱的“棱”条数计算规律得出答案． 【详解】解：由n棱柱有条棱， ∵， ∴它是八棱柱， ∴这个棱柱共有个面． 故选：C． 3．直棱柱的侧面都是（    ） A．正方形 B．长方形 C．五边形 D．梯形 【答案】B 【分析】本题考查直棱柱的定义，熟练掌握直棱柱的定义是解题的关键．棱柱由上下两个底面以及侧面组成，上下两个底面平行且全等，侧棱平行且相等；棱长与底面垂直的棱柱叫直棱柱，结合以上定义即可得出结论． 【详解】解：直棱柱不管从哪个侧面看都是长方形． 故选：B． 4．一个棱柱共有8个顶点，则它的棱的条数为（    ） A．12条 B．16条 C．20条 D．24条 【答案】A 【分析】此题主要考查了棱柱，关键是掌握棱柱的棱与顶点之间的关系． 由题意可知侧棱有4条，上面底面各4条，即可求解． 【详解】解：一个棱柱共有8个顶点， ∴侧棱有4条，上面底面各4条， ∴棱的条数为：， 故选：A． 5．一个十棱柱的顶点个数，棱的条数，面的个数分别是（   ） A．10，20，10 B．20，30，10 C．20，30，12 D．30，30，40 【答案】C 【分析】此题考查了认识立体图形，利用n棱柱有个顶点，有个面，有条棱求解即可． 【详解】解：一个十棱柱的顶点个数是20，棱的条数是30，面的个数是12． 故选：C． 6．若一个棱柱有8个顶点，且所有侧棱长的和为，则每条侧棱长为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了认识立体图形，根据直棱柱有8个顶点，得这个直棱柱是四棱柱，再根据四棱柱的性质得四棱柱有4条侧棱，且每条侧棱都相等，然后再根据所有侧棱长的和为，即可求出每条侧棱长． 【详解】解：∵棱柱有8个顶点， ∴这个棱柱是四棱柱， ∵四棱柱有4条侧棱，且每条侧棱都相等， 又∵这个四棱柱所有侧棱长的和为， ∴每条侧棱长为：． 故答案为：5． 7．如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，在大长方体的其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有个，一面涂色的小正方体有个，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查长方体的相关知识．观察后动手操作，判断出只有一面涂色或两面涂色的几何体的位置，是解决本题的关键．根据所给立体图形，观察两面涂色的小正方体和一面涂色的小正方体的个数即可． 【详解】解：如图1：两面涂色的小正方体除图中标注的外，左面和后面相交的边长处的最底层和中间层处还有2个， 两面涂色的小正方体有14个． 如图2：只有一面涂色的小正方体前面有4个，可推测后面也有4个；右面有2个，可推测左面也有2个；上面有2个， 一面涂色的小正方体有（个）． ，， ， 故答案为：0． 8．如图，观察下列几何体并回答问题：    (1)棱柱有 个面、 条棱、 个顶点，棱锥有 个面、 条棱、 个顶点． (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数、顶点个数以及棱的条数存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式． 【答案】(1)，，，，，； (2) 【分析】本题考查认识立体图形，能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键． （1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系为． 【详解】（1）解：观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出棱柱有个面，条棱，个顶点，棱锥有个面，条棱，个顶点； 故答案为：，，，，，； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如图：    根据上表总结出这个关系为． 题型五 从不同方向看几何体 1．下列立体图形中，从前面看得到的平面图形与从左面看得到的平面图形不相同的是（  ） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．球 【答案】A 【分析】本题考查了从不同的方向看几何体，锻炼了学生的空间想象力．根据从正面和左面看到的平面图形，逐项进行判断，可得答案． 【详解】解：A、从前面看到的图形是长方形，从左面看到的图形是正方形，即得到的平面图形不相同，故A符合题意； B、从前面和左面看到的图形都是正方形，得到的平面图形相同，故B不符合题意； C、从前面和左面看到的图形都是长方形，得到的平面图形相同，故C不符合题意； D、从前面和左面看到的图形都是圆，得到的平面图形相同，故D不符合题意． 故选：A． 2．图中几何体从正面看能得到（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，掌握看图的视角是解题的关键． 观察图中几何体摆放的位置，根据从正面看得到的图形判断则可． 【详解】解：从正面看到的形状是有两层，下层3个小正方形，上层最左侧有1个正方形，即可画图为： ， 故选：A． 3．用5个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体，从左面看到这个几何体的形状图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了从不同角度看立体几何，掌握立体几何的特点是解题的关键． 根据图示，从不同角度看立体几何图形的特点即可求解． 【详解】解：根据题意，从左面看到的图形为， 故选：A ． 4．一个几何体由大小相同且边长为1cm的小立方块搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和左面观察这个几何体得到的形状图． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查画三视图，理解三视图的定义是解题的关键．根据从正面与左面看到的图形画图即可． 【详解】解：如图，从正面与左面看到的图形如下： 5．美术课上，小亮和小明用几个大小相同的小正方体搭了一个几何体，如图所示是他们从上面看到的图，正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，你能帮小亮和小明画出它从正面和左面看到的图吗？ 【答案】图见详解 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体的画法．解题的关键是由几何体的从上面看的小正方形内的数字．由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为2，3，1；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2．据此可画出图形． 【详解】解：如图所示： 6．如图，是由若干个完全相同的棱长为的小正方体组成的一个几何体． (1)在下面网格中画出这个几何体从左面和从上面看到的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从上面和左面看到的形状不变，最多可以添加________个小正方体． (3)如果在这个几何体的表面（露出的部分）喷上黄漆，求这个几何体喷漆的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)这个几何体喷漆的面积为． 【分析】本题考查了从不同方向几何体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据从不同方向看作图即可； （2）如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再第2和3列各添加小正方体； （3）根据表面积公式结合图形计算即可得解． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：如图所示： 在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加4个小正方形； 故答案为：4； （3）解：， 故这个几何体喷漆的面积为． 题型六 点、线、面、体之间的关系 1．直升飞机螺旋桨一般由4片桨叶组成，直升飞机起飞时，螺旋桨旋转时向下推动空气，即向下施加一个作用力，直升飞机获得竖直向上的力，使得飞机能悬浮在空中．若把螺旋桨看作一条线段，旋转形成的痕迹体现了（    ） A．面动成体 B．线动成面 C．点动成线 D．面面相交成线 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系，明确点动成线，线动成面，面动成体．根据点、线、面、体的关系解答即可． 【详解】解：若把螺旋桨看作一条线段，旋转形成的痕迹体现了线动成面． 故选：B． 2．下雨时，司机会打开雨刷器，雨刷器在运动时会形成一个扇面，这说明了 ． 【答案】线动成面 【分析】本题考查了点、线、面、体及之间的关系．明确“点动成线，线动成面，面动成体”是解题的关键．根据点动成线，线动成面，面动成体，用这个知识解答即可． 【详解】解：雨刷器近似的看作一条线，雨刷器在运动时会形成一个扇面，说明了“线动成面” ． 故答案为：线动成面． 3．在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明 ． 【答案】点动成线 【分析】本题主要考查了点，线，面，体的关系．熟练掌握点动成线，线动成面，面动成体是解题的关键． 根据点动成线作答即可． 【详解】解：由题意知，“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了点动成线， 故答案为：点动成线． 6．“枪打一线”这句话所描述的现象，用数学知识可解释为 ． 【答案】点动成线 【分析】本题考查了点动成线的应用能力，根据点动成线的知识原理进行求解． 【详解】解：由题意得，“枪打一线”这句话所描述的现象，属于点动成线现象， 故答案为：点动成线． 7．（生活情境·现象）“时钟上秒针旋转时，形成一个圆面”从字面上理解这句话所描述的现象，用数学知识可解释为： ． 【答案】线动成面 【分析】本题考查点、线、面、体及其相互关系，掌握“点动成线，线动成面，面动成体”是关键．根据点、线、面、体之间的关系进行判断即可． 【详解】解：“时钟上秒针旋转时，形成一个圆面”，用数学知识解释为线动成面． 故答案为：线动成面． 题型七 旋转体 1．下图所示的几何体是由一个平面图形绕虚线旋转一周得到的，这个平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面图形的旋转，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平面图形旋转的定义及题干中的图形即可选出． 【详解】解：∵图中几何体上下两底面为水平面，侧面为圆弧面，绕着左侧的虚线为旋转轴得到的， ∴图中几何体是由平面图形构成的. 故选：A． 2．下列图形中，绕虚线旋转一周能得到的几何体是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了面动成体，根据每一个几何体的特征，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥，故不符合题意； B、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是球体，故不符合题意； C、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是底面重合的两个圆锥，故不符合题意； D、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱，故符合题意； 故选：D． 3．如图几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面图形绕某条直线旋转一周得到的几何体必须有曲面，逐一判断即可解答． 考查了平面图形旋转形成几何体，熟练掌握几何体的生成方式是解题的关键． 【详解】解：∵平面图形绕某条直线旋转一周得到的几何体必须有曲面， ∴B选项符合题意； 故选：B． 4．如图，已知正方形的边长为3，将这个正方形绕它的边所在直线旋转一周，从左面看所得几何体，得到的形状图的面积是 ． 【答案】18 【分析】本题考查的是平面图形的旋转，从不同方向看立体图形，首先根据题意可得将正方形旋转一周可得圆柱体，圆柱的高为3，底面直径为6，再找出从从左面看到的图形的形状可得答案． 【详解】解：直线为轴，将正方形旋转一周可得圆柱体，圆柱的高为3，底面直径为6， 从几何体的左面看到的图形是长为6，宽为3的长方形， 因此面积为：， 故答案为：18． 题型八 几何体的截面问题 1．用一个平面分别去截如图所示的几何体，截面形状可能是三角形的是（   ） A．①③ B．②③ C．③④ D．①② 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的截面问题，掌握几何体的截面问题是解本题的关键． 根据几何体的截面情况逐项分析即可． 【详解】①正方体能截出三角形； ②球体不能截出三角形； ③圆锥能截出三角形； ④圆柱不能截出三角形； 故截面可能是三角形的有①③． 故选：A． 2．用一个平面去截一个几何体，若截面的形状是三角形，则这个几何体不可能是（   ） A．正方体 B．球体 C．棱柱 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】此题考查了截一个几何体，解题的关键是要明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关是解题的关键．根据球体、棱锥、棱柱、长方体的特点判断即可． 【详解】A、用一个平面截正方体的一个角即可得到一个三角形，故此选项不符合题意； B、球体怎么截都是圆，不可能是三角形，故此选项符合题意， C、用一个平面截棱柱的一个角即可得到一个三角形，故此选项不符合题意； D、B不可以，故D是错的，不符合题意． 故选：B. 3．[教材尝试·思考变式]如图，用一个平面去截一个正方体，截面相同的是（   ） A．①与② B．③与④ C．①与③④ D．①与②，③与④ 【答案】D 【分析】本题主要考查几何体，熟练掌握正方体的特征是解题的关键；因此此题可根据正方体的特征进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：截面相同的是①和②，③和④； 故选D． 4．[教材习题2变式]下列几何体的截面分别是什么形状？ 【答案】长方形，三角形，圆，五边形，长方形 【分析】本题考查了一个几何体的截面问题，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．当截面的角度和方向不同时，截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形．据此求解即可． 【详解】解：由图可知： 各个几何体的截面的形状分别为长方形，三角形，圆，五边形，长方形． 5．将图1所示的大正方体在顶点处截去一个小正方体后，得到图2所示的几何体． (1)设原来大正方体的表面积为，图2所示的几何体表面积为，那么与的大小关系是：____；（填“>”“<”或“=”） (2)图3的实线图形是图2所示几何体表面展开图的一部分，请在图3的虚线区域将图2的展开图补全； (3)设原来大正方体的棱长之和为m，图2所示几何体的棱长之和为n，小明认为：n刚好比m多出大正方体3条棱的长度，小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，所截去的小正方体的棱长与原大正方体的棱长之间具备怎样的数量关系时，才会正确？ 【答案】(1)= (2) 作图见详解 (3)不正确，所截的小正方体的棱长是大正方体棱长的一半 【分析】本题主要考查立体结合图形的特点，掌握正方体截取的方法，数形结合分析是解题的关键． （1）根据图示，截去部分与增加部分的面积的比较，即可求解； （2）根据立体图形与展开图的特点进行分析即可求解； （3）根据截去部分与增加部分的棱长进行比较即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 截去的面与相等，面与相等，面与面相等， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意，作图如下， （3）解：不正确，理由如下， 根据题意，，，， 截去了，增加了，截去了，增加了，截去了，增加了， ∴截去的长为，增加的长为， ∴所截的小正方体的棱长是大正方体棱长的一半，才会正确 1．过正方体有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图所示的几何体，其正确展开图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了截一个几何体和几何体的展开图，熟练掌握不规则图形的几何特征，并利用这些特征探索展开图是解题的关键．利用各选项展开图进行折叠看是否可以变为原图，并结合被截去的正方体的特征进行解答即可． 【详解】解：由正方体正前方的一面展开可以排除选项A； 由过正方体有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，此平面是三角形， 则展开图平面中有三个平面都被截去一个直角三角形， 且被截去的三个直角三角形合起来应该共顶点， 则可以排除选项C、D，只有选项B符合题意， 故选：B． 2．在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找、发现、验证相应的规律，再考虑一般情况，最后给出合理解释，并用数学语言简洁地表达规律．操作方法： 如图1，用一个平面将正方体截去1个顶点（截面不经过其它顶点），得到一个新几何体，称为第1次操作；如图2，用平面逐个截去上一次操作的新增顶点（每个截面都不经过其它顶点），又得到一个新几何体，称为第2次操作．按照此种方法可以继续操作下去． 问题：在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生多少个截面？ 理解问题： 在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第2次操作新产生______个截面． 拟定计划： 直接研究“在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生多少个截面？”有困难，我们可以先研究简单的情形，从而发现规律，解决问题． 实施计划： 请从“探究简单情形、发现猜想规律、验证或解释规律”等方面，写出你的思考过程并解决问题． 思考过程： 解决问题：在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生______个截面． 回顾反思： （1）在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第n次操作新产生______个截面； （2）在正方体的每个顶点处都同时按上述方法进行操作，第100次操作新产生______个截面，其中截面形状是六边形的有______个． 【答案】理解问题：3，；（1）；（2）， 【分析】本题考查图形类规律探索，理解题意，通过前几次操作，观察新产生的截面数量和截面形状是六边形的数量规律，进而即可解答，总结出这些规律是解题关键． 【详解】理解问题：由题意可知：第1次操作新产生个截面； 第2次操作新产生个截面， 第3次操作新产生个截面， 第4次操作新产生个截面， …… 所以第n次操作新产生个截面， 所以第100次操作新产生个截面； （1）由理解问题可知第n次操作新产生个截面； （2）在正方体的每个顶点处都同时按上述方法进行操作，则第n次操作新产生个截面， 所以第100次操作新产生个截面； 第1次操作截面形状是六边形的有0个； 第2次操作截面形状是六边形的有个； 第3次操作截面形状是六边形的有个； 第4次操作截面形状是六边形的有个； …… 所以第n次操作截面形状是六边形的有个， 所以第100次操作截面形状是六边形的有个． 3．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体的模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是 ； (2)一个多面体的面数比顶点数小，且有条棱，则这个多面体的面数是 ； (3)某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有条棱，共有条棱．若该多面体外表面三角形的个数是八边形的个数的倍多，求该多面体外表面三角形的个数． 【答案】(1)6，6，； (2)12； (3)10． 【分析】本题考查欧拉公式，熟记多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系是解题关键． （1）从表格观察发现：顶点数+面数-棱数=2； （2）根据多面体的面数比顶点数小，且有条棱，得到关于E，F，将其代入顶点数+面数-棱数即可求解； （3）设八边形的个数为y个，则三角形的个数为个，由题意可得，解方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：； ； ∵， ∴点数、面数、棱数之间存在的关系式是； 故答案为：6；6；； （2）解：根据题意得，，则有： ， 解得，， ∴； （3）解：因为，所以 又因为， 所以 设八边形的个数为，则三角形的个数为根据题意，得 ， 解得 所以，即该多面体外表面三角形的个数为． 4．问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律． 问题探究： 我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法． 探究一 用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n的矩形框架（m、n是正整数），需要木棒的条数． 如图①，当m＝1，n＝1时，横放木棒为1×（1+1）条，纵放木棒为（1+1）×1条，共需4条； 如图②，当m＝2，n＝1时，横放木棒为2×（1+1）条，纵放木棒为（2+1）×1条，共需7条； 如图③，当m＝2，n＝2时，横放木棒为2×（2+1）条，纵放木棒为（2+1）×2条，共需12条； 如图④，当m＝3，n＝1时，横放木棒为3×（1+1）条，纵放木棒为（3+1）×1条，共需10条； 如图⑤，当m＝3，n＝2时，横放木棒为3×（2+1）条，纵放木棒为（3+1）×2条，共需17条． 问题（一）：当m＝4，n＝2时，共需木棒　 条． 问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为　 条，纵放的木棒为　 条． 探究二 用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n，高是s的长方体框架（m、n、s是正整数），需要木棒的条数． 如图⑥，当m＝3，n＝2，s＝1时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）＝34条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1＝12条，共需46条； 如图⑦，当m＝3，n＝2，s＝2时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）＝51条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2＝24条，共需75条； 如图⑧，当m＝3，n＝2，s＝3时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）＝68条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3＝36条，共需104条． 问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数之和为　 　条，竖放木棒条数为　 　条． 实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是　 　． 拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒　 　条． 【答案】（1）22；（2） n（m+1），n（m+1）；（3） [m（n+1）+n（m+1）]（s+1），（m+1）（n+1）s；4；1320． 【分析】（1）根据探究中的规律，找到规律可知，横放木棒为4×（2+1）条，纵放木棒为（4+1）×2条，则可求得总数； （2）根据（1）以及探究中的规律可知，横放的木棒为 m（n+1）条，纵放的木棒为n（m+1）条，即可得出结论； （3）①根据探究中的规律，找到横放与纵放木棒之和以及竖放木棒的条数；②由①的结论，将已知数据代入求得的值即可；③依据探究一和探究二的方法分别求得水平方向、竖直方向的木棒的条数，再求和即可． 【详解】（1）：当m＝4，n＝2时，横放木棒为4×（2+1）条，纵放木棒为（4+1）×2条，共需22条； 故答案为：22； （2）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为 m（n+1）条，纵放的木棒为n（m+1）条； 故答案为：m（n+1），n（m+1）； （3）：①当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数之和为[m（n+1）+n（m+1）]（s+1）条，竖放木棒条数为（m+1）（n+1）s条． ②这个长方体框架的横长是 m，则：[3m+2（m+1）]×5+（m+1）×3×4＝170，解得m＝4； ③若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架， 水平方向，当底面边长为1，木棒条数为3×1，底面边长为2，木棒条数为3×（1+2），底面边长为3，木棒条数为3×（1+2+3），…… 当底面边长为n,木棒条数为3（1+2+…+n）， 当时，共需要条， 当高为时，水平方向木棒条数之和为165×6＝990条， 竖直方向，当底面长为1，木棒条数为（1+2），底面边长为2，木棒条数为（1+2+3），底面边长为3，木棒条数为（1+2+3+4）…… 当底面边长为n,木棒条数为， 当时，共需要条， 当高为时，竖直方向木棒条数为66×5＝330条 则共需要木棒条． 故答案为22，m（n+1），n（m+1），[m（n+1）+n（m+1）]（s+1），（m+1）（n+1）s，4，1320； 【点睛】本题考查了图像的找规律，根据探究方法找到规律是解题的关键． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1几种常见的几何体 题型一 常见的几何体 1．下面几何体中，是圆柱的为（    ） A． B． C． D． 2．下列几何体中，属于柱体的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图为小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（   ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 4．下列几何体中，属于棱锥的是（　　） A． B． C． D． 5．下列四个几何体中，是圆柱的是（   ） A．B． C． D． 题型二 组合体的构成 1．在墙角用若干个棱长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为 ． 2．如图，小明用几个棱长为的正方体积木塔了一个几何体，则这个几何体的体积是 ．    3．如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是 ，体积是 ． 4．如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 5．分别说出下面的组合几何体是由哪两个简单几何体组成的． 题型三 立体图形的分类 1．下列几何体中，锥体的是（　　） A． B． C． D． 2．下列几何体中，属于锥体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，图中柱体的个数是 个． 4．将如图几何体分类，柱体有 ，锥体有 ，球体有 ．（填序号） 5．下列几何图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是 ，属于平面图形的是 ．（填序号） 6．将图中的几何体分类，柱体有 ，锥体有 （填序号）． 题型四 几何体中点、棱、面 1．围成下列几何体的各个面中，每个面都是平的是（　　） A． B． C． D． 2．一个棱柱有24条棱，则这个棱柱共有几个面（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．直棱柱的侧面都是（    ） A．正方形 B．长方形 C．五边形 D．梯形 4．一个棱柱共有8个顶点，则它的棱的条数为（    ） A．12条 B．16条 C．20条 D．24条 5．一个十棱柱的顶点个数，棱的条数，面的个数分别是（   ） A．10，20，10 B．20，30，10 C．20，30，12 D．30，30，40 6．若一个棱柱有8个顶点，且所有侧棱长的和为，则每条侧棱长为 ． 7．如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，在大长方体的其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有个，一面涂色的小正方体有个，则 ． 8．如图，观察下列几何体并回答问题：    (1)棱柱有 个面、 条棱、 个顶点，棱锥有 个面、 条棱、 个顶点． (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数、顶点个数以及棱的条数存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式． 题型五 从不同方向看几何体 1．下列立体图形中，从前面看得到的平面图形与从左面看得到的平面图形不相同的是（  ） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．球 2．图中几何体从正面看能得到（   ） A． B． C． D． 3．用5个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体，从左面看到这个几何体的形状图是（   ） A． B． C． D． 4．一个几何体由大小相同且边长为1cm的小立方块搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和左面观察这个几何体得到的形状图． 5．美术课上，小亮和小明用几个大小相同的小正方体搭了一个几何体，如图所示是他们从上面看到的图，正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，你能帮小亮和小明画出它从正面和左面看到的图吗？ 6．如图，是由若干个完全相同的棱长为的小正方体组成的一个几何体． (1)在下面网格中画出这个几何体从左面和从上面看到的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从上面和左面看到的形状不变，最多可以添加________个小正方体． (3)如果在这个几何体的表面（露出的部分）喷上黄漆，求这个几何体喷漆的面积． 题型六 点、线、面、体之间的关系 1．直升飞机螺旋桨一般由4片桨叶组成，直升飞机起飞时，螺旋桨旋转时向下推动空气，即向下施加一个作用力，直升飞机获得竖直向上的力，使得飞机能悬浮在空中．若把螺旋桨看作一条线段，旋转形成的痕迹体现了（    ） A．面动成体 B．线动成面 C．点动成线 D．面面相交成线 2．下雨时，司机会打开雨刷器，雨刷器在运动时会形成一个扇面，这说明了 ． 3．在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明 ． 6．“枪打一线”这句话所描述的现象，用数学知识可解释为 ． 7．（生活情境·现象）“时钟上秒针旋转时，形成一个圆面”从字面上理解这句话所描述的现象，用数学知识可解释为： ． 题型七 旋转体 1．下图所示的几何体是由一个平面图形绕虚线旋转一周得到的，这个平面图形是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中，绕虚线旋转一周能得到的几何体是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 3．如图几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知正方形的边长为3，将这个正方形绕它的边所在直线旋转一周，从左面看所得几何体，得到的形状图的面积是 ． 题型八 几何体的截面问题 1．用一个平面分别去截如图所示的几何体，截面形状可能是三角形的是（   ） A．①③ B．②③ C．③④ D．①② 2．用一个平面去截一个几何体，若截面的形状是三角形，则这个几何体不可能是（   ） A．正方体 B．球体 C．棱柱 D．以上都有可能 3．[教材尝试·思考变式]如图，用一个平面去截一个正方体，截面相同的是（   ） A．①与② B．③与④ C．①与③④ D．①与②，③与④ 4．[教材习题2变式]下列几何体的截面分别是什么形状？ 5．将图1所示的大正方体在顶点处截去一个小正方体后，得到图2所示的几何体． (1)设原来大正方体的表面积为，图2所示的几何体表面积为，那么与的大小关系是：____；（填“>”“<”或“=”） (2)图3的实线图形是图2所示几何体表面展开图的一部分，请在图3的虚线区域将图2的展开图补全； (3)设原来大正方体的棱长之和为m，图2所示几何体的棱长之和为n，小明认为：n刚好比m多出大正方体3条棱的长度，小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，所截去的小正方体的棱长与原大正方体的棱长之间具备怎样的数量关系时，才会正确？ 1．过正方体有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图所示的几何体，其正确展开图为（   ） A． B． C． D． 2．在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找、发现、验证相应的规律，再考虑一般情况，最后给出合理解释，并用数学语言简洁地表达规律．操作方法： 如图1，用一个平面将正方体截去1个顶点（截面不经过其它顶点），得到一个新几何体，称为第1次操作；如图2，用平面逐个截去上一次操作的新增顶点（每个截面都不经过其它顶点），又得到一个新几何体，称为第2次操作．按照此种方法可以继续操作下去． 问题：在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生多少个截面？ 理解问题： 在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第2次操作新产生______个截面． 拟定计划： 直接研究“在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生多少个截面？”有困难，我们可以先研究简单的情形，从而发现规律，解决问题． 实施计划： 请从“探究简单情形、发现猜想规律、验证或解释规律”等方面，写出你的思考过程并解决问题． 思考过程： 解决问题：在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生______个截面． 回顾反思： （1）在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第n次操作新产生______个截面； （2）在正方体的每个顶点处都同时按上述方法进行操作，第100次操作新产生______个截面，其中截面形状是六边形的有______个． 3．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体的模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是 ； (2)一个多面体的面数比顶点数小，且有条棱，则这个多面体的面数是 ； (3)某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有条棱，共有条棱．若该多面体外表面三角形的个数是八边形的个数的倍多，求该多面体外表面三角形的个数． 4．问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律． 问题探究： 我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法． 探究一 用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n的矩形框架（m、n是正整数），需要木棒的条数． 如图①，当m＝1，n＝1时，横放木棒为1×（1+1）条，纵放木棒为（1+1）×1条，共需4条； 如图②，当m＝2，n＝1时，横放木棒为2×（1+1）条，纵放木棒为（2+1）×1条，共需7条； 如图③，当m＝2，n＝2时，横放木棒为2×（2+1）条，纵放木棒为（2+1）×2条，共需12条； 如图④，当m＝3，n＝1时，横放木棒为3×（1+1）条，纵放木棒为（3+1）×1条，共需10条； 如图⑤，当m＝3，n＝2时，横放木棒为3×（2+1）条，纵放木棒为（3+1）×2条，共需17条． 问题（一）：当m＝4，n＝2时，共需木棒　 条． 问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为　 条，纵放的木棒为　 条． 探究二 用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n，高是s的长方体框架（m、n、s是正整数），需要木棒的条数． 如图⑥，当m＝3，n＝2，s＝1时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）＝34条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1＝12条，共需46条； 如图⑦，当m＝3，n＝2，s＝2时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）＝51条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2＝24条，共需75条； 如图⑧，当m＝3，n＝2，s＝3时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）＝68条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3＝36条，共需104条． 问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数之和为　 　条，竖放木棒条数为　 　条． 实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是　 　． 拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒　 　条． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$