(三)构造全等三角形的常用方法 专项训练2024-2025学年人教版数学八年级上册

(三)构造全等三角形的常用方法2025年寒假八年级数学专题训练 方法一：利用“倍长中线法”构造全等三角形 例1如图，CB，CE分别是△ADC，△ABC的中线，且AC=AD，∠ACB=∠ABC．求证：CD=2CE． 方法归纳：倍长中线的模型是当题目当中出现中线或中点时，可尝试利用倍长中线法来构造全等三角形，证明线段间的数量关系． 从以上的模型当中，我们可知AD为三角形ABC的中线，则延长AD至E，使得DE等于AD．最后连接BE，可得到三角形BDE全等于三角形ACD． 〖巩固练习1〗 1．已知△ABC中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，BD是AC边上的中线，求BD的取值范围． 2．已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD.求证：AE＝AC. 3．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM. 4．【发现问题】(1)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，AB＝6，AC＝4，中线AD的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长AD到E，使得DE＝AD；②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB－BE＜AE＜AB＋BE，从而得到AD的取值范围是　 　； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 (2)如图2，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是AC的中点，求证：OE＝BD； (3)如图3，在(2)的条件下，若∠AOB＝90°，延长EO交BD于点F，OF＝2，OE＝4，求△AOC的面积． 方法二　利用角平分线构造全等三角形 例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF． 例2数学活动：探究利用角平分线的对称性构造全等三角形解决问题． （1）如图1，OP是∠MON的平分线，要求利用该图形画一对位于OP所在直线两侧的全等三角形．方法如下：在∠MON的两边上用圆规截取长度相等的两条线段OA，OB，在角平分线上任取一点C，连接AC，BC，则△OAC≌△OBC的依据是 SAS； （2）如图2，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，BD和CE是△ABC的角平分线，BD，CE相交于点F． ①∠EFB的度数为 60°； ②求证：FE=FD； （3）如图3，在△ABC中，∠ACB≠90°，延长△ABC的边BA到点G，AD平分∠GAC交BC延长线于点D，若AB+AC=CD，请判断∠ABC和∠ACB的数量关系，并说明理由． 方法归纳：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧． 借助角平分线构造全等三角形，是常见的数学几何解题思路，特别是在出现角平分线的题目中，我们要掌握运用角平分线构造全等三角形的作法，灵活运用全等的知识证明问题． 1、可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，根据角平分线到两边距离相等的性质，可以得到两个全等的直角三角形； 2、可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形； 　3、可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。 〖巩固练习2〗 1．如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°． 2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．21cnjy.com 3．已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 4．如图，点，在平面直角坐标系中的坐标轴上，点为内一点，． (1)求点P到的距离； (2)如图1，射线交的垂直平分线于点C，试判断的形状，并说明理由； 方法三：利用等腰直角三角形构造全等三角形 例题 在平面直角坐标系中，点A为x轴正半轴上一点，点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC． （1）如图1，若OB=2，OA=4，则点C的坐标为______； （2）如图2，若OA=OB，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰Rt△BDE，连接AE，求证：AE⊥AB； （3）如图3，在（1）的条件下，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF．连接CF，交y轴于点P，求点P的坐标． 方法归纳：遇到等腰直角三角形时，常可过斜边的两端点向过直角顶点的直线作垂线构造全 等三角形． （1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形： （2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形： 〖巩固练习3〗 1．如图，△ABC中，AB＝BC，AB⊥BC，B(0，2)，C(2，－2)， 求点A的坐标． 2．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，AB⊥BC，CE⊥AE，BD⊥AE于D，求证：BD－CE＝AD． 3．如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 4．在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b，0)，且满足， (1)直接写出A，B两点的坐标:A ，B ； (2)如图1，点C为线段AB上一点，且点C的横坐标为1，点D为第四象限一点，满足OC=OD且OC⊥OD，求点D的坐标； (3)如图2，BM为∠ABO的角平分线，点C为BM上一点，以OC为直角边作等腰Rt△OCD，其中∠OCD=90°，且点D在第四象限，∠OBD=45°，求证：BD+OB=AB. 答 案 方法一：利用“倍长中线法”构造全等三角形 例1证明：延长CE到点F，使EF=CE，连接BF. ∵在△ACE和△BFE中BE=AE，∠BEF=∠AEC，EF=EC， ∴△ACE≌△BFE， ∴BF=AC，∠EBF=∠A. ∵∠ACB=∠ABC， ∴∠ACB+∠A=∠ABC+∠EBF， ∴∠CBD=∠CBF. ∵AB=BD，AC=AD， ∴BF=AC=AB=BD. ∵在△DBC和△FBC中CB=CB，∠CBF=∠CBD，BF=BD， ∴△CBF≌△CBD， ∴CF=CD， ∴CD=2CE. 〖巩固练习1〗 1．延长BD至E，使DE＝BD.连接CE. ∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD. ∵∠BDA＝∠EDC，∴△BDA≌△EDC(SAS)．∴CE＝AB. 在△CBE中，BC－CE<BE<BC＋CE，∴2 cm<2BD<10 cm.∴1 cm<BD<5 cm.　版权所有 2．证明：延长AE至F，使EF＝AE，连接DF. ∵AE是△ABD的中线，∴BE＝DE. ∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE≌△FDE.∴∠B＝∠BDF，AB＝DF. ∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，BD＝DF. ∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B，∴∠ADF＝∠ADC. ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.∴DF＝CD. ∴△ADF≌△ADC(SAS)．∴AC＝AF＝2AE，即AE＝AC.　 3．延长AM至N，使MN＝AM，连接BN， ∵点M为BC的中点，∴BM＝CM. 又∵∠BMN＝∠CMA，∴△AMC≌△NMB(SAS)． ∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，∠ABN＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD. 又∵BN＝AC＝AD，AB＝EA，∴△ABN≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA. 又AM＝MN，∴DE＝2AM. 4．(1)1＜AD＜5 (2)延长OE至点H，使得HE＝OE，连接CH，如图2： 由题意得：CE＝AE ∵ HE＝OE，∠AEO＝∠CEH ∴ △AEO≌△CEH (SAS) ∴ CH＝AO＝BO，∠HCE＝∠OAE ∴ AO∥CH ∴ ∠HCO＋∠AOC＝180° ∴ ∠BOD＋∠AOC＝180° ∵ ∠AOB＋∠COD＝180° ∴ ∠HCO＝∠BOD 在△HCO和△BOD中， ∴ △HCO≌△BOD (SAS) ∴ OH＝BD ∴OE＝BD (3)由(2)可得：BD＝HO＝2OE＝8 S△BOD＝S△HCO，S△HCE＝S△AOE ∴ S△HCE＋S△CEO＝S△AOE＋S△CEO ∴ S△HCO＝S△AOC＝S△BOD ∵ ∠AOB＝90°，∠AOB＋∠COD＝180° ∴ ∠COD＝∠COE＋∠DOF＝90° ∵ ∠D＝∠COE ∴ ∠D＋∠DOF＝90° ∴ OF⊥BD ∴ S△AOC＝S△BOD＝×8×2＝8 方法二　利用角平分线构造全等三角形 例1延长AC、BE交于点F，∵∠ACB＝90°，BE⊥AE， ∴∠CAD＋∠CDA＝90°，∠EDB＋∠EBD＝90°. ∵∠CDA＝∠EDB， ∴∠CAD＝∠EBD，即∠CAD＝∠CBF. 在△ADC和△BFC中， ∴△ADC≌△BFC.∴AD＝BF. 在△AEF和△AEB中， ∴△AEF≌△AEB.∴BE＝EF，即BE＝BF. ∴BE＝AD.　 例2（1）解：在△OAC和△OBC中， ， ∴△OAC≌△OBC（SAS）， 故答案为：SAS； （2）①解：∵BD和CE是△ABC的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°， ∴∠DBC=∠ABC=20°，∠ECB=∠ACB=40°， ∴∠EFB=∠DBC+∠ECB=20°+40°=60°， 故答案为：60； ②证明：如图2，在BC上截取BG=BE，连接FG， 在△EBF和△GBF中， ， ∴△EBF≌△GBF（SAS）， ∴EF=FG，∠BFG=∠BFE=60°， ∴∠CFG=60°， ∴∠CFD=∠CFG， 在△CFD和△CFG中， ， ∴△CFD≌△CFG（ASA）， ∴FD=FG， ∴FE=FD； （3）解：2∠ABC=∠ACB， 理由如下：如图3，在AG上截取AH=AC，连接DH， 则BH=AB+AH=AB+AC=CD， 由（1）可知：△DAH≌△DAC（SAS）， ∴CD=DH，∠ACD=∠AHD， ∴BH=DH，∠ACB=∠GHD， ∴∠ABC=∠HDB， ∵∠GHD=∠ABC+∠HDB=2∠ABC， ∴2∠ABC=∠ACB． 〖巩固练习2〗 1.如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∴CE＝CF， ∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°， ∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL）， ∴∠ACF＝∠ECB， ∴∠ACB＝∠ECF， ∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ACB+∠AOB＝180°， ∴∠OAC+∠OBC＝180°．. 2.证明：在BC上截取BF＝BE，连接OF. ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBO＝∠FBO. ∴△EBO≌△FBO. ∴∠EOB＝∠FOB. ∵∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－(180°－∠A)＝120°. ∴∠EOB＝∠DOC＝60°. ∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°. ∵CE平分∠DCB， ∴∠DCO＝∠FCO. ∴△DCO≌△FCO. ∴CD＝CF.∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.　 3.证明：如图， 延长交的延长线于， 平分 . 4．（1）解：过点P分别作，，的垂线，垂足分别为E、F、M，如图 ，，， ，，， ， ， ， ∵, ∴， ∴ ． （2）解：如图．延长交y轴于点R，作于S，于T， 点C是垂直平分线上的点， ， ， ， ， ， 到，，的距离均为1， ，，分别平分，，， ， ， 于S，于T，平分， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，且． 方法三：利用等腰直角三角形构造全等三角形 例题(1)解：如图，过点C作CH⊥y轴于点H， ∴∠CHB=∠ABC=∠AOB=90°， ∴∠BCH+∠HBC=90°=∠HBC+∠ABO ∴∠ABO=∠BCH， 在△ABO和△BCH中， ∵∠CHB=∠AOB，∠BCH=∠ABO，BC=AB， ∴△ABO≌△BCH（AAS）， ∴CH=OB=2，BH=AO=4， ∴OH=6， ∴点C（2，6）， 故答案为：（2，6）； (2)证明：过点E作EF⊥x轴于点F， ∴∠EFD=∠BDE=∠BOD=90°， ∴∠BDO+∠EDF=90°=∠BDO+∠DBO， ∴∠DBO=∠EDF， 在△BOD和△DFE中， ∵∠BOD=∠EFD，∠DBO=∠EDF，BD=ED， ∴△BOD≌△DFE（AAS）， ∴BO=DF=4，OD=EF， ∵点A的坐标为（4，0）， ∴OA=OB=4， ∴∠BAO=45°， ∵OA=DF=4， ∵OD=AF=EF， ∴∠EAF=∠AEF=45°， ∴∠BAE=90°， ∴AE⊥AB； (3)解：过点C作CG⊥y轴于点G， 由（1）可知：△ABO≌△BCG， ∴BO=GC，AO=BG=4， ∵BF=BO，∠OBF=90°， ∴BF=GC，∠CGP=∠FBP=90°， 又∵∠CPG=∠FPB， ∴△CPG≌△FPB（AAS）， ∴BP=GP， ∴BP－BG=2， ∵OB=2， ∴OP=4， ∴点P的坐标为（0，4）． 〖巩固练习3〗 1．作CM⊥y轴于M， ∵B（0，2），C（2，-2）， ∴CM=BO=2， 在Rt△AOB和Rt△BMC中 BO=CM，AB=BC， ∴Rt△AOB≌Rt△BMC（HL）， ∴AO=BM=4， ∴A（-4，0）． 2．证明：过C作CF⊥BD于F，则∠DBC+∠BCF=90°， ∵BD⊥AE，CE⊥AE， ∴四边形CEDF是矩形， ∴CE=DF，CF=DE， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABD+∠CBD=90°， ∴∠BCF=∠ABD， ∵CF⊥BD，BD⊥AE， ∴∠ADB=∠BFC=90°， 在△ABD与△BCF中， ∠ADB=∠BFC=90°，∠BCF=∠ABD，AB=BC， ∴△ABD≌△BCF（AAS）， ∴BD=CF，BF=AD， ∵BF=BD－DF=BD-CE， ∴BD－CE=AD． 3．如图，过点D作的延长线于点G， ， ， ， 又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD， ∴， ， 又∵BC=BE， ， 又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG， ∴， ∴EF=DF. 4．(1)， ∴a=b=4， ∴点A(0，4)，点B (4，0)， 故答案为:(0，4)，(4，0); (2)如图1，过点C作CH⊥AO于H，过点D作 DG⊥OB于G， ∵点A(0，4)，点B(4，0)， ∴OA=OB=4， ∴∠OAB =∠OBA=45°， ∵CH⊥OA， ∴△AHC是等腰直角三角形， ∴AH = CH， ∵点C的横坐标为1， ∴AH=CH =1， ∴OH = 3， ∵OCLOD， ∴∠COD =90°=∠AOB=∠OHC = ∠OGD ∴∠COH = ∠DOG， 又∵OC =OD， ∴△COH≌△DOG (AAS)， ∴OG =0H =3，HC =DG =1， ∴点D(3，－1); (3)证明:如图2，过点O作OE⊥OD，交AB于E，连接EC， ∵ OE⊥OD， ∴∠DOE = 90°=∠AOB， ∵∠OBD = 45°，∠OAB= ∠OBA=45°， ∴∠ABD =90°，∠OAB= ∠OBD =45°， 又:OA=OB， ∴△AOE≌△BOD (ASA)， ∴AE = BD，OD=OE， ∴∠EOC = 45°= ∠COD， 又:CO=CO，EO=OD， ∴△COE=△COD (SAS)， ∴EC=CD，∠OCD=∠OCE =90°， ∴∠ECO+∠DCO =180°， ∴点E，点C，点D三点共线， ∴EC=CD，∠ABD =90°， ∴CB=EC=CD， ∴OC=CB=EC， ∴∠OBC =∠OCB，∠CBA=∠CEB， ∵BM为∠ABO的角平分线， ∴.∠OBC=∠ABC = 22.5°， ∴∠OBC=∠OCB =∠CBA=∠CEB=22.5 ∵BC =BC， ∴△CBO≌△CBE(ASA)， ∴OB=BE， ∴OB+BD= BE + AE = AB. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$