精品解析： 福建省福州市长乐区长乐第一中学2024-2025学年八年级上学期第二次段考数学试卷

2024-2025学年福建省福州市长乐一中八年级（上）第二次段考 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图案是食品类产品的标志，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不合题意； D、不是轴对称图形，不合题意； 故选：B． 2. 已知，则下列分式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、当时，，故本选项错误，不符合题意； B、当时，，故本选项错误，不符合题意； C、当时，，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 3. 下列各组线段不能组成三角形的是（ ）． A. 4，5，6 B. 5，6，12 C. 6，6，6 D. 7，7，1 【答案】B 【解析】 【分析】由题意直接根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边分析各个选项，即可作出判断． 【详解】解：A、4+5＞6，故能构成三角形，不符合题意； B、12＞5+6，故不能构成三角形，符合题意； C、6+6＞6，故能构成三角形，不符合题意； D、7+1＞7，故能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 4. 已知分式有意义且值为零（a，b，c均为正实数），若以a，b，c的值为三条线段的长构造三角形，则此三角形一定为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件和分式的值为0得出a-c≠0且a(b-c)+b(c-b)=0，再求出即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， ∵值为零， ∴， ∴， 解得：a=b或b=c， ∴三角形一定为等腰三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为0，等腰三角形的判定和等边三角形的判定等知识点，能求出a、b、c的关系式是解此题的关键． 5. 如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】是的中线，，， ， 是的角平分线， ， ∴． 故选：C． 6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( ) ①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定，逐个分析即可. 【详解】①有两条直角边对应相等;根据SAS，可判定两个直角三角形全等； ②有两个锐角对应相等; 没有边，不能判定两个直角三角形全等； ③有斜边和一条直角边对应相等; 根据HL，可判定两个直角三角形全等； ④有一条直角边和一个锐角相等; 根据AAS，可判定两个直角三角形全等； ⑤有斜边和一个锐角对应相等; 根据AAS，可判定两个直角三角形全等； ⑥有两条边相等.边位置不确定，不能判定两个直角三角形全等. 故选C 【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定.解题关键点：熟记全等三角形的判定方法. 7. 下列运算结果正确的是（　　） A. 3a﹣a=2 B. （a﹣b）2=a2﹣b2 C. a（a+b）=a2+b D. 6ab2÷2ab=3b 【答案】D 【解析】 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、原式=2a，不符合题意； B、原式=a2-2ab+b2，不符合题意； C、原式=a2+ab，不符合题意; D、原式=3b，符合题意； 故选D 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8. 计算等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解： = = =1×（-4） =-4 故选：D． 【点睛】此题主要考查了积的乘方，掌握和运用公式是解答此题的关键． 9. 将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平角的定义分别用∠1，∠2，∠3表示阴影部分三角形的三个外角，然后根据三角形的外角和是360°列式即可得到答案． 【详解】解：如图所示，正三角形、正四边形、正五边形的每个内角的度数分别为， ∴中间阴影部分的三角形的三个外角的度数分别为， ∵三角形的外角和为， ∴． ， 故选C． 【点睛】本题考查的是三角形外角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键． 10. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（　　） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再根据三角形的周长求出AD的长，由此即可得出结论． 【详解】连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∵△CDM周长的最小值为8， ∴AD=8-BC=8-2=6 ∴S△ABC=BC•AD=×4×6=12， 故选A． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，则__________． 【答案】12 【解析】 【分析】将所求式子进行因式分解，再代入计算． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：12． 【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握因式分解是解本题的关键． 12. 如图，AB∥CD．∠EGD＝120°，AE⊥EG于点E，则∠A的度数为_____． 【答案】30°． 【解析】 【分析】由两直线平行同位角相等得出∠EFB度数，再利用三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵AB∥CD，∠EGD＝120°， ∴∠EFB＝∠EGD＝120°， ∵AE⊥EG， ∴∠E＝90°， 又∵∠EFB＝∠A+∠E， ∴∠A＝∠EFB﹣∠E＝120°﹣90°＝30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等的性质和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和的性质． 13. 多项式可因式分解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，将分解成与9，结合平方差公式公式法及提取公因式法分解即可得到答案． 【详解】解：原式， 故答案为：． 14. 若，，则____． 【答案】48 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：48． 【点睛】本题主要考查了代数式求值以及同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂乘法的逆运算的运算法则是解题关键． 15. 等腰三角形有一内角的度数为40°，一腰的垂直平分线与另一腰所在直线相交所成的锐角的度数为_________． 【答案】50°或 【解析】 【分析】根据题意，一种情况为顶角是40°，根据直角三角形两锐角互余即可推出所求角为50°，另一种情况为底角是40°，根据等腰三角形以及三角形内角和定理推出顶角是100°，再根据直角三角形两锐角互余，即可推出所求角为10°． 【详解】解：①此等腰三角形顶角是40°，如图1． 在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝40°， ∴∠AED＝50°； ②此等腰三角形底角是40°，如图2， ∵AB＝AC，∠B＝40°， ∴∠C＝∠B＝40°， ∴∠BAC＝100°． ∴∠DAE＝80°， 在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠DAE＝80°， ∴∠AED＝10°． 综上可知，一腰的垂直平分线与另一腰所在直线相交所成的锐角的度数为50°或10°． 故答案为：50°或10°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，关键在于根据题意分类讨论． 16. 在中，是边上的中线，且，，的度数为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质及判定，等腰直角三角形判定与性质，过作于，连接，证明为等边三角形，为等腰直角三角形，可得． 【详解】解：如图所示，过作于，连接， 是边上的中线， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，分解因式，熟练掌握整式的运算法则以及分解因式的方法是解题的关键． （1）先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后进行加法运算即可得到答案； （2）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【17题详解】 解：原式 ； 【18题详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，-1 【解析】 【分析】先计算括号内的同分母分式减法，将除法化为乘法，再计算除法，最后将代入求值即可． 【详解】解：原式= =， 当时，原式=-1． 【点睛】此题考查分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°． （1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN． 【答案】 （1）如图，点即为所求； （2）证明：连接AN． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°． ∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝120°． ∵AN＝BN， ∴∠BAN=∠B＝30° ∴∠NAC＝∠BAC﹣∠NAB＝120°﹣30°＝90°． ∵∠C＝30°， ∴CN＝2AN． ∴CN＝2BN． 【解析】 【详解】（1）作线段AB的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）根据等腰三角形的性质计算出∠C的度数，再计算出∠CAN的度数，然后根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得CN＝2AN，进而得到CN＝2BN． 【解答】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查了作图，等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形，关键是正确画出图形，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 20. 如图，在Rt△ABC中，点D为边AB上的一点，点F为线段AB延长线上一点，AD＝BF，AC＝DE且DE⊥EF，求证：∠ABC＝∠F． 【答案】 证明：∵AD＝BF， ∴AD+BD＝BF+BD， 即AB＝DF， ∵DE⊥EF， ∴∠DEF＝90°， 在Rt△ACB和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△DEF（HL）， ∴∠ABC＝∠F． 【解析】 【分析】根据题意由AD＝BF可推出AB＝DF，然后证明Rt△ACB≌Rt△DEF，据此可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握直角三角形全等的判定方法“HL”是解题的关键． 21. 观察下列算式，完成问题： 算式①： 算式②： 算式③： 算式④： …… （1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：______； （2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立； （3）命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：设两个连续偶数为和， ∵ ， ∴； （3） 解：不成立，理由如下， 证明：设两个连续奇数分别为和（为整数）， ∵ ， ∴； 【解析】 【分析】本题考查了因式分解——平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．（1）根据规律写出算式⑤即可得到答案； （2）利用平方差公式进行因式分解证明即可得到答案； （3）设两个连续奇数分别为和（为整数），利用平方差公式进行因式分解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意规律可得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．（根据题意画出图形，写出已知、求证并证明） 【答案】 已知：，，、分别是、边上的中线 求证：． 证明：、分别是、边上的中线 ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据题意写出已知，，、分别是、边上的中线，证明，即可得到答案． 【详解】略 23. 某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． （1）请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； （2）哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】（1）种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为 （2）“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键． （1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得． 【小问1详解】 解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． 【小问2详解】 解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 24. 数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形. （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . （2）请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . （3）若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 【答案】（1）， （2） （3）1，3，2 （4）①，；② 【解析】 【分析】本题考查拼图与整式的乘法，数形结合是解题的关键. （1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可； （2）（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案； （3）先画长方形，长为，宽为，观察图形可得答案； （4）①利用和计算即可； ②设，，利用求出，再利用求出，最后把还原后求解即可. 【小问1详解】 方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：， 方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵（1）中两种方法计算的面积是相等的， ∴， 故答案为： 【小问3详解】 拼图如下： 观察图形可得：需要类卡片1张，类卡片3张，类卡片2张. 故答案为：1，3，2； 【小问4详解】 ①根据（2）题可得， ∵,， ∴ ∴， ； ②设，， ∵， ∴， 又∵， ∵ ∴， ∴， 由，得 ∴， 即， 整理，得，即 ∴. 25. 已知，中，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，D是外一点，连接、，且，作的平分线交于点E，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点F，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴． （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）先根据三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的判定即可得证； （2）连接，交于点，设，先根据等腰三角形的性质可得的度数，从而可得的度数，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据求解即可得； （3）连接，在取一点，使得，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，设，则，，根据含30度角的直角三角形的性质可得，建立方程求出的值，由此即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点， 设． ∵，， ∴， ， ∴， ∵，平分， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接，在取一点，使得， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建省福州市长乐一中八年级（上）第二次段考 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图案是食品类产品的标志，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则下列分式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段不能组成三角形的是（ ）． A. 4，5，6 B. 5，6，12 C. 6，6，6 D. 7，7，1 4. 已知分式有意义且值为零（a，b，c均为正实数），若以a，b，c的值为三条线段的长构造三角形，则此三角形一定为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( ) ①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 7. 下列运算结果正确的是（　　） A. 3a﹣a=2 B. （a﹣b）2=a2﹣b2 C. a（a+b）=a2+b D. 6ab2÷2ab=3b 8. 计算等于（ ） A. B. C. D. 9. 将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，那么（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（　　） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，则__________． 12. 如图，AB∥CD．∠EGD＝120°，AE⊥EG于点E，则∠A的度数为_____． 13. 多项式可因式分解为______． 14. 若，，则____． 15. 等腰三角形有一内角的度数为40°，一腰的垂直平分线与另一腰所在直线相交所成的锐角的度数为_________． 16. 在中，是边上的中线，且，，的度数为___． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）分解因式： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°． （1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN． 20. 如图，在Rt△ABC中，点D为边AB上的一点，点F为线段AB延长线上一点，AD＝BF，AC＝DE且DE⊥EF，求证：∠ABC＝∠F． 21. 观察下列算式，完成问题： 算式①： 算式②： 算式③： 算式④： …… （1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：______； （2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立； （3）命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 22. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．（根据题意画出图形，写出已知、求证并证明） 23. 某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． （1）请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； （2）哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 24. 数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形. （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . （2）请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . （3）若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 25. 已知，中，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，D是外一点，连接、，且，作的平分线交于点E，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点F，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $