专题7.2 椭圆的方程及其几何性质（十二大题型）-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精炼（新高考专用）

专题7.2 椭圆的方程及其几何性质 题型一 椭圆的定义 题型七 直线与椭圆的位置关系 题型二 椭圆的标准方程 题型八 椭圆的中点弦问题 题型三 椭圆的焦点三角形 题型九 椭圆的弦长问题 题型四 椭圆的离心率 题型十 椭圆中的面积问题 题型五 椭圆离心率的取值范围 题型十一 椭圆中的定值问题 题型六 距离和差的最值问题 题型十二 椭圆中的定点问题 知识点一、椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集． 知识点二、椭圆的焦点三角形 1．椭圆的焦点三角形 焦点三角形的概念：设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦点三角形，如图所示. 2.焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长； ②在中，由余弦定理可得. 题型一 椭圆的定义 【例1】椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为10，点P在椭圆C上，则的周长为（    ） A．16 B．18 C． D．20 【例2】已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于M，N两点，则的周长为（   ） A．10 B．16 C．20 D．26 【变式1-1】已知椭圆的一个焦点为，点是上关于原点对称的两点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为和，点为椭圆上的任意点，下列说法正确的有（    ） A． B．的最大值为25 C．的最小值为9 D．若，则的面积为 【变式1-3】已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 题型二 椭圆的标准方程 【例3】阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，面积为，且两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，则椭圆的标准方程为（   ） A． B．，或 C． D．，或 【例4】已知椭圆的两个焦点分别为，点是上一点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知椭圆：的两个焦点分别为，，P是椭圆上一点，，且的短半轴长等于焦距，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知直线经过椭圆的左焦点，且与轴的正半轴交于点，若满足的点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 椭圆的焦点三角形 【例5】（多选）设，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则下列说法中正确的是（   ） A． B．的周长为 C．的面积为4 D．点P在圆上 【例6】已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一点，且，则的值为 ． 【变式3-1】椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点为、，若上任一点P到直线的距离与到x轴的距离之和为b，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】设，是椭圆的两个焦点，P为C上一点．若O为坐标原点，，且的面积等于8，则 ，a的取值范围为 ． 【变式3-3】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为是上一点，若是直角三角形，则的面积可以是（   ） A． B． C． D．1 知识点三、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心 范围 顶点 轴长 长轴长,短轴长 焦点 焦距 离心率 注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度． 由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时, ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 题型四 椭圆的离心率 【例7】已知是椭圆的左､右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，且，则的离心率为 . 【例8】如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知椭圆C：的上顶点为A，左、右两焦点分别为，，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】椭圆的上下顶点记为，，在轴上取一点，记直线交椭圆的另外一点为点，若直线，的斜率，，有则离心率的值是 . 题型五 椭圆离心率的取值范围 【例9】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，过P作圆的切线，，切点为A，B使得，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例10】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，从①的周长为，且轴时，；②，其中这两个条件中选择一个作为已知条件，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【变式5-1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知椭圆C：1（）的左、右焦点分别为，，若椭圆C上存在一点P，使得的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是 . 【变式5-3】已知椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆内一点．双曲线：经过点和点，则 ①的取值范围是 ； ②若点在椭圆上，使得，则的离心率的取值范围是 ． 题型六 距离和差的最值 【例13】已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例14】已知，点为椭圆上的动点，当取最小值时，点的横坐标的值为 ． 【变式7-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一个动点，Q为圆上一个动点，则的最大值为 ． 【变式7-2】设实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【变式7-3】已知点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且的最小值为3，则椭圆C的离心率是 ． 知识点四、直线与椭圆 1．直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示． 利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 设直线方程为,椭圆方程为,由方程组消去一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则有下列结论： 直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交； 直线与椭圆有且只有一个公共点⇔直线与椭圆相切； 直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离． 2．弦长问题 设直线交椭圆于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 3．中点弦问题 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知是椭圆上的两个不同的点，是线段的中点， 则由，得， 变形得，即 题型七 直线与椭圆的位置关系 【例11】已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【例12】已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【变式6-1】已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 【变式6-2】已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知椭圆的一个焦点的坐标为，一条切线的方程为，则的离心率 . 题型八 椭圆的中点弦问题 【例15】已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为 ． 【例16】已知椭圆，过点的直线与椭圆C交于A，B两点且AB的中点为P，则坐标原点O到直线AB的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式8-1】已知直线与椭圆相交于两点.若弦被直线平分，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知直线与椭圆在第四象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，若，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型九 椭圆的弦长问题 【例17】椭圆，其右焦点为，若直线过点与交于，则最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【例18】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值． 【变式9-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，的周长为8． (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且原点到直线的距离为定值1，求的最大值． 【变式9-2】已知椭圆：的离心率为． (1)求的方程； (2)过的右焦点的直线与交于，两点，与直线交于点，且，求的斜率． 【变式9-3】已知椭圆的右焦点为，下顶点为，过的直线与椭圆交于另一点，若直线的斜率为1，且，则椭圆的标准方程为 . 题型十 椭圆中的面积问题 【例19】已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为（    ） A． B． C． D．3 【例20】已知椭圆分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F的直线l交椭圆C于点P，Q．若，且当直线轴时，． (1)求椭圆C的方程； (2)记的面积为S，求S的最大值． 【变式10-1】椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P． (1)若直线的斜率为1，求直线的方程． (2)求点P的轨迹方程． (3)求四边形面积的取值范围． 【变式10-2】设椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】已知椭圆：的左、右顶点分别为，，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于，两点，记直线与直线的斜率分别为，，当时，求的面积． 题型十一 椭圆中的定值问题 【例21】已知是椭圆上的一点，是椭圆的右焦点，且，. (1)求椭圆的标准方程. (2)过点的直线与椭圆交于，两点，与椭圆的短轴交于点，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【例22】已知过点的直线与椭圆交于A，B两点.当直线垂直于轴时，. (1)求的方程. (2)探究是否存在实数，使得为定值.若存在，求出该定值；若不存在，说明理由. 【变式11-1】已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，直线的方程为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点.过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点.证明：直线的斜率为定值. 【变式11-2】如图，椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为，，点为椭圆上两点（均位于轴上方），且满足，面积的最大值为2，椭圆的离心率小于，且椭圆的四个顶点围成的四边形周长为12. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：为定值. 【变式11-3】已知椭圆长轴长为，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若，求的方程； (3)点在椭圆上，且异于点，记直线的斜率分别为，证明：为定值． 题型十二 椭圆中的定点问题 【例23】已知椭圆经过点，离心率为. (1)求的方程； (2)若，为上的两点，且直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 【例24】已知椭圆经过点，点是上关于原点对称且与不重合的两点，直线的斜率之积为． (1)求的方程． (2)若点是的左顶点，不过点的直线与交于点，且，判断直线是否过定点．若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由． 【变式12-1】已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 【变式12-2】已知椭圆焦距为2，离心率e是 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条互相垂直的弦，其中在轴的上方，且在的右侧，设弦的中点分别为. ①若弦的斜率均存在，求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由. 【变式12-3】已知椭圆过点，离心率．、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点 (1)求圆的方程； (2)若为椭圆上（除外）任意一点，求证：直线和的斜率之积为定值 (3)若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 一、单选题 1．曲线与曲线的（    ） A．长轴长一定相等 B．短轴长一定相等 C．离心率一定相等 D．焦距一定相等 2．已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（    ） A． B． 或 C． D． 或 3．已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为（    ） A． B．14 C． D． 4．直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 5．过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 6．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知点，是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，，分别是的左、右焦点，为原点，则（   ） A．的离心率为 B． C．的值可以为3 D．若的面积为，则 8．已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度大小的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，设椭圆的长轴长、焦距分别为，则下列结论中正确的有（    ）    A．飞船向径的取值范围是 B．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．飞船运行速度的大小，在近地点时最大，在远地点时最小 三、填空题 9．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点，若，则= 10．已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是 ． 11．已知点P是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，分别是椭圆的左右焦点，为坐标原点，若点是的角平分线上的一点，且则的取值范围是 . 四、解答题 12．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，且经过点； (2)经过两点. 13．已知椭圆，椭圆以的短轴为长轴且与有相同的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，点分别在上，，求直线AB的方程． 14．在圆上任取一点，过点作x轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为. (1)求的方程. (2)直线 与C交于两点（点不重合）. ①求的取值范围； ②若，求. 15．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.2 椭圆的方程及其几何性质 题型一 椭圆的定义 题型七 直线与椭圆的位置关系 题型二 椭圆的标准方程 题型八 椭圆的中点弦问题 题型三 椭圆的焦点三角形 题型九 椭圆的弦长问题 题型四 椭圆的离心率 题型十 椭圆中的面积问题 题型五 椭圆离心率的取值范围 题型十一 椭圆中的定值问题 题型六 距离和差的最值问题 题型十二 椭圆中的定点问题 知识点一、椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集． 知识点二、椭圆的焦点三角形 1．椭圆的焦点三角形 焦点三角形的概念：设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦点三角形，如图所示. 2.焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长； ②在中，由余弦定理可得. 题型一 椭圆的定义 【例1】椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为10，点P在椭圆C上，则的周长为（    ） A．16 B．18 C． D．20 【答案】B 【详解】    因为长轴长为10，即， 所以长半轴长， 则由题可知,短半轴长， 半焦距， 故的周长为. 故选：B. 【例2】已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于M，N两点，则的周长为（   ） A．10 B．16 C．20 D．26 【答案】C 【详解】由椭圆的定义可得：，， 则的周长为： . 故选：C. 【变式1-1】已知椭圆的一个焦点为，点是上关于原点对称的两点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取椭圆的另一个焦点为,连接，则四边形为平行四边形， 设，由椭圆的对称性得， 其中，即， 所以， 令， 所以当时，，当或3时，， 即的取值范围是. 故选：D    【变式1-2】（多选）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为和，点为椭圆上的任意点，下列说法正确的有（    ） A． B．的最大值为25 C．的最小值为9 D．若，则的面积为 【答案】AB 【详解】设，则，. 对于A，有， ，故A正确； 对于B，有， 且当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C，有 ，故C错误； 对于D，此时 ，所以. 从而，故D错误. 故选：AB. 【变式1-3】已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设可知，椭圆C的焦点为， 椭圆C上任意一点到两个焦点的距离之和为， 故， 所以椭圆C的标准方程为. 故选：C 题型二 椭圆的标准方程 【例3】阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，面积为，且两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，则椭圆的标准方程为（   ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】B 【详解】由题意，当椭圆的焦点在轴上时，可设椭圆的方程为， 因为椭圆的两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，所以. 又，所以①. 由椭圆的面积为，可得，即②， 联立①②，解得所以椭圆的标准方程为， 当椭圆的焦点在轴上时，同理，可得椭圆的标准方程， 综上，椭圆的标准方程为或. 故选：B 【例4】已知椭圆的两个焦点分别为，点是上一点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即， 又是椭圆上一点，所以，解得1， 故椭圆的方程为， 故选：C. 【变式2-1】已知椭圆：的两个焦点分别为，，P是椭圆上一点，，且的短半轴长等于焦距，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆的定义可得，，即， 因为椭圆的短半轴长等于焦距，则， 又，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 【变式2-2】已知直线经过椭圆的左焦点，且与轴的正半轴交于点，若满足的点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，故为的中点，故， 故，而，故，其中 整理得到：，故，故， 故长轴长为， 故选：D. 【变式2-3】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得，即. 故选：C. 题型三 椭圆的焦点三角形 【例5】（多选）设，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则下列说法中正确的是（   ） A． B．的周长为 C．的面积为4 D．点P在圆上 【答案】BCD 【详解】 由，得，，则，，，因为P是椭圆上一点，所以，因为，所以，，故A错误； 的周长为，故B正确； 因为，所以为直角三角形，，所以，故C正确； 因为为直角三角形，所以，故点P在圆上，故D正确. 故选：BCD. 【例6】已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一点，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】椭圆，则，，， 所以， 又，由余弦定理， 即， 所以，所以. 故答案为： 【变式3-1】椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点为、，若上任一点P到直线的距离与到x轴的距离之和为b，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 设，， 则到直线的方程为， 则，解得， 故，故.    故选：B 【变式3-2】设，是椭圆的两个焦点，P为C上一点．若O为坐标原点，，且的面积等于8，则 ，a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 则，所以． 因为，所以， 即，得，则． 因为，所以． 又因为，且，所以， 从而，故，即a的取值范围为． 故答案为：，. 【变式3-3】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为是上一点，若是直角三角形，则的面积可以是（   ） A． B． C． D．1 【答案】BD 【详解】在椭圆中，，半焦距，， 由是直角三角形，得（）或， 若（），由，得，则点到轴距离为， 的面积，B正确； 当是的上顶点或下顶点时，，的面积，D正确. 故选：BD 知识点三、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心 范围 顶点 轴长 长轴长,短轴长 焦点 焦距 离心率 注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度． 由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时, ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 题型四 椭圆的离心率 【例7】已知是椭圆的左､右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，且，则的离心率为 . 【答案】/0.25 【详解】由，且，得为等边三角形，点在线段的中垂线，即轴上， 令椭圆半焦距为，则，而点，且直线的斜率为， 因此，所以的离心率为. 故答案为： 【例8】如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上， 故可设椭圆方程为， 因为，则点的坐标为， 又，，， 于是，， 因为，所以， 得，即， 所以， 故，． 故选：B. 【变式4-1】已知椭圆C：的上顶点为A，左、右两焦点分别为，，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图所示： 易知， 所以，又为等边三角形，所以， 可得，所以离心率为. 故选：A 【变式4-2】已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆的定义可得：， 又， 所以，， 在中，， 即，解得， 又因为，所以离心率， 故选：C. 【变式4-3】椭圆的上下顶点记为，，在轴上取一点，记直线交椭圆的另外一点为点，若直线，的斜率，，有则离心率的值是 . 【答案】/ 【详解】设，又，，则直线为， 由，消去整理得， 解得，则， 所以，， 因为，即，即， 所以椭圆的离心率. 故答案为：    题型五 椭圆离心率的取值范围 【例9】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，过P作圆的切线，，切点为A，B使得，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，从椭圆上长轴端点向圆引两条切线， 则两条切线形成的夹角最小， 若在椭圆上存在点P，过P作圆的切线，，切点为A，B使得， 则只需，即， ， 所以，则，所以， 所以，即，所以， 又因为，所以椭圆的离心率的取值范围是， 故选：C. 【例10】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，从①的周长为，且轴时，；②，其中这两个条件中选择一个作为已知条件，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若选择条件①：因为的周长为，所以，即． 因为轴时，， 令得，即，解得． 又，所以， 故椭圆的离心率的取值范围是． 若选择条件②：因为，且， 所以，即， 两边同除以得，解得． 又，所以， 故椭圆的离心率的取值范围是． 故答案为：. 【变式5-1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据椭圆定义可得，又，故， 因此，故，故， 故选：D 【变式5-2】已知椭圆C：1（）的左、右焦点分别为，，若椭圆C上存在一点P，使得的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】令点的纵坐标为，则，的周长， 依题意，，解得， 因此，即，而，则， 解得，即，所以椭圆C的离心率的取值范围是. 故答案为： 【变式5-3】已知椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆内一点．双曲线：经过点和点，则 ①的取值范围是 ； ②若点在椭圆上，使得，则的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 由题意为椭圆内一点．首先，， 又双曲线：经过点和点， 所以，即，， 所以，结合可化简得， 所以，即的取值范围是； 因为，所以， 因为，所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为直线的交点，且点在线段上， 所以解得，又，， 所以. 故答案为：，. 题型六 距离和差的最值 【例13】已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆方程得：圆心，半径； 由椭圆方程得：，，设椭圆下焦点为，则， 由椭圆定义知：，； （当且仅当三点共线时取等号）， ， 又（当且仅当三点共线时取等号）， ，即的最大值为. 故选：D. 【例14】已知，点为椭圆上的动点，当取最小值时，点的横坐标的值为 ． 【答案】 【详解】因为为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为，则， 由椭圆的定义，得， 当为射线与椭圆交点时，取最小值， 因为直线方程为，设， 联立，消去得或， 由于，所以， 故答案为：    【变式7-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一个动点，Q为圆上一个动点，则的最大值为 ． 【答案】12 【详解】由椭圆可知，， 椭圆在圆内，而圆的圆心为，半径为， 易知，所以椭圆与圆相离， 而，故， 要求的最大值，只需求的最大值， 而Q在圆上， 只需求的最大值，当共线时（如图），最大， 此时，即为的最大值， 则的最大值为， 则的最大值为， 故答案为：12 【变式7-2】设实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】C 【详解】， 点是椭圆上的点，设，如图．    记题中代数式为M，则， 等号当点E，A，P依次共线时取得． 因此所求最小值为． 故选：C. 【变式7-3】已知点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且的最小值为3，则椭圆C的离心率是 ． 【答案】 【详解】由，则在椭圆内，若是椭圆左焦点，    所以， 仅当共线且在之间时取等号，故，即， 而且，则，故， 此时，故. 故答案为： 知识点四、直线与椭圆 1．直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示． 利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 设直线方程为,椭圆方程为,由方程组消去一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则有下列结论： 直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交； 直线与椭圆有且只有一个公共点⇔直线与椭圆相切； 直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离． 2．弦长问题 设直线交椭圆于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 3．中点弦问题 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知是椭圆上的两个不同的点，是线段的中点， 则由，得， 变形得，即 题型七 直线与椭圆的位置关系 【例11】已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【详解】直线：， 令，解得：，， 所以直线恒过定点， ，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切. 故选：D 【例12】已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【答案】A 【详解】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交. 故选：A 【变式6-1】已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）椭圆过点，且离心率为， 可得：，解得， 再由，可得： ， 椭圆的方程为：. （2）由（1）知椭圆的方程为：，由直线与椭圆联立 消得：，根据直线与椭圆仅有一个交点得： ，解得. 【变式6-2】已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，表示焦点在轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为， 当直线经过点时，，当直线与椭圆相切时， 由，得， 所以，解得（负根舍去），当直线与半椭圆有两个交点时， 根据图象，的取值范围为. 故选：A. 【变式6-3】已知椭圆的一个焦点的坐标为，一条切线的方程为，则的离心率 . 【答案】 【详解】联立直线与椭圆方程，可得， 由为椭圆切线，则有， 化简得，又，故， 又椭圆的一个焦点的坐标为，故有， 则，故，则. 故答案为：. 题型八 椭圆的中点弦问题 【例15】已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为 ． 【答案】 【详解】由题意知， 设A，B两点坐标分别为， 两式相减得， 由题意为AB中点， 则，代入整理得． 即由题意知， 因此，所以，由焦距为6，解得． 由椭圆定义知的周长为． 故答案为： 【例16】已知椭圆，过点的直线与椭圆C交于A，B两点且AB的中点为P，则坐标原点O到直线AB的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】设，， 则，两式相减得， 由条件可知，，， 即， 并且由对称性可知，，所以， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离. 故选：B 【变式8-1】已知直线与椭圆相交于两点.若弦被直线平分，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为弦被直线平分，设中点坐标， 所以，① 因为点在直线上，代入可得 ，两式相减可得，② 又点在椭圆上，代入可得，两式相减可得， 代入①②可得，又椭圆中， 所以离心率， 故选：C 【变式8-2】已知直线与椭圆在第四象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，若，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得线段的中点，也是线段的中点， 设，线段的中点坐标为， 则. 又点在椭圆上，所以， 两式相减可得， ，所以， 所以，即. 又因为四点共线，所以， 综上可得，由在第四象限得即， 所以直线的倾斜角为. 故选：C.    【变式8-3】不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设为坐标原点，在椭圆中，设，则， 所以， 因为关于对称，所以，所以， 由线段的中点的坐标为，得出． 所以， 又， ∴，即， 又，∴，所以所求离心率为. 故选：C． 题型九 椭圆的弦长问题 【例17】椭圆，其右焦点为，若直线过点与交于，则最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】要使最小，即为和焦点在的轴垂直的直线截得的线段长． 右焦点为，直线为，联立此直线和椭圆解得交点的纵坐标为， 故最小值为1． 故选：B． 【例18】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，解得， 故椭圆的标准方程为； （2），故可设，，， 联立，消去可得， ，即， ，， 则 ， 则当时，有最大值，且其最大值为. 【变式9-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，的周长为8． (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且原点到直线的距离为定值1，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为的周长为8， 所以，解得， 焦距为，，所以， 所以椭圆E的方程为． （2）    当直线斜率不存在时，为或， 当时，，则， 当时，同理， 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 因为原点到直线的距离为定值1，所以，则， 设， 联立椭圆于直线方程， 消元得， 所以， 由，得, , 令， 则， 由，所以当时，， 所以的最大值 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式9-2】已知椭圆：的离心率为． (1)求的方程； (2)过的右焦点的直线与交于，两点，与直线交于点，且，求的斜率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为椭圆：的离心率为， 所以，解得， 所以椭圆方程为. （2）由（1）可得， 当直线的斜率为时，则，，， 所以，，显然不满足，故舍去； 依题意直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，，， 由，消去整理得， 显然，则，， 所以 ， 又解得，所以， 所以， 因为，所以，解得， 综上可得的斜率为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式9-3】已知椭圆的右焦点为，下顶点为，过的直线与椭圆交于另一点，若直线的斜率为1，且，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】 设，由题意知，，直线的方程为， 与椭圆的方程联立化简得，所以， 故，解得， 所以，椭圆的方程为. 故答案为： 题型十 椭圆中的面积问题 【例19】已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点， 因为为的平分线，⊥，由三线合一得为等腰三角形， 即，为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 故，设， 由椭圆定义知，， 由得，解得， 故，， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故. 故选：C 【例20】已知椭圆分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F的直线l交椭圆C于点P，Q．若，且当直线轴时，． (1)求椭圆C的方程； (2)记的面积为S，求S的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的右焦点为，则，…① 由，得，…② 又当直线轴时，P，Q的横坐标为c，将代入中，得， 则，…③ 联立①②③，解得， 所以椭圆C的方程为． （2）直线不与y轴垂直时，可设的方程为， 联立椭圆方程，消去x并整理得， ， 又设，由韦达定理得 所以 ． 令， 则，设函数， 由对勾函数性质易知在上为增函数， 所以当，即时，， 此时S取得最大值为． 【变式10-1】椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P． (1)若直线的斜率为1，求直线的方程． (2)求点P的轨迹方程． (3)求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由条件可知，，，则， 所以，, 因为直线的斜率为1，所以直线的斜率为，且直线过点， 所以直线的方程为，即； （2）设，依题意，，且， ，， 所以，即， 故点的轨迹方程为； （3）依题意，， 过作平行于的直线交于两点，由对称性可知，， ①当的斜率为0或斜率不存在时，和是或，； ②当的斜率存在且不为0时，设，，， 联立方程，得， ，，， 故， 同理， 故， 令，，则， 其中，故， 综上， 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是将转化为，利用和都过点的特征，且斜率的关系，根据，直接表示. 【变式10-2】设椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆焦距，则由题意知，解之得， 所以，可得直线方程，设， 联立得，则， 所以， 易知O到直线的距离为：，所以的面积为. 故选：A 【变式10-3】已知椭圆：的左、右顶点分别为，，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于，两点，记直线与直线的斜率分别为，，当时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，又， 则， 所以，解得（负值舍去）， 由在椭圆上及得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）知，右焦点为， 据题意设直线的方程为， 则， 于是由得，化简得（*） 由消去整理得， ， 由根与系数的关系得：， 代入（*）式得：，解得， 直线的方程为， 则， 由求根公式与弦长公式得：， 设点到直线的距离为，则， . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 题型十一 椭圆中的定值问题 【例21】已知是椭圆上的一点，是椭圆的右焦点，且，. (1)求椭圆的标准方程. (2)过点的直线与椭圆交于，两点，与椭圆的短轴交于点，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为，，所以，， 所以，，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：由（1）可知，设直线方程为， 联立消去化简整理得，， 因为直线与椭圆交于，两点，所以，即. 设交点，， 则，. 因为与椭圆的短轴交于点，所以不妨假设， 所以 （定值） 【例22】已知过点的直线与椭圆交于A，B两点.当直线垂直于轴时，. (1)求的方程. (2)探究是否存在实数，使得为定值.若存在，求出该定值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，定值为 【详解】（1）将代入的方程，得，即， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）存在. ①当不垂直于轴时，设直线的方程为，，， 联立得 所以，， 又，， 所以， 所以， 若为定值，则，解得， 代入得； ②当垂直于轴时，由①知， 不妨令，，有， 综上所述，存在使得为定值. 【变式11-1】已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，直线的方程为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点.过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点.证明：直线的斜率为定值. 【答案】(1)的方程；离心率为； (2)证明见解析； 【详解】（1）易知， 又直线的方程为，可得， 解得，则； 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）依题意可设，则由对称性可知，如下图所示： 易知两点纵坐标相同，可得， 又点在直线上，解得，即； 又两点横坐标相同，可得； 因为点在直线上，所以，即，解得； 又点在椭圆上可得，因此，所以； 即 所以直线的斜率为， 即可得直线的斜率为定值. 【变式11-2】如图，椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为，，点为椭圆上两点（均位于轴上方），且满足，面积的最大值为2，椭圆的离心率小于，且椭圆的四个顶点围成的四边形周长为12. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，得解得 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1），知，延长交椭圆于点，由及对称性，知，所以. 当直线的斜率不存在时，易得，则. 当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为， 由得，， 设，，根据根与系数的关系，得， 所以 ，， 所以. 综上，为定值. 【变式11-3】已知椭圆长轴长为，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若，求的方程； (3)点在椭圆上，且异于点，记直线的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【详解】（1）由椭圆长轴长为，焦距为， 即，，∴， 故椭圆的方程为． （2）设直线的方程为， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 所以当时，的方程为或 （3）直线均不与轴垂直，所以，则且， 所以 ， 所以为定值． 题型十二 椭圆中的定点问题 【例23】已知椭圆经过点，离心率为. (1)求的方程； (2)若，为上的两点，且直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）①当直线的斜率不存在时，设． 则，， ，不合题意． ②当直线的斜率存在时，设，,， 联立方程，得． ，，． 又， 即． 将，代入上式， 得，即， 解得或， 当时，，恒过点，不符合题意，故舍去； 当时，，恒过点，符合题意； 直线过定点. 【例24】已知椭圆经过点，点是上关于原点对称且与不重合的两点，直线的斜率之积为． (1)求的方程． (2)若点是的左顶点，不过点的直线与交于点，且，判断直线是否过定点．若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由． 【答案】(1) (2)直线过定点． 【详解】（1） 因为椭圆经过点，所以．① 设，则，．② ②①，得，则． 所以直线的斜率之积为， 所以． 与联立，解得，． 所以椭圆的方程为． （2） 因为， 所以． 由（1）知．设，， 联立直线的方程和椭圆的方程得方程组 消去并整理，得， 则，且，． 所以 ． 整理，得，即， 所以或． 当时，直线过点，不满足题意，舍去； 当时，，满足题意． 所以直线的方程为，该直线过定点． 【变式12-1】已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，． 【详解】（1）右顶点是，离心率为， 所以，， ，则， 椭圆的标准方程为． （2）直线方程与椭圆方程联立， 得， 设，， ，， ， ，， 即， ，则， 即， 整理得， 或， 均满足 直线或， 直线过定点或（与题意矛盾，舍去） 综上知直线过定点． 【变式12-2】已知椭圆焦距为2，离心率e是 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条互相垂直的弦，其中在轴的上方，且在的右侧，设弦的中点分别为. ①若弦的斜率均存在，求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②直线恒过点 【详解】（1）依题意有，解得， 所以椭圆的方程为； （2）①设，则 联立，， 由弦长公式可得： 同理可得：， 所以 令，则 当的最小值是； ② ，由代替m，得， 当，即时，，过点. 当，即时，， ， 当时，，经验证直线过点， 综上，直线恒过点. 【变式12-3】已知椭圆过点，离心率．、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点 (1)求圆的方程； (2)若为椭圆上（除外）任意一点，求证：直线和的斜率之积为定值 (3)若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意知，，， 椭圆的方程可写为，又椭圆过点 故，得， 则椭圆C的方程为. （2）在椭圆中，左、右顶点分别为，， 设点，则，故 ，为定值． （3）设，，易知直线的斜率不为， 设其方程为， 联立，可得， 由，得． 由韦达定理，得，， ，， 可化为， 整理即得， ，由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点. 一、单选题 1．曲线与曲线的（    ） A．长轴长一定相等 B．短轴长一定相等 C．离心率一定相等 D．焦距一定相等 【答案】D 【详解】对于曲线：， 对于曲线：， 所以它们的长轴不一定相等，短轴不一定相等，离心率不一定相等，焦距一定相等. 故选：D 2．已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（    ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【详解】由题意可知，，，即，，， 所以椭圆方程为 或 . 故选：B 3．已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为（    ） A． B．14 C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆方程得，，. 设椭圆的左焦点为，   , ， 则的周长为 , 当且仅当三点共线，且在的延长线上时取等号. 的周长最大值为. 故选:B. 4．直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 5．过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然在椭圆内， 当直线的斜率不存在，即直线方程为时，可得，或，， 此时不是线段的中点， 所以直线的斜率存在，设，， 则，两式相减并化简得， 又，，代入得， 解得， 故选：D. 6．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即的圆心，半径为， 椭圆方程中，，， 则圆心为椭圆的右焦点，线段为的直径，连接， 因此 ，点为椭圆上任意一点， 则，，即， 所以. 故选：A 二、多选题 7．已知点，是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，，分别是的左、右焦点，为原点，则（   ） A．的离心率为 B． C．的值可以为3 D．若的面积为，则 【答案】AD 【详解】由题意， 在中，， A项，离心率，故A正确； B项，如图所示， 由对称性知，， ，故B错误； C项，由几何知识得， ,即， 因为，故C错误； D项，设， ∴， 当的面积为时，， 由几何知识得，，解得： 当，即时，此时，， ∴， ∴， 当，即时，同理可得，， 故D正确； 故选：AD. 8．已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度大小的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，设椭圆的长轴长、焦距分别为，则下列结论中正确的有（    ）    A．飞船向径的取值范围是 B．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．飞船运行速度的大小，在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】ABD 【详解】根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是，A正确； 当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大， 根据面积守恒规律， 知飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B正确； ，比值越大，则越小，椭圆轨道越圆，C错误； 根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度的大小最大， 在远地点时向径最大，故速度的大小最小，D正确． 故选：ABD． 三、填空题 9．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点，若，则= 【答案】8 【详解】由椭圆可得， 直线过椭圆的左焦点，在 中， ， 又， ∴ 故答案为：8. 10．已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【详解】将代入，得， 则，解得． 因为C的长轴长为，所以C的长轴长的取值范围是． 故答案为：. 11．已知点P是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，分别是椭圆的左右焦点，为坐标原点，若点是的角平分线上的一点，且则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意作图如下，   点是的角平分线上的一点，且， 点是的中点， 设，则， 又点是的中点， ， 由椭圆的定义可知， ， 由于，且P与椭圆的四个顶点不重合， 故或， ． 故答案为：． 四、解答题 12．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，且经过点； (2)经过两点. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解法一：椭圆的焦点在轴上， 设所求椭圆的标准方程为. 由题意知，， 解得，. 所求椭圆的标准方程为. 解法二：椭圆的焦点在轴上， 设所求椭圆的标准方程为. 由题意得，解得， 所求椭圆的标准方程为. （2）解法一：（i）当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意知解得 ， 焦点在轴上的椭圆不存在. （ii）当椭圆的焦点在轴上时， 设椭圆的标准方程为. 由题意得解得. 故所求椭圆的标准方程为. 解法二：设所求椭圆的方程为. 由题意得 解得 故所求椭圆的方程为， 即椭圆的标准方程为. 13．已知椭圆，椭圆以的短轴为长轴且与有相同的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，点分别在上，，求直线AB的方程． 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）由已知椭圆方程，可知短轴在轴，且短轴长为，离心率为， 所以根据题意，可设椭圆的方程为， 由此椭圆的离心率为，故， 故椭圆的方程为 （2） 设，由可知三点共线且点不在y轴上， 因此可以设直线的方程为， 将代入得：，所以， 将代入得：，所以， 又由，可得，即， 则，代入得：， 解得，故直线的方程为或. 14．在圆上任取一点，过点作x轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为. (1)求的方程. (2)直线 与C交于两点（点不重合）. ①求的取值范围； ②若，求. 【答案】(1) (2)①，② 【详解】（1）设，则， 将代入，可得，即 即点的轨迹的方程为； （2）①由，联立整理得：， 由，即，化简得， 故， ②当时，，解得， 故. 15．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即， 又离心率为所以 ． 所以椭圆C的方程为：． （2）依题意，直线l与x轴不重合， 设l的方程为：． 联立得：， 因为在椭圆内，所以， 即，易知该不等式恒成立， 设， 由韦达定理得． 又，则 注意到，即： . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$