第二十章 一次函数 易错训练与压轴训练（13易错+8压轴）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第二十章 一次函数易错训练与压轴训练（13易错+8压轴） 01 思维导图 目录 易错题型一　正比例函数的相关概念 1 易错题型二　根据一次函数的定义求参数 2 易错题型三　求一次函数解析式 2 易错题型四　一次函数的图象与性质 3 易错题型五　一次函数图象与坐标轴交点问题 4 易错题型六　一次函数图象平移问题 5 易错题型七　一次函数与方程 5 易错题型八　一次函数与不等式 7 易错题型九　一次函数与反比例函数 8 易错题型十　一次函数应用之分配方案问题 9 易错题型十一　一次函数应用之最大利润问题 11 易错题型十二　一次函数应用之行程问题 12 易错题型十三　一次函数应用之几何问题 14 压轴题型一　一次函数图象与性质压轴 15 压轴题型二　一次函数中的旋转问题（45度） 16 压轴题型三　一次函数的翻折问题 18 压轴题型四　一次函数的新定义问题 19 压轴题型五　一次函数中最值问题 21 压轴题型六　一次函数中动点问题 23 压轴题型七　一次函数的存在性问题 24 压轴题型八　一次函数中应用压轴 26 02 易错题型 易错题型一　正比例函数的相关概念 例题：下列说法中正确的有（   ） ①是正比例函数； ②如果是正比例函数，那么； ③如果与成正比例，那么是的正比例函数； ④如果，那么与成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 巩固训练 1．如果是关于的正比例函数，则的值为（   ） A． B．2 C．0 D．1 2．已知函数是正比例函数，则 ． 3．如果是关于的正比例函数，求的值． 易错题型二　根据一次函数的定义求参数 例题：若函数是一次函数，则应满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 巩固训练 1．函数是一次函数，则k的取值范围是（） A． B． C． D． 2．当 时，函数是正比例函数；当 时，函数是一次函数． 3．已知函数； (1)当取何值时，这个函数是正比例函数？ (2)当在什么范围内取值时，这个函数是一次函数？ 易错题型三　求一次函数解析式 例题：直线向右平移2个单位长度，所得图象恰好过点，则b的值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．5 巩固训练 1．在平面直角坐标系中有两条直线、，直线所对应的函数关系式为，如果将坐标纸折叠，使与重合，此时点与点也重合，则直线所对应的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、四象限和点，则这个一次函数可以是 ． 3．已知：一次函数的图象经过，两点． (1)求的值； (2)若在一次函数的图象上，求线段的长． 易错题型四　一次函数的图象与性质 例题：在同一平面直角坐标系中，，分别是与的图象上的点，且，关于原点成中心对称，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知一次函数和（且），这两个函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．关于一次函数，下列说法正确的有 ．（直接填序号） ①y随x的增大而增大；    ②图象与直线平行； ③函数图象与y轴的交点为；    ④函数图象经过第一、二、三象限 3．如图，一次函数与x轴、y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)点在轴上，若的面积为6，求点的坐标． 易错题型五　一次函数图象与坐标轴交点问题 例题：一次函数图象与y轴交点是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1、在平面直角坐标系中，若将直线向下平移3个单位长度后，恰好经过原点，则直线与x轴的交点坐标（   ） A． B． C． D． 2．直线过点，且与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则的值为 ． 3．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求两点的坐标； (2)轴上有一点，且，求的面积． （提示：可能在O的左边，也可能在O的右边） 易错题型六　一次函数图象平移问题 例题：若要把直线的图象变为直线的图象，则下列平移方法正确的是（   ） A．向下平移 10个单位 B．向上平移10个单位 C．向上平移8个单位 D．向下平移8个单位 巩固训练 1．将一次函数的图象沿x轴向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．若直线与直线互相平行，则的值为 ． 3．已知一次函数．    (1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (2)把该函数图象向上平移3个单位，判断点是否在平移后的函数图象上． 易错题型七　一次函数与方程 例题：若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图是一次函数与的图象，则下列结论：①；②；③：④方程的解是，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 ． 3．请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 3 1 3 5 … (1)表格中：__________，________． (2)在直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察图象： ①当_________时，随的增大而增大； ②若关于的方程没有实数根，则的取值范围是___________． 易错题型八　一次函数与不等式 例题：如图，直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．一次函数的图象如图所示，观察图象回答问题：当时， ，当 时，，当 时，． 3．已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 易错题型九　一次函数与反比例函数 例题：已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 巩固训练 1．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围为 ． 3．如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求x的取值范围； (3)在y轴上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 易错题型十　一次函数应用之分配方案问题 例题：甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论数量多少，价格均为6元，在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，超过部分的价格为5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为． (1)设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式： (2)若只在一个批发店购买，你认为在哪家更划算？ 巩固训练 1．为健全高考考务工作制度，规范考试管理，保障高考的正常实施，维护高考的公平性、严肃性、权威性，按照教育部高考考务工作规定：高考只能在县级及以上设立考区．因而我县高考全部安排在祥云一中进行，执行统的考试操作流程和规则，确保考试公平和公正．据悉，今年祥云四中参加高考的学生及带队教师约人，经过研究，学校决定租用A、B两种型号共辆客车作为交通工具将师生载至目的地．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数） 型号 载客量 租金单价 A 人/辆 元/辆 B 人/辆 元/辆 (1)设租用型号客车辆，租车总费用为元，求与的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)请你帮忙设计出一种最省钱的租车方案，并求出最低费用． 2．周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 3．计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ 易错题型十一　一次函数应用之最大利润问题 例题：在年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车辆，已知中级型汽车的售价为万元/辆，紧凑型汽车的售价为万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于辆，设购进a辆中级型汽车，辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？ 巩固训练 1．红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍． (1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元？ (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 2．奥运会期间，某网店直接从工厂购进、两款纪念币，进货价和销售价如表： （注：利润=销售价−进货价） 类别价格 款纪念币 款纪念币 进货价（元/枚） 销售价（元/枚） (1)网店第一次用元购进、两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的件数； (2)第一次购进的、两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 3．每年4月23 日是世界读书日，旨在推动更多的人去阅读和写作，某书店以读书日为契机，决定购进甲，乙两种图书，供消费者选择．经调查，乙种图书每本进价20元，甲种图书的总进价与购进甲种图书的数量x之间的函数关系如图所示： (1)请求出当时，y与x的函数关系式； (2)若该书店准备购进甲，乙两种图书共300本，且每种图书数量都不少于120本，书店计划甲种图书以每本30元出售，乙种图书以每本25 元出售，如何购进两种图书，才能使书店所获利润最大，最大利润是多少？ 易错题型十二　一次函数应用之行程问题 例题：如图是小明放学骑车回家行驶的路程y(千米)与行驶时间x(分钟)的函数图象，已知前10分钟的速度是千米/分钟，行驶10分钟时车子发生故障，维修车子用了5分钟． (1)刚发生故障时，小明离家有多远？ (2)维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了多少？ 巩固训练 1．甲、乙两辆车先后从A地出发到B地，甲车出发后，乙车才出发，如图所示的和表示甲、乙两车离出发地的距离与乙车行驶时间之间的关系． (1)表示乙车离出发地的距离y与乙车行驶时间x之间关系的是 （填l1或l2）； (2)试分别确定甲、乙两车离出发地的距离与乙车行驶时间之间的关系式． (3)乙车能在内追上甲车吗？若能，说明理由；若不能，求乙车行驶几小时才能追上甲车． 3．如图表示甲乙两船沿相同路线从A港出发到B港行驶过程中路程随时间变化的图象，根据图象解答下列问题： (1)甲船出发 小时后乙船才出发；乙船的平均速度为 千米/小时． (2)请分别求出表示甲船和乙船行驶过程的函数解析式． (3)问乙船出发多长时间赶上甲船？ 48．有一科技小组进行了机器人行走性能试验在试验场地有、、三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从、两点同时同向出发，历时分钟同时到达点，如图是甲、乙两机器人之间的距离米与他们的行走时间分钟之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： (1)、两点之间的距离是 米； (2)求线段所在直线的函数表达式，写出自变量的取值范围； (3)当出发分钟时，求甲、乙两机器人之间的距离. 易错题型十三　一次函数应用之几何问题 例题：直线交x轴于点，交轴于点，与直线交于点C． (1)求交点的坐标； (2)直接写出当取何值时． (3)在轴上取点使得，求的面积． 巩固训练 1．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)过B点作直线与x轴交于点P，若的面积为10，试求点P的坐标． 2．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点E、F．点E的坐标为，点A的坐标为．点是直线上的一个动点． (1)求k的值； (2)当点在第二象限时， ①试写出的面积S与x的函数关系式； ②当的面积是10时，求此时P点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)若P是x轴上一点，且的面积是6，求点P的坐标． 03 压轴题型 压轴题型一　一次函数图象与性质压轴 例题：1．如图，已知直线与双曲线交于两点，且点A的横坐标为4． (1)求的值； (2)若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积； (3)过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第三象限），若由点为顶点组成的三角形面积为12，求点的坐标． 巩固训练 2．已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和的坐标； (2)求点的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标． 3．如图，在中，点，点，双曲线与边交于，两点，点的纵坐标大于点的纵坐标． (1)当点的坐标为时，求的值； (2)若，求点的坐标； (3)连接，记的面积为，若，求的取值范围． 压轴题型二　一次函数中的旋转问题（45度） 例题：4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求b和k的值： (2)如果直线绕点B逆时针旋转交x轴于点D，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，设点E是y轴上的一点，当四边形是梯形时，求点E的坐标． 巩固训练 5．已知一次函数的图像经过、，点C是线段的中点，交x轴于点P，点C关于x轴的对称点为，把线段以点C为旋转中心，顺时针旋转，点的对应点为点D． (1)求一次函数的解析式． (2)求点D的坐标． (3)若点C、、D、M为顶点的四边形是平行四边形，且是平行四边形的一条边，直接写出点M的坐标． 6．在平面直角坐标系中（如图），点为直线和双曲线的一个交点， (1)求、的值； (2)若点，在直线上有一点，使得，请求出点的坐标； (3)在双曲线是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在请说明理由． 压轴题型三　一次函数的翻折问题 例题：7．如图，平面直角坐标系中，四边形是长方形，为原点，点在轴上，点在轴上，，，点在边上，将沿着翻折，点恰好落在，边上点处． (1)求点的坐标； (2)求折痕所在直线的表达式． 巩固训练 8．如图，函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段为边在第一象限内作等边． (1)求点C的坐标； (2)将沿着直线AB翻折，点C落在点D处，求直线的解析式； (3)在x轴上是否存在E，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知直线交轴于点，轴于点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在双曲线上． （1）求的值； （2）将绕的中点旋转得到，请判断点是否在双曲线上，并说明理由. 压轴题型四　一次函数的新定义问题 例题：10．定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：正比例函数，它的相关函数为 (1)已知点在正比例函数的相关函数的图象上，则m的值为______； (2)已知正比例函数 ①这个函数的相关函数为______； ②若点在这个函数的相关函数的图象上，求n的值． 巩固训练 11．定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． (1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值； (2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点． ①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值； ②若，点在点的上方，求的取值范围． 12．阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：，则这三点中，可以做线段的“等距点”是 ，线段的“完美等距点”是 ； (2)若坐标原点O为线段AP的“等距点”，求出点P的坐标； (3)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (4)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 压轴题型五　一次函数中最值问题 例题：13．思考探究： 【形成概念】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间折线距离：． 【初步理解】 （1）已知点，则______． （2）函数的图象如图1所示，是图象上一点，，则点的坐标是_____． 【深入探究】 某数学小组研究以下问题：是函数的图象上的一点，当的值最小，求点坐标．小明同学从函数图像入手展开研究： （1）绘制函数图像： 列表： … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 1 1 3 5 7 … 表格中：______； 描点、连线：在平面直角坐标系（图2）中画出该函数图象； （2）请写出一条函数的性质：___________． （3）观察图象：，已知，求的最小值，并求出取得最小值时点坐标． 巩固训练 14．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段的中点，过点C作轴，垂足为D．       (1)求两点的坐标； (2)若在直线上有一点M，使得的面积为9，求点M的坐标； (3)若点E为y轴负半轴上一点，连接交x轴于点F，且，在直线上有一点P，使得最小，求P点坐标； (4)如图2，直线上存在点Q使得，请直接写出点Q的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为．求： (1)求正比例函数与一次函数的关系式； (2)在x轴上是否存在一点M使周长最小，若存在，求出点M的坐标； (3)在x轴上求一点Q使为等腰三角形，请求出所有符合条件的点Q的坐标． 压轴题型六　一次函数中动点问题 例题：16．点，在直线同一侧，如图，于点，于点，已知，，，为直线上的动点．设． (1)请用含的代数式表示______； (2)将图建立在直角坐标系中，如图，当为何值时，求的最小值是多少？ 巩固训练 17．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，动点P从点A出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿线段向点运动，当Q点到达点B时，点P也停止运动．连接线段，设点P运动的时间为t秒． (1)经过时，写出此时点P的坐标 ，点Q的坐标 ． (2)当线段时，求此时点P运动的时间t． (3)点M为线段中点，在点P、Q运动过程中，以点P、Q、M三点组成的三角形为等腰三角形时，求所有满足要求的t的值． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 压轴题型七　一次函数的存在性问题 例题：19．如图，直线：与反比例函数交于点，，连接，． (1)求反比例函数及直线的表达式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在一点，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 巩固训练 20．如图，在直角坐标系中，满足，，当点A从原点O开始沿x轴的正方向运动时，点B始终在第一象限运动． (1)当轴时，求B点坐标； (2)随着A、C的运动，当点B落在直线上时，求此时A点的坐标； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点D，使以O、A、B、D为顶点的四边形面积是16？如果存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若． (1)求线段的长度与直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 压轴题型八　一次函数中应用压轴 例题：22．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y(米)与时间x(分)的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)　　，　　，　　； (2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； (3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？ 巩固训练 23．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向10km以内的出行市场．现有A、B两种品牌的共享电动车，已知A品牌每分钟收费0.2元、B品牌的收费为y（元）与骑行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)求B品牌的收费y（元）与骑行时间x（分钟）之间的函数关系式，并写出相应的x的取值范围； (2)小王发现，他从家到单位上班，骑行A品牌或B品牌的共享电动车的费用相同，求小王骑共享电动车从家到单位的骑行时间； (3)小李每天也骑共享电动车上班，他说：“我从家来单位的话，A、B两种品牌的共享电动车的收费相差不超过1.2元”，请直接写出小李从家到单位骑行时间的取值范围． 24．某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜，B蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨． (1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值： C D 总计 A 200 B x 300 总计 240 260 500 (2)设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案． 3 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十章 一次函数易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　正比例函数的相关概念 1 易错题型二　根据一次函数的定义求参数 3 易错题型三　求一次函数解析式 5 易错题型四　一次函数的图象与性质 7 易错题型五　一次函数图象与坐标轴交点问题 10 易错题型六　一次函数图象平移问题 13 易错题型七　一次函数与方程 15 易错题型八　一次函数与不等式 18 易错题型九　一次函数与反比例函数 21 易错题型十　一次函数应用之分配方案问题 25 易错题型十一　一次函数应用之最大利润问题 29 易错题型十二　一次函数应用之行程问题 33 易错题型十三　一次函数应用之几何问题 38 压轴题型一　一次函数图象与性质压轴 42 压轴题型二　一次函数中的旋转问题（45度） 51 压轴题型三　一次函数的翻折问题 57 压轴题型四　一次函数的新定义问题 63 压轴题型五　一次函数中最值问题 69 压轴题型六　一次函数中动点问题 78 压轴题型七　一次函数的存在性问题 86 压轴题型八　一次函数中应用压轴 94 02 易错题型 易错题型一　正比例函数的相关概念 例题：下列说法中正确的有（   ） ①是正比例函数； ②如果是正比例函数，那么； ③如果与成正比例，那么是的正比例函数； ④如果，那么与成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，由此即可判断． 【详解】解：①当时，是正比例函数，原说法错误； ②如果是正比例函数，那么，原说法错误； ③如果与成正比例，那么不是的正比例函数，原说法错误； ④如果，那么与成正比例，说法正确． ∴正确的只有1个， 故选：D． 巩固训练 1．如果是关于的正比例函数，则的值为（   ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义．熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 由是关于的正比例函数，可知中，求解作答即可． 【详解】解：∵是关于的正比例函数， ∴中， 解得，， 故选：C． 2．已知函数是正比例函数，则 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数一般形式：，依据正比例函数的定义求解即可． 根据正比例函数的定义列出方程求解即可； 【详解】解：∵是正比例函数， ∴且． 解得：． 故答案为：． 3．如果是关于的正比例函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据形如，这样的函数叫做正比例函数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴． 易错题型二　根据一次函数的定义求参数 例题：若函数是一次函数，则应满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列出计算解答即可． 【详解】解：由题意得，， ∴且， 故选：C． 巩固训练 1．函数是一次函数，则k的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是∶k、b为常数，且，自变量次数为1．根据一次函数定义可得且，即可求解． 【详解】解：由题意得：且， 解得∶， 故选∶D． 2．当 时，函数是正比例函数；当 时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数及一次函数的定义，根据正比例函数定义“形如的函数”及一次函数的定义“形如的函数”求解即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：已知函数， 若该函数为正比例函数，则，且， 解得，且， 当，则符合题意； 若该函数为一次函数，则， 即； 故答案为：，． 3．已知函数； (1)当取何值时，这个函数是正比例函数？ (2)当在什么范围内取值时，这个函数是一次函数？ 【答案】(1)当时，这个函数为正比例函数 (2)当时，这个函数是一次函数 【分析】（1）根据正比例函数的定义求解即可； （2）根据一次函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， ∴当时，这个函数为正比例函数； （2）解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， ∴当时，这个函数是一次函数． 【点睛】本题主要考查了一次函数与正比例函数的定义，熟知二者的定义是解题的关键． 易错题型三　求一次函数解析式 例题：直线向右平移2个单位长度，所得图象恰好过点，则b的值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与几何变换的知识，将直线向右平移2个单位长度后直线的解析式为：，又该直线经过点，将点代入直线即可求出答案． 【详解】解：将直线向右平移2个单位长度后直线的解析式为：， 将点代入，得， 解得：． 故选：C． 巩固训练 1．在平面直角坐标系中有两条直线、，直线所对应的函数关系式为，如果将坐标纸折叠，使与重合，此时点与点也重合，则直线所对应的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线的平行，待定系数法，轴对称的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据坐标纸折叠，点与点重合，且点与点关于直线对称，得出折痕为直线，根据直线直线，得出直线直线，利用待定系数法求出解析式即可． 【详解】解：∵点与点重合， 又∵点与点关于直线对称， ∴折痕为直线， ∴直线与关于直线对称， ∵直线所对应的函数关系式为， ∴直线直线， ∴直线直线， ∴设直线的解析式为， ∵是直线上的点， ∴点是直线上的点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 故选：C． 2．写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、四象限和点，则这个一次函数可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】设一次函数解析式为，根据一次函数的性质得，据此写出函数解析式即可．本题考查了一次函的图象和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【解答】解：∵函数图象经过第一、二、四象限和点 ∴， 不妨，则一次函数解析式为 故答案为：（答案不唯一）． 3．已知：一次函数的图象经过，两点． (1)求的值； (2)若在一次函数的图象上，求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，平面上两点间的距离公式的应用．根据待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）直接把两点的坐标代入一次函数，求出的值即可； （2）根据（1）中的值得出一次函数的解析式，再把代入求出a的值即可；再利用平面上两点间的距离公式求线段长． 【详解】（1）∵一次函数的图象经过，两点 解得： ∴的值分别是1和2； （2）由（1）得：一次函数解析式为 在一次函数的图象上， 由平面上两点间的距离公式得：， 故线段的长为． 易错题型四　一次函数的图象与性质 例题：在同一平面直角坐标系中，，分别是与的图象上的点，且，关于原点成中心对称，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，求一次函数的函数值， 设点P的坐标，再根据中心对称表示点Q的坐标，然后代入关系式求出答案即可． 【详解】解：设点， ∵点P，Q关于原点对称， ∴点． ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴， ∴点． 故选：C． 巩固训练 1．已知一次函数和（且），这两个函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象与比例系数的关系是解题的关键． 根据一次函数中，图象经过第一、二、三象限；图形经过第一、三、四象限；图形经过第一、二、四象限；图形经过第二、三、四象限；由此即可求解． 【详解】解：当时，的图象经过第一、二、三象限，D选项符合题意； 当时，的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第一、二、四象限，A，B，C选项不符合题意； 当时，的图象经过第二、三、四象限，A，B，C选项不符合题意； 当时，的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第一、三、四象限，A，B，C选项不符合题意； 故选：D ． 2．关于一次函数，下列说法正确的有 ．（直接填序号） ①y随x的增大而增大；    ②图象与直线平行； ③函数图象与y轴的交点为；    ④函数图象经过第一、二、三象限 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，以及一次函数与坐标轴的交点． 根据一次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：①∵， ∴y随x的增大而减小，故本项错误，不符合题意； ②∵与直线中k值相同， ∴图象与直线平行，故本项正确，符合题意； ③当时，， ∴函数图象与y轴的交点坐标是，故本项正确，符合题意； ④∴，， ∴函数的图象经过第一、二、四象限，故本项错误，不符合题意； 综上分析可知：正确的有②③． 故答案为：②③． 3．如图，一次函数与x轴、y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)点在轴上，若的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)当点在点上方时，；当点在点下方时， 【分析】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出直线与坐标轴的交点坐标，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． （1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标； （2）分点在点上方和点在点下方两种情况讨论． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ； （2）点在轴上，若的面积为6， ， ， ， 当点在点上方时，． 当点在点下方时，． 易错题型五　一次函数图象与坐标轴交点问题 例题：一次函数图象与y轴交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与轴的交点．熟练掌握一次函数与轴的交点是解题的关键． 当时，，进而可求交点坐标． 【详解】解：当时，， ∴一次函数图象与y轴交点是， 故选：D． 巩固训练 1、在平面直角坐标系中，若将直线向下平移3个单位长度后，恰好经过原点，则直线与x轴的交点坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象向下平移k不变，可得平移后的函数解析式为：，把点代入可求得m，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵若将一次函数的图象向下平移3个单位长度， ∴平移后的函数解析式为：， ∵函数解的图象经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，， ∴直线与x轴的交点坐标为， 故选：A． 2．直线过点，且与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数(，、为常数)与两坐标轴交点的坐标的求法、等腰直角三角形的性质．令可以求出，所以一次函数与轴的交点坐标的横坐标为，直线过点，所以直线与轴交点的纵坐标为，根据图象与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，可得方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：把点代入一次函数， 得到：， 当，可得:， 直线与轴的交点坐标为， 图象与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形， ， 整理得：， ． 故答案为： ． 3．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求两点的坐标； (2)轴上有一点，且，求的面积． （提示：可能在O的左边，也可能在O的右边） 【答案】(1)， (2)的面积为4或12 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形： （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标． （2）由点A、B的坐标得出的长，结合可得出P点坐标，进而求出的长，再利用三角形的面积公式求出面积． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴P点坐标为或， ∴或6， ∴或， ∴的面积为4或12． 易错题型六　一次函数图象平移问题 例题：若要把直线的图象变为直线的图象，则下列平移方法正确的是（   ） A．向下平移 10个单位 B．向上平移10个单位 C．向上平移8个单位 D．向下平移8个单位 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移法则：左加右减，上加下减，求解即可，熟练掌握一次函数的平移是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴要把直线的图象变为直线的图象，原图象向上平移了个单位， 故选：B． 巩固训练 1．将一次函数的图象沿x轴向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数图象的平移．根据左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：将一次函数的图象沿x轴向左平移2个单位长度得到， 一次函数再向上平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数解析式为． 故选：B． 2．若直线与直线互相平行，则的值为 ． 【答案】 【分析】由平行可得，解得即可．本题考查了一次函数的性质，两条直线平行问题，两条直线平行一次项系数相等，常数项不等． 【详解】解：直线：与直线互相平行， ， 解得， 故答案为：． 3．已知一次函数．    (1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (2)把该函数图象向上平移3个单位，判断点是否在平移后的函数图象上． 【答案】(1)见解析 (2)在 【分析】（1）根据函数图象与，轴的坐标交点坐标，画出图象即可； （2）根据平移的特点得出解析式，进而解答． 【详解】（1）解：列表： 2 0 0 过点和点画出直线，   ； （2）解：把函数图象向上平移3个单位， 得函数的解析式为， 当时，， 点在平移后的直线上． 【点睛】本题考查一次函数与几何变换，关键是根据函数图象与，轴的坐标交点画出图象． 易错题型七　一次函数与方程 例题：若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． 巩固训练 1．如图是一次函数与的图象，则下列结论：①；②；③：④方程的解是，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象与性质，根据一次函数的性质和一次函数与一元一次方程的关系进行判断即可；准确分析判断是解题的关键． 【详解】∵一次函数＝经过第一、二、四象限， ∴，，故①③正确； ∵直线＝的图象与轴的交点在轴下方， ∴，故②错误； ∵一次函数＝与＝的图象的交点横坐标为3， ∴当时，＝，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 故选：C． 2．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象与一元一次方程的综合，根据题图示，两条直线的交点即为方程的解，由此即可求解，掌握一次函数的交点与一元一次方程的解的知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，两直线的交点坐标为， ∴关于的方程的解为：， 故答案为：． 3．请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 3 1 3 5 … (1)表格中：__________，________． (2)在直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察图象： ①当_________时，随的增大而增大； ②若关于的方程没有实数根，则的取值范围是___________． 【答案】(1)1，7 (2)详见解析 (3)①；② 【分析】本题是函数以绝对值的综合运用，掌握绝对值的性质，观察列表中的数，并找出规律，用描点，连线的方法画函数图象是解题的关键． （1）将代入，即可求解； （2）利用描点，连线的方法即可求解函数图象； （3）①从（2）中图象可求解；②根据图象的最值即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：1，7； （2）解：根据表中数据，描点，连线如图所示： （3）解：①根据函数图象可得，当时，函数值随自变量的增大而增大； 故答案为：； ②根据函数图象可得，若关于的方程没有实数根， 则与没有交点， 的最小值为， 时，方程没有实数根， 故答案为：． 易错题型八　一次函数与不等式 例题：如图，直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求的解集，即为，就是求函数值小于0时，x的取值范围，解题时应结合函数和不等式的关系找出正确的答案． 【详解】∵要求的解集，即为求的解集， ∴从图象上可以看出等时，， 故选：C． 巩固训练 1．如图，已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，首先利用图象可找到图象在轴上方时，进而得到关于的不等式的解集是． 【详解】由题意可得：一次函数中，时，图象在轴上方，， 则关于的不等式的解集是， 故选：A． 2．一次函数的图象如图所示，观察图象回答问题：当时， ，当 时，，当 时，． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质、函数图象解不等式等知识，根据一次函数的性质结合函数图象，按要求逐步求解即可得到结论．正确地识别图象是解题的关键． 【详解】解：观察图象： 当时，是图中一次函数图象与轴交点的纵坐标，则； ，是指一次函数图象在轴上方图象，则此情况； 时，如图所示： ，是指一次函数图象在直线下方图象，也就是轴右侧的一次函数图象，则此情况； 故答案为：． 3．已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数图象解不等式， （1）根据图示，时，，结合图象可求解； （2）根据图示，当时，图象在轴上方，由此即可求解； （3）根据图示，结合（2）的结果，当时，满足条件，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，当时，， ∴的解为； （2）解：根据图示，当时，图象在轴上方，即， ∴不等式的解集为； （3）解：由（2）可得，当时，，当时，， ∴时，． 易错题型九　一次函数与反比例函数 例题：已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，掌握函数与不等式的关系是解答关键． 根据图象确定出它们的交点，利用交点坐标来确定出不等式的解集． 【详解】解：由图象可知，一次函数与反比例函数的交点是和， 所以当或时，． 故选：C． 巩固训练 1．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx， 将（4，8）代入得：8＝4k， 解得：k＝2， 故直线解析式为：y＝2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝， 将（4，8）代入得：8＝， 解得：a＝32， 故反比例函数解析式为：y＝； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）． 当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3， 当y＝6，则6＝，解得：x＝， ∵−3＝（小时）， ∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间小时 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．根据一次函数的值小于反比例函数的值时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，可得自变量的取值范围． 【详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， 根据图象可得，当时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 自变量的取值范围是或． 故答案为：或． 3．如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求x的取值范围； (3)在y轴上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是用绝对值的方法确定的长度， （1）在中，，，再用待定系数法即可求解； （2）求出点D坐标，观察函数图象即可求解； （3）设点P的坐标为，则，，即可求解．， 【详解】（1）在中，，， 故点A、B的坐标分别为、， 将点A、B的坐标代入直线的表达式得，， 解得： 故直线的表达式为； 当时，， 点C的坐标为， 将点C的坐标代入反比例函数表达式得， 解得：， 故反比例函数的解析式； （2）直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D， 联立， 解得：或 ， 点C在第一象限，点D在第三象限， 点D坐标为， 观察图象知，当时，x的取值范围是或； （3）设点P的坐标为， 则， ， 解得：或， 点P的坐标或 易错题型十　一次函数应用之分配方案问题 例题：甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论数量多少，价格均为6元，在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，超过部分的价格为5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为． (1)设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式： (2)若只在一个批发店购买，你认为在哪家更划算？ 【答案】(1) (2)当时，到甲批发店购买更划算；当时，甲、乙两个批发店购买一样划算；当时，到乙批发店购买更划算 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， 对于（1），甲批发店根据数量乘以单价可得关系式，乙批发店分两种情况：，，可得关系式； 对于（2），分三种情况计算讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 当时，； 当时，， ∴； （2）解：设他在同一个批发店一次购买苹果的数量为，根据题意得， ， 解得 ， 当时，到甲批发店购买更划算； 当时，甲、乙两个批发店购买一样划算； 当时，到乙批发店购买更划算． 巩固训练 1．为健全高考考务工作制度，规范考试管理，保障高考的正常实施，维护高考的公平性、严肃性、权威性，按照教育部高考考务工作规定：高考只能在县级及以上设立考区．因而我县高考全部安排在祥云一中进行，执行统的考试操作流程和规则，确保考试公平和公正．据悉，今年祥云四中参加高考的学生及带队教师约人，经过研究，学校决定租用A、B两种型号共辆客车作为交通工具将师生载至目的地．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数） 型号 载客量 租金单价 A 人/辆 元/辆 B 人/辆 元/辆 (1)设租用型号客车辆，租车总费用为元，求与的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)请你帮忙设计出一种最省钱的租车方案，并求出最低费用． 【答案】(1)（，且x为整数） (2)当租用型号客车辆，型号客车辆时，租车费用最低，最低费用为元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次一不等式组，根据题意列出函数关系式以及熟练掌握一次函数增减性是解题的关键， （1）根据题意，可得函数关系式，根据，即可求自变量取值范围； （2）在自变量取值范围内根据一次函数增减性即可求出最低费用及其方案． 【详解】（1）解：设租用型号客车辆，则租用型号客车辆， 由题意得：， 即与的函数解析式为：， 由题意得：，解得：， 即自变量的取值范围为，且x为整数； （2）解：由（1）得：费用为（，且x为整数） ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，费用最小， 最低为（元）， 答：当租用型号客车辆，型号客车辆时，租车费用最低，最低费用元． 2．周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 【答案】(1)， (2)选择乙方案更划算，见解析 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正确求出一次函数的解析式是解题关键． （1）根据甲、乙收费方案即可求解； （2）令，分别求出，，即可进行判断． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）选择乙方案更划算 理由：当时， ， ． ∵， ∴选择乙方案更划算． 3．计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ 【答案】(1)，， (2)当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为91000元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，读懂题意、根据已知列出函数关系式、掌握并能运用一次函数的性质是解题的关键． （1）根据题目中的数量关系列代数式即可； （2）根据（1）列出运输总费用函数关系式，再确定自变量的取值范围，利用一次函数增减性求解即可． 【详解】（1）解：从甲厂运往A地的有x台设备，则甲厂运往B地台；乙厂运往A地台；乙厂运往B地台． 故答案为：，，． （2）解：设运输费为y百元，依题意得： ， ∵， ∴y随x的增大而增大，当x最小时，y最小， ∵；； ∴． ∴当时，，即y有最小值910． ∴当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为91000元． 易错题型十一　一次函数应用之最大利润问题 例题：在年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车辆，已知中级型汽车的售价为万元/辆，紧凑型汽车的售价为万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于辆，设购进a辆中级型汽车，辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元 (2)该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，W最大为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用；根据题意建立等量关系是解题的关键． （1）设中级型汽车进货单价为x元和紧凑型汽车进货单价为y元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）设中级型汽车进货单价为x元和紧凑型汽车进货单价为y元． ， 解得， ∴中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元． （2）由题可得， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最大值为， ∴该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，W最大为万元． 巩固训练 1．红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍． (1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元？ (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)种树苗的单价是4元，则种树苗的单价是5元； (2)有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买种树苗75棵费用最低，最低费用是475元 【分析】对于（1），设A种树苗的单价，可表示B种树苗的单价，再根据总价等于4000，求出解； 对于（2），先列出不等式组，求出解集，可得方案，然后列出一次函数表示总费用，再根据一次函数的性质得出最低费用即可． 【详解】（1）解：设A种树苗的单价是元，则种树苗的单价是元，根据题意得：， 解得：， ， 答：A种树苗的单价是4元，则种树苗的单价是5元； （2）解：设购买A种树苗棵，则购买种树苗棵，其中为正整数，根据题意得：， 解得：， 为正整数， 取20，21，22，23，24，25， 有6种购买方案， 设总费用为元， ， 随的增大而减小， 当时，最小，最小值为475， 此时， 答：有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买种树苗75棵费用最低，最低费用是475元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质等，确定等量关系和不等关系是解题的关键． 2．奥运会期间，某网店直接从工厂购进、两款纪念币，进货价和销售价如表： （注：利润=销售价−进货价） 类别价格 款纪念币 款纪念币 进货价（元/枚） 销售价（元/枚） (1)网店第一次用元购进、两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的件数； (2)第一次购进的、两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】(1)购进款纪念币枚，购进款纪念币枚 (2)再次购进款纪念币枚，购进款纪念币枚，能获得最大销售利润，最大销售利润为元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）设分别购进款纪念币、款纪念币枚，由题意得：，据此即可求解； （2）设再次购进款纪念币枚，则购进款纪念币枚，利润为，；结合即可求解； 【详解】（1）解：设分别购进款纪念币、款纪念币枚， 由题意得： 解得： ∴购进款纪念币枚，购进款纪念币枚 （2）解：设再次购进款纪念币枚，则购进款纪念币枚，利润为， 则 ∵ 解得： 又∵随的增大而减小 ∴当时，取最大值，且 此时： 故再次购进款纪念币枚，购进款纪念币枚，能获得最大销售利润，最大销售利润为元 3．每年4月23 日是世界读书日，旨在推动更多的人去阅读和写作，某书店以读书日为契机，决定购进甲，乙两种图书，供消费者选择．经调查，乙种图书每本进价20元，甲种图书的总进价与购进甲种图书的数量x之间的函数关系如图所示： (1)请求出当时，y与x的函数关系式； (2)若该书店准备购进甲，乙两种图书共300本，且每种图书数量都不少于120本，书店计划甲种图书以每本30元出售，乙种图书以每本25 元出售，如何购进两种图书，才能使书店所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)应购买甲种图书180本，乙种图书120本，利润最大，最大为是1680元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求出一次函数的关系式是解题关键． （1）利用待定系数法求出关系式即可； （2）先求出当时，设y与x的函数关系式，再设书店所获利润为w元，可得w关于x的关系式，再利用一次函数的性质求出最少的费用即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，y与x的函数关系式为； （2）解：当时，设y与x的函数关系式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴当时，设y与x的函数关系式为， 根据题意得：， 设书店所获利润为w元，则有 ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 答：应购买甲种图书180本，乙种图书120本，利润最大，最大为是1680元． 易错题型十二　一次函数应用之行程问题 例题：如图是小明放学骑车回家行驶的路程y(千米)与行驶时间x(分钟)的函数图象，已知前10分钟的速度是千米/分钟，行驶10分钟时车子发生故障，维修车子用了5分钟． (1)刚发生故障时，小明离家有多远？ (2)维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了多少？ 【答案】(1)千米 (2)维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了千米 【分析】本题主要考查函数图象获取信息，理解图示，掌握行程问题的数量关系是解题的关键． （1）由图可得总行程为千米，先算出前10分钟所行驶的距离，总路程减去行驶的路程即可求解； （2）总的时间减去前10分钟和修车的5分钟，则可得后面的时间，由行程的数量关系可得行驶速度，由此即可求解． 【详解】（1）解：前10分钟所行驶的距离为 (千米)， (千米)． 故刚发生故障时小明离家有千米． （2）解：后5分钟的速度为 (千米/分钟)， (千米/分钟)． 故维修后车子每分钟行驶的路程比原来增加了千米． 巩固训练 1．甲、乙两辆车先后从A地出发到B地，甲车出发后，乙车才出发，如图所示的和表示甲、乙两车离出发地的距离与乙车行驶时间之间的关系． (1)表示乙车离出发地的距离y与乙车行驶时间x之间关系的是 （填l1或l2）； (2)试分别确定甲、乙两车离出发地的距离与乙车行驶时间之间的关系式． (3)乙车能在内追上甲车吗？若能，说明理由；若不能，求乙车行驶几小时才能追上甲车． 【答案】(1) (2)甲车的函数的关系式为：；乙车的函数关系式为：； (3)乙车不能在小时内追上甲车．乙车追上甲车时，乙车行驶了2小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确分析函数图象、弄清图象的数据的意义以及找准行程问题中各量之间的关键是解题的关键． （1）通过分析函数图象就可以得出表示B车离出发地的距离y与追赶时间x之间的关系； （2）根据速度路程时间就可以求出两车的速度，根据题意得出函数关系式即可； （3）设B车行驶a小时可以追上A车，由追击问题的等量关系建立方程求出其解． 【详解】（1）解：甲车出发后，乙车才出发， 由函数图象得： 表示乙车离出发地的距离y与追赶时间x之间的关系； （2）由图象可知，直线经过点， 设甲车的函数的关系式为， 则有， 解得， 甲车的函数的关系式为：； 直线经过点，， 设乙车的函数的关系式为， 则有， 解得 乙车的函数关系式为：； （3）设乙车行驶a小时可以追上甲车，由题意得： ， 解得：， ∵， ∴乙车不能在小时内追上甲车． 乙车追上甲车时，乙车行驶了2小时． 3．如图表示甲乙两船沿相同路线从A港出发到B港行驶过程中路程随时间变化的图象，根据图象解答下列问题： (1)甲船出发 小时后乙船才出发；乙船的平均速度为 千米/小时． (2)请分别求出表示甲船和乙船行驶过程的函数解析式． (3)问乙船出发多长时间赶上甲船？ 【答案】(1)2， (2)甲船行驶过程的函数解析式为，乙船行驶过程的解析式为 (3)乙船出发小时赶上甲船． 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象获取信息是解题的关键． （1）根据函数图象中的数据可以计算出甲船和乙船的速度； （2）待定系数法求解析式即可求解； （3）设乙船出发小时赶上甲船，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由图象知，甲船出发2小时后乙船才出发； 甲船的速度为：千米/小时，乙船的速度为：千米/小时， 故答案为：2，； （2）解：设表示甲船行驶过程的解析式为， 将点代入得，， ∴甲船行驶过程的函数解析式为：， 设表示乙船行驶过程的解析式为：，将代入得， ， 解得： ∴乙船行驶过程的解析式为：； （3）解：设乙船出发小时赶上甲船， ， 得， 答：乙船出发小时赶上甲船． 48．有一科技小组进行了机器人行走性能试验在试验场地有、、三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从、两点同时同向出发，历时分钟同时到达点，如图是甲、乙两机器人之间的距离米与他们的行走时间分钟之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： (1)、两点之间的距离是 米； (2)求线段所在直线的函数表达式，写出自变量的取值范围； (3)当出发分钟时，求甲、乙两机器人之间的距离. 【答案】(1)； (2)； (3)当出发分钟时，甲、乙两机器人之间的距离为米. 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出、两点之间的距离； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）把代入（2）中解析式即可. 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答. 【详解】（1）解：由图象可得，、两点之间的距离是米， 故答案为：； （2）解：设线段所在直线的函数表达式为， ，， ， 解得， 线段所在直线的函数表达式为； （3）解：当时，， 当出发分钟时，甲、乙两机器人之间的距离为米. 易错题型十三　一次函数应用之几何问题 例题：直线交x轴于点，交轴于点，与直线交于点C． (1)求交点的坐标； (2)直接写出当取何值时． (3)在轴上取点使得，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）联立方程组，可求解； （2）结合图象可求解； （3）先求出点P坐标，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：联立方程组可得∶ 解得 点的坐标为． （2）解：如图，当时，． （3）解：直线交x轴于点，交轴于点， 点，点． 在轴上取点使得， ． 点或． 或 ． 或． 巩固训练 1．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)过B点作直线与x轴交于点P，若的面积为10，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． （1）根据直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，令．求出的值；再令求出的值，即可得出结论； （2）直接根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B， 令，则； 令则， （2）解：由（1）知，， ， 的面积为10， ． 即， 或． 2．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点E、F．点E的坐标为，点A的坐标为．点是直线上的一个动点． (1)求k的值； (2)当点在第二象限时， ①试写出的面积S与x的函数关系式； ②当的面积是10时，求此时P点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数解析式，一次函数与几何综合． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①由（1）得：直线的解析式为，求出，根据，计算求解即可； ②当时，则，解得，，进而可得P点的坐标． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得，； （2）解：①由（1）得：直线解析式为， ∵， ∴， ∵点是直线上的一个动点，且点在第二象限， ∴且， ∴， ∴； ②解：当时，则， 解得，， ∴， ∴P点的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)若P是x轴上一点，且的面积是6，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （1）将点代入可得，进而得点．将点、代入即可求得解析式； （2）设点，则，据此即可求解； 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：； ∴点． 将点、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：设点， 则， 解得：或， ∴点P的坐标为或 03 压轴题型 压轴题型一　一次函数图象与性质压轴 例题：1．如图，已知直线与双曲线交于两点，且点A的横坐标为4． (1)求的值； (2)若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积； (3)过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第三象限），若由点为顶点组成的三角形面积为12，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据一次函数与反比例函数相交于点A，将点代入函数解析式即可求得k的值， （2）利用已知点的坐标表示出围成图形的边长，运用反比例函数k的几何意义即可求解． （3）由反比例函数正比例函数图象交点关于原点对称，可分情况设出点P，Q的坐标，点P在点A的左面与右面表示出四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵点A横坐标为4， 把代入 得， ∴， ∵点A是直线与双曲线的交点， ∴． （2）解：如图，    过点C、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点C在双曲线上， 当时，， ∴点C的坐标为． ∵点C、A都在双曲线上， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴； （3）解：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴，， ∴， ∴， 设点P的横坐标为（且）， 得 ， 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， ∴， 若，如图，    ∵， ∴． ∴． ∴，（舍去）， ∴， ∴； 若，如图，    ∵， ∴． ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． ∴点Q的坐标是或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的图像交点问题， 反比例函数与坐标轴围成面积， 反比例函数正比例函数图象结合问题，中心对称图形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 巩固训练 2．已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和的坐标； (2)求点的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）令，求得；令，求得，即可得出点A、B坐标； （2）过点P作于C，设，则，，根据，得，求出值即可求解． （3）设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F，根据题意可求得，，再利用等积法求，，则，由点Q在第四象限，即可写出点Q坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ∴， 令，则， ∴． （2）解：如图，过点P作于C， ∵点P在直线上， ∴设， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 解得：， ∴． （3）解：如图，设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F， 把代入，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点Q在第四象限， ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴交点问题，直线与坐标轴围成的三角形面积问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，三角形的面积．熟练掌握利用等积法求高是解题的关键． 3．如图，在中，点，点，双曲线与边交于，两点，点的纵坐标大于点的纵坐标． (1)当点的坐标为时，求的值； (2)若，求点的坐标； (3)连接，记的面积为，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题主要考查反比例函数及其应用，一次函数及其应用，求解一次函数关系是解题的关键． （1）根据一次函数图象上点的坐标的特征求解点坐标，再代入反比例函数关系式计算可求解值； （2）由值可得反比例函数解析式，将两解析式联立解析式求解交点坐标，即可求解； （3）设点坐标为，则，根据三角形的面积公式可求得的取值范围，即可求得的取值范围，再利用反比例函数图象上点的特征可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 把代入中，解得， 点的坐标为， 双曲线过点， ； （2）解：当时，， ， 解得， 直线与双曲线的交点坐标为，， 交点的纵坐标大于交点的纵坐标， 点坐标为， （3）解：设点坐标为，则， ， ， ， ， 即， ， ， 当时， ． 压轴题型二　一次函数中的旋转问题（45度） 例题：4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求b和k的值： (2)如果直线绕点B逆时针旋转交x轴于点D，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，设点E是y轴上的一点，当四边形是梯形时，求点E的坐标． 【答案】(1)，6 (2) (3)或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，掌握一次函数的性质、梯形的性质、三角形全等等，注意分类求解是解题的关键． （1）把点代入一次函数求出，把点代入求出得点，把代入，求出的值即可； （2）证明，得到点G的坐标为，再用待定系数法即可求解； （3）结合梯形的定义分和两种情况，运用待定系数法分别求出的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与x轴交于点， ∴把点代入一次函数，得： ∴ ∴一次函数的解析式为：， 把点代入，得：， 解得， ∴， 把代入，得， （2）解：过点作交于点G，过点A作y轴的平行线交过点B与x轴的平行线于点F，交过点G与x轴的平行线于点E，如图， ∵，故为等腰直角三角形， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点G的坐标为， 设直线的表达式为， 把代入得，， 解得， 故直线的表达式为； （3）解：∵是梯形， ∴当时，如图， ∵，点在轴上， ∴； 当时，如图， 对于，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 综上，点的坐标为或 巩固训练 5．已知一次函数的图像经过、，点C是线段的中点，交x轴于点P，点C关于x轴的对称点为，把线段以点C为旋转中心，顺时针旋转，点的对应点为点D． (1)求一次函数的解析式． (2)求点D的坐标． (3)若点C、、D、M为顶点的四边形是平行四边形，且是平行四边形的一条边，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与图形结合的综合问题，解题的关键是通过题干作出所对应图形求解． （1）待定系数法求解． （2）作出旋转后的图象，通过勾股定理求解． （3）讨论D所在位置分别求解． 【详解】（1）由一次函数的图象经过、， ，解得， ∴一次函数的解析式为：． （2）∵点C是线段的中点， ∴轴，轴， ∴点P坐标为，点C横坐标为1，把代入得， ∴点C坐标为， ∵点C关于x轴的对称点为， ∴坐标为，， 以点C为旋转中心，顺时针旋转，得，， 作于点H，， ∵， ∴， ∴点D的坐标为． （3）∵是平行四边形的一条边， ∴且， ∵轴， ∴轴， ∴M点的坐标为或． 6．在平面直角坐标系中（如图），点为直线和双曲线的一个交点， (1)求、的值； (2)若点，在直线上有一点，使得，请求出点的坐标； (3)在双曲线是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1)k=-，m=-4； (2)点P的坐标为（4，-1）或（-12，3） (3)M（，） 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）如图1中，设直线y=-x与反比例函数y=-的另一个交点为C（4，-1）．由对称性可知：OA=OC，推出当点P与C重合时，S△ABP=2S△ABO，此时P（4，-1）．当点P在OA的延长线上时，P′A=AC时，S△ABP=2S△ABO，再利用中点坐标公式求解即可． （3）如图2中，将OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，则A′（1．4），取AA′的中点D，作直线OD在第二象限交反比例函数于M．此时∠AOM=45°，求出直线OD的解析式，再构建方程组确定点M的坐标． 【详解】（1）∵点A（-4，1）在直线y=kx和双曲线y=的图象上， ∴k=-，m=-4． （2）如图1中，设直线y=-x与反比例函数y=-的另一个交点为C（4，-1）． 由对称性可知：OA=OC， ∴当点P与C重合时，S△ABP=2S△ABO，此时P（4，-1）． 当点P在OA的延长线上时，P′A=AC时，S△ABP=2S△ABO，此时P′（-12，3）， 综上所述，满足条件的点P的坐标为（4，-1）或（-12，3）． （3）如图2中，将OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，则A′（1．4）， 取AA′的中点D，作直线OD在第二象限交反比例函数于M．此时∠AOM=45°， ∵D（-）， ∴直线OD的解析式为y=-x， 由 ，解得 或 ， ∵点M在第二象限， ∴M（，）． 【点睛】此题考查反比例函数综合题，一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 压轴题型三　一次函数的翻折问题 例题：7．如图，平面直角坐标系中，四边形是长方形，为原点，点在轴上，点在轴上，，，点在边上，将沿着翻折，点恰好落在，边上点处． (1)求点的坐标； (2)求折痕所在直线的表达式． 【答案】(1)点的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理以及待定系数法求一次函数的解析式的综合应用．解答此题时注意坐标与图形的性质的运用以及方程思想的运用． （1）根据折叠的性质知．在中，由勾股定理求得； （2）根据知，由折叠的性质与勾股定理，求得，利用待定系数法求所在直线的解析式． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ，， 由折叠的性质知，， ， 在中，由勾股定理得， ； （2）解：设所在直线的解析式为， ， ， 由折叠的性质知，， 设， ，， 由勾股定理得， 即， 解得， ， ， 代入得，， 故所在直线的解析式为：． 巩固训练 8．如图，函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段为边在第一象限内作等边． (1)求点C的坐标； (2)将沿着直线AB翻折，点C落在点D处，求直线的解析式； (3)在x轴上是否存在E，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）先求出A、B的坐标，进而得到在上截取，则，进一步证明，再结合等边得到，最后写出坐标即可； （2）如图：由折叠的性质可得、，即点D在y轴上，然后再说明，最后运用待定系数法法求解即可； （3）设，则，、；再分、、三种情况，分别运用两点间的距离公式求得m即可解答． 【详解】（1）解：∵函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴，， ∴， 如图：在上截取，则， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴, ∵等边， ∴，， ∴， ∴． （2）解：如图：∵将沿着直线AB翻折，点C落在点D处， ∴，， ∴D在y轴上， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为：． （3）解：设，则，，． ①当时，，解得：， ∴，或； ②当时，，解得：， ∴或（舍去）； ③当时，，解得：，此时， ∴综上所述，满足条件的E点坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数与几何综合、等腰三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解答本题的关键． 9．如图，已知直线交轴于点，轴于点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在双曲线上． （1）求的值； （2）将绕的中点旋转得到，请判断点是否在双曲线上，并说明理由. 【答案】（1）（2）点P在双曲线上，理由见解析 【分析】(1)由△AOB≌△ACB求得C点坐标,代入双曲线即可求得k值 (2)由B点找出关于AC中点的对称点即P点,得出P点坐标,判断是否在双曲线上 【详解】(1)由△AOB≌△ACB,BC=OB,AC=AO,则令 y=0,x=3;x=0,y=, 即A(3,0)B(0,)设C(x,y) ， 解得 ， 代入双曲线k=xy= ； (2)设AC中点为D,则D点坐标D为: 即 ,再设P点坐标(x,y) , 解得: 把坐标代入双曲线y= 等式成立, 故点P在双曲线上． 【点睛】此题考查一次函数综合题，解题关键在于利用旋转的性质得到三角形全等 压轴题型四　一次函数的新定义问题 例题：10．定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：正比例函数，它的相关函数为 (1)已知点在正比例函数的相关函数的图象上，则m的值为______； (2)已知正比例函数 ①这个函数的相关函数为______； ②若点在这个函数的相关函数的图象上，求n的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据题意把点代入求解即可； （2）①根据相关函数的定义求解即可；②分类讨论：当、时，分别把点代入相应的函数求解即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的相关函数的图象上，， ∴把点代入得，， 故答案为：； （2）解：①由题意可得，正比例函数的相关函数为， 故答案为：； ②∵点在这个函数的相关函数的图象上， 当时，把点代入得，， ∴， 当时，把点代入得，， ∴， ∴或． 巩固训练 11．定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． (1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值； (2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点． ①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值； ②若，点在点的上方，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，二元一次方程组，一元一次不等式的求值，理解“星辰函数”的定义，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据“星辰函数”的定义可得，由此列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意，函数与的图象相交于点，联立方程组可得，设函数、的“星辰函数”为，对于①则有，由此化简即可求解；对于②则有点的横坐标为，纵坐标为，根据点在点的上方，可得，由此化简即可求值． 【详解】（1）解：根据“星辰函数”的定义有，， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵函数与的图象相交于点， ∴， 解得，， ∴， 根据题意，设函数、的“星辰函数”为， ①∵点在“星辰函数”上， ∴，整理得，， ∵， ∴， ∴； ②过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∵点在点的上方， ∴， ∴， ∵，则， ∴ ∴． 12．阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：，则这三点中，可以做线段的“等距点”是 ，线段的“完美等距点”是 ； (2)若坐标原点O为线段AP的“等距点”，求出点P的坐标； (3)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (4)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 【答案】(1)和； (2)点P的坐标为或， (3)点的坐标为或； (4)点P的坐标为或 【分析】（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到，的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）由在上，得到，根据两点间的距离公式，由列出等式，求解即可， （3）设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （4）假定存在，设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论， 本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 为等距点． ，， ， 为等距点． ，， ， 不为等距点． ， ，，，， 为完美等距点， 故答案：和；； （2）解：在上， ， ， ， ， 或， （3）解：在上， ， ， ， ， 或， 设的坐标为， 或， ，， 或， 解得：或． 的坐标为或； （4）解：设点的坐标为， ， ，， 点是线段的“等距点”， ， ， 解得：， 为线段的“完美等距点”， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 解得：或， 当时，， 当时，， 点的坐标为或． 压轴题型五　一次函数中最值问题 例题：13．思考探究： 【形成概念】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间折线距离：． 【初步理解】 （1）已知点，则______． （2）函数的图象如图1所示，是图象上一点，，则点的坐标是_____． 【深入探究】 某数学小组研究以下问题：是函数的图象上的一点，当的值最小，求点坐标．小明同学从函数图像入手展开研究： （1）绘制函数图像： 列表： … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 1 1 3 5 7 … 表格中：______； 描点、连线：在平面直角坐标系（图2）中画出该函数图象； （2）请写出一条函数的性质：___________． （3）观察图象：，已知，求的最小值，并求出取得最小值时点坐标． 【答案】初步理解：初步理解：（1）； （2）   深入探究:（1）  （2）关于直线对称（答案不唯一）  （3）的最小值为，点坐标为 【分析】本题考查新定义，掌握新定义的运算法则，一次函数的图像和性质，运用分类讨论计算是解题的关键． 初步理解：（1）直接利用新定义计算即可； （2）设，根据定义可得方程，求出的值即可求点的坐标； 深入探究：（1）把代入计算m值即可，然后描点画图； （2）根据图象说出一条性质即可； （3）分为时，函数解析式为和时，函数解析式为，两种情况分类讨论即可解题． 【详解】解：初步理解： （1）， 故答案为：； （2）设， ∵, ， 解得 ∴, 故答案为: ； 深入探究：（1）当时，； 故答案为：； 如图，在平面直角坐标系中画出该函数图象； （2）函数的性质：关于直线对称， （3）当时，函数为，设点的坐标为， 令，解得， 当时，， 即当时，最小为； 当时，，不存在最小值； 当时，， 即当时，最小为； 当时，函数为，设点的坐标为， 令，则，解得， 当时，， 即当时，最小为； 当时，， 不存在最小值； 综上所述，的最小值为，这时点坐标为． 巩固训练 14．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段的中点，过点C作轴，垂足为D．       (1)求两点的坐标； (2)若在直线上有一点M，使得的面积为9，求点M的坐标； (3)若点E为y轴负半轴上一点，连接交x轴于点F，且，在直线上有一点P，使得最小，求P点坐标； (4)如图2，直线上存在点Q使得，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)、 (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）对于，令，解得：，令，则，即可求解； （2）设点M的纵坐标为，根据，列出方程，解方程得出或，然后代入求出点M的坐标即可； （3）作点关于直线的对称点，连接交于点，则点为所求点，进而求解； （4）当点在上方时，证明，得到的坐标为，进而求解，当点在下方时，同理可解． 【详解】（1）解：对于， 令， 解得：， 令，则， ∴点的坐标分别为、； （2）解：设点M的纵坐标为，根据题意得： ， 即， 解得：或， 把代入得：， 解得：， ∴此时点M的坐标为； 把代入得：， 解得：， ∴此时点M的坐标为； 综上分析可知：点M的坐标为或； （3）解：点为线段的中点， ∴点， ∵轴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交于点，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∴最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时点为所求点， 设直线的表达式为：，则， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点的坐标为； （4）解：存在，理由： 当点在上方时，如图2，过点作交于点，过点作轴于点， 则， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 在Rt和Rt中， ， ， ， 故点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把点的坐标代入得： ， 解得：， 直线的表达式为：， 当时，， 故点的坐标为， 当点在下方时， 过点作交于点， 则， ∴， ∴、A、M三点共线， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为的中点， 由中点坐标公式得，点，即， 由点、的坐标同理可求得直线的表达式为：， 当时，， 综上分析可知：点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式，中点坐标公式，全等三角形的判定和性质等，解题的关键是作出辅助线，注意分类讨论，避免遗漏． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为．求： (1)求正比例函数与一次函数的关系式； (2)在x轴上是否存在一点M使周长最小，若存在，求出点M的坐标； (3)在x轴上求一点Q使为等腰三角形，请求出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，坐标与轴对称，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，直线过点，， ∴，解得：， ； ∵过， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵，且为定值， ∴当最小时，的周长最小， 作作点关于轴的对称点，连接，则，， ∴当三点共线时，的值最小为的长， 同（1）可得：直线的解析式为：， ∴当时，， ∴． （3）∵， ∴， 设，则：，， 当为等腰三角形时， ①，则：， ∴， ∴； ②当时，，解得：， ∴； ③当时，， ， ∴， ∴（舍去）或， ∴； 综上：或或． 压轴题型六　一次函数中动点问题 例题：16．点，在直线同一侧，如图，于点，于点，已知，，，为直线上的动点．设． (1)请用含的代数式表示______； (2)将图建立在直角坐标系中，如图，当为何值时，求的最小值是多少？ 【答案】(1)； (2)当时，． 【分析】本题主要考查了勾股定理、一次函数的应用、轴对称最短路线问题． 利用勾股定理分别表示出、，然后再相加得到所需要的代数式； 利用轴对称的性质可得作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，建立坐标系求出直线的解析式，当时得到，代入中的代数式，求出的最小值． 【详解】（1）解：如下图所示， ，， ， 于点，， ， 于点，，， ， ； （2）解：如下图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时的值最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 此时． 巩固训练 17．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，动点P从点A出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿线段向点运动，当Q点到达点B时，点P也停止运动．连接线段，设点P运动的时间为t秒． (1)经过时，写出此时点P的坐标 ，点Q的坐标 ． (2)当线段时，求此时点P运动的时间t． (3)点M为线段中点，在点P、Q运动过程中，以点P、Q、M三点组成的三角形为等腰三角形时，求所有满足要求的t的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】本题考查了一次函数的应用，等腰三角形的分类标准，勾股定理，熟练掌握两点间距离公式是解题的关键． （1）根据题意，，当时，，直线与坐标轴交于两点，得到，继而得解． （2）根据题意，，得到，，，利用 得到方程，再解方程即可即可． （3）根据点为线段中点，得到，再由得到，，，再分当时，当时，当时三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，当时，， ∵直线与坐标轴交于两点， 当时，； 当时，； ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意，， ∵， ∴， ∴，， ∵线段，， ∴，即； 解得， ∴； （3）解： ∵，点为线段中点， ∴， 由（2）得：， ∴， ， 当时，则， 故， 整理得， 解得(舍去)； 当时，则， 故， 整理得， 解得； 当时，则， 故， 整理得， 解得； 综上所述：或或或或． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在，t的值为8或或或12． 【分析】（1）将点代入直线解得；即可将代入直线求得b即可； （2）①根据的面积公式列等式可得t的值； ②存在，分三种情况：当时，如图1，当时，如图2，当时，如图3，分别求t的值即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．将点代入得： ， 将点代入直线得： ∴， 解得：； （2）解：由（1）知：， 当时，， ， ， ， ， ； ①设，则，过C作于E，如图1所示： ， ， 的面积为10， ∴， 解得：； ②存在t的值，使为等腰三角形；理由如下： 过C作于E，如图1所示： ， ，， ∴， ∴； a．当时，， ， ； b．当时，如图2所示： 则， ，， 或； c．当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， ∴P与E重合， ，， ； 综上所述，存在t的值，使为等腰三角形，t的值为8或或或12． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题． 压轴题型七　一次函数的存在性问题 例题：19．如图，直线：与反比例函数交于点，，连接，． (1)求反比例函数及直线的表达式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在一点，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；； (2)； (3)存在；或． 【分析】（1）首先点在反比例函数上，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出点的坐标，根据、的坐标利用待定系数法求一次函数的解析式； （2）求出直线与轴的交点坐标，根据计算出的面积； （3）设直线与直线的交点为点，点的坐标为，根据可列方程求出，从而得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在反比例函数上， ， 反比例函数的解析式为， 又点也在反比例函数上， ， 点的坐标为， 把点、的坐标代入， 得到：， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得：， 点的坐标为， ， ， ； （3）解：如下图所示，直线与直线的交点为点， 当时，， 点的坐标为， 设点的坐标为，则， ， ， ， 又， ， 解：或， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数图象、一次函数与几何图形、待定系数法求解析式，解决本题的关键要注重数形结合的思想． 巩固训练 20．如图，在直角坐标系中，满足，，当点A从原点O开始沿x轴的正方向运动时，点B始终在第一象限运动． (1)当轴时，求B点坐标； (2)随着A、C的运动，当点B落在直线上时，求此时A点的坐标； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点D，使以O、A、B、D为顶点的四边形面积是16？如果存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据勾股定理，可得的长，根据勾股定理，可得的长，可得B点坐标； （2）过点B作轴，垂足为点E，设，先证明，可得，，根据勾股定理，可得x的长，可得A点坐标； （3）分类讨论：①D在y轴的正半轴上；②D在y轴的负半轴上，根据面积的和差，可得关于y的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B坐标为； （2）解：如图，过点B作轴，垂足为点E， ∵，， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵点B落在直线上， ∴设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴点； （3）解：设点，由（2）得， 当点D在y轴正半轴上，如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点； 若点D在y轴负半轴上，如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点D坐标为． 综上，存在点D，使以O、A、B、D为顶点的四边形面积是16，点D的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用面积的和差得出关于y的方程是解题关键，注意分类讨论，以防遗漏． 21．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若． (1)求线段的长度与直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 【答案】(1)3； (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． （1）根据勾股定理可得，设，解方程求出点B的坐标，进而求出直线的解析式； （2）设，根据勾股定理可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【详解】（1）解：由题知，设，则． 在中，， 即：， 解得， ∴，， 又，代入中， ∴，     解得， ∴． （2）设，则， 由折叠性质知：． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴． （3）或，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则,， 又∵ ∴ ∴， ∴，， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴) 设直线解析式为：， 则， 解得， ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： 设直线解析式为：， 则， 解得， ∴直线解析式为：， 联立得： 解得， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，同理可得 综上所述，或 压轴题型八　一次函数中应用压轴 例题：22．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y(米)与时间x(分)的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)　　，　　，　　； (2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； (3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？ 【答案】(1)10，15，200 (2)小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米． (3)爸爸自第二次出发至到达图书馆前，在自第一次出发分钟和20分钟时与小军相距100米． 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据时间路程速度，即可求出值，结合休息的时间为5分钟，即可得出值，再根据速度路程时间，即可求出的值； （2）根据数量关系找出线段、所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，再用3000去减交点的纵坐标，即可得出结论； （3）根据（2）结论结合二者之间相距100米，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出的值，即可得出结论； 准确分析图中的数量关系，利用数形结合解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：(分钟)， (分钟)， (米分)． 故答案为：10；15；200． （2）线段所在直线的函数解析式为； 线段所在的直线的函数解析式为． 联立两函数解析式成方程组， ，解得：， (米． 答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米． （3）根据题意得：， 解得：，． 答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，在自第一次出发分钟和20分钟时与小军相距100米． 巩固训练 23．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向10km以内的出行市场．现有A、B两种品牌的共享电动车，已知A品牌每分钟收费0.2元、B品牌的收费为y（元）与骑行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)求B品牌的收费y（元）与骑行时间x（分钟）之间的函数关系式，并写出相应的x的取值范围； (2)小王发现，他从家到单位上班，骑行A品牌或B品牌的共享电动车的费用相同，求小王骑共享电动车从家到单位的骑行时间； (3)小李每天也骑共享电动车上班，他说：“我从家来单位的话，A、B两种品牌的共享电动车的收费相差不超过1.2元”，请直接写出小李从家到单位骑行时间的取值范围． 【答案】(1)y＝ (2)20分钟 (3) 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出品牌的收费（元）与骑行时间（分钟）之间的函数关系式，并写出相应的的取值范围； （2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的方程，然后求解即可； （3）根据题意可知分两种情况，然后分别列出相应的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 当时，， 当时，设与的函数关系式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 当时，与的函数关系式为， 由上可得，； （2）设小王骑共享电动车从家到单位的骑行时间为分钟， 由题意可得：或， 解得（不合题意，舍去）或， 答：小王骑共享电动车从家到单位的骑行时间为20分钟； （3）设小李从家到单位用的时间为分钟， 由题意可得， 当时，且， 解得； 当时，且， 解得， 由上可得，小李从家到单位骑行时间的取值范围是． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式，写出相应的函数关系式，利用数形结合的思想解答． 24．某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜，B蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨． (1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值： C D 总计 A 200 B x 300 总计 240 260 500 (2)设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案． 【答案】(1)表格见解析，的值为200 (2)w与x之间的函数关系式是，总运费最小的调运方案是A地运往C灾民安置点200吨，运往D灾民安置点0吨；B地运往C灾民安置点40吨，运往D灾民安置点260吨 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以将表格补充完整，并写出两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的方程，然后求解即可； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到w与x之间的函数关系式，然后求出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到总运费最小的调运方案． 【详解】（1）作表如下所示： C D 总计 A 200 B x 300 总计 240 260 500 ∵两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等， ∴， 解得， 答：两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值是200， 故答案为：；；； （2）由题意可得， ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴当时，w取得最小值，此时， 此时， 答：w与x之间的函数关系式是，总运费最小的调运方案是A地运往C灾民安置点200吨，运往D灾民安置点0吨；B地运往C灾民安置点40吨，运往D灾民安置点260吨． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的解法，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答． 6 / 98 学科网（北京）股份有限公司 $$