寒假作业07 全等证明题含辅助线分类训练（5种类型50道）-【寒假巩固提升】2024-2025学年八年级数学寒假作业（人教版）

寒假作业07 全等证明题含辅助线分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 角平分线模型】 1 【题型2 倍长中线】 16 【题型3 截长补短】 38 【题型4 半角模型】 60 【题型5 等边三角形相关辅助线问题】 89 【题型1 角平分线模型】 1．如图，平分，于点，．求证：． 【详解】证明：如图所示，过点作，交的延长线于点． 平分，， ， ，， ． 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ． 2．如图，在四边形中，，若平分，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形判定与性质，在上截取，使，连接，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由等量代换可得，继而可得，由于，可证； 【详解】解：在上截取，使，连接，     是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， ． 3．如图，在四边形中，于，，．求证：；．      【答案】详见解析 【分析】过点向作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论． 【详解】如图，过点作与点，则， ，， ， ，， ，， ， ，， ∵， ， ．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键． 4．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 5．已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】在BC上截取BE＝BA，连接DE，证明△ABD≌△BED，可得出∠C＝∠DEC，则DE＝DC，从而得出AD＝CD即可证明． 【详解】证：如图，在BC上截取BE＝BA，连接DE， ∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD， ∴△BAD≌△BED， ∴∠A＝∠DEB，AD＝DE， ∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°， ∴∠C＝∠DEC， ∴DE＝DC， ∴AD＝CD， ∴点D在线段AC的垂直平分线上． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关键． 6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD． 【答案】见解析 【分析】分别延长BE、CA交于点F，首先结合题意推出△CFE≌△CBE，从而得到BE＝EF＝BF，然后证明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD，即可得出结论． 【详解】证明：分别延长BE、CA交于点F， ∵BE⊥CD， ∴∠BEC＝∠FEC＝90°． ∵CD平分∠ACB， ∴∠FCE＝∠BCE． 在△CFE与△CBE中， ∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE， ∴△CFE≌△CBE， ∴BE＝EF＝BF． 在△CFE与△CAD中， ∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝ 90°， ∴∠F＝∠ADC． 在△BFA与△CDA中， ∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC， ∴△BFA≌△CDA， ∴BF＝CD． ∴BE＝CD． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，理解角平分线的基本定义，熟练运用角平分线的性质构造辅助线，并且准确判定全等三角形是解题关键． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）证明△ACD≌△AED（AAS），即可得出结论； （2）在AB上截取AM=AF，连接MD，证△FAD≌△MAD（SAS），得FD=MD，∠ADF=∠ADM，再证Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），得ME=BE，求出MB=AB-AM=6，即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC=∠DAE， ∵DE⊥BA， ∴∠DEA=∠DEB=90°， ∵∠C=90°， ∴∠C=∠DEA=90°， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AC=AE； （2）在AB上截取AM=AF，连接MD， 在△FAD和△MAD中， ， ∴△FAD≌△MAD（SAS）， ∴FD=MD，∠ADF=∠ADM， ∵BD=DF， ∴BD=MD， 在Rt△MDE和Rt△BDE中， ， ∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL）， ∴ME=BE， ∵AF=AM，且AF=1.4， ∴AM=1.4， ∵AB=7.4， ∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6， ∴BE＝BM＝3， 即BE的长为3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解题的关键． 8．在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F． （1）求证：； （2）已知． ①如图1，若，，求CE的长； ②如图2，若，求的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°． 【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数， （2）在BC上取一点G使BG=BD，构造（SAS），再证明，即可得，由此求出答案； （3）延长BA到P，使AP=FC，构造（SAS），得PC=BC，，再由三角形内角和可求，，进而可得． 【详解】解：（1）、分别是与的角平分线， ， ， ， （2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD， 由（1）得， ， ， ∴， 在与中， ， ∴（SAS） ∴， ∴， ∴， ∴ 在与中， ， ， ， ， ； ∵，， ∴ （3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC， ， ∴， 在与中， ， ∴（SAS） ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 9．（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD． （3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13 【分析】（1）由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证△AOD≌△BOD，进而问题可求证； （2）在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证； （3）在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理（2）可证△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得△CFG是等边三角形，最后问题可求解． 【详解】证明：（1）∵射线OP平分∠MON， ∴∠AOD=∠BOD， ∵OD=OD，OA＝OB， ∴△AOD≌△BOD（SAS）， ∴AD＝BD． （2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示： ∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°， ∵CD=CD， ∴△ACD≌△ECD（SAS）， ∴∠A=∠CED=60°，AD=DE， ∵∠B+∠EDB=∠CED， ∴∠EDB=∠B=30°， ∴DE=BE， ∴AD=BE， ∵BC=CE+BE， ∴BC＝AC+AD． （3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示： 同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE， ∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1， ∵C为BD边中点， ∴BC=CD=CF=CG=3， ∵∠ACE＝120°， ∴∠ACB+∠DCE=60°， ∴∠ACF+∠GCE=60°， ∴∠FCG=60°， ∴△CFG是等边三角形， ∴FG=CF=CG=3， ∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13． 【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等． 10．如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点． （1）求证：平分； （2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：； （3）如图3，若，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK，从而根据角平分线的判定定理可证得结论； （2）作，，在上取一点，使，通过证明和得到，从而根据等角对等边判断即可； （3）延长至，使，连接，通过证明得到，再结合即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图所示，过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K， ∵，分别是和的角平分线， ∴， ∴平分； （2）证明：如图，作，，在上取一点，使． ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在四边形中，， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴； （3）证明：延长至，使，连接． ∵，分别是和的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型2 倍长中线】 11．如图，在中，在上，平分，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，角平分线的定义，延长到E，使得，连接，可证明得到，再由角平分线的定义得到，则，据此可得证明，则可证明． 【详解】证明：如图所示，延长到E，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，延长到点G，使，连接，证明，推出，结合证明，进而得出，即可证明． 【详解】证明：延长到点G，使，连接，    ∵为中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．如图1，在五边形中，，，连接，且，． (1)求证：； (2)如图2，若，为边上的中线，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，，，，则五边形的面积为______；点到直线的距离为______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)20； 【分析】（1）由已知可得，可得结论； （2）延长 ，交于点，连接，可得，可证明得：，可得，，可证明得，，可得结论； （3）在（2）的条件下，根据五边形 的面积=直角梯形的面积+的面积，求解即可 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在 和 中， ∴， ∴ （2）延长 ， 交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 在 和 中， ， ∴， ∴， ∵即：， ∴∠， ∴； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴五边形 的面积=直角梯形的面积+的面积， ∴五边形 的面积， ∵，，， ∴五边形 的面积 由（2）得， ∴，即， ∴， 设点到直线的距离为， 又∵，即， ∴， 故答案为20；. 【点睛】本题主要考查三角形全等及性质，综合性大，灵活构造辅助线是解题的关键. 14．综合与实践 【问题情境】 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，连接，，，为的中点，连接． 【数学思考】 （1）线段与的数量关系，说明理由． 【猜想证明】 （2）若把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【深入探究】 （3）若把绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若是的中点，连接AN，若，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3）的长为2． 【分析】此题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线性质、三角形的中位线定理，直角三角形的性质的综合运用； （1）先证明，进而判断出，在由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出结论；     （2）延长到点F，使，连接，由，可得，，进而可得，再由，证明即可得出，由此得出，继而得出结论； （3）延长到点M，使得，连接．先证明可得，由中位线性质定理得．由此即可得出． 【详解】解：（1）． 理由：， ． ， ， 为CD的中点， ． （2）结论成立． 证明：如图1，延长到点F，使，连接． ，，， ，， ， ， ， 又，， ， ． ， （3）的长为2． 解：如图2，延长到点M，使得，连接． ， ． ， ． ， ， ． 为的中点，， ， ． 15．已知中， (1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 　　． (2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：． (3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）通过证明，即可求解； （2）过点A作于H，过点C作交的延长线于T，通过得到AF=CD，再通过即可求解； （3）过点M作交的延长线于T，交于G，在上取一点K，使得，利用全等三角形的性质证明，即可解决． 【详解】（1）解：∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，过点A作于H，过点C作交的延长线于T， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：过点M作交的延长线于T，交于G，在上取一点K，使得， 连接． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 16．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长，使，连接．根据__________可以判定≌__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】（2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】（3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 【答案】（1），，，；（2），理由见解析；（3）． 【分析】（1）如图1，延长，使，连接，利用证明，得到，再由三角形三边的关系得到，则，即可求出； （2）延长使，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后利用证明，得到，，进而得到，最后根据勾股定理证明即可； （3）延长交的延长线于点F，根据证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）延长，使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；；；； （2）， 证明：如图所示，延长到G，使，连接， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：如图所示，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质，“中线加倍”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形． 17．我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)；，证明见解析； (2)是的“旋补中线”， 证明见解析 【分析】（1）材料：三角形三边关系可得，进而可得中线的取值范围； 探索一：延长至点E使，连接，证明，可得，，求出，再证，根据全等三角形的性质可得结论； （2）作于H，作交延长线于F，求出，证明，可得，同理证明，可得，求出，可证，根据全等三角形的性质可得，然后可得是的“旋补中线”． 【详解】（1）解：材料：由题意得：，，， 由三角形三边关系可得：，即， ∴， 故答案为：； 探索一：； 证明：如图1，延长至点E使，连接，    ∵是的“旋补中线”， ∴是的中线，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的“旋补中线”， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）是的“旋补中线”； 证明：如图，作于H，作交延长线于F，    ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴是的“旋补中线”． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 18．已知，如图：中，，是的中线：求证：．    【答案】见解析 【分析】利用中线加倍证，可得，，由，可得进而可证，再证即可． 【详解】证明：延长到F，使，连接，    ∵E是中点， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键． 19．已知和都是等腰直角三角形，，连接，点F为中点．    (1)如图1，求证：； (2)将绕C点旋转到如图2所示的位置，连接，过C点作于M点． ①探究和的关系，并说明理由； ②连接，求证：F，C，M三点共线． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析②见解析 【分析】（1）证明，得到，再根据点F为中点，即可得证； （2）①证明，得到，，设交于点，交于点，根据，得到，即可得出结论；②延长至点，使，连接，证明，进而推出，得到，延长交于点，推出，进而得到点重合，即可得证． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴； （2）①，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴，， 设交于点，交于点，    则：， ∵， ∴， ∴， 综上：； ②延长至点，使，连接，    ∵F为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 延长交于点，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点重合，即：F，C，M三点共线． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． 20．如图，在中，，BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD，若． (1)猜想BD=________BE； (2)完成（1）的证明过程． 【答案】(1)2 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）延长BE至F，使得EF=BE，连接CF，易证，则有，由题意易得，，然后可证，则，进而问题可求证． 【详解】（1）解： ； 延长BE至F，使得EF=BE，连接CF，如图所示： ∵BE是AC的中线， ∴， ∵， ∴（SAS）， ∴， ∵，且，， ∴，， ∵， ∴（AAS）， ∴． 故答案为2； （2）证明：延长BE至F，使得EF=BE，连接CF，如图所示： ∵BE是AC的中线， ∴， ∵， ∴（SAS）， ∴， ∵，且，， ∴，， ∵， ∴（AAS）， ∴． 【题型3 截长补短】 21．如图所示，，，分别是，的平分线，点E在上，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及全等二角形的性质的运用，解答时运用截取法正确作辅助线是解决本题关键所在． 在上取点，使，连接，由角平分线的性质可以得出，，从而可以得出，可以得出，进而可以得出，就可以得出，即可得出结论． 【详解】解：在上取点F，使，连接，    ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：    (1)求证； (2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)相等，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据“边角边”判定和全等即可求证； （2）是等腰直角三角形，设，根据，用含的式子表示，根据，用含的式子表示，由此即可求解； （3）过点作交延长线于点，延长交于点，可证，可得，根据（2）的结论，可证，可得，再根据可得是等腰三角形，可找出的关系，由此求解． 【详解】（1）解：∵在和中， ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴， 由（1）可知，，设， ∵， ∴，且， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：过点作交延长线于点，延长交于点，      ∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，则是等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差计算的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键． 23．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【详解】（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 24．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点O． (1)求证：； (2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：． (3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由等边三角形的可求得，理由含角的直角三角形的性质可得，进而可证明结论； （2）利用证明即可证明结论； （3）连接，在上截取，连接，可证得是等边三角形，进而可利用证明，得到，由可说明猜想的正确性． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴平分，平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：．理由如下：连接，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵，   ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键． 25．如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）如图1中，在射线上取一点K，使得，证明，推出，再证明，可得结论； （2）结论：．首先证明．如图2中，延长到Q，使得，连接，证明，推出，延长到P，使得，则是等边三角形，再证明，推出，，推出是等边三角形，可得结论 【详解】（1）解：如图1中，在射线上取一点K，使得，    在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）结论：． 理由：如图2中，∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2中，延长到Q，使得，连接，    ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 延长到，使得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 26．在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. (2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】（1）首先在上截取，连接，易证，则可得，，又由，，所以，即，易证进而求解； （2）首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求解． 【详解】（1）解：． 理由为： 在上截取，连接，如图②所示， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 则； （2）解：． 理由为： 在上截取，连接，如图③所示， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 则． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 27．在菱形ABCD中，，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G． (1)如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF； (2)如图②，连接CG．求证：BG＋DG＝CG． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据菱形的四条边相等以及全等三角形的判定得出，，再由AE＝DF利用边角边即可判定； （2）延长BF至点H，使，连接HD、BD，如图（见详解），由第一问可知，和都是等边三角形，由全等的性质以及三角形的内角和定理得出，可证是等边三角形，得到，利用角的等量代换，通过边角边的判定定理即可证明，得到，利用线段的等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，，且AE＝DF， ∴是等边三角形． 在和中，， ∴． （2）证明：延长BF至点H，使，连接HD、BD，如图②所示， 由（1）可知，是等边三角形， ∴，且， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题是一道几何综合，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各判定定理和性质定理，并能够利用截长补短的辅助线添加方法作出辅助线构造出全等三角形，从而将要证明的线段进行转化是解题的关键． 28．如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC． 【答案】见解析 【分析】延长BE到F，使BF=BC，连接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通过△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，证得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到结论． 【详解】解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC， ∵AB=AC，∠A=100°， ∴∠ABC=∠ACB=40°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC=20°， ∵BF=BC， ∴∠F=∠BCF=80°， ∴∠FCE=∠ACB=40°， 在BC上取CF′=CF，连接EF′， 在△FCE与△F′CE中，， ∴△FCE≌△F′CE（SAS）， ∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°， ∴∠BF′E=100°， ∴∠A=∠BF′E， 在△ABE与△F′BE中，， ∴△ABE≌△F′BE（AAS）， ∴AE=EF′， ∴AE=EF， ∴AE+BE=BE+EF=BC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 29．阅读下面材料： 【原题呈现】如图1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长． 【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到DEC≌DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）． 【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题； （2）拓展提升：如图3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长． 【答案】（1）5.8；（2）4.3 【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB，得到△BDE是等腰三角形，得出AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的长； （2）在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，得到△DEB≌△DBC（SAS），在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论． 【详解】解：（1）如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE． 在△ACD与△ECD中， ， ∴△ACD≌△ECD（SAS）， ∴AD＝DE，∠A＝∠DEC， ∵∠A＝2∠B， ∴∠DEC＝2∠B， ∴∠B＝∠EDB， ∴△BDE是等腰三角形； ∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6， ∴BC的长为5.8； （2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°， ∴∠ABC＝∠C＝80°， ∵BD平分∠B， ∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°， 在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE， 在△DEB和△DBC中， ， ∴△DEB≌△DBC（SAS）， ∴∠BED＝∠C＝80°， ∴∠4＝60°， ∴∠3＝60°， 在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE， 同理可得△BDE≌△FDE， ∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2， ∵∠A＝20°， ∴∠6＝20°， ∴AF＝EF＝2， ∵BD＝DF＝2.3， ∴AD＝BD+BC＝4.3． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键． 30．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点． （1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　． （2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明． （3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）44°或104°；详见解析． 【分析】（1）根据等边对等角，可得，，再根据三角形外角的性质求出，由此即可解题； （2）在AC边上取一点M使AM=AB，构造，根据即可得出答案； （3）画出图形，根据点E的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得，可得，设，则；根据∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，可得，可证（SAS），得出，利用还有 ，列方程；当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB， 可得，得出，设，则；∠BAC＝24°，根据AD为△ABC的角平分线，得出，证明（SAS），得出，利用三角形内角和列方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵AE＝AD＝DC， ∴，， ∵，， ∴， ∵AD为△ABC的角平分线，即， ∴； ∴ （2）如图2， 在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB， ∵AB+AC＝EC， ∴AG+AC＝EC，即， ∴， 设，则； 又∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴； 当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立； 当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立； 如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB， ∵AB+AC＝EC， ∴AG+AC＝EC，即， ∴， 设，则； 又∵∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∴， 解得：， ∴． ∴∠ACB的度数为44°或104°． 【题型4 半角模型】 31．如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、． (1)试判断，，之间的数量关系； (2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程． (3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）首先利用证明，得，从而得出答案； （2）在上取,连接，首先由，得，，再利用证明，得，即可证明结论； （3）将绕点逆时针旋转得，由旋转的性质得点、、共线，由（1）同理可得，得，从而解决问题． 【详解】（1）解：，证明如下： 四边形是正方形， ， 由旋转的性质可得：，，，， ， 点、、共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：， 证明如下： 如图，在上取，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图，将绕点逆时针旋转得， ，，， ， ， 点、、共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 32．（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明） （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（）；（）（）中的结论仍然成立，理由见解析；（）（）中的结论不成立，． 【分析】()延长至，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，再证明，根据全等三角形的性质得出，结合图形计算，即可证明结论； ()延长至，使，连接 ，仿照()的证明方法解答； ()在上截取，连接，仿照()的证明方法解答． 【详解】解：（）， 理由如下： 如图，延长至，使，连接，    在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）（）中的结论仍然成立， 理由如下： 如图，延长至，使，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （）（）中的结论不成立，， 理由如下：如图，在上截取，连接，    同（）中证法可得，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理、灵活运用类比思想是解题的关键． 33．在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．    (1)如图1，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系是　　；此时　　； (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，探索、、之间的数量关系如何？并给出证明． 【答案】(1)， (2)（1）问的两个结论仍然成立，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）先证是等边三角形，再证，然后根据特殊直角三角形的性质即可求出、、之间的数量关系； （2）在的延长线上截取，可证，可得，再证，由全等三角形的性质可得结论仍成立； （3）在上截取，连接，可证，可得，然后证得，可证，即可得出． 【详解】（1）解：、、之间的数量关系， 此时， 理由如下：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，， ， ，， ，，， ，是等边三角形， ， ， ， ； （2）解：猜想：结论仍然成立， 证明：如图，在的延长线上截取，连接，    ，，， ， ，，， ，， ， ， ， 的周长为：， ； （3）证明：如图，在上截取，连接，    同（2）可证， ， ，， ， ， 又，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，综合性强，难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法． 34．【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由； 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转90°至，然后利用SAS证明，由此可得． （2）把绕点A逆时针旋转90°至，然后利用SAS证明，由此可得． （3）把旋转到的位置，连接，先根据SAS证明，由此可得，．又由可得．因此是直角三角形，由此可得，因此． 【详解】（1）如图1，    ∵，， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，如图1， ∵， ∴，点F，D、G共线， 则，， ， 即， 在和中，， ∴， ∴； （2），理由如下：如图2， ∵，， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，    ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线 在和中，， ∴， ∴， 即：， （3）， 理由是：把旋转到的位置，连接，则，．    ∵，， ∴， 又∵， ∴， 则在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．通过旋转变换构造全等三角形是解题的关键．本题还运用了转化的思想：要想证明两条较短线段之和等于第三条线段，需要将这两条线段转化到一条直线上，希望多加体会． 35．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 36．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 【答案】(1)45 (2)DF＝BE+EF，证明见解析 (3)2 【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，，再证△，得，进而得出结论； （2）将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得，再证△，得，进而得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得△，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至， 则F、D、在一条直线上，≌△ABE， ∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE， ∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴EF＝BE+DF． 故答案为：45； （2）解：DF＝BE+EF    理由如下： 将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△， ∴△≌△ABE， ∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE， ∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△中， ， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴DF＝BE+EF； （3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接， 则△≌△ABD， ∴CD'＝BD， ∴， 同（2）得：△ADE≌△（SAS）， ∴，， ∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型． 37．如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=45°，易证：AE+CF=EF（不用证明）． （1）如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图③，在四边形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明． 【答案】（1）AE+CF=EF，证明见解析；（2），理由见解析. 【分析】（1）由题干中截长补短的提示，再结合第（1）问的证明结论，在第二问可以用截长补短的方法来构造全等，从而达到证明结果． （2）同理作辅助线，同理进行证明即可，直接写出猜想，并证明． 【详解】（1）图2猜想：AE+CF=EF， 证明：在BC的延长线上截取CA'=AE，连接A'D， ∵∠DAB=∠BCD=90°， ∴∠DAB=∠DCA'=90°， 又∵AD=CD，AE=A'C， ∴△DAE≌△DCA'（SAS）， ∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC， ∵∠ADC=120°， ∴∠EDA'=120°， ∵∠EDF=60°， ∴∠EDF=∠A'DF=60°， 又DF=DF， ∴△EDF≌△A'DF（SAS）， 则EF=A'F=FC+CA'=FC+AE； （2）如图3，AE+CF=EF， 证明：在BC的延长线上截取CA'=AE，连接A'D， ∵∠DAB与∠BCD互补，∠BCD+∠DCA'=180° ∴∠DAB=∠DCA'， 又∵AD=CD，AE=A'C， ∴△DAE≌△DCA'（SAS）， ∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC， ∵∠ADC=2α， ∴∠EDA'=2α， ∵∠EDF=α， ∴∠EDF=∠A'DF=α 又DF=DF， ∴△EDF≌△A'DF（SAS）， 则EF=A'F=FC+CA'=FC+AE． 【点睛】本题是常规的角含半角的模型，解决这类问题的通法：旋转（截长补短）构造全等即可，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫． 38．问题背景 如图①，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系．    探究发现 （1）小明同学的方法是将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合，然后再证明，从而得出结论：______； 拓展延伸 （2）如图②，在四边形中，，，点，分别是边，上的点，且，连接．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图③，在正方形中，点，分别是边，上的点，且，连接，已知，，求正方形的边长． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立．证明见解析；（3）正方形的边长为6． 【分析】（1）证明，可得，即可得出结论； （2）要探究，，之间的数量关系，方法同（1）即可得出结论； （3）根据（1）（2）的结论和勾股定理，即可求出正方形的边长. 【详解】（1）解：由旋转得：AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG， ∵， ∴∠EAG=120°， ∵, ∴∠GAF=, 又∵AF=AF， ∴， ∴EF=GF， ∵GF=DG+DF， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立. 证明：如解图，将绕点逆时针旋转至的位置，使与重合.    则，，，， 又∵， ∴， ∴，，三点共线. ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：由（1）（2）可知． 设正方形的边长为， 则，， 在中，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， 故正方形的边长为6. 【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理的运用，正方形的性质，解题中注意类比方法的运用，同样的类型题可以运用同样的思路及方法进行证明. 39．（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系； （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：； （3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 【答案】（1），理由见详解；（2）见详解；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由见详解． 【分析】（1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案； （2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案； （3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】（1）解：，理由如下： 延长CD，使DM=BE，连接AM， ∵在正方形中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°， ∴， ∴∠BAE=∠DAM，AE=AM， ∵， ∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°， ∴∠EAF=∠MAF=45°， 又∵AF=AF，AE=AM， ∴， ∴EF=MF=MD+DF=BE+DF； （2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图， ∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°， ∴∠ADG＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠ADG＝90°， ∵BE＝DG，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE， ∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD， ∵， ∴∠EAF＝∠FAG， 又∵AF＝AF，AE＝AG， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF； （3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由如下： 如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD＝∠EAF＝∠BAD． ∴∠GAE＝∠BAD=∠EAF． ∵AE＝AE，AG＝AF． ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE−BG ∴EF＝BE−FD． 【点睛】本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题． 40．综合与实践 （1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　． 【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析 【分析】（1）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到点M'、C、N三点共线，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解； （2）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得点M'、C、N三点共线，再由∠MBN＝∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解； （3）在NC上截取C M'=AM，连接B M'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可证得△ABM≌△CB M'，从而得到AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，进而得到∠MA M'=∠ABC，再由∠MBN＝∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，从而得到△NBM≌△NBM'，即可求解． 【详解】解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC， 在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC    ， ∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN=45°， ∴∠ABM+∠CBN=45°， ∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°， 即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N= M'C+CN， ∴MN= M'C+CN=AM+CN； （2）MN=AM+CN；理由如下： 如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC， ∵∠A+∠C＝180°， ∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN＝∠ABC， ∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN， ∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N= M'C+CN， ∴MN= M'C+CN=AM+CN； （3）MN=CN-AM，理由如下： 如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'， ∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠C+∠BAD=180°， ∵∠BAM+∠BAD=180°， ∴∠BAM=∠C， ∵AB＝BC， ∴△ABM≌△CB M'， ∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'， ∴∠MA M'=∠ABC， ∵∠MBN＝∠ABC， ∴∠MBN＝∠MA M'=∠M'BN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N=CN-C M'，   ∴MN=CN-AM． 故答案是：MN=CN-AM． 【题型5 等边三角形相关辅助线问题】 41．如图，中， ，P为直线上一点，E为直线上一点，连接，使得． (1)当，填空： ①如图1，点P为线段的中点时，线段与的数量关系 ； ②如图2，点P为直线上任一点时，线段与的数量关系是 ； (2)当时，如图3，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)成立，证明见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）①连接，证出 ，即可得出结论；②过点P作交于点H，证出 ，即可得出结论； （2）在上取一点F使，证 即可得； 【详解】（1）①连接 ∵， ∴ 为等边三角形 ∵ ∴， ∴ 又∵点P为线段的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴为等边三角形 ∴ 故答案为：； ②过点P作交于点H． 由①得为等边三角形． ∴为等边三角形． ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ 故答案为：； （2）成立，在上取一点F使，如图 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ 42．已知，为等边三角形，D在延长线上． (1)如图1，以为边作等边，连接，求的度数； (2)如图2，若D在延长线上运动，M在边上，且，以为边作等边，连接，当D点运动时，的度数是否发生变化？如果不变，请求出角度；如果改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)当点运动时，的度数不变，或 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，即可求得答案； （2）分两种情况：如图，当点在上方时，在的延长线上截取；如图，当点在下方时，在截取，分别利用等边三角形的判定及性质，证明，，进而可求解． 【详解】（1）解：∵，为等边三角形， ∴，，， 则，， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点运动时，的度数不变，或，理由如下： 如图，当点在上方时，在的延长线上截取，连接， ∵，则， ∴， ∵，为等边三角形， ∴，，，， ∴，， 又∵ ， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； 如图，当点在下方时，在截取，连接， ∵，为等边三角形， ∴，，，，， ∴为等边三角形，， 则，， ∴， ∴， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，当点运动时，的度数不变，或． 【点睛】本题考查等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等边对等角，三角形的外角的性质等知识点，添加辅助线构造等边三角形及全等三角形是解决问题的关键． 43．在中，，，D点是边上一点，E为边上一点，连接，． (1)如图1，，点D为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点F，延长至P，使得，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点E为定点，，连接，点M为线段上的一个动点，且满足，当取得最小值时，直接写出的值（用和表示）． 【答案】(1)6 (2)①图见详解；②，证明见详解 (3) 【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，计算，再由含角的直角三角形的性质可得，从而可得的长； （2）①依题意补全图形即可； ②先证，再证即可得到； （3）看见，考虑构造逆等线全等模型，过点A作，使，先证得到，从而将转化为，当N、D、C三点一线时，取得最小值，再利用角得和差求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴是等边三角形， ∵D为中点， ∴， ， ， ∴， ； （2）解：①补全图形如图所示． ②解：，证明如下： 连接， ，， ∴是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ， ， ∴是等边三角形， ，． ，，， ， 在和中， ， ∴， ， ； （3）解：过点A作，使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ， ∴当N、D、C三点一线时，取得最小值，如图所示， ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 44．在等边中，是边所在直线上一点（点不与端点重合），． (1)如图，若点在延长线上，点关于直线的对称点为，连接、，其中、分别交射线于点、． ①求的大小（用表示）． ②用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在边上，且，点关于直线的对称为，在线段上取一点，使，连接并延长交于点，直接写出线段与的数量关系是 ． 【答案】(1)①；②，理由见解析； (2) 【分析】（1）①连接，由轴对称的性质得，，再结合等边三角形的性质得，，从而利用三角形的内角和定理即可得解；②在上截取，由①得，，，，证，得，，进而证是等边三角形，得，，再证，即可得解； （2）如图，连接，过点作交于点，连接，则，证（），得，再证明（），得，从而即可得证． 【详解】（1）解：①连接， ∵点关于的对称点为点， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴； ②，理由如下： 如图，在上截取， 由①得，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点关于的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作交于点，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点关于的对称点是点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质是解题的关键． 45．在等腰和等腰中，，，． (1)如图1，当时，连接，，求证：； (2)当时，是的中点，连接． ①如图2，当，，在同一条直线上时，连接，求证：； ②如图3，当，，不在同一条直线上时，连接，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟悉“倍长中线”辅助线． （1）先证明，是等边三角形，再证明，即可证明，即可得出结论； （2）①延长到，使，连接，，，证明，推出，，证明，推出，，再证明，推出，即，即可得到结论； ②延长到，使，连接，，，同理①即可得出结果． 【详解】（1）证明：，，， ，是等边三角形， ，，， ，即， ， ； （2）①证明：延长到，使，连接，，， 是的中点， ， ， ， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； ②延长到，使，连接，，， 延长交于 是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 46．【课本再现】 （1）如图1，都是等边三角形．与交于点O，试猪想与之间的数量关系，并证明． 【深入研究】 （2）在（1）的条件下，证明平分． 【探究应用】 （3）如图2，都是等腰直角三形，连接，点M是的中点，判断与之间的关系，并证明． 【详解】（1）解：，证明如下： 和都是等边三角形， ，，， ， 即． 在和中 ， ， ； （2）证明：过点分别作，，垂足为点，． 由（1）知：， 点在的平分线上， 即平分； （3），且，证明如下： 延长到，使，连接，延长交于，如图： 点是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 47．已知是等边三角形． (1)如图1，点、分别为，边上的点，，连接，相交于点．求的度数； (2)如图2，，点在边上，点在射线上，与相交于点，且． ①求证：； ②作于点，当点在边上移动时，请同学们探究线段，，之间的数量关系，并对结论加以证明． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：①如图，过作交于T， ∴，而， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； ②；理由如下； 延长，过点F作于点G，连接，过点D作于点N，过点D作于点M，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 48．【初步探究】 （1）如图1，在中，点分别在边上，．这两个相等的角会使图形中出现其它的等角．请你写出这组等角（不添加其他辅助线），并说明理由； 【深入研究】 （2）如图1，在上题的条件下，若，请你再添加一个条件，使．先写出这个条件，再加以证明． 【变式探究】 （3）如图2，等边中，分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当从点向运动（不运动到点）时， ①求的度数； ②若，的面积为，点为边上（不与重合）的任意一点，连接、，直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 【详解】解：（1）这组等角是： 理由如下：在中，． 点在边上， ． （2）若添加条件： 证明：（已证） 在和中， （3）①是等边三角形， ． 是等边三角形， 据（1）可知 方法一： 在上截取，连接． ， ． 又， ． 在和中，， ． ， ，且， 方法二： 过点作，交于点，交于点．则， ． 在和中， ． 同理可得 ， ． 又， ， 即． 又， ， ， ． 又， ， ． ②的最小值是．如图， 由可知，点在等边的角平分线上运动．点关于线段的对称点是点， 所以， 当点、点、点三点共线且时，取最小值， 即转化为求等边的高． 因为的面积是， 所以， 所以． 即的最小值是． 49．已知等边中，D是边上的中点，E为直线上一点，F为上点，． (1)如图1，若E在的延长线上，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若，连，求证： (3)点G是上一点，，求证：． 【详解】（1）证明：取的中点P，连接， ∵在等边三角形中，，， ∵D是的中点 ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， （2）证明：由（1）可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ∴ ∴， ∵， ∴， （3）证明：在上取一点，使，再在上取一点，使， ∴， ∵在等边三角形中，，，， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定及其性质、等边三角形的性质、平行线的判定及其性质，等腰三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 50．已知：是等边三角形，点是射线上一点，连接交线段于点． 图1                 图2                图3 (1)如图1，当时，求证：平分； (2)如图2，延长交射线于点，当时，在上取一点，且连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折，得到，与交于点，交于点，若，，求的长． 【详解】（1）证明：如图1：作于，于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵（对顶角）， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解：由（2）知，， ∴在中，， ∴， ∵翻折得到， ∴，，， ∵即． 在上截取，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 寒假作业07 全等证明题含辅助线分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 角平分线模型】 1 【题型2 倍长中线】 4 【题型3 截长补短】 8 【题型4 半角模型】 11 【题型5 等边三角形相关辅助线问题】 17 【题型1 角平分线模型】 1．如图，平分，于点，．求证：． 2．如图，在四边形中，，若平分，求证：．    3．如图，在四边形中，于，，．求证：；．      4．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上． 6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长． 8．在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F． （1）求证：； （2）已知． ①如图1，若，，求CE的长； ②如图2，若，求的大小． 9．（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD． （3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值． 10．如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点． （1）求证：平分； （2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：； （3）如图3，若，求证：． 【题型2 倍长中线】 11．如图，在中，在上，平分，且．求证：． 12．如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：．    13．如图1，在五边形中，，，连接，且，． (1)求证：； (2)如图2，若，为边上的中线，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，，，，则五边形的面积为______；点到直线的距离为______． 14．综合与实践 【问题情境】 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，连接，，，为的中点，连接． 【数学思考】 （1）线段与的数量关系，说明理由． 【猜想证明】 （2）若把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【深入探究】 （3）若把绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若是的中点，连接AN，若，直接写出的长． 15．已知中， (1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 　　． (2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：． (3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：． 16．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长，使，连接．根据__________可以判定≌__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】（2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】（3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 17．我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 18．已知，如图：中，，是的中线：求证：．    19．已知和都是等腰直角三角形，，连接，点F为中点．    (1)如图1，求证：； (2)将绕C点旋转到如图2所示的位置，连接，过C点作于M点． ①探究和的关系，并说明理由； ②连接，求证：F，C，M三点共线． 20．如图，在中，，BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD，若． (1)猜想BD=________BE； (2)完成（1）的证明过程． 【题型3 截长补短】 21．如图所示，，，分别是，的平分线，点E在上，求证：．      22．数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：    (1)求证； (2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探究线段之间的数量关系，并证明．     23．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由．  24．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点O． (1)求证：； (2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：． (3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明． 25．如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 26．在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. (2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 27．在菱形ABCD中，，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G． (1)如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF； (2)如图②，连接CG．求证：BG＋DG＝CG． 28．如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC． 29．阅读下面材料： 【原题呈现】如图1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长． 【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到DEC≌DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）． 【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题； （2）拓展提升：如图3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长． 30．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点． （1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　． （2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明． （3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）． 【题型4 半角模型】 31．如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、． (1)试判断，，之间的数量关系； (2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程． (3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系． 32．（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明） （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．        33．在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．    (1)如图1，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系是　　；此时　　； (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，探索、、之间的数量关系如何？并给出证明．   34．【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由； 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．    35．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 36．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 37．如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=45°，易证：AE+CF=EF（不用证明）． （1）如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图③，在四边形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明． 38．问题背景 如图①，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系．    探究发现 （1）小明同学的方法是将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合，然后再证明，从而得出结论：______； 拓展延伸 （2）如图②，在四边形中，，，点，分别是边，上的点，且，连接．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图③，在正方形中，点，分别是边，上的点，且，连接，已知，，求正方形的边长． 39．（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系； （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：； （3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 40．综合与实践 （1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　． 【题型5 等边三角形相关辅助线问题】 41．如图，中， ，P为直线上一点，E为直线上一点，连接，使得． (1)当，填空： ①如图1，点P为线段的中点时，线段与的数量关系 ； ②如图2，点P为直线上任一点时，线段与的数量关系是 ； (2)当时，如图3，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 42．已知，为等边三角形，D在延长线上． (1)如图1，以为边作等边，连接，求的度数； (2)如图2，若D在延长线上运动，M在边上，且，以为边作等边，连接，当D点运动时，的度数是否发生变化？如果不变，请求出角度；如果改变，请说明理由． 43．在中，，，D点是边上一点，E为边上一点，连接，． (1)如图1，，点D为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点F，延长至P，使得，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点E为定点，，连接，点M为线段上的一个动点，且满足，当取得最小值时，直接写出的值（用和表示）． 44．在等边中，是边所在直线上一点（点不与端点重合），． (1)如图，若点在延长线上，点关于直线的对称点为，连接、，其中、分别交射线于点、． ①求的大小（用表示）． ②用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在边上，且，点关于直线的对称为，在线段上取一点，使，连接并延长交于点，直接写出线段与的数量关系是 ． 45．在等腰和等腰中，，，． (1)如图1，当时，连接，，求证：； (2)当时，是的中点，连接． ①如图2，当，，在同一条直线上时，连接，求证：； ②如图3，当，，不在同一条直线上时，连接，求的大小． 46．【课本再现】 （1）如图1，都是等边三角形．与交于点O，试猪想与之间的数量关系，并证明． 【深入研究】 （2）在（1）的条件下，证明平分． 【探究应用】 （3）如图2，都是等腰直角三形，连接，点M是的中点，判断与之间的关系，并证明． 47．已知是等边三角形． (1)如图1，点、分别为，边上的点，，连接，相交于点．求的度数； (2)如图2，，点在边上，点在射线上，与相交于点，且． ①求证：； ②作于点，当点在边上移动时，请同学们探究线段，，之间的数量关系，并对结论加以证明． 48．【初步探究】 （1）如图1，在中，点分别在边上，．这两个相等的角会使图形中出现其它的等角．请你写出这组等角（不添加其他辅助线），并说明理由； 【深入研究】 （2）如图1，在上题的条件下，若，请你再添加一个条件，使．先写出这个条件，再加以证明． 【变式探究】 （3）如图2，等边中，分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当从点向运动（不运动到点）时， ①求的度数； ②若，的面积为，点为边上（不与重合）的任意一点，连接、，直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 49．已知等边中，D是边上的中点，E为直线上一点，F为上点，． (1)如图1，若E在的延长线上，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若，连，求证： (3)点G是上一点，，求证：． 50．已知：是等边三角形，点是射线上一点，连接交线段于点． 图1                 图2                图3 (1)如图1，当时，求证：平分； (2)如图2，延长交射线于点，当时，在上取一点，且连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折，得到，与交于点，交于点，若，，求的长． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$