精品解析：江西省赣州市 信丰县第四中学2024-2025学年上学期八年级数学第三阶段检测试卷

八年级数学第二次学情调研试卷B卷 一、选择题：（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在中，，，于，是的平分线，且交于，如果，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 已知点与关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 7. 因式分解：______． 8. 如果是完全平方式，则__________． 9. 某校在一块如图所示的三角形空地上种草皮以美化环境，已知AB=20m，BC=30m,∠B=150°，并且这种草皮每平方米元，则购买这种草皮至少要_____元. 10. 计算： ______ 11. 已知，则的值是________． 12. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为点B点坐标为，求一点C，使以点B、O、C为顶点的三角形与全等，则点C的坐标为______． 三、（本大题共5题，每题6分，共30分） 13. 计算： （1）已知，．求的值； （2）． 14. 阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________； （3）请你用换元法对多项式进行因式分解． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图． （1）在图①中，以AB为边作等边三角形； （2）在图②中，作一个含30°的直角三角形． 17. 如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 四、（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 甲、乙二人共同计算，由于甲把第一个多项式中a前面的符号抄成了“”，得到的结果为；由于乙漏抄了2，得到的结果为． （1）求a，b的值； （2）求出正确的结果． 19. 在平面直角坐标系中，已知，，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）求的面积． （3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使的值最小，请写出点P的坐标． 20. 在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，当已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即，因为， 等量代换，得，所以． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）已知，，求的值． （2）如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，，求图中阴影部分的面积． 五、（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：； （2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长，并判断的形状． 22. 如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE． （1）求证：AD=BE； （2）若∠CAE=15°，AD=4，求AB的长． 六．解答题 23. 如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，，已点D为上一点，且点P在线段上以2个单位/秒的速度由B点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段上由C点向A点运动． （1）用含t的式子表示点P的坐标为　　； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由； （3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使与全等？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第二次学情调研试卷B卷 一、选择题：（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式乘法运算法则及加法法则逐一判断即可． 【详解】A、，故错误； B、，故正确； C、，故错误； D、，故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查整式乘法与加法运算法则，熟记基本的运算法则是解题关键． 3. 下列因式分解结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．根据十字相乘法，平方差公式和完全平方公式逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D正确，符合题意． 故选：D． 4. 如图所示，在中，，，于，是的平分线，且交于，如果，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，先计算得出，由等角对等边可得，再由直角三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 已知点与关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于轴对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得，，求出、的值，进而求出答案． 【详解】点与关于轴对称， ，， ，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了关于轴对称点的坐标特征，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 6. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题 【详解】解：由题意可得展开式中含项为第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，根据杨辉三角形展开式中，第二项的系数为， 的展开式中含项的系数是2023， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 7. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式．观察表达式，提取公因式后，再利用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 如果是完全平方式，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式．根据题意利用完全平方公式即可得到本题答案． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 某校在一块如图所示的三角形空地上种草皮以美化环境，已知AB=20m，BC=30m,∠B=150°，并且这种草皮每平方米元，则购买这种草皮至少要_____元. 【答案】150a． 【解析】 【分析】先作△ABC的高AD，求出∠ABD=30°，由30度角所对直角边等于斜边的一半，得出ADAB，再根据S△ABC•BC•AD求出三角形的面积，即可得出答案． 【详解】作△ABC的高AD． ∵∠ABC=150°，∴∠ABD=30°，∴ADAB20=10，∴S△ABC•BC•AD30×10=150（m2）． ∵这种草皮每平方米a元，∴购买这种草皮至少要150a元． 故答案为150a． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，正确做出辅助线时解答本题的关键． 10. 计算： ______ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方法则进行计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 已知，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理求出的值，再利用完全平方公式即可求出所求式子的值． 【详解】解：由，得到，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握完全平方公式的变形是解本题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为点B点坐标为，求一点C，使以点B、O、C为顶点的三角形与全等，则点C的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质、坐标与图形，根据题意，做出图形，由条件可知为两三角形的公共边，且为直角三角形，当和全等时，则可知为直角三角形，且有可，可得出点的坐标．由条件得到或是解题的关键． 【详解】解：如图所示： 点，， ，，且为直角三角形， 当和全等时，可知为直角三角形，且有公共边， 或， 当时，则点坐标为或（与A重合，舍去）； 当时，则，且， 点坐标为或； 综上可知，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 三、（本大题共5题，每题6分，共30分） 13. 计算： （1）已知，．求的值； （2）． 【答案】（1）675 （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）逆用同底数幂的乘法和幂的乘方的运算法则求解即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ． 14. 阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________； （3）请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）仿照材料中求解方法，用换元法进行分解因式． 【小问1详解】 解：由可知，小涵运用了完全平方公式法进行因式分解， 故选：C； 【小问2详解】 解：由得，该因式分解的最后结果为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设， 原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后再计算除法运算得到化简的结果，把，代入化简后的结果进行计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 【点睛】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，化简求值，熟记运算法则是解本题的关键． 16. 已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图． （1）在图①中，以AB为边作等边三角形； （2）在图②中，作一个含30°的直角三角形． 【答案】 （1）如图①所示：∆AOB即为所求三角形； （2）如图②所示：∆ACF即为所求三角形． 【解析】 【分析】（1）连接AD，BE交于点O，即可得到所求三角形； （2）连接AC，CF，即可得到所求三角形； 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查正六边形的性质，熟练掌握正六边形的每条边都相等，每个内角都等于120°，是解题的关键． 17. 如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】 (1)证明：平分， ， 在和中，， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线定义得出，由证明即可； （2）由三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，在中，由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】（1）略 （2），， ， 平分， ， 在中，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键． 四、（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 甲、乙二人共同计算，由于甲把第一个多项式中a前面的符号抄成了“”，得到的结果为；由于乙漏抄了2，得到的结果为． （1）求a，b的值； （2）求出正确的结果． 【答案】（1）3，5 （2） 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，整式的混合运算和解二元一次方程组等知识点，能正确根据整式的运算法则进行化简是解题的关键． （1）根据已知得出算式和，再根据整式的运算法则进行化简，得出a、b的方程组，解得即可； （2）根据整式的运算法则求出即可． 【小问1详解】 ∵甲把第一个多项式中前面的符号抄成了“”，得到的结果为， ∴ ， ∴，即， ∵乙漏抄了2，得到的结果为， ∴ ， ∴， 解方程组得：， 即，； 【小问2详解】 ． 19. 在平面直角坐标系中，已知，，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）求的面积． （3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使的值最小，请写出点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， （2） （3） 解：如上图所示，点即为所求，． 【解析】 【分析】本题主要考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可画出； （2）利用所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，从而解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 略 20. 在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，当已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即，因为， 等量代换，得，所以． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）已知，，求的值． （2）如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）22 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答的关键． （1）由求解即可； （2）先利用三角形的面积公式，用a、b表示阴影部分面积，再由已知求得，然后代值求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由图可知，图中阴影部分的面积， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：图中阴影部分的面积为22． 五、（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：； （2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长，并判断的形状． 【答案】（1）； （2）的周长为，是等腰三角形． 【解析】 【分析】（）根据题干中提供的方法进行解答即可； （）根据，得出，求出，，根据三角形三边关系得出，根据是正整数，求出，然后求出结果即可； 本题主要考查了分解因式的应用，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握配方法分解因式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴， ∴的周长为，是等腰三角形． 22. 如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE． （1）求证：AD=BE； （2）若∠CAE=15°，AD=4，求AB的长． 【答案】（1）证明：△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°， , 在与中， ， ； （2）8 【解析】 【分析】（1）直接证明，即可得出结论； （2）由（1）可进一步推出为直角三角形，且，从而由求解即可． 【详解】（1）略 （2）是等腰直角三角形， ， 由（1）可知，，, ， ， 则在中，， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，及含角的直角三角形的性质，根据“手拉手”模型证明全等，并推导出直角三角形是解题关键． 六．解答题 23. 如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，，已点D为上一点，且点P在线段上以2个单位/秒的速度由B点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段上由C点向A点运动． （1）用含t的式子表示点P的坐标为　　； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由； （3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使与全等？ 【答案】（1） （2） △，理由如下： 当时， ∵ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ∴ （3）点Q的运动速度是时，能够使与全等 【解析】 【分析】（1）先表示出，根据可得出答案； （2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等． （3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度． 【小问1详解】 ∵ ∴ 由题意得：则 ∴点P的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 ∵ ∴ 又∵ ∴，， ∴点P，点Q运动的时间 ∴ 即点Q的运动速度是时，能够使与全等． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $