第二十章 一次函数【单元卷·考点卷】（20大核心考点）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第二十章 一次函数【单元卷·考点卷】（20大核心考点） 考点一 根据一次函数的定义求参数（共5题） 1．若表示一次函数，则m等 于（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 0 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（为常数，）的函数叫作一次函数，由一次函数的定义可得，，求解即可． 【详解】解：∵表示一次函数， ∴，， ∴， 故选：B． 2．已知函数是一次函数，则a的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义成为解题的关键． 根据一次函数的定义列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故选D． 3．是一次函数，则m的值是 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的定义，形如的函数叫做一次函数．据此进行解答即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴且 ， 解得：， 故答案为：． 4．当 时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题主要考查了学生对一次函数的定义的理解及掌握情况，一次函数的未知数的次数是1，同时系数不能为0，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 5．当，为何值时，． (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义． （1）根据形如，是常数是一次函数可得； （2）根据形如，是常数，是正比例函数，即可求解． 【详解】（1）解：当，时，是一次函数， ∴． （2）解：当，，时，是正比例函数， ∴，， 考点二 求一次函数自变量或函数值（共5题） 1．下列各点中，函数的图象一定经过的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，在一次函数图象上的点一定满足其函数解析式，据此分别把四个坐标中的横坐标代入一次函数解析式求出对应的纵坐标即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，；当时，；当时，；当时，； ∴函数的图象一定经过的是， 故选：C． 2．函数的图象是（　　） A．过点，的直线 B．过点，的直线 C．过点，的直线 D．过点，的直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一次函数值以及自变量， 当时，求出y值，当，解出x的值，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 当时，则，解得：， ∴函数的图象是过点，的直线， 故选：A． 3．若点在一次函数的图象上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 直接把点代入一次函数，求出的值即可． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ， 解得：， 故答案为：． 4．已知点在一次函数的图象上，则代数式的值等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把点P的坐标代入一次函数解析式，得出，代入即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2． 5．已知点． (1)若点P在第二象限，求m、n的取值范围； (2)若点P在一次函数的图象上，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据点在第二象限，可知，，然后求解即可； （2）根据点在一次函数的图象上，即可求得的值． 【详解】（1）解：点在第二象限， ，， 解得，； （2）解：点在一次函数的图象上， ， 解得． 考点三 判断一次函数图象（共5题） 1．两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，分别假设，，逐个图象分析，判断两条直线中k，b的正负是否一致即可． 【详解】解：A、假设，则过一、二、三象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时，，两结论相矛盾，故本选项错误； B、假设，则过一、三、四象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时，两结论相矛盾，故本选项错误； C、假设，过二、三、四象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时， ，故本选项正确； D、假设，过一、二、四象限的图象是函数的图象，此时；另一图象则是函数图象，此时， ，两结论相矛盾，故本选项错误． 故选：C．． 2．函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图象，掌握一次函数的图象性质是解题的关键．根据函数的图象过原点，且即可判断出函数形状． 【详解】解：中，当时，， 函数图象过原点， ∵， 随的增大而增大，从左到右呈上升趋势， 综上所述，只有A选项符合， 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，直线经过，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是将点的坐标代入． 把点代入即可得答案． 【详解】解：把点代入得， ， 故答案为：3． 4．若式子＋（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x＋1﹣k的图象可能是 ．（填字母代号）    A.B.C.D. 【答案】B 【分析】结合二次根式有意义的条件和0指数幂底数不为零，可找出k的取值范围，再结合一次函数系数与图像的关系，即可求解． 【详解】解：有意义 解得： 又在一次函数中，比例系数， 图像经过第一、三象限； 常数项， 图像与y轴交于y轴负半轴 故答案是：B． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件、0指数幂底数不为零、一次函数系数与图像的关系，属于基础题型，难度不大．解题的关键是掌握一次函数系数与图像的关系和数形结合思想．一次函数中，当时，图像过第一、三象限；当时，图像过第二、四象限；当时，图像交y轴正半轴；当时，图像过原点；当时，图像交y轴负半轴． 5．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，需要两组，的值．也考查了一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质是本题的关键． （1）根据正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出，从而得到与的函数关系式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】（1）解：设， 把，代入得， 解得，∴， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：不在． 理由如下：∵时，， ∴点不在函数的图象上． 考点四 已知函数经过的象限求参数范围（共5题） 1．如图，直线与直线相交于第二象限，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质，属于中考常考题型．根据一次函数与的图象位置，可得，，然后逐一判断即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴， ∵一次函数的图象过二、三、四象限， ∴， ∴A、，故A正确，不符合题意； B、，故B正确，不符合题意； C、，故C正确，不符合题意； D、，故D错误，符合题意； 故选：D． 2．若一次函数的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的图象不经过第二象限，可知，然后求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴， 解得， 故选：D． 3．已知：一次函数中，该函数的图象不过第四象限，则的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 4．一次函数的图象不经过第三象限，现将该函数图象向下平移个单位，使其不经过第一象限，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数系数与图象的关系是解题关键．根据图象在坐标平面内的位置关系确定m的取值范围，从而求解． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴经过第一、二、四象限， ∴， 将该函数图象向下平移个单位，使其不经过第一象限， ， 解得： 故答案为：． 5．已知函数，m为常数． (1)若该函数是正比例函数，求m的值； (2)若该函数是一次函数，且函数图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数的定义，解不等式组，根据题意正确的得到不等式组是解题的关键． （1）根据y是x的正比例函数列方程，即可得到结论； （2）根据y是x的一次函数，且图象经过一、三、四象限列不等式组，即可得到结论． 【详解】（1）解：对于y关于x的函数， ∵y是x的正比例函数， ∴且， 解得：； （2）解：∵y是x的一次函数，且图象经过一、三、四象限， ∴， 解得：， 故m的取值范围为． 考点五 一次函数图象与坐标轴交点问题（共5题） 1．若一次函数与两坐标轴围成的三角形面积为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，求出函数与坐标轴的交点，根据面积可得到关于k的方程，即可得出k的值． 【详解】解：当时，. 当时，， ∴. ∴函数与x轴的交点为，与y轴的交点为， ∵与两坐标轴围成的三角形面积为3， ∴， 解得． 故选：C． 2．直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系，根据直线与x轴的交点的横坐标即为关于x的方程的解解题即可． 【详解】解：∵直线与的负半轴交于点，， ∴与轴交点坐标为， ∴关于的方程的解为， 故选：B． 3．直线与x轴、y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数与x，y轴交点坐标的求法是解题的关键；先求出一次函数与x，y轴交点坐标，即可得出所围三角形的底和高，再根据三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：由题意知：， 当时，， 当时，， 解得：， 直线与x轴、y轴的交点为， 直线与x轴、y轴围成的三角形的面积为5， ， 解得：， 故答案为：． 4．将一次函数的图象向右平移3个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象平移及函数图象与坐标轴的交点求法，先根据函数图象平移得到平移后的表达式，再令解方程即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移3个单位长度，得到， 当时，， 平移后的函数图象与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 5．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)在x轴上存在一点P，使得的面积为10，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了求出一次函数图象与x轴和y轴的交点，直线围成的三角形面积，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． （1）根据一次函数解析式分别求出点A、B的坐标即可； （2）根据的面积为10，得出，求出，根据A点坐标为，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴； 把代入得：， ∴； （2）解：∵的面积为10， ∴， 又∵， ∴． ∵A点坐标为， ∴点P的坐标为或． 考点六 一次函数图象平移问题 （共5题） 1．在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可求解． 【详解】解：将函数的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是， 故选：D． 2．把直线向上平移后得到直线，直线经过点，且，则直线的函数表达式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是一次函数图象的平移，根据平移规律：左加右减、上加下减，设直线的解析式为，将点代入，结合已知条件即可求出b的值，从而求出直线的解析式． 【详解】解：因为直线向上平移后得到直线， 所以直线的解析式可设为． 把点代入得， 解得． 因为，所以， 所以直线的解析式为． 故选D． 3．将一次函数的图象平移后经过点，则平移后图象的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换及待定系数法求函数的解析式．根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为，然后将点代入即可得出直线的函数解析式． 【详解】解：设平移后直线的解析式为， 把代入直线解析式得， 解得． 所以平移后直线的解析式为． 故答案为：． 4．将直线向右平移4个单位，平移后的直线经过点，则m的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数图象上点的坐标特征，根据图象平移的规律“左加右减”得出平移后的解析式，再将坐标代入求解即可，熟练掌握图象平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后的解析式为， ∴将点代入，得， 解得：， 故答案为：6． 5．在直角坐标中，直线与平行，且经过点，将直线向上平移3个单位，得到直线 (1)求这两条直线的解析式； (2)如果直线与x轴、y轴分别交于点A，B，求的面积． 【答案】(1)， (2)16 【分析】（1）根据平移可知，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据解析式求出A，B两点坐标，然后求出面积即可． 【详解】（1）解：∵与平行， 设直线的解析式为：， 把点代入得：， ∴直线的解析式为：， ∴直线向上平移3个单位，得到直线的解析式为：， （2）解：令，则， 解得：， ∴， 当时，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴交点坐标，掌握一次函数图象平行时值不变是解题的关键． 考点七 一次函数与方程（共5题） 1．直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系，根据直线与x轴的交点的横坐标即为关于x的方程的解解题即可． 【详解】解：∵直线分别与的负半轴交于点和点，， ∴与轴交点坐标为， ∴关于的方程的解为， 故选：B． 2．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴结合图象，关于的方程的解是， 故选：B． 3．如图，直线与直线交于点，则根据图象可得关于x的方程的解是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，根据图象解出方程，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，∵直线与直线交于点， ∴根据图象可得关于x的方程的解是：， 故答案为：． 4．已知方程的解是，则函数与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系交点坐标即可． 【详解】解：方程的解是， 函数与轴的交点坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确把握方程与函数之间的关系是解题关键． 5．平面直角坐标系内，一次函数经过点和． （1）求，的值； （2）求该直线与轴的交点坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别将A、B两点代入一次函数得到关于m，n的式子，即可作答； （2）借助依次函数与一元一次方程的关系进行求解，即将y=0代入函数即可作答． 【详解】解：（1）将和代入一次函数中，得 解得 故答案为：； （2）令，得 解得 该直线与轴的交点坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考考查了根据一次函数方程计算坐标中的未知量，以及一次函数与一元一次方程的关系，属于基础题． 考点八 一次函数与不等式（共5题） 1．如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象找到直线的函数图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案．本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，掌握一次函数与不等式之间的关系是关键． 【详解】解：∵直线经过点和点，直线过点， ∴点是直线与直线的交点， ∴由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的图象下方时，则的取值范围为， 不等式的解集为， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察图象，写出直线在的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵直线和相交于点， ∴直线在的上方解集为， ∴不等式的解集为， 故选：D． 3．一次函数的图象如图所示，观察图象回答问题：当时， ，当 时，，当 时，． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质、函数图象解不等式等知识，根据一次函数的性质结合函数图象，按要求逐步求解即可得到结论．正确地识别图象是解题的关键． 【详解】解：观察图象： 当时，是图中一次函数图象与轴交点的纵坐标，则； ，是指一次函数图象在轴上方图象，则此情况； 时，如图所示： ，是指一次函数图象在直线下方图象，也就是轴右侧的一次函数图象，则此情况； 故答案为：． 4．在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据图象的位置关系和交点坐标写出直线在下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由，得到：． 根据图象可知：两函数的交点为， ∴关于的一元一次不等式的解集是， 即关于的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，C，且与直线交于点A． (1)分别求出点A，B，C的坐标； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查一次函数图象性质： （1）对于直线，令可求出B、C的坐标，然后再联立两个一次函数关系式为二元一次方程组，即可求解点A的坐标； （2）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，， 当时，， 解得：， ∴； 联立得：，解得：， ∴点； （2）解：观察图象得：当时，， 即不等式的解集为． 考点九 求直线围成的图形面积（共5题） 1．关于函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．经过点） B．与直线平行 C．与坐标轴围成的图形面积为 D．经过y轴的负半轴 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，根据一次函数自变量与函数值的计算，两直线平行时比例系数的关系，一次函数图象与坐标轴围成图形面积的计算方法，即可求解，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴一次函数与直线相交，故B选项错误，不符合题意； 令时，；令时，； ∴一次函数与坐标轴围成的图形面积为，故C选项错误，不符合题意； ∵一次函数过， ∴经过y轴的负半轴，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 2．若直线与两坐标轴所围成的三角形面积是4个面积单位，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据坐标轴上点的特征求出直线与x、y轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式得到，再进行计算即可． 【详解】解：当，，则直线与y轴的交点坐标为：， 当时，，解得：，则直线与x轴的交点坐标为：， ∴，解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为是解题的关键． 3．一次函数与坐标轴围成的三角形面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，结合一次函数的图象可以求出图象与x轴的交点以及y轴的交点，可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：∵在中， 令，则， ， 令，则， ∴次函数的图象可以求出图象与x轴的交点，与y轴的交点， ∴， 故答案为：． 4．在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于A，两点，已知的面积等于16，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象与坐标轴围成的图形面积，表示出函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 由直线得出交点，，，根据三角形面积公式列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：直线分别与的正半轴、的负半轴相交于，两点， 交点，，， 的面积等于16， ， 解得：， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，与直线相交于点．    (1)求点B的坐标． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在一点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，根据一次函数解析式，求三角形的面积，解题的关键是数形结合． （1）把代入，求出点B的坐标即可； （2）先求出点，然后求出的面积即可； （3）设点M的坐标为，根据，得出，求出a的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，令，得：， 解得：， 点B的坐标为． （2）解：在中，令，则， 点， ． （3）解：存在．设点M的坐标为． ， ， ． 当时，点的坐标是； 当时，点的坐标是． 综上所述，点M的坐标为或． 考点十 一次函数的增减性（共5题） 1．已知一次函数的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k、b的取值情况是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了根据一次函数的增减性求参数的范围，掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的函数值随自变量的增大而增大，可得，然后结合图象与轴的正半轴相交，可得图象与y轴的正半轴相交，可得，据此即可求解． 【详解】解：∵函数值y随自变量x的增大而增大， ∴， ∵一次函数的图象与x轴的正半轴相交，则图象与y轴的正半轴相交， ∴． 故选：B． 2．已知的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而增大即可确定结论． 【详解】解：A、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而减小，选项A不符合题意； B、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而减小，选项B不符合题意； C、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而减小，选项C不符合题意； D、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而增大，选项D符合题意； 故选：D． 3．已知一次函数的图象上两点，，当时，有，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据当时，有，可得，即可求解． 【详解】解：当时，有， 随的增大而减小， ， 解得：， 故答案为：． 4．已知一次函数为常数，且．若当有最大值，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数增减性求最值，分类讨论思想是解题的关键． 根据题意，当时，取得最大值；当时，取得最大值；由此即可求解． 【详解】解：当时，y随x的增大而增大， ∴取得最大值， ∴， 解得，； 当时，y随x的增大而减小， ∴取得最大值， ∴， 解得，； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 5．已知一次函数（是常数）． (1)为何值时，随的增大而增大？ (2)满足什么条件时，该函数图象经过原点？ 【答案】(1)时，随的增大而增大； (2)时，该函数图象经过原点． 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）由随的增大而增大可知，，即可求出的取值范围； （2）由函数图象经过原点可知，，，即可求出的值． 【详解】（1）解：一次函数，随的增大而增大， ， ， 即时，随的增大而增大； （2）解：一次函数的图象经过原点， ，， ， 即时，该函数图象经过原点． 考点十一 比较一次函数值的大小 （共5题） 1．已知点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质．分别求出与的值即可比较大小． 【详解】解：∵点，都在直线上， 则， ， ∴， 故选：C． 2．已知点、、在一次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，由一次函数值的符号，确定随变化情况，即可求解．此类题目只需要根据的符号确定函数随的变化情况，进而求解． 【详解】解：对于一次函数， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， 故； 故选：A． 3．若，两点都在一次函数的图象上，则 ．（填“”，“”，“”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．因为一次函数中，所以随的增大而减小，根据可得． 【详解】解：一次函数中， 一次函数的图象上随的增大而减小， ， ， 故答案为： ． 4．在函数的图象上有三个点，则的大小关系用“<”连接为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象性质，比较一次函数的函数值大小，根据，得到随的增大而减小，再结合三个点的横坐标的大小关系，进而比较一次函数的函数值大小即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即随的增大而减小， ∵函数的图象上有三个点，且， ∴， 故答案为： 5．已知一次函数． (1)在图中画出该函数的图象； (2)若和是一次函数图象上的两点，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析 【分析】本题主要考查一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据解析式得出当时，；当时，，列表、描点，画出直线即可； （2）根据一次函数的性质，得出y随x的增大而增大即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 当时，；当时，； 列表如下： 0 2 0 描点，该函数的图象如下： （2）， 随的增大而增大， ， ． 考点十二 求一次函数解析式（共5题） 1．若一次函数的图象经过点，则下列各点在该一次函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，先求出一次函数的解析式，再代入各个选项的点计算即可得解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴一次函数的解析式为， 当时，，故A选项不符合题意， 当时，，故B选项不符合题意； 当时，，故C选项不符合题意； 当时，，故D选项符合题意； 故选：D． 2．若正比例函数的图像经过，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．将代入即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过， ∴， 解得：， 故选：B． 3．若与成正比例，当时，．则与的关系式为 ，该函数图象与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、函数图象与坐标轴交点坐标等，设，将代入可求出的值；当时，，可求函数图象与轴的交点坐标．灵活运用待定系数法设函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题． 【详解】解：由与成正比例，设， 将代入可得：， 解得， ∴， ∴与的关系式为：； 图象与轴的交点坐标是当时，， 解得， ∴此函数图象与x轴的交点坐标分别为， 故答案为：，． 4．若直线l与直线平行，且l过点，则直线l的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两直线平行的问题和求直线解析式，熟记两平行直线的解析式的k值相等是解题的关键． 根据两平行直线的解析式的k值相等可设直线的函数表达式为，再把经过的点的坐标代入函数解析式计算求出b即可解答． 【详解】∵直线l与直线平行， ∴设直线l的函数表达式为， 把点代入得：，解得：， ∴直线的函数表达式为． 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中，若点，，在同一条直线上，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，先用待定系数法求出设直线的解析式，然后把代入即可求解． 【详解】解：设直线为， 则满足，解得， ∴， ∵A、B、C共线， ∴也在直线上， ∴， 解得． 考点十三 一次函数与反比例函数（共5题） 1．若正比例函数与反比例函数的图象的一个交点是，则另一个交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的交点问题，坐标与图形的变化—中心对称，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可，也是解题关键． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称． ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故选D． 2．如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，已知B点的坐标为，当时，则x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求关于原点对称的点的坐标，从函数的图象获取信息等知识点，熟练掌握反比例函数图象与正比例函数图象关于原点的中心对称性是解题的关键． 由反比例函数图象与正比例函数图象关于原点的中心对称性可得点的坐标为，再观察函数图象即可得解． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象均关于原点对称，B点的坐标为， ∴点的坐标为， 观察函数图象可得，当时，x的取值范围是：或， 故选：C． 3．如图，正比例函数的图象与反比例函数 图象相交于A，B两点，已知A，则B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数图象的交点问题，根据两个函数的图象均关于原点对称，进而得到两点关于原点对称，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：两点关于原点对称， ∵A， ∴B的坐标为； 故答案为：． 4．直线与双曲线交于，两点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．由直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，可得A、B两点关于原点对称，即，再由反比例函数可得，，将原式化简再代入数据即可解答． 【详解】解：由题意得，直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，则A、B两点关于原点对称， ， 又，在双曲线上， ，， ． 故答案为：． 5．如图，已知点，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)过点A作直线：，使它与反比例函数仅有一个公共点，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式的应用； （1）将代入反比例函数，待定系数法求得反比例函数解析式，进而求得点的坐标，待定系数法求直线解析式，即可求解； （2）根据函数图象写出反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围，即可求解； （3）直线：（）经过点，则直线：，联立直线与，得出一元二次方程，根据题意，令判别式为，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 即反比例函数的解析式为：， 又∵点在反比例函数， ∴，解得， ∴点的坐标为：， 把点、的坐标代入， 得：， 解之，得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）根据图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值， ∴不等式的解集为：或； （3）∵直线：（）经过点， ∴，即， ∴直线：， 由与，消去，得：， 即， ∵直线与反比例函数仅有一个公共点， ∴． ∴， ∴直线的解析式为． 考点十四 一次函数与反比例函数的实际应用（共5题） 1．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】C 【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可． 【详解】解：∵， ∴玻璃加热速度为， 故A选项不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是， 故B选项不合题意； ∴设玻璃温度上升时的函数表达式为， 由题可得，在正比例函数图象上， 代入点可得，， ∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是， ∴将代入，得， ∴将代入，得， ∴， ∴能够对玻璃进行加工时长为， 故C选项符合题意； 将代入得，， ∴， ∴玻璃从降至室温需要的时间为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键． 2．小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】结合函数图像的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：观察函数图像，发现： 当x＜-3或0＜x＜1时，反比例函数图像在一次函数图像的上方， ∴不等式>x+2的解集为x＜-3或0＜x＜1． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图像的交点坐标满足两函数解析式． 3．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 4．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    【答案】12 【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间． 【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入，得：， 把代入，得：， ∵， ∴那么此次消毒的有效时间是12分钟， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 5．通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 考点十五 分配方案问题（共5题） 1．为了美化校园环境，争创绿色学校，某县教育局委托园林公司对A、B两校进行校园绿化．已知A校有3600平方米空地需铺设草坪，B校有2400平方米空地需铺设草坪．在甲、乙两地分别有同种草皮3500平方米和2500平方米出售，且售价一样．若园林公司向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价表如下： A校 B校 路程（千米） 运费单价（元） 路程（千米） 运费单价（元） 甲地 20 0.15 10 0.15 乙地 15 0.20 20 0.20 (1)设甲地运往A校的草皮为x平方米，总运费为y元，写出y与x的函数关系式； (2)请你设计一种运费最少的方案，并说明最少费用是多少？ 【答案】(1) (2)当甲往A校运1100平方米，往B校运2400平方米，乙往A校运2500平方米，不往B校运草皮时运输费用最少，最少费用为14400元 【分析】（1）根据总运费A校的费用+B校的费用求解即可； （2）根据题意列出不等式组，求得，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1） （2）根据题意可得， ∴ ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y最小，此时． 答：当甲往A校运1100平方米，往B校运2400平方米，乙往A校运2500平方米，不往B校运草皮时运输费用最少，最少费用为14400元． 【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于根据题意找到等量关系． 2．五一节快到了，甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别提出了赴某地旅游的团体优惠方法，甲旅行社的优惠方法是：买4张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠方法是：一律按7折优惠已知两家旅行社的原价均为每人200元． (1)分别表示出甲旅行社收费，乙旅行社收费与旅游人数x的函数关系式； (2)就参加旅游的人数讨论哪家旅行社的收费更优惠？ 【答案】(1)； (2)当人数时，两家旅行社的收费一样多；当人数时，乙旅行社的收费较优惠；当人数时，甲旅行社的收费较优惠 【分析】（1）设参加旅游的人数为x人，甲旅行社的收费为元，乙旅行社的收费为元 ，列方程，解出即可． （2）先求出两家旅游社收费相同的人数，再分情况讨论即可． 【详解】（1）设参加旅游的人数为x人，甲旅行社的收费为元，乙旅行社的收费为元 ，则依题意得： ， ． （2）由得：，解得：， 由得：解得：， 由得：解得：， 综上所述，当人数时，两家旅行社的收费一样多， 当人数时，乙旅行社的收费较优惠． 当人数时，甲旅行社的收费较优惠． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息理解两家旅行社的优惠方案是解题的关键． 3．某花农培育甲种樱花3株，乙种樱花2株，共需要成本元；培育甲种樱花1株，乙种樱花2株，共需成本元． (1)求甲、乙两种樱花每株成本分别为多少元？ (2)据市场调研，1株甲种樱花售价为元，1株乙种樱花售价为元．该花农决定在成本不超过元的前提下培育甲、乙两种樱花，若培育乙种樱花的株数是甲种樱花的3倍还多10株，那么要使总利润不少于元，花农有哪几种具体的培育方案？ (3)求出选何种方案成本最少？ 【答案】(1)甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元． (2)培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株；培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株；培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株． (3)培育甲种樱花株，培育乙种樱花株，可使成本最少． 【分析】（1）根据题意建立相应的二元一次方程组即可求解； （2）根据题意建立相应的不等式组即可求解； （3）建立成本与培育甲种樱花株数的关系即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种樱花每株成本分别为元 则： 解得： 故甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元． （2）解：设培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株 则： 解得： 培育方案为： ①培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株； ②培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株； ③培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株； （3）解：在（2）的前提下，设成本为 则 因为，故随着的增大而增大 为整数， 则当时， 故培育甲种樱花株，培育乙种樱花株，可使成本最少． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数等在实际问题中的应用．根据题意列出正确的方程组、不等式组、函数解析式是解题的关键． 4．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为时所需费用为元，选择这两种卡消费时，与的函数关系如图所示，解答下列问题：    (1)分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数表达式； (2)当入园次数12次时选择哪种卡消费比较合算． 【答案】(1)， (2)甲种卡消费比较合算 【分析】（1）运用待定系数法，即可求出与之间的函数表达式； （2）代入，即可求出的值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：设，根据题意得：， 解得， ∴； 设， 根据题意得：， 解得：， ∴； （2）解：当时，，， ， ∴甲种卡消费比较合算． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，由图象得出正确信息是解题关键， 5．今年月，某城市受疫情影响，为了人民健康采取了一系列措施，某公司安排大、小货车共辆，分别从两地运送吨物资到该城市，支援抗击疫情，每辆大货车装吨物资，每辆小货车装吨物资，这辆货车恰好装完这批物资，已知这两种货车的运费如表： 目的地 车型 地（元/辆） 地（元/辆） 大货车 小货车 要安排上述装好物资的辆货车中的辆从地出发，其余从地出发． (1)这辆货车中，若大货车辆、小货车辆，请求出与的值． (2)若从地出发的大货车有辆（大货车不少于辆）这辆货车的总运费为元，求总运费的最小值． 【答案】(1)大货车有辆，小货车有辆 (2)总运费最小值为元 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据调配问题，设从地出发的大货车有辆，分别用含的式子表示出从地出发的小火熬，从地出发的大货车，小货车的数量，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设大货车有辆、小货车有辆， 由题意得 ：，解得：， ∴大货车有辆，小货车有辆． （2）解：设从地出发的大货车有辆，则从地出发的小货车有辆，从地出发的大货车有辆，从地出发的小货车有辆， 由题意得：， ∴随的增大而增大， ∵从地出发的大货车有辆（大货车不少于辆），大货车一共辆， ∴， ∴当时，有最小值，此时， ∴总运费最小值为元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的综合，理解题意，列方程求解是解题的关键． 考点十六 最大利润问题（共5题） 1．某生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且购买甲种蔬菜不多于60千克，投入资金不超过1168元，求有哪几种购买方案？哪种方案获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)m的值为10，n的值为14 (2)有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．方案3获利最大，最大为520元 【分析】对于（1），根据“该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； 对于（2），设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜千克，根据总价等于单价乘以数量，结合甲种蔬菜不多于60千克，且投入资金不超过1168元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案. 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得： ． 答：m的值为10，n的值为14； （2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜千克，依题意，得： ， 解得：． ∵x为正整数， ∴， ∴有3种购买方案， 方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克； 方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克； 方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克． 设超市获得的利润为y元，则． ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用一次函数的性质，得出利润的最大值． 2．为建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A，B两种树木，需要购买这两种树苗棵．A，B两种树苗的相关信息如表： 单价（元/棵） 成活率 植树费（元/棵） A 5 B 5 设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元，解答下列问题： (1)写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式； (2)如果为了保证这批树苗的总成活率不低于，A种树苗至多购买多少棵？ (3)在（2）的条件下，应如何选购树苗，使绿化村道的总费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1) (2)A种树苗至多购买棵 (3)购买A种树苗棵，B种树苗棵时，费用最低，最低费用为元 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设购买A种树苗棵，则购买B种树苗棵，根据表格数据即可求解； （2）由题意，可得，即可求解； （3）因为，所以随着的增大而减小，即可求解； 【详解】（1）解：设购买A种树苗棵，则购买B种树苗棵， 由题意得． （2）解：由题意，可得 解得 所以A种树苗至多购买棵． （3）解：由（1）知购买A种树苗棵，B种树苗棵时， 绿化村道的总费用为： 因为，所以随着的增大而减小 由（2）知， 所以当时，最小． 这时， 答：购买A种树苗棵，B种树苗棵时，费用最低，最低费用为0元． 3．为进一步加强“书香校园”建设，某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高，用元购进的甲种书柜的数量比用元购进乙种书柜的数量少个． (1)每个甲种书柜的进价是多少元？ (2)若该校拟购进这两种规格的书柜共个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？ 【答案】(1)每个甲种书柜的进价为元 (2)购进甲书柜个，购进乙书柜个，费用最少 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式，一次函数的知识，解题的关键是掌握分式方程，一元一次不等式的运用，一次函数的运用，即可． （1）设每个乙种书柜的进价为元，每个甲种书柜的进价为元，根据题意，列出分式方程，即可； （2）设甲书柜的数量为个，则乙书柜的数量为个，求出的范围，设使得购进书柜所需费用为，根据题意，求出函数关系，根据函数的性质，即可． 【详解】（1）设每个乙种书柜的进价为元，每个甲种书柜的进价为元， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴， 答：每个甲种书柜的进价为元． （2）设甲书柜的数量为个， ∴乙书柜的数量为个， ∵乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的倍， ∴， 解得：， ∴， 设使得购进书柜所需费用为， ∴， 整理得：， 当时，有最小值，， 答：购进甲书柜个，购进乙书柜个，费用最少． 4．漳州古城被市民举为最具“人间烟火气”的地方，据统计，2024年春节长假累计接待游客115万人次．这里不仅有引人入胜的历史古迹，更有种类繁多的特色小吃．“片仔痰甘蔗汁”在古城几乎是人手一杯，春节期间更是“没有一根甘蔗能逃离漳州古城”．若购买甘蔗汁4杯，苹果汁2杯需要48元；购买甘蔗汁2杯，苹果汁4杯需要54元． (1)求甘蔗汁，苹果汁每杯售价分别多少元？ (2)据调查，每榨一杯甘蔗汁需要成本4元，一杯苹果汁6元．五一劳动节即将来临，某商家结合市场需求，预计当天可售卖1000杯果汁，且甘蔗汁的数量至少为苹果汁的3倍．若商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)甘蔗汁每杯售价是7元，苹果汁每杯售价10元； (2)商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润为3250元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一次函数，一元一次不等式组的应用，熟练掌握利润与进购量之间的数量关系是解决问题的关键． （1）设甘蔗汁每杯售价是x元，苹果汁每杯售价y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设当天售卖甘蔗汁m杯，则售卖苹果汁杯，根据题意列出不等式组求出，然后表示出总利润，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甘蔗汁每杯售价是x元，苹果汁每杯售价y元， 根据题意得：， 解得：． 答：甘蔗汁每杯售价是7元，苹果汁每杯售价10元； （2）解：设当天售卖甘蔗汁m杯，则售卖苹果汁杯， 根据题意得：， 解得：， 设商家售完这1000杯果汁可获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，（元）， 答：商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润为3250元． 5．为稳步推进5G网格建设，深化共建共享，项目承包单位派遣甲、乙两队合作完成的工程，已知甲队每天完成的工程量是乙队的倍；当两队各完成的工程时，甲队比乙队少用天． (1)甲、乙两队每天完成的工程量分别是多少千米? (2)两队合作完成此项工程，若甲队参与施工天，则乙队参与施工________天（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，若甲队单独施工一天的费用是万元，乙队单独施工一天的费用是万元，且要求两队施工的天数之和不超过天，应如何安排甲、乙两队施工的天数，施工总费用最少?并求出最少费用. 【答案】(1)甲队每天完成的工程量为，乙队每天完成的工程量为． (2) (3)安排甲队施工天，乙队施工天，总费用最少，最少费用为万元 【分析】本题考查分式方程，一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意，得到等量关系，列出方程，进行计算，掌握一次函数的图象和性质，即可． （1）设乙队每天完成，则甲队每天完成，根据题意，列出方程，即可； （2）根据题意，甲队参与施工天，得甲队完成的工程量为：，推出乙队完成的工程量为：，再根据工作效率乘以工作时间等于工作总量，即可； （3）设施工的总费用为元，则；根据施工天数总和不超过30天，得；最后根据一次函数的增减性，即可． 【详解】（1）设乙队每天完成，则甲队每天完成 ∴ 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴甲队每天完成的工程量为． 答：甲队每天完成的工程量为，乙队每天完成的工程量为． （2）∵甲队参与施工天， ∴甲队完成的工程量为：， ∴乙队完成的工程量为：， ∴乙队施工的天数为：， 故答案为：． （3）设施工的总费用为元， ∴， ∵施工天数总和不超过天， ∴， ∴， ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， ∴（万元）， ∴乙队施工的天数为：， 答：安排甲队施工天，乙队施工天，总费用最少，最少费用为万元． 考点十七 行程问题（共5题） 1．某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求出线段和线段的解析式； (2)求甲、乙两个机器人在什么时间相遇； (3)当时，求甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有多少分钟？ 【答案】(1)； (2) (3)分钟 【分析】本题考查了一次函数与行程问题的函数图像，涉及了一元一次方程，掌握待定系数法是解题关键． （1）设线段的解析式为：，将代入即可求解；设线段的解析式为：，由题意求出，将点代入即可求解； （2）设甲、乙两个机器人经过分钟后相遇，由图可知：，据此即可求解； （3）分别计算当甲、乙两个机器人相遇前和相遇后，甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间，即可求解； 【详解】（1）解：由图设线段的解析式为：， 将代入得：， 解得：； ∴线段的解析式为：； 设线段的解析式为：， 由题意得：乙 “基础模式”下的运动速度为：米/分钟， ∴“全速模式”的速度为米/分钟， ∴， 将点代入得：， 解得：， ∴线段的解析式为：； （2）解：设甲、乙两个机器人经过分钟后相遇， 由（1）可知：甲机器人的速度为米/分钟， 由图可知：， 解得：； 即：分钟后甲、乙两个机器人相遇； （3）解：当甲、乙两个机器人相遇前，他们的距离逐渐缩小； 当时，甲、乙两个机器人的距离为：米， 设出发两分钟后再过分钟，甲、乙两个机器人的距离为米， 则，解得：； ∴甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有：分钟； 当甲、乙两个机器人相遇后，他们的距离逐渐增大； 设相遇后再过分钟，甲、乙两个机器人的距离为米， 令，解得：； ∴甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有分钟； 综上所述：甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有分钟； 2．潼关博物馆是一个集展览、研究、教育、文化交流于一体的综合性博物馆，拥有丰富的历史文物和文化遗产．周末，佑佑与爸爸妈妈一同驾车前往130千米外的潼关博物馆进行参观，如图表示佑佑一家离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系． 请你根据图中的信息，解答下列问题： (1)求图中段与之间的函数关系式； (2)求佑佑一家离开家多久时，离家的距离为90千米？ 【答案】(1) (2)佑佑一家离开家1.5小时时，离家的距离为90千米 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，求自变量的值，求出函数解析式是解题的关键． （1）由图中找到B、C两个点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出（1）中函数的函数值为90时自变量的值即可． 【详解】（1）解：设图中段与之间的函数关系式为． 图象经过、两点， ，解得， 图中段与之间的函数关系式为． （2）解：当时，，解得， 佑佑一家离开家1.5小时时，离家的距离为90千米． 3．小明和弟弟小阳分别从家和科技馆同时出发，沿同一条路相向而行．小明开始以一定的速度跑步前往，10分钟后改为步行，到达科技馆恰好用了30分钟．小阳骑自行车以每分钟250米的速度直接回家，两人离家的路程y（单位：米）与各自离开出发地的时间x（单位：分）之间的函数图像如图所示． (1)家与科技馆之间的路程为______米；小明步行的速度为每分钟______米； (2)求小阳离家的路程y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当离开出发地的时间为6分钟时，求小明和小阳之间的路程． 【答案】(1)；分钟/米 (2)小阳离家的路程y与x的函数解析式为 (3)小明和小阳之间的路程为米 【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是能从函数的图象中获取相关信息； （1）认真分析图象得到路程与速度数据； （2）采用待定系数法列出小阳离家路程y与时间x之间的函数关系式； （3）分别求出小明和小阳的路程即可． 【详解】（1）解：由图中可以看出，家与科技馆之间的路程为米； 由图中可以看出，小明步行时间为分钟，步行路程为米 ∴小明步行的速度为分钟/米 （2）解：∵小阳骑自行车以每分钟250米的速度直接回家， 设小阳离家的路程y与x的函数解析式为 把代入得： ∴小阳离家的路程y与x的函数解析式为 当时， ∴自变量x的取值范围 （3）解：当离开出发地的时间为6分钟时，小阳距家米 由图中可以看出，小明跑步速度为分钟/米 ∴当离开出发地的时间为6分钟时，小明走了米 ∴小明和小阳之间的路程为米 4．近年来，随着全民健身国家战略的深入实施，锻炼健身逐渐成为了一新风尚．浉河沿岸环河公园（如图1）是一个风景秀美的开放型“体育场”， 在蓝天碧水、绿树成荫中享受骑行魅力．城市骑行，不仅可以锻炼身体，享受户外，还可以发现更多城市美好，周末甲、乙两人相约从沿河绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图2所示． (1)当和时，乙骑行的速度分别是 和 ； (2)当和时，求与之间的函数表达式； (3)通过计算说明，何时甲骑行在乙的前面？ 【答案】(1)； (2) (3)分钟后甲骑行在乙的前面． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，利用待定系数法求解函数关系式是解题的关键． （1）由图象利用速度路程时间可求解； （2）利用待定系数法可求解； （3）可利用甲，乙两人骑行的路程相等列不等式，计算可求解． 【详解】（1）解：当时，乙的骑行速度是：， 当时，乙骑行的速度是：， 故答案为：；； （2）解：当时，， 当时，设， 将，代入上式， ， 解得， ； （3）解：由题意得， 解得． 答：分钟后甲骑行在乙的前面． 5．、两地相距米．甲、乙两机器人分别从、两地同时出发，匀速而行，去往目的地，．图中，分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系． (1)求所在直线的函数表达式． (2)当甲机器人到达目的地时，求此时乙机器人行走的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查一次函数与行程问题的综合，掌握一次函数图象的性质，行程问题中的数量关系是解题的关键． （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）根据题意，把代入（1）中解析式即可求解． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 直线过点，， ， 解得， 所在直线的表达式为； （2）解：当时，，（米）， 答：此时乙机器人行走的距离为米． 考点十八 一次函数与几何综合（共5题） 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点C，点D，且这两个函数图象交于点P，． (1)直接写出C，D两点的坐标，C（____，____），D（_____，_____）； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)4，0；0，4 (2)8 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形的面积是解题的关键． （1）将代入一次函数中，可求得x的值，得出点A坐标，再由可得点C、D的坐标； （2）先求出直线的表达式为． 再求出点P的坐标为．最后求出四边形的面积． 【详解】（1）解：将代入一次函数中，得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：4，0；0，4； （2）∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点C，点D， 由（1）可得 ∴， ∴直线的表达式为． 在一次函数中，令，则． ∴点B的坐标为． ∴解得 ∴点P的坐标为． ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交y轴，x轴于点A，B，直线：分别交x轴，直线于点C，D． (1)求点A、点B的坐标，并用含t的代数式表示，C，D的坐标； (2)连接，若，求t的值； (3)P是x轴上的一点，连结，若，且，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，两直线交点问题，一元一次方程，全等三角形的判定与性质，结合数形结合的思想解题，建立方程是解题的关键，注意分类讨论． （1）根据一次函数与坐标轴的交点，分别令和时即可得出与坐标轴交点，联立两直线解析式可得两直线交点坐标； （2）利用勾股定理求出，根据，即可求得t的值； （3）过点D作轴于H，设，则可证明，即可得出，分情况讨论m的值，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线：分别交y轴，x轴于点A，B， 令，则， 故点A的坐标为， 令，则， 故点B的坐标为， ∵直线：分别交x轴，直线于点C，D． 令，则， 解得：， ∴点C的坐标为， 联立，解得， 故点D的坐标为； 综上，； （2）解：连接， 则，， ∵， ∴， 解得：； （3）解：过点D作轴于H， 设， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得或（A，D重合舍去）， 当时，， 解得或（舍）， 综上，或． 3．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线 交x轴于点B，交y轴于点 A，且． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P在线段上（不与A，C重合），连接交于点D，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)求S与t之间的函数解析式为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式与一次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式与根据解析式求点的坐标是解题的关键． （1）直线交x轴于点B，交y轴于点 A可得，，再由待定系数法求直线的解析式即可； （2）过点作轴交于点，由直线的解析式得，可求，，则有． 【详解】（1）解：直线交x轴于点B，交y轴于点 A， ∴当时，，当时，， ，， ，， ， ， ， ， 设直线的解析式为，将点、点代入可得： ， 解得：， 直线的解析式为． （2）解：过点作轴交于点， 点的横坐标为， ， ， ， ， ． 4．数形结合思想是初中数学的思想方法，通过图象可以数形结合地研究函数，已知一次函数的图象经过点，与x轴交于点A． (1)求b的值和点A的坐标； (2)观察图象，当时，y的取值范围为______；当时，x的取值范围是______； (3)若C是y轴上一点，且的面积为3，求点C的坐标． 【答案】(1)，A (2)； (3)或 【分析】本题考查了图形与坐标、一次函数的解析式、一次函数的图象及性质，结合图象是解题的关键． （1）将点B的坐标代入一次函数的解析式中，即可得出的值，从而求出一次函数的解析式，令时，得出的值即可得出点A的坐标； （2）根据点A和点B的坐标结合图象，即可求解； （3）先求出的值，根据三角形的面积公式求得的值，即可得出点C的坐标． 【详解】（1）∵的图象经过点， ∴， ∴， 令，解得， ∴点A的坐标为； （2）由图象得，当时，y的取值范围为；当时，x的取值范围是， 故答案为：；； （3）， ∴， 当点C在点B上方时，，故 当点C在点B下方时，，故 ∴点C的坐标为或)． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点．      (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上求一点，使． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，求一次函数解析式，一次函数与几何综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分点P在线段上和点P在线段的延长线上两种情况，根据图形面积之间的关系求出，进而求出点P的纵坐标，最后求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：（1）设直线的表达式为， 把代入，得，解得， 所以直线的表达式为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当点P在上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点P的坐标为；   如图所示，当点P在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点P的坐标为；   综上所述，点P的坐标为或． 考点十九 其他问题（共5题） 1．藁城宫灯是石家庄藁城著名的特色传统手工艺品，始于东汉、盛于隋唐，因进贡宫廷故名“宫灯”．以造型优美、易于保存等特点驰名中外，李老师计划购进—批宫灯，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元，两商店售卖方式如下： 甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个宫灯可按标价的七折卖； 乙商店：不购买会员卡，每个宫灯可按标价的九折卖． 设李老师购买宫灯的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元； (2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个宫灯，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 【答案】(1)100 (2) (3)选择乙商店比较合算，见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． （1）将代入，可以得到相应的y的值，从而可以得到甲商店一张会员卡的价格； （2）根据题目中的数据，可以写出的函数表达式； （3）先写出李老师准备买40个宫灯，选哪个商店比较合算，然后写出理由即可． 【详解】（1）解：, 当时，. 即甲商店一张会员卡的价格为100元， 故答案为： 100； （2）解：根据题意得， 即的函数表达式为：； （3）解：李老师准备买40个宫灯，则选乙商店比较合算， 理由：当时，，， ∵， ∴若李老师准备买40个宫灯，则选择乙商店比较合算． 2．某地区山峰的高度每增加，气温大约降低，气温和高度的函数关系如图所示． (1)求高度为时的气温； (2)求T关于h的函数表达式； (3)测得山顶的气温为，求该山峰的高度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用， （1）由题意得，高度增加，则气温降低，列式计算即可求出； （2）设T关于h的函数表达式为，采用待定系数法即可求出； （3）当时，代入解析式即可． 【详解】（1）解：由题意得，高度增加，则气温降低 ， 所以． 所以高度为时的气温大约是． （2）解：设T关于h的函数表达式为，则 ，     解得 所以 T关于h的函数表达式为． （3）解：当时， ， 解得． 答：该山峰的高度大约为． 3．我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来计算出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数，下表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 3 4 5 6 y（斤） 0.6 1.3 2 2.7 3.4 4.1 (1)y与x的函数关系式； (2)当秤钩所挂物重是6.9斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？ 【答案】(1) (2)秤钩所挂物重是6.9斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为10厘米 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键． （1）依题意，设y与x之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入（1）的解析式即可求解． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 根据表中数据有当时，，当时，， ∴， 解得 所以y与x的函数关系式为． （2）解：当时，， 解得． 答：秤钩所挂物重是6.9斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为10厘米． 4．如图，杠杆是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡瓷，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重（）之间满足一次函数关系，若挂物体时秤砣到秤纽的水平距离为，挂物体时秤砣到秤纽的水平距离为． (1)求与之间的函数关系式； (2)当秤砣到秤纽的水平距离为时，求秤钩所挂物重． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）设与之间的函数关系式为，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据时的函数值即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为． 根据题意得，点满足此关系式． 所以， 解得； 所以与之间的函数关系式为； （2）当时，， 解得， 所以当秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为． 5．如图所示的是温度计的示意图，图中左边的刻度表示摄氏温度（℃），右边的刻度表示华氏温度（℉）． (1)从图中提供的信息，完成表格： 摄氏温度 ．．． ．．． 华氏温度 ．．． ．．． (2)小明发现华氏温度与摄氏温度之间成一次函数关系，试求出与之间的关系式． 【答案】(1)32，50，20； (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，应注意要先判断出一个单位长度表示的温度的度数，用到的知识点为：一次函数的一般形式为：． （1）观察示意图，可得左边摄氏温度的每个单位长度表示，右边华氏温度每个单位长度表示，据此判断对应的温度即可； （2）可设，把任意两组数值代入计算即可． 【详解】（1）解：对应上边一个单位长度，一个单位长度表示， 对应．故填：32； 对应，故填：50； 对应，故填：20； （2）解：设， 过，， ， 解得：， ． 考点二十 一次函数综合（共5题） 1．如图，在中，于点D，动点P从点D出发，以每秒钟1个单位的速度沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P运动x秒，的面积为，面积与点P运动路程之比． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1) (2)图象见解析；当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一定理，掌握一次函数与反比例函数综合应用是解题的关键． （1）由三线合一得到，则由勾股定理得到，进而可得；当点P在上时，过点D作于E，根据等面积法求出，则； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象下方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 由勾股定理得，， 如图，当点P在上时， ∴ 即 如图，点P在上时，过点D作于E， ， ∴， ∵ ∴， 综上所述，； （2）解：画的图象： 列表： x ⋯ 1 3 ⋯ y ⋯ 2 6 ⋯ 描点连线得：如图， 画的图象： 列表： x ⋯ 3 8 ⋯ y ⋯ 6 0 ⋯ 描点连线得：如图，不包含和这两点 画的图象： 列表： x ⋯ 1 2 3 6 ⋯ y ⋯ 6 3 2 1 ⋯ 描点连线得：如图， 由函数图象可知，当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小． （3）解：由图象得，当时，或． 2．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图象过点与点与x轴相交于点A． (1)求这个一次函数的表达式； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，若直线轴于点，交这个一次函数图象于点M，点P在y轴上，当以点M、N、P顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出点M坐标． 【答案】(1)； (2)6； (3)或或． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先利用坐标轴上点的坐标特征确定A点和B点坐标，然后根据三角形面积公式计算； （3）如图，设，分类讨论：当或，根据等腰直角三角形的性质得；当时，利等腰直角三角形斜边上的高等于斜边得一半得到，然后分别解关于m的方程即可得到M点的坐标． 【详解】（1）∵一次函数的图象过点与点， 根据题意得，解得， 所以一次函数解析式为； （2）当时，， 解得，则， ∴； （3）如图，∵直线轴于点，交这个一次函数图象于点M， ∴， ∵以点M、N、P顶点的三角形是等腰直角三角形 ∴当，即， 则， 解得或， 此时M点坐标为或； 当，即， 则， 解得或， 此时M点坐标为或； 当时， ∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， 过点P作于点Q， 则， ∴， 解得，此时M点坐标为， 综上所述，满足条件的M点坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是分情况讨论． 3．如图，一次函数的图象分别于x轴、y轴交于点A、B，以线段为边在第一象限内作等腰直角，． (1)求过B、C两点的直线的函数解析式； (2)在x轴上取一点M，使是等腰三角形，直接写出符合条件的所有M的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作轴于点E，由全等三角形的判定定理可得出，由全等三角形的性质可知，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）利用勾股定理求出，设，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：一次函数中， 令，则； 令，则，解得， 的坐标是，A的坐标是， 如图1，作轴于点E， ， ， 又， 在与中， ， ， ，， ， 的坐标是， 设直线的解析式是， 根据题意得：， 解得：， 直线的解析式是 （2）解：，， ， 设M的坐标为， 当，即时，如图2， 即M的坐标为或； 当时，如图3， ， 解得：或， 即M的坐标为； 当时，如图4， ， 解得：， 即M的坐标为； 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形． 4．如图，在中，，，，动点P以每秒1个单位，动点Q以每秒个单位长度的速度同时从点C出发，点P沿折线方向运动，点Q沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点P，Q距离大于5个单位长度时x的取值范围． 【答案】(1) (2)画图见解析，当时，函数最大值为； (3)点P，Q距离大于5个单位长度时，． 【分析】（1）根据勾股定理先求解，由运动速度可得时间界点为时，分两种情况：当时，当时，再进一步解答即可； （2）在直角坐标系中描点连线即可，再根据函数的图象即可得出其性质； （3）利用分别求解时间，再结合图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 当时，点P在上，点Q在上，，， ∴， 即（） 当点P与点Q在上相遇时， ，解得：， 当时，， ∴； （2）解：如图，函数图象如下： ； 性质：当时，函数最大值为； （3）解：当时， ∴，解得：， 当时，解得：， 当点P，Q距离大于5个单位长度时，． 【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，勾股定理的应用，正确理解动点问题是解题的关键． 5．定义：若两个函数的图象关于直线对称，则称这两个函数互为“镜子”函数． (1)求函数的“镜子”函数． (2)如图，某直线与函数的图象交于点，与函数的“镜子”函数图象交于点． ①当时，求函数的“镜子”函数． ②若，且点的横坐标为，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；②点横坐标为15 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，正确运用“镜子”函数的定义（若两个函数的图象关于直线对称，则称这两个函数互为“镜子”函数）是解答本题的关键． （1）设“镜子”函数上某点的坐标为，得出关于直线的对称点为，代入即可得解； （2）①依照（1）的思路可得解；②根据“镜子”函数的定义可得点的坐标为，设点坐标为，由中点坐标公式得点坐标为，结合反比例函数解析式得，进一步可得结论． 【详解】（1）解：设“镜子”函数上某点的坐标为， 则关于直线的对称点为， 所以函数的“镜子”函数为 （2）解：①设“镜子”函数上某点的坐标为， 则关于直线的对称点为， 所以函数的“镜子”函数为 ②函数的“镜子”函数为 点坐标为 设点坐标为， ，即为线段的中点， 点坐标为， ，即点横坐标为15． 2 / 83 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十章 一次函数【单元卷·考点卷】（20大核心考点） 考点一 根据一次函数的定义求参数（共5题） 1．若表示一次函数，则m等 于（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 0 2．已知函数是一次函数，则a的值（    ） A． B． C． D． 3．是一次函数，则m的值是 4．当 时，函数是一次函数． 5．当，为何值时，． (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 考点二 求一次函数自变量或函数值（共5题） 1．下列各点中，函数的图象一定经过的是（   ） A． B． C． D． 2．函数的图象是（　　） A．过点，的直线 B．过点，的直线 C．过点，的直线 D．过点，的直线 3．若点在一次函数的图象上，则的值是 ． 4．已知点在一次函数的图象上，则代数式的值等于 ． 5．已知点． (1)若点P在第二象限，求m、n的取值范围； (2)若点P在一次函数的图象上，求的值． 考点三 判断一次函数图象（共5题） 1．两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（   ） A． B． C． D． 2．函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，直线经过，则 ． 4．若式子＋（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x＋1﹣k的图象可能是 ．（填字母代号）    A.B.C.D. 5．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 考点四 已知函数经过的象限求参数范围（共5题） 1．如图，直线与直线相交于第二象限，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．若一次函数的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知：一次函数中，该函数的图象不过第四象限，则的范围是 ． 4．一次函数的图象不经过第三象限，现将该函数图象向下平移个单位，使其不经过第一象限，则m的取值范围为 ． 5．已知函数，m为常数． (1)若该函数是正比例函数，求m的值； (2)若该函数是一次函数，且函数图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围． 考点五 一次函数图象与坐标轴交点问题（共5题） 1．若一次函数与两坐标轴围成的三角形面积为，则为（   ） A． B． C． D． 2．直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．直线与x轴、y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为 ． 4．将一次函数的图象向右平移3个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为 ． 5．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)在x轴上存在一点P，使得的面积为10，求点P的坐标． 考点六 一次函数图象平移问题 （共5题） 1．在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（      ） A． B． C． D． 2．把直线向上平移后得到直线，直线经过点，且，则直线的函数表达式为（    ）． A． B． C． D． 3．将一次函数的图象平移后经过点，则平移后图象的函数表达式为 ． 4．将直线向右平移4个单位，平移后的直线经过点，则m的值为 ． 5．在直角坐标中，直线与平行，且经过点，将直线向上平移3个单位，得到直线 (1)求这两条直线的解析式； (2)如果直线与x轴、y轴分别交于点A，B，求的面积． 考点七 一次函数与方程（共5题） 1．直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 3．如图，直线与直线交于点，则根据图象可得关于x的方程的解是 ． 4．已知方程的解是，则函数与轴的交点坐标是 ． 5．平面直角坐标系内，一次函数经过点和． （1）求，的值； （2）求该直线与轴的交点坐标． 考点八 一次函数与不等式（共5题） 1．如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．一次函数的图象如图所示，观察图象回答问题：当时， ，当 时，，当 时，． 4．在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，C，且与直线交于点A． (1)分别求出点A，B，C的坐标； (2)直接写出不等式的解集． 考点九 求直线围成的图形面积（共5题） 1．关于函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．经过点） B．与直线平行 C．与坐标轴围成的图形面积为 D．经过y轴的负半轴 2．若直线与两坐标轴所围成的三角形面积是4个面积单位，则k的值为（   ） A． B． C． D． 3．一次函数与坐标轴围成的三角形面积是 ． 4．在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于A，两点，已知的面积等于16，则的值为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，与直线相交于点．    (1)求点B的坐标． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在一点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 考点十 一次函数的增减性（共5题） 1．已知一次函数的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k、b的取值情况是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．已知的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 3．已知一次函数的图象上两点，，当时，有，那么的取值范围是 ． 4．已知一次函数为常数，且．若当有最大值，则的值为 ． 5．已知一次函数（是常数）． (1)为何值时，随的增大而增大？ (2)满足什么条件时，该函数图象经过原点？ 考点十一 比较一次函数值的大小 （共5题） 1．已知点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 2．已知点、、在一次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．若，两点都在一次函数的图象上，则 ．（填“”，“”，“”） 4．在函数的图象上有三个点，则的大小关系用“<”连接为 ． 5．已知一次函数． (1)在图中画出该函数的图象； (2)若和是一次函数图象上的两点，比较和的大小，并说明理由． 考点十二 求一次函数解析式（共5题） 1．若一次函数的图象经过点，则下列各点在该一次函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．若正比例函数的图像经过，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 3．若与成正比例，当时，．则与的关系式为 ，该函数图象与轴的交点坐标是 ． 4．若直线l与直线平行，且l过点，则直线l的表达式为 ． 5．在平面直角坐标系中，若点，，在同一条直线上，求a的值． 考点十三 一次函数与反比例函数（共5题） 1．若正比例函数与反比例函数的图象的一个交点是，则另一个交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，已知B点的坐标为，当时，则x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 3．如图，正比例函数的图象与反比例函数 图象相交于A，B两点，已知A，则B的坐标为 ． 4．直线与双曲线交于，两点，则 ． 5．如图，已知点，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)过点A作直线：，使它与反比例函数仅有一个公共点，求直线的解析式． 考点十四 一次函数与反比例函数的实际应用（共5题） 1．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 2．小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 3．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    4．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    5．通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 考点十五 分配方案问题（共5题） 1．为了美化校园环境，争创绿色学校，某县教育局委托园林公司对A、B两校进行校园绿化．已知A校有3600平方米空地需铺设草坪，B校有2400平方米空地需铺设草坪．在甲、乙两地分别有同种草皮3500平方米和2500平方米出售，且售价一样．若园林公司向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价表如下： A校 B校 路程（千米） 运费单价（元） 路程（千米） 运费单价（元） 甲地 20 0.15 10 0.15 乙地 15 0.20 20 0.20 (1)设甲地运往A校的草皮为x平方米，总运费为y元，写出y与x的函数关系式； (2)请你设计一种运费最少的方案，并说明最少费用是多少？ 2．五一节快到了，甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别提出了赴某地旅游的团体优惠方法，甲旅行社的优惠方法是：买4张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠方法是：一律按7折优惠已知两家旅行社的原价均为每人200元． (1)分别表示出甲旅行社收费，乙旅行社收费与旅游人数x的函数关系式； (2)就参加旅游的人数讨论哪家旅行社的收费更优惠？ 3．某花农培育甲种樱花3株，乙种樱花2株，共需要成本元；培育甲种樱花1株，乙种樱花2株，共需成本元． (1)求甲、乙两种樱花每株成本分别为多少元？ (2)据市场调研，1株甲种樱花售价为元，1株乙种樱花售价为元．该花农决定在成本不超过元的前提下培育甲、乙两种樱花，若培育乙种樱花的株数是甲种樱花的3倍还多10株，那么要使总利润不少于元，花农有哪几种具体的培育方案？ (3)求出选何种方案成本最少？ 4．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为时所需费用为元，选择这两种卡消费时，与的函数关系如图所示，解答下列问题：    (1)分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数表达式； (2)当入园次数12次时选择哪种卡消费比较合算． 5．今年月，某城市受疫情影响，为了人民健康采取了一系列措施，某公司安排大、小货车共辆，分别从两地运送吨物资到该城市，支援抗击疫情，每辆大货车装吨物资，每辆小货车装吨物资，这辆货车恰好装完这批物资，已知这两种货车的运费如表： 目的地 车型 地（元/辆） 地（元/辆） 大货车 小货车 要安排上述装好物资的辆货车中的辆从地出发，其余从地出发． (1)这辆货车中，若大货车辆、小货车辆，请求出与的值． (2)若从地出发的大货车有辆（大货车不少于辆）这辆货车的总运费为元，求总运费的最小值． 考点十六 最大利润问题（共5题） 1．某生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且购买甲种蔬菜不多于60千克，投入资金不超过1168元，求有哪几种购买方案？哪种方案获利最大？最大利润为多少元？ 2．为建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A，B两种树木，需要购买这两种树苗棵．A，B两种树苗的相关信息如表： 单价（元/棵） 成活率 植树费（元/棵） A 5 B 5 设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元，解答下列问题： (1)写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式； (2)如果为了保证这批树苗的总成活率不低于，A种树苗至多购买多少棵？ (3)在（2）的条件下，应如何选购树苗，使绿化村道的总费用最低？并求出最低费用． 3．为进一步加强“书香校园”建设，某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高，用元购进的甲种书柜的数量比用元购进乙种书柜的数量少个． (1)每个甲种书柜的进价是多少元？ (2)若该校拟购进这两种规格的书柜共个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？ 4．漳州古城被市民举为最具“人间烟火气”的地方，据统计，2024年春节长假累计接待游客115万人次．这里不仅有引人入胜的历史古迹，更有种类繁多的特色小吃．“片仔痰甘蔗汁”在古城几乎是人手一杯，春节期间更是“没有一根甘蔗能逃离漳州古城”．若购买甘蔗汁4杯，苹果汁2杯需要48元；购买甘蔗汁2杯，苹果汁4杯需要54元． (1)求甘蔗汁，苹果汁每杯售价分别多少元？ (2)据调查，每榨一杯甘蔗汁需要成本4元，一杯苹果汁6元．五一劳动节即将来临，某商家结合市场需求，预计当天可售卖1000杯果汁，且甘蔗汁的数量至少为苹果汁的3倍．若商家售完这1000杯果汁可获得的最大利润是多少？ 5．为稳步推进5G网格建设，深化共建共享，项目承包单位派遣甲、乙两队合作完成的工程，已知甲队每天完成的工程量是乙队的倍；当两队各完成的工程时，甲队比乙队少用天． (1)甲、乙两队每天完成的工程量分别是多少千米? (2)两队合作完成此项工程，若甲队参与施工天，则乙队参与施工________天（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，若甲队单独施工一天的费用是万元，乙队单独施工一天的费用是万元，且要求两队施工的天数之和不超过天，应如何安排甲、乙两队施工的天数，施工总费用最少?并求出最少费用. 考点十七 行程问题（共5题） 1．某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求出线段和线段的解析式； (2)求甲、乙两个机器人在什么时间相遇； (3)当时，求甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有多少分钟？ 2．潼关博物馆是一个集展览、研究、教育、文化交流于一体的综合性博物馆，拥有丰富的历史文物和文化遗产．周末，佑佑与爸爸妈妈一同驾车前往130千米外的潼关博物馆进行参观，如图表示佑佑一家离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系． 请你根据图中的信息，解答下列问题： (1)求图中段与之间的函数关系式； (2)求佑佑一家离开家多久时，离家的距离为90千米？ 3．小明和弟弟小阳分别从家和科技馆同时出发，沿同一条路相向而行．小明开始以一定的速度跑步前往，10分钟后改为步行，到达科技馆恰好用了30分钟．小阳骑自行车以每分钟250米的速度直接回家，两人离家的路程y（单位：米）与各自离开出发地的时间x（单位：分）之间的函数图像如图所示． (1)家与科技馆之间的路程为______米；小明步行的速度为每分钟______米； (2)求小阳离家的路程y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当离开出发地的时间为6分钟时，求小明和小阳之间的路程． 4．近年来，随着全民健身国家战略的深入实施，锻炼健身逐渐成为了一新风尚．浉河沿岸环河公园（如图1）是一个风景秀美的开放型“体育场”， 在蓝天碧水、绿树成荫中享受骑行魅力．城市骑行，不仅可以锻炼身体，享受户外，还可以发现更多城市美好，周末甲、乙两人相约从沿河绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图2所示． (1)当和时，乙骑行的速度分别是 和 ； (2)当和时，求与之间的函数表达式； (3)通过计算说明，何时甲骑行在乙的前面？ 5．、两地相距米．甲、乙两机器人分别从、两地同时出发，匀速而行，去往目的地，．图中，分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系． (1)求所在直线的函数表达式． (2)当甲机器人到达目的地时，求此时乙机器人行走的距离． 考点十八 一次函数与几何综合（共5题） 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点C，点D，且这两个函数图象交于点P，． (1)直接写出C，D两点的坐标，C（____，____），D（_____，_____）； (2)求四边形的面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交y轴，x轴于点A，B，直线：分别交x轴，直线于点C，D． (1)求点A、点B的坐标，并用含t的代数式表示，C，D的坐标； (2)连接，若，求t的值； (3)P是x轴上的一点，连结，若，且，求t的值． 3．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线 交x轴于点B，交y轴于点 A，且． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P在线段上（不与A，C重合），连接交于点D，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式． 4．数形结合思想是初中数学的思想方法，通过图象可以数形结合地研究函数，已知一次函数的图象经过点，与x轴交于点A． (1)求b的值和点A的坐标； (2)观察图象，当时，y的取值范围为______；当时，x的取值范围是______； (3)若C是y轴上一点，且的面积为3，求点C的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点．      (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上求一点，使． 考点十九 其他问题（共5题） 1．藁城宫灯是石家庄藁城著名的特色传统手工艺品，始于东汉、盛于隋唐，因进贡宫廷故名“宫灯”．以造型优美、易于保存等特点驰名中外，李老师计划购进—批宫灯，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元，两商店售卖方式如下： 甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个宫灯可按标价的七折卖； 乙商店：不购买会员卡，每个宫灯可按标价的九折卖． 设李老师购买宫灯的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元； (2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个宫灯，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 2．某地区山峰的高度每增加，气温大约降低，气温和高度的函数关系如图所示． (1)求高度为时的气温； (2)求T关于h的函数表达式； (3)测得山顶的气温为，求该山峰的高度． 3．我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来计算出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数，下表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 3 4 5 6 y（斤） 0.6 1.3 2 2.7 3.4 4.1 (1)y与x的函数关系式； (2)当秤钩所挂物重是6.9斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？ 4．如图，杠杆是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡瓷，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重（）之间满足一次函数关系，若挂物体时秤砣到秤纽的水平距离为，挂物体时秤砣到秤纽的水平距离为． (1)求与之间的函数关系式； (2)当秤砣到秤纽的水平距离为时，求秤钩所挂物重． 5．如图所示的是温度计的示意图，图中左边的刻度表示摄氏温度（℃），右边的刻度表示华氏温度（℉）． (1)从图中提供的信息，完成表格： 摄氏温度 ．．． ．．． 华氏温度 ．．． ．．． (2)小明发现华氏温度与摄氏温度之间成一次函数关系，试求出与之间的关系式． 考点二十 一次函数综合（共5题） 1．如图，在中，于点D，动点P从点D出发，以每秒钟1个单位的速度沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P运动x秒，的面积为，面积与点P运动路程之比． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 2．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图象过点与点与x轴相交于点A． (1)求这个一次函数的表达式； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，若直线轴于点，交这个一次函数图象于点M，点P在y轴上，当以点M、N、P顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出点M坐标． 3．如图，一次函数的图象分别于x轴、y轴交于点A、B，以线段为边在第一象限内作等腰直角，． (1)求过B、C两点的直线的函数解析式； (2)在x轴上取一点M，使是等腰三角形，直接写出符合条件的所有M的坐标． 4．如图，在中，，，，动点P以每秒1个单位，动点Q以每秒个单位长度的速度同时从点C出发，点P沿折线方向运动，点Q沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点P，Q距离大于5个单位长度时x的取值范围． 5．定义：若两个函数的图象关于直线对称，则称这两个函数互为“镜子”函数． (1)求函数的“镜子”函数． (2)如图，某直线与函数的图象交于点，与函数的“镜子”函数图象交于点． ①当时，求函数的“镜子”函数． ②若，且点的横坐标为，求点的横坐标． 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$