7.2.2 定义与命题（2）（同步课件）-2024-2025学年八年级数学上册教材配套教学课件+分层练习（北师大版）

新课标 北师大版 八年级上册 7.2.2定义与命题（2） 第七章 平行线的证明 1 学习目标 1. 通过学习知道什么是公理，什么是定理，理解证明的概念，发展学生的思维能力． 2．学生通过具体实例学习证明的基本步骤和书写格式，发展推理能力． 3．通过理解证明要步步有据，培养学生养成科学、严谨的学习态度． 2 夏天的中午，虽然天气很热，但广场上还是人来人往，十分热闹，突然，人群中传来女人的尖叫，原来有人抢走了她的挎包，并飞快地逃走了.附近的巡警闻讯赶来，可是广场上那个小偷早已消失在人群中.请大家观察下图中的环境，你能指出谁是那个小偷吗？ 同学们,大家可以用因果关系推理一下. 炎热的夏天中午不能浇花 通过这个推理故事，我们感受到了推理的有趣 之处.那么这节课,我们就来学习推理与证明. 新课引入 3 新课引入 举一个反例就可以说明一个命题是假命题,那么如何证实一个命题是真命题呢? 4 核心知识点一 探究学习 公理与定理 在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题.公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得编写了一本书，书名叫做《几何原本》,为了说明每一个结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据. 5 其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理.除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断.演绎推理的过程称为证明.经过证明的真命题称为定理，而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面. 《几何原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排.因此，《几何原本》是一部具有划时代意义的著作. 6 了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前300前后)；找出下列各个定义并举例． 1.原名: 2.公理: 3.证明: 4.定理: 某些数学名词称为原名. 公认的真命题称为公理. 除了公理外,其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.演绎推理的过程称为证明. 经过证明的真命题称为定理. 每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明. 7 本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是: 1.两点确定一条直线; 2.两点之间线段最短; 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）; 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等; 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等; 8.三边分别相等的两个三角形全等. 这些基本事实又叫做公理 8 此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据． 例如，如果a=b，b=c，那么a=c，这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果a＞b，b＞c，那么a＞c，这一性质同样也可以作为证明的依据. 另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它. 9 总结归纳 公理与定理的异同： 相同点：①都是真命题；②都可以作为证明其他命题的依据． 不同点：公理的真实性是通过长期实践被证实的，不需要推理证明，而定理需要经过证明． 10 定理 同角（等角）的补角相等. 定理 同角（等角）的余角相等. 定理 三角形的任意两边之和大于第三边 从上面这些基本事实出发，就可以证明已经探索过的结论了，例如，我们可以证明下面的定理。 11 证明定理：“同角（等角）的补角相等” 已知：∠1和∠2都是∠3的补角 求证：∠1=∠2 证明：∵∠1和∠2都是∠3的 补角 ∴ ∠1+∠3=180° ∠2+∠3=180° 即 ∠1=180°-∠3 ∠2=180°-∠3 ∴ ∠1=∠2 已知：∠1是∠3的补角，∠2是∠4的补角，且∠3=∠4 求证：∠1=∠2 证明：∵∠1是∠3的补角 ∠2是∠4的补角 ∴ ∠1+∠3=180° ∠2+∠4=180° 即 ∠1=180°-∠3 ∠2=180°-∠4 又∵ ∠3=∠4 ∴ ∠1=∠2 同理证明定理：“同角（等角）的余角相等” 12 证明定理：“三角形的任意两边之和大于第三边” 已知：如图，△ABC 求证：AB+BC＞AC， BA+CA＞AB， CA+AB＞BC 证明：∵ AC是以点A、点C为端点的线段 ∴ AB+BC＞AC（两点之间线段最短） 同理BA+CA＞AB， CA+AB＞BC 13 几何的推理方法主要有两种： 一种是综合法，即由“因”到“果”，由已知条件逐步推导出结论； 一种是分析法，即执“果”索“因”，根据要推出的结论，分析必须找到什么样的条件，一步一步反推到条件． 总结归纳 14 证明的一般步骤： ①审题，分清命题的条件和结论； ②画图，结合图形写出已知和求证； ③分析因果关系，找出证明途径； ④有条理地写出证明过程． 总结归纳 15 1.下列命题是公理的是( ) C A.内错角相等,两直线平行 B.对顶角相等 C.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 D.三角形任意两边之和大于第三边 随堂练习 2.在证明过程中可以作为推理依据的是( ) B A.命题、定义、公理 B.定理、定义、公理 C.命题 D.真命题 3.“在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线”这个句子是( ) B A.定理 B.定义 C.公理 D.命题 4.下面关于公理和定理的联系,说法不正确的是( ) B A.公理和定理都是真命题 B.公理就是定理,定理也是公理 C.公理和定理都可以作为推理论证的依据 D.公理的正确性不需要证明,定理的正确性需要证明 5.“三角形的任意两边之和大于第三边”是______（填“定义”“公理”或 “定理”）. 定理 6.如果 ， ，那么 ，这个推理的依据是 __________________________________. 平行于同一条直线的两条直线平行 19 7.在下列括号里填上合适的推理根据. 已知：如图， ， ， 三点在一条直线上， . 求证： . 证明： ( )， ( )， ( ). 解：已知 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 20 8.证明“全等三角形的对应角平分线相等”. 命题证明应有四个步骤:画出图形,写出已知、求证及证明过程.请把下列证明补完整. 图形:如图所示. 21 已知:如图,△ABC≌△A'B'C',BD,B'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线. 求证:BD=B'D'. 证明:∵△ABC≌△A'B'C', ∴AB=A'B',∠A=∠A',∠ABC=∠A'B'C'. ∵BD,B'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线, ∴∠ABD=∠ABC,∠A'B'D'=∠A'B'C'. 22 ∴∠ABD=∠A'B'D'. 在△ABD和△A'B'D'中, ∴△ABD≌△A'B'D'(ASA). ∴BD=B'D'. 23 课堂小结 已知条件 结论 证明 依据定义、公理，已证定理 定理 演绎推理 证明 经过证明的真命题称为定理 从已知条件出发，依据定义、公理，已证定理推导出 结论的方法 演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明. 24 谢谢聆听 25 $$