精品解析：河南省南阳市名校联考2024-2025学年九年级上学期12月期末数学试题

2024年秋期南阳市名校联考期末试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6小页，3大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上要求直接把答案填写在答题卡上；答在试卷上的答案无效． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值可能是（　　） A. 16 B. 0 C. 2 D. 任意实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把化简为，再利用最简二次根式的定义和同类二次根式的定义得到，从而得到a的值． 【详解】解：∵， 而最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故选：B． 2. 方程的两根是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．可以因式分解为，利用因式分解法解方程即可得． 【详解】解：， ， 或， 或， 故选：C． 3. 下列说法正确的是（ ） A. “将油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件 B. 某奖券的中奖率为，则买5张奖券一定会有一张中奖 C. “明天降雨的概率是”说明明天将有的地区降雨 D. “任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握概念是解此题的关键． 【详解】解：A、“将油滴入水中，油会浮在水面上”是必然事件，故本选项说法错误，不符合题意； B、某奖券的中奖率为，则买5张奖券不一定会有一张中奖，故本选项说法错误，不符合题意； C、“明天降雨的概率是”说明明天降雨的可能性大，但不一定明天将有的地区降雨，故本选项说法错误，不符合题意； D、“任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件，故本选项说法正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　） A. sinA＝ B. tanA＝ C. cosA＝ D. tanB＝ 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝＝＝3， ∴sinA＝，故选项A错误； tanA＝，故选项B错误； cosA＝，故选项C正确； tanB＝，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键． 5. 电线杆直立在水平的地面 上， 是电线杆的一根拉线，测得 ，，则拉线 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：在中， ，， 则：； 故选B． 6. 在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2023年上学期平均每天书面作业时长=2022年上学期每天书面作业平均时长×（1﹣该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设根据题意得：． 故选：C． 7. 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，若在坡比为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，那么斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，由坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为，则上升的高度为 米，根据勾股定理即可求解，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】∵坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为， ∴铅直高度为 米， 由勾股定理得，斜坡上相邻两树间的坡面距离为， 故选：． 8. 把抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律是解题的关键． 根据二次函数图像平移规律判断即可． 【详解】将先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的函数表达式为． 故选：A． 9. 如图所示，在 中，点D．E分别是的中点，则下列结论：①；②；③．其中正确的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定、三角形的中位线定理等知识．根据三角形的中位线性质推出，推出，即可判断①；根据相似三角形性质推出比例式，即可判断②③． 【详解】解：∵点D、E分别是的中点， ∴是 的中位线， ∴， ∴，∴①正确； ∴，∴②正确； ，∴③错误； 正确的有2个， 故选：B． 10. 如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿 运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为的面积为与x的对应关系图象如图②所示，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，动点的函数图象．熟练掌握矩形性质，从函数图象中获取正确的信息是解题的关键．由题意知，运动分三段完成，运动10秒，P到点E，继续运动点Q到点C，点P自己运动到点D，结合图像信息求解即可． 【详解】解：由图象可知，时，P、E重合， 根据题意，得 ， ∴， 解得， ∵四边形是矩形， ∴ ， ∴， 由图象可知， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】5 【解析】 【分析】先计算被开方数的平方，再求其算术平方根即可． 【详解】原式． 12. 写出一个关于 的一元二次方程，使其一次项系数为 ，你写出的一元二次方程是：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据题意写出一个符合题意的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：依题意，（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 13. 一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查画树状图或列表法求概率，解题的关键是画出所有的情况，再用概率公式进行求解． 根据题意画出树状图，再利用概率公式进行求解． 【详解】解：画树状图为 由此可得，一共有9种等可能的情况，两次摸出的球都是“红球”的有4种， ∴两次摸出的球都是“红球”的概率为． 故答案为： 14. 如图，在中，，，，那么___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．证明，推出，可得，求出 ，再利用勾股定理求出 ． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转 后，得到菱形，则点的坐标是________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当绕点A顺时针旋转 后，当绕点A逆时针旋转 后，利用菱形的性质及直角三角形30度角的性质求解即可． 【详解】解：当绕点A顺时针旋转 后，如图， ∵， ∴， ∵菱形中，， ∴， 延长交x轴于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当绕点A逆时针旋转 后，如图，延长交x轴于点F， ∵，， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质，正确理解菱形的性质及旋转的性质是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. （1）求值：； （2）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．也考查了二次根式的加减运算． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式，然后把1代入计算计算． 【详解】解：（1） ． （2） ． 当时，原式． 17. 用适当的方法解下列方程: （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法是解题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线轴 ， 的顶点均在格点上． （1）作 关于 轴对称的图形，再分别作关于 轴和直线对称的图形和； （2）分别写出、、点的坐标为：______，______、______； （3）可以看作是 绕点 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是 向右平移得到的，平移距离为______个单位长度． 【答案】（1）见解析 （2）；； （3）；8 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图，平移、旋转的特点，平面直角坐标系中点的坐标，解题的关键是作出对应点的位置． （1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，，，然后顺次连接即可得出；再作出点，，，关于 轴和直线l的对称点，然后顺次连接即可得出和； （2）根据图形写出点、、的坐标即可； （3）根据图形得出与 之间的关系，与 之间的关系，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，，，为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：根据图形可知，、、点的坐标分别为：；；； 故答案为：；；． 【小问3详解】 解：可以看作是 绕点 顺时针旋转得到；可以看作是 向右平移8个单位得到． 故答案为：；8． 19. 如图所示，在 中，， 是边上的中线，过点D作，垂足为E，若． （1）求 的长； （2）求的正切值． 【答案】（1）7 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）根据锐角三角函数可得的长，从而得到 的长，再由，可得，即可求解； （2）过点A作 于点F，根据，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ， ∴． 【小问2详解】 解：过点A作 于点F，如图所示． ∵ 是边上的中线， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． 20. 为落实“双减”政策，丰富课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供选择： （合唱社团）、 （硬笔书法社团）、 （街舞社团）、 （面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动． （1）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团 （街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表或画树状图法，求他俩选到相同社团的概率； （2）学校计划从这四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图法求出学校同时选中 （合唱社团）和 （街舞社团）的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（ ）画树状图，再由概率公式求解即可； （ ）画树状图，再由概率公式求解即可； 本题考查用概率公式求概率，列表法或画状图法求概率，熟练掌握用列表法或画状图法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团 （街舞社团），列树状图如下： 可能的结果共有种，他俩选到相同社团的情况共有 种， ∴他俩选到相同社团的概率为； 【小问2详解】 列树状图如下： 可能的结果共有 种，学校同时选中 （合唱社团）和 （街舞社团）的情况共有 种， ∴学校同时选中 （合唱社团）和 （街舞社团）的概率为． 21. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡 的底部点C处，然后沿斜坡 前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内． （1）求D到 的距离． （2）求古塔的高度（结果保留根）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）过点 作，根据斜坡 的斜面坡度，结合勾股定理求出 的长即可； （2）过点 作，垂足为点 ，易得四边形为矩形，推出，在中，求出的值，再根据可得出答案． 【小问1详解】 解：过点 作，垂足为点 ， ∵斜坡 的斜面坡度， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 过点 作，垂足为点 ． 由题意得，， ∵ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 由（1）知：， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴． ∴． 答：古塔的高度． 22. 如图1，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C，且． （1）求抛物线的解析式和b值； （2）在直线上是否存在一点P，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）将抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）存在，点P的坐标为或 （3）n的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得点A坐标，然后利用待定系数法可求抛物线解析式以及b值； （2）求出点B坐标，由直线 的解析式可得，分两种情况：当时，当时，分别求出点P的横坐标即可； （3）分别求出直线过点时n的值以及直线与抛物线有唯一公共点时n的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交点为， ∴，， ∴， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 将代入得， 解得； 【小问2详解】 解：存在； 令， 解得，， ∴，， ∵直线 的解析式为， ∴， 当时，点P横坐标和点B横坐标相同，都是1， 把 代入得， ∴此时， 当时，如图1，过点P作轴于E，则点E为的中点， ∴点E的横坐标为， ∴点P的横坐标为， 把代入得， ∴此时， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：将抛物线图象x轴上方部分沿x轴翻折后所在的抛物线表达式为， 当直线过点与该新图象恰好有三个公共点时，可得， 解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，可得， 即只有一个实数解， ∴， 解得； ∴若直线与该新图象恰好有四个公共点，此时n的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，二次函数图象与几何变换等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键． 23. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． （1）问题背景 如图1，正方形中，点 为边上一点，连接，过点 作交 边于点 ，将 沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ； 如图2，连接 ，当点恰好落在 上时，其他条件不变，则 ； （2）探究迁移 如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出 与之间的数量关系式（用含 的式子表示），并说明理由； （3）拓展应用 如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长． 【答案】（1），2 （2） ，理由如下： 由（1）可知，，， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质以，全等三角形的性质平角的概念求出，再根据相似三角形的性质，得出 和的关系即可求解； （2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据和的关系， 和的关系即可； （3）构造相似三角形，根据三角形相似的性质，得出和相等，然后根据相似三角形的性质和勾股定理求出的长，即为的长． 【小问1详解】 解：（1）， ， ，， 由翻折的性质可知，， ， ， 又， ， 又， ， ， 由翻折的性质可知，，， ， ， 四边形为正方形， ， ， ，， ， ， ， ，即， 故答案为：，2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过 作，交延长线于 ，作的平分线，交 于 ，如图， ， ，，， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 设， 四边形为菱形， ， ， ， ，， ，， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形和菱形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，合理构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期南阳市名校联考期末试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6小页，3大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上要求直接把答案填写在答题卡上；答在试卷上的答案无效． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值可能是（　　） A. 16 B. 0 C. 2 D. 任意实数 2. 方程的两根是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 下列说法正确的是（ ） A. “将油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件 B. 某奖券的中奖率为，则买5张奖券一定会有一张中奖 C. “明天降雨的概率是”说明明天将有的地区降雨 D. “任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　） A. sinA＝ B. tanA＝ C. cosA＝ D. tanB＝ 5. 电线杆 直立在水平的地面 上， 是电线杆 的一根拉线，测得 ，，则拉线 的长为（ ） A. B. C. D. 6. 在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为（　　） A. B. C. D. 7. 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，若在坡比为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，那么斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ） A. B. C. D. 8. 把抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在 中，点D．E分别是的中点，则下列结论：①；②；③．其中正确的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 10. 如图①，E为矩形 的边 上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿 运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为的面积为与x的对应关系图象如图②所示，则矩形 的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 写出一个关于 的一元二次方程，使其一次项系数为 ，你写出的一元二次方程是：______． 13. 一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是________． 14. 如图，在中，，，，那么___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形 绕点A旋转 后，得到菱形，则点的坐标是________． 三、解答题（共75分） 16. （1）求值：； （2）先化简，再求代数式的值，其中． 17. 用适当的方法解下列方程: （1）； （2）； 18. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线轴 ， 的顶点均在格点上． （1）作 关于 轴对称的图形，再分别作关于 轴和直线对称的图形和； （2）分别写出、、点的坐标为：______，______、______； （3）可以看作是 绕点 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是 向右平移得到的，平移距离为______个单位长度． 19. 如图所示，在 中，， 是 边上的中线，过点D作，垂足为E，若． （1）求 的长； （2）求的正切值． 20. 为落实“双减”政策，丰富课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供选择： （合唱社团）、 （硬笔书法社团）、（街舞社团）、 （面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动． （1）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表或画树状图法，求他俩选到相同社团的概率； （2）学校计划从这四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图法求出学校同时选中 （合唱社团）和（街舞社团）的概率． 21. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔 的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内． （1）求D到 的距离． （2）求古塔 的高度（结果保留根）． 22. 如图1，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C，且． （1）求抛物线的解析式和b值； （2）在直线上是否存在一点P，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）将抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围． 23. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． （1）问题背景 如图1，正方形 中，点 为 边上一点，连接 ，过点 作交 边于点 ，将 沿直线 折叠后，点A落在点处，当时， ； 如图2，连接 ，当点恰好落在 上时，其他条件不变，则 ； （2）探究迁移 如图3，在（1）的条件下，若把正方形 改成矩形 ，且，其他条件不变，请写出 与之间的数量关系式（用含 的式子表示），并说明理由； （3）拓展应用 如图4，在（1）的条件下，若把正方形 改成菱形 ，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $