精品解析：辽宁省抚顺县2024-2025学年上学期九年级数学期末测试卷

2024—2025学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定的区域作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义是解题关键．“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程”，根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是整式方程，是分式方程，故不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、化简为，未知数最高次数为，故不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故选项符合题意； D、，含有两个未知数，故不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：C． 2. 在下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是掌握中心对称的定义． 根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：A：不是中心对称图形，故选项错误； B：是中心对称图形，故选项正确； C：不是中心对称图形，故选项错误； D：不是中心对称图形，故选项错误； 故选：B． 3. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，末投中 B. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 不在一条直线上的三个点确定一个圆 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟悉掌握事件的概念是解题的关键． 根据事件的概念逐一判断即可． 【详解】解：A：此选项为随机事件，故符合题意， B：此选项为不可能事件，故不符合题意， C：此选项为必然事件，故不符合题意， D：此选项为必然事件，故不符合题意， 故选：A． 4. 某射击运动员在同一条件下的射击，结果如下表： 射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数m 9 16 41 88 168 429 861 击中靶心的频率 0.90 0.8 0.82 0.88 0.84 0.858 0.861 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是( ) A. 0.90 B. 0.82 C. 0.84 D. 0.861 【答案】D 【解析】 【分析】大量重复试验时，事件发生频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：根据表格数据可知： 根据频率稳定在0.861，估计这名运动员射击一次时“击中靶心”的概率是0.861． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是理解当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判定，熟悉掌握运算公式是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系列式运算即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：C． 6. 如何将抛物线平移得到抛物线，下列选正确的是（ ） A. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位 D. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象平移，熟悉掌握平移的方法是解题的关键． 根据二次函数的平移特点逐一判断即可． 【详解】解：A、向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得：，故此选项错误； B、向左平移1个单位，再向下平移1个单位可得：，故此选项正确； C、向右平移1个单位，再向下平移1个单位可得：，故此选项错误； D、向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得：，故此选项错误； 故选：B． 7. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点， 在中,由勾股定理得： 故选：D. 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是掌握这两个定理的内容. 8. 如图，在等边中，D是边AC上一点，连接BD，将绕点B逆时针旋转得到，连接ED，若，则的周长是（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质可得BD=BE，∠DBE=60°，CD=AE，可证△DBE是等边三角形，可得BD=DE=7，即可求解． 【详解】解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE， ∴BD=BE，∠DBE=60°，CD=AE， ∴△DBE是等边三角形， ∴BD=DE=7， ∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=8+7=15， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 9. 如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用圆周角定理求出的度数，然后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又的半径为3， ∴扇形（阴影部分）的面积为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形面积公式等，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解题的关键． 10. 如图，抛物线，其对称轴是，且与轴的一个交点在和之间，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③； ④对于任意实数，总有； ⑤关于的方程的另一个根在和之间． 其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据开口方向，对称轴以及与轴的交点可判断①②④，由二次函数图象的对称性，结合图象判断③⑤即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴直线， ∴， ∵抛物线交的正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点与关于直线对称， ∵时，， ∴时，，即，故③错误； ∵， ∴变形可得：， ∵当时，，此时二次函数的值最大，即，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间，故⑤正确； 综上正确的有：①②⑤； 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的一元二次方程的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则运算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴或， 故答案为：或 12. 在平面直角坐标系中，已知与点关于原点对称，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了原点对称的性质，熟悉掌握原点对称的特点是解题的关键． 根据原点对称，横纵坐标互为相反数，求出和，再代入运算即可． 【详解】解：∵与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为3的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率，根据概率公式，进行计算即可． 【详解】解：掷得面朝上的点数共有6种等可能的结果，其中点数为3的情况有1种， ∴； 故答案为：． 14. 如图，与相切于点B，连结并延长交于点C，连结．若，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆的切线的性质及做辅助线构建直角三角形与等腰三角的知识，由与相切于点B，可连接，根据切线的性质可知，；因为，可得，所以，接下来在中用三角形内角和定理，即可求出的度数. 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点B， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，再求出直线的解析式，即可得到答案． 【详解】解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， 当时，， 解得：或， 即； 当时，，即， ∴抛物线对称轴为直线， 由二次函数对称性，关于对称轴对称，即， ， ， 周长的最小值就是的最小值， 根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1）或； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉掌握配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法运算求解即可； （2）利用公式法运算求解即可． 【小问1详解】 解： ∴或； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴或． 17. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点对称的； （2）以点A为旋转中心，将绕着点A顺时针旋转得到，画出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称点坐标，利用旋转性质求旋转坐标画出旋转图形等． （1）先求出中三个点关于原点对称的点坐标，再依次连接即可画出关于原点对称的； （2）先利用旋转性质求出的坐标，再依次连接即可画出． 【小问1详解】 解：∵方格纸中的每个小正方形的边长都为1， ∴，，， ∴关于原点对称点坐标为：， ∴依次连接即可，作图如下： ； 【小问2详解】 解：∵以点A为旋转中心，将绕着点A顺时针旋转得到， ∵，，， ∴， ∴依次连接即可画出，作图如下： ． 18. 小华同学从一副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明甲盒中，再从这副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明的乙盒中． （1）小华同学从甲盒中随机抽取1张，抽到扑克牌花色为“红心”的概率为___________； （2）小华同学从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌．请用画树状图或列表的方法，求抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出从甲盒中随机抽取1张有4种等可能的结果，抽到扑克牌花色为“红心”结果只有1种，再利用概率公式求解； （2）先列出表，进而得到从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌共有16种等可能的结果，其中抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的结果有2种，利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知 从甲盒中随机抽取1张有4种等可能的结果，抽到扑克牌花色为“红心”结果只有1种， 所以抽到扑克牌花色为“红心”的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 红心甲 黑桃甲 方块甲 梅花甲 红心乙 红心甲，红心乙 黑桃甲，红心乙 方块甲，红心乙 梅花甲，红心乙 黑桃乙 红心甲，黑桃乙 黑桃甲，黑桃乙 方块甲，黑桃乙 梅花甲，黑桃乙 方块乙 红心甲，方块乙 黑桃甲，方块乙 方块甲，方块乙 梅花甲，方块乙 梅花乙 红心甲，梅花乙 黑桃甲，梅花乙 方块甲，梅花乙 梅花甲，梅花乙 从图中可知，从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌共有16种等可能的结果，其中抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的结果有2种， 所以抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率是． 【点睛】本题主要考查了概率公式和用树状图或列表法求概率，理解相关知识是解答关键． 19. 为了丰富大课间活动，某校抽出部分资金购买了若干副羽毛球拍．已知2022年该校用于购买羽毛球拍的费用是2000元，计划2024年用于购买羽毛球拍的费用是2880元． （1）求2022~2024年该校用于购买羽毛球拍费用的年平均增长率； （2）如果按照这样的速度，逐年增加投入，预计2025年需要抽出多少资金用于购买羽毛球拍？ 【答案】（1） （2）3456元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程实际应用，有理数计算等． （1）根据题意设2022~2024年该校用于购买羽毛球拍费用的年平均增长率为x， 列出关于x的一元二次方程解出即可； （2）由（1）中求出年平均增长率为，列式计算即可． 【小问1详解】 解：设2022~2024年该校用于购买羽毛球拍费用的年平均增长率为x， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：2022~2024年该校用于购买羽毛球拍费用的年平均增长率为． 【小问2详解】 解：（元）， 答：预计2025年需要抽出3456元的资金用于购买羽毛球拍． 20. 某产品每件成本为元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如表所示： 时间t/天 1 3 10 20 日销售量m/件 98 94 80 60 这天中，该产品每天的价格（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：（为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： （1）求m关于t的函数关系式． （2）设日销售利润为元，这天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？ 【答案】（1） （2）这天中，第天的利润最大，最大销售利润是元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，根据题中信息合理列出方程是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）根据销售利润每一件的利润销售数量列式求解即可． 【小问1详解】 解：设日销量关于时间的一次函数关系式为， 将，代入，得， 解得， ∴关于函数关系式为：； 【小问2详解】 根据题意得， ， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 当时，有最大值是元， 答：这天中，第天的利润最大，最大销售利润是元． 21. 如图，是的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E，，． （1）求证：平分； （2）求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质以及垂径定理，熟练掌握垂径定理与切线的性质是解答本题的关键． （1）连接，是过点C的切线，得到，然后可以推出，结合推导出，，即平分； （2）过点O作，首先证得四边形是矩形，，然后利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵和过点C的切线互相垂直，垂足为D， ∴． ∵是过点C的切线， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 即平分． 【小问2详解】 解：如图，过点O作，垂足为F． ∴，． 由（1）知，，， ∴四边形是矩形． ∴． 在中，， ∴． 即的半径为． 22. 【操作】如图①，是等边三角形内部的一点，连接、、，将绕着点顺时针旋转一定的角度得到，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，，求的度数； 【探究】如图②，为正方形内部的一点，连接、、，将绕着点顺时针旋转一定的角度得到．若，，，则的长为______． 【答案】【操作】（1）见解析；（2）150°；【探究】6． 【解析】 【分析】（1）由旋转得，，，题目已知是等边三角形，从而得，根据等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可得出答案； （2）由（1）可得，，，由旋转得，，从而得出刚好满足勾股定理，因此，即可得出答案； 如图，连接EF，由正方形ABCD和旋转的性质得，是等腰直角三角形，从而可推出，由勾股定理算出EF，再算出DF，即可得出答案． 【详解】（1）由旋转，得，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形； （2）是等边三角形， ，， ， ， ， ； 【探究】 如图，连接EF， 四边形ABCD是正方形， ，, 由旋转可知：，，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，有， 在中，有， ，， ， ， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查几何综合题，解题关键是掌握旋转的性质以及正方形相关性质． 23. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，已知点，将点绕着点顺时针旋转得到点，求点的坐标． ①如图2，聪聪同学给出如下解题思路：分别过，作轴，轴的平行线，构造出两个全等的直角三角形，将点和点的坐标转化为对应线段的长度． ②如图3，明明同学给出另外一种解题思路：过点作轴的平行线，分别过点，作轴的平行线，同样构造出两个全等的直角三角形，也将点和点的坐标转化为对应线段的长度． 请你根据上述两名同学的分析，选择其中一名同学的解题思路，求出点的坐标． 【类比探究】 （2）李老师发现两名同学用不同的方法把点的坐标转化为线段的长度，为了让同学们更好地感悟这种转化思想，李老师又提出下面的问题，请你解答． 如图4，抛物线经过点和点，且与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，为轴正半轴上一动点，将点绕点顺时针旋转得到对应点． ①求抛物线的解析式； ②若点恰好在抛物线上，求此时点的坐标． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，设抛物线的顶点为点，连接，点为线段上一点，连接，若时，求此时点的坐标． 【答案】（1）选择聪聪的解题思路，见解析，；（2）①；②；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）聪聪的思路：过点B作轴交轴于点，过点作轴交的延长线于点，证出，再利用全等三角形的性质求解即可； 明明的思路：过作轴，过作于，过作于点，证出，再利用全等三角形的性质求解即可； （2）①：利用待定系数法运算求解即可； ②：连接，，过点作轴于点，证出，利用全等三角形的性质求出的坐标，再代入二次函数解析式运算求解即可； （3）过点作交的延长线于点，分别过，作轴于点，轴于点，证出，利用全等三角形的性质求出的坐标，再代入函数解析式运算求解即可． 【详解】（1）聪聪的思路：过点B作轴交轴于点，过点作轴交的延长线于点，如图所示： ∴， ，， ∴，，， ∴， 由旋转的性质，得，， ∴， ， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，点的纵坐标是， ∴点的坐标为； 明明的思路：过作轴，过作于，过作于点，如图所示： ∴， ，， ∴，， ∵， 由旋转的性质，得，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点C的坐标为； （2）①将点，代入，得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； ②连接，，过点作轴于点，如图所示： ∵， ∴抛物线对称轴， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 由旋转的性质，得，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵点恰好落在抛物线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； （3）过点作交的延长线于点，分别过，作轴于点，轴于点，如图4所示： ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由抛物线解析式， 可得顶点， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， 在抛物线中，令，得， ∴， ∴，， ∴， 将点代入中，得， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定的区域作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，末投中 B. 从一个只装有白球和红球袋中摸球，摸出黄球 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 不在一条直线上的三个点确定一个圆 4. 某射击运动员在同一条件下的射击，结果如下表： 射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数m 9 16 41 88 168 429 861 击中靶心的频率 0.90 0.8 0.82 0.88 0.84 0.858 0.861 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是( ) A. 0.90 B. 0.82 C. 0.84 D. 0.861 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如何将抛物线平移得到抛物线，下列选正确的是（ ） A. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位 D. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 7. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 6 8. 如图，在等边中，D是边AC上一点，连接BD，将绕点B逆时针旋转得到，连接ED，若，则的周长是（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 9. 如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线，其对称轴是，且与轴的一个交点在和之间，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③； ④对于任意实数，总有； ⑤关于的方程的另一个根在和之间． 其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 在平面直角坐标系中，已知与点关于原点对称，则______． 13. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为3的概率是______． 14. 如图，与相切于点B，连结并延长交于点C，连结．若，则的度数是__________． 15. 如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16 解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 17. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点对称的； （2）以点A为旋转中心，将绕着点A顺时针旋转得到，画出． 18. 小华同学从一副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明的甲盒中，再从这副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明的乙盒中． （1）小华同学从甲盒中随机抽取1张，抽到扑克牌花色为“红心”的概率为___________； （2）小华同学从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌．请用画树状图或列表的方法，求抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率． 19. 为了丰富大课间活动，某校抽出部分资金购买了若干副羽毛球拍．已知2022年该校用于购买羽毛球拍的费用是2000元，计划2024年用于购买羽毛球拍的费用是2880元． （1）求2022~2024年该校用于购买羽毛球拍费用的年平均增长率； （2）如果按照这样的速度，逐年增加投入，预计2025年需要抽出多少资金用于购买羽毛球拍？ 20. 某产品每件成本为元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如表所示： 时间t/天 1 3 10 20 日销售量m/件 98 94 80 60 这天中，该产品每天的价格（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：（为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： （1）求m关于t的函数关系式． （2）设日销售利润为元，这天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？ 21. 如图，是的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E，，． （1）求证：平分； （2）求的半径． 22. 【操作】如图①，是等边三角形内部一点，连接、、，将绕着点顺时针旋转一定的角度得到，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，，求的度数； 【探究】如图②，为正方形内部的一点，连接、、，将绕着点顺时针旋转一定的角度得到．若，，，则的长为______． 23. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，已知点，将点绕着点顺时针旋转得到点，求点的坐标． ①如图2，聪聪同学给出如下解题思路：分别过，作轴，轴的平行线，构造出两个全等的直角三角形，将点和点的坐标转化为对应线段的长度． ②如图3，明明同学给出另外一种解题思路：过点作轴的平行线，分别过点，作轴的平行线，同样构造出两个全等的直角三角形，也将点和点的坐标转化为对应线段的长度． 请你根据上述两名同学的分析，选择其中一名同学的解题思路，求出点的坐标． 【类比探究】 （2）李老师发现两名同学用不同的方法把点的坐标转化为线段的长度，为了让同学们更好地感悟这种转化思想，李老师又提出下面的问题，请你解答． 如图4，抛物线经过点和点，且与轴交于点，抛物线对称轴与轴交于点，为轴正半轴上一动点，将点绕点顺时针旋转得到对应点． ①求抛物线的解析式； ②若点恰好在抛物线上，求此时点坐标． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，设抛物线的顶点为点，连接，点为线段上一点，连接，若时，求此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$