16.1 二次根式十大题型解题技巧-2024-2025学年八年级下册题型技巧培优系列（人教版）

2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《二次根式》 16.1 二次根式十大题型解题技巧 知识要点归纳 知识点一 二次根式概念 一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式．其中，“”叫作二次根号，叫作被开方数。 （1）实质：一个非负数的算术平方根 （2）作为运算条件必须 （3）作为运算结果≥0 知识点二 二次根式有意义的条件 1.二次根式有意义的条件：被开方数是非负数 2.求使含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法 （1）如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数。 （2）如果一个二次根式中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是二次根式中的被开方数是非负数，并且分式中分母不为0. （3）如果一个二次根式中既含有二次根式又含有零指数或负指数指数幂那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数且零指数或负指数的指数幂的底数不为0. 知识点三 二次根式的性质 （1） ≥0（a≥0） 意义：一个非负数的算术平方根. （2） （）2=a（a≥0）意义：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 （3） 2=│a│ 意义：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 二次根式的辨别】 【例1】1．下列各式中， 不是二次根式的是(　　) A． B． C． D． 【变式1-1】．下列式子一定是二次根式是(　　) A． B． C．37 D． 【变式1-2】．若是二次根式，则a的值可以是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【变式1-3】． 下列各式中，是二次根式有（　　） ①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥； ⑦（ab≥0）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2 二次根式有意义的条件】 【例2-1】．若式子有意义，则x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【例2-2】．函数的自变量的取值范围是　 　． 【变式2-1】．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　. 【变式2-2】． 下列二次根式中， 无论 取什么值都有意义的是(　　) A． B． C． D． 【变式2-3】．当 时， 下列各式中， 没有意义的是(　　) A． B． C． D． 【变式2-4】．若式子有意义，则实数x的取值范围是　 　 【题型3 二次根式求值】 【例3-1】．当时，二次根式的值为　 　． 【例3-2】（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 【变式3-1】当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【题型4 由二次根式的非负性确定字母的值】 【例4-1】．若a，b为实数，且，则的值为（　　） A． B．13 C． D．5 【例4-2】．已知x，y为实数，且，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【变式4-1】．已知，为实数，且满足． （1）　 　，　 　； （2）求的值． 【变式4-2】．若x，y为实数，且，则xy的值为（　　） A．0 B．2 C．3 D．不能确定 【变式4-3】． 若 满足 ， 则平面直角坐标系中的点 在第　 　象限． 【变式4-4】．若 =10，则x的值等于（　　） A．4 B．±2 C．2 D．±4 【变式4-5】．若直角三角形两边的长分别为a、b且满足 +|b-4|=0，则第三边的长是　 　。 【题型5 由二次根式的非负性确定字母取值范围】 【例5-1】．能使成立的的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【例5-2】．若等式成立，则实数x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．0≤x≤6 C．x≥6 D．x为一切实数 【变式5-1】点在第一象限，m，n均为整数，且满足，则的值为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-2】． 已知实数 满足 ， 求 的值． 【变式5-2】． （1）已知，为实数，且，求，的值． （2）已知实数满足，求的值． 【变式5-3】．如果成立，那么实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【题型6 由二次根式是整数确定字母的值】 【例6-1】．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（　　） A．11 B．12 C．15 D．19 【例6-2】．已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝　 　． 【变式6-1】．已知是整数，正整数n的最小值为（　　） A．12 B．4 C．3 D．2 【变式6-2】．① 已知 是整数，则自然数 所有可能的值的和为　 　. ② 已知 ， 且 ， 则 的值为　 　. 【变式6-3】．若 为整数，且 是自然数，则 的值为　 　 【变式6-4】＝2，则a＝ ． 【题型7 由二次根式的值求参数或参数取值范围】 【例7-1】已知那么 ． 【例7-2】．若 的化简结果是 ， 则实数 的取值范围是　 　. 【变式7-1】．若 ， 则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】．若，则a与1的关系是（　　） A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1 【变式7-3】若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【题型8 利用二次根式性质实数范围内分解因式】 【例8-1】在实数范围内分解因式：x2+8x﹣11＝ ． 【例8-2】．在实数范围内分解因式 = 　 　 . 【变式8-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）将在实数范围内分解因式得 ． 【变式8-2】在实数范围内分解因式： ． 【题型9 由二次根式隐含条件化简二次根式】 【例9-1】．先化简，再求值：，其中a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）　 　的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　； （3）先化简，再求值：，其中a＝﹣2024． 【例9-2】． 已知 为奇数， 且 ， 求 的值． 【变式9-1】．． 化简　 　. 【变式9-2】．． 阅读下面解题过程，并回答问题． 化简： ． 解： 由隐含条件 ， 得 ， 原式 ． 按照上面的解法，试化简： ． 【变式9-3】．．实数 在 数 轴上对应点的位置如图所示， 化简 的结果为（ ） A． B． C． D． 【变式9-4】．．若，则代数式可化简为（　　） A． B． C． D． 【变式9-5】．．化简：＝　 　． 【题型10 双重二次根式化简】 【例10-1】 一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如． 设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，这样可以把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当m、n均为正整数，若，则　 　，　 　． （2）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：　 　，　 　． （3）化简． 【例10-2】． 阅读下面材料， 回答问题： （1） 在化简 的过程中， 小张和小李的化简结果不同． 小张的化简如下： 小李的化简如下： 请判断谁的化简结果是正确的， 谁的化简结果是错误的， 并说明理由． （2） 请你利用上面所学的方法化简 ． 【变式10-1】．阅读理解题，下面我们观察： ．反之，所以，所以． 完成下列各题： （1）把写成的形式； （2）化简：； （3）化简：． 【变式10-2】．先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数使，这样，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里；由于，即， 根据上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《二次根式》 16.1 二次根式十大题型解题技巧（解析版） 知识要点归纳 知识点一 二次根式概念 一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式．其中，“”叫作二次根号，叫作被开方数。 （1）实质：一个非负数的算术平方根 （2）作为运算条件必须 （3）作为运算结果≥0 知识点二 二次根式有意义的条件 1.二次根式有意义的条件：被开方数是非负数 2.求使含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法 （1）如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数。 （2）如果一个二次根式中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是二次根式中的被开方数是非负数，并且分式中分母不为0. （3）如果一个二次根式中既含有二次根式又含有零指数或负指数指数幂那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数且零指数或负指数的指数幂的底数不为0. 知识点三 二次根式的性质 （1） ≥0（a≥0） 意义：一个非负数的算术平方根. （2） （）2=a（a≥0）意义：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 （3） 2=│a│ 意义：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 二次根式的辨别】 【例1】1．下列各式中， 不是二次根式的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的定义 【解析】【解答】解：A、45＞0，故 是二次根式，不符合题意； B、-3＜0，故 不是二次根式，符合题意； C、，故 是二次根式，不符合题意； D、，故 是二次根式，不符合题意. 故答案为：B. 【分析】形如（a ≥ 0） 的式子叫做二次根式，根据此定义判断各选项即可. 【变式1-1】．下列式子一定是二次根式是(　　) A． B． C．37 D． 【答案】B 【知识点】二次根式的定义 【解析】【解答】二次根式的被开方数为非负数，故A、D不符合，而C为整数，不符合题意；x2≥0，故一定是二次根式. 答案：B. 【分析】直接由二次根式的特点进行判断即可. 【变式1-2】．若是二次根式，则a的值可以是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【答案】A 【知识点】二次根式的定义 【解析】【解答】解：∵是二次根式， ∴a≥0， ∴a的值可以是0. 故答案为：A. 【分析】根据二次根式的定义得被开方数a≥0，然后逐项判断即可. 【变式1-3】． 下列各式中，是二次根式有（　　） ①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥； ⑦（ab≥0）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】二次根式的定义 【解析】【解答】解：下列各式中，是二次根式有：①，④，⑦，共三个， 故答案为：B. 【分析】根据二次根式的定义：形如的代数式，据此这个分析即可求解. 【题型2 二次根式有意义的条件】 【例2-1】．若式子有意义，则x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：要使二次根式有意义， 只需使：， 解得：， 故答案为：B． 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数非负”可得关于x的不等式，解不等式可求解． 【例2-2】．函数的自变量的取值范围是　 　． 【答案】且 【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围 【解析】【解答】解：∵函数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，分式有意义的条件：分母不为0，得关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的取值范围. 【变式2-1】．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　. 【答案】x＞-3 【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：要使代数式在实数范围内有意义，必须 2x+6＞0， 解得：x＞-3． 故答案为：x＞-3. 【分析】根据二次根式有意义的条件：根号下的数或式子大于等于0；分式有意义的条件：分母不等于0，进行求解即可． 【变式2-2】． 下列二次根式中， 无论 取什么值都有意义的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：A、当x＞-1时，-x-1＜0，此时 无意义，不符合题意； B、当x＜0时， 无意义，不符合题意； C、因为，所以不论x取任何值， 都有意义，符合题意； D、当-1＜x＜1时，x2-1＜0，此时 无意义，不符合题意. 故答案为：C. 【分析】因为二次根式要求根号下的数为非负数，则问题就转换成判断各选项的根号下的数在x取任意值的情况下是否都为非负数的问题. 【变式2-3】．当 时， 下列各式中， 没有意义的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：A、当x=2时，原根式=，有意义，不符合题意； B、当x=2时，原根式=，有意义，不符合题意； C、当x=2时，原根式=，有意义，不符合题意； D、当x=2时，原根式=，没有意义，符合题意. 故答案为：D. 【分析】二次根式要求根号下的数为非负数. 【变式2-4】．若式子有意义，则实数x的取值范围是　 　 【答案】且 【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：∵式子有意义， ∴x+1≥0，x-2≠0， ∴x≥-1且x≠2， 故答案为：且 【分析】根据二次根式有意义的调节结合分式有意义的条件得到x+1≥0，x-2≠0，进而化简即可求解. 【题型3 二次根式求值】 【例3-1】．当时，二次根式的值为　 　． 【答案】4 【知识点】二次根式的性质与化简；求代数式的值-直接代入求值 【解析】【解答】解：当x=3时，原式 故答案为：4. 【分析】把x=3代入计算即可. 【例3-2】（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 【答案】 1 2 【分析】本题主要考查二次根式的性质： （1）根据即可求出的值，以及所求式子的最小值； （2）根据即可求出的值，以及所求式子的最大值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的最小值为1， 此时，解得． 所以，当时，的值最小，为1． 故答案为：；1； （2）∵， ∴， ∴的最大值为2． 此时，解得． 所以，当时，的值最大，为2． 故答案为：，2 【变式3-1】当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 【变式3-2】．当时，二次根式的值为　 　． 【答案】2 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：当x=2时，， 故答案为：2 【分析】根据题意代入x=2，从而化简二次根式即可求解。 【题型4 由二次根式的非负性确定字母的值】 【例4-1】．若a，b为实数，且，则的值为（　　） A． B．13 C． D．5 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：由题意，得， 解得， 当时，， ∴． 故答案为：B． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式组，求解得出a的值，再代入原式求出b的值，最后求和可得答案． 【例4-2】．已知x，y为实数，且，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组 【解析】【解答】解：由二次根式有意义的条件得：， 解得， ∴， ∴. 故答案为：C． 【分析】根据二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，解不等式组求出x的值，再代入求y的值，最后代入计算即可. 【变式4-1】．已知，为实数，且满足． （1）　 　，　 　； （2）求的值． 【答案】（1）2；5 （2）解：当，时， 原式． 【知识点】二次根式有意义的条件；实数的混合运算（含开方） 【解析】【解答】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：2；5； 【分析】（）由二次根式的被开方数不能为负数，得且，即可得出，然后代入即可求出的值； （）把的值代入即可求解； 【变式4-2】．若x，y为实数，且，则xy的值为（　　） A．0 B．2 C．3 D．不能确定 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x，进而求得y即可. 【变式4-3】． 若 满足 ， 则平面直角坐标系中的点 在第　 　象限． 【答案】四 【知识点】二次根式有意义的条件；点的坐标与象限的关系 【解析】【解答】解：∵ 满足 ， ∴2-a≥0，a-2≥0， ∴a=2，b=-3， ∴点P（2，-3）位于第四象限， 故答案为：四 【分析】先根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）结合题意即可得到a和b，进而根据点与象限的关系结合题意即可求解。 【变式4-4】．若 =10，则x的值等于（　　） A．4 B．±2 C．2 D．±4 【答案】C 【知识点】二次根式的性质与化简；利用等式的性质解一元一次方程 【解析】【解答】解：3 + + ＝10， 5 ＝10， ＝2， 则2x＝4， x＝2， 故答案为：C 【分析】由二次根式的性质“、、”可将方程左边化简得：3 + + ＝10，再合并同类二次根式得，5 ＝10，把方程两边同时平方可去掉根号，然后按照一元一次方程的解题步骤计算即可求解。 【变式4-5】．若直角三角形两边的长分别为a、b且满足 +|b-4|=0，则第三边的长是　 　。 【答案】3或 【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性 【解析】【解答】根据被开方数与绝对值的非负性， 可得出a2-10a+25=0，b-4=0 可得出a=5，b=4， 根据勾股定理可得出第三边= 或者 【分析】根据开方数与绝对值的非负性，可得出a、b的值，分两种情况利用勾股定理求出第三边。 【题型5 由二次根式的非负性确定字母取值范围】 【例5-1】．能使成立的的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：∵有意义， ∴， 解得：． 故答案为：A． 【分析】根据”被开方数为非负数，且分式的分母不能为0“列出关于x的不等式组，解不等式组求出x的取值范围即可． 【例5-2】．若等式成立，则实数x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．0≤x≤6 C．x≥6 D．x为一切实数 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：C． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可. 【变式5-1】点在第一象限，m，n均为整数，且满足，则的值为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据二次根式的非负性列出不等式组，解不等式组之后依据m，n均为整数代入求值就能求出m，n的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解不等式①，得： ， 解不等式②，得： ∴原不等式组的解集为． ∵m为整数， ∴或2或3． 又∵n为整数， ∴当时，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性和解不等式组，依据限制条件求出相应的参数的值是解题的关键． 【变式5-2】． 已知实数 满足 ， 求 的值． 【答案】解： ∴原方程可化为 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值；实数的绝对值 【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意得到x的取值，进而化简绝对值，再根据题意化简二次根式即可求解。 【变式5-2】． （1）已知，为实数，且，求，的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）解：和均有意义， 且， 即且， ， 当时，， 可得 ∴，即， ，； （2）解：有意义， ， ， 因此，可变为， 即， ， 即， 的值是2024． 【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性 【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得出且，求出a的值，再代入题干给的方程，即可求出b的值； （2根据二次根式有意义的条件可得，再由绝对值的非负性得，整理可得，两边平放后即可求解. 【变式5-3】．如果成立，那么实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 即 故选B. 【题型6 由二次根式是整数确定字母的值】 【例6-1】．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（　　） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：∵是整数，且n是正整数， ∴，即8-n=0或8-n=1或8-n=4， 解得n=8或n=7或n=4， ∴n的所有可能取值之和为：8+7+4=19. 故选：D. 【分析】由二次根式整数分析，可以分析推理出被开方数对应取值并求出所有可能的n值. 【例6-2】．已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝　 　． 【答案】2（答案不唯一） 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：∵当n=2时，=， ∴n=2符合题意， 故答案是：2． 【分析】由n为正整数，也是正整数，可知18-n是一个完全平方数，从而得出结果。 【变式6-1】．已知是整数，正整数n的最小值为（　　） A．12 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：∵==， 当n = 3时，是整数， 正整数n的最小值为3， 故答案为：C. 【分析】先化简二次根式，再找出n的最小值. 【变式6-2】．① 已知 是整数，则自然数 所有可能的值的和为　 　. ② 已知 ， 且 ， 则 的值为　 　. 【答案】70；-2或-12 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；绝对值的概念与意义 【解析】【解答】解： ①∵n是自然数， 是整数， ∴20-n的值为0， 1，4 ，9，16， ∴n的值为20，19，16，11，4 20+19+16+11+4＝70 故答案为：70 ② ∵ ∴a=，b= ∵，∴a+b≥0 ∴a=， b=7 ∴a-b=-2或a-b=-12 故答案为：-2或-12 【分析】 ①先根据n是自然数，根式的值为整数，推导出20-n的可能值，再求出相应的n值及它们的和； ②根据绝对值的性质及二次根式的性质得出a，b，结合a+b的范围最终确定a，b的值，再计算它们的差即可。 【变式6-3】．若 为整数，且 是自然数，则 的值为　 　 【答案】0或-2 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：设=n， ∴a2+2a+4=n2，即(a+1)2+3=n2， ∴(a+1-n)(a+1+n）=-3， ∵a为整数，且n是自然数， ∴或 解得a=-2或a=0. 故答案为：0或-2. 【分析】设=n，将此式两边同时平方并整理可得(a+1-n)(a+1+n）=-3，根据a为整数，且n是自然数，可得或，求解即可得出答案. 【变式6-4】＝2，则a＝ ． 【答案】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件得到，再根据算术平方根的定义求解即可得出结果． 【详解】解： ， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查解方程，涉及到二次根有意义的条件和算术平方根的定义，熟练掌握二次根式的定义及性质是解决问题的关键． 【题型7 由二次根式的值求参数或参数取值范围】 【例7-1】已知那么 ． 【答案】81 【分析】先求出x值，再求平方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：81． 【点睛】本题考查了二次根式的意义，掌握二次根式的意义和运算方法是正确求解的基本方法． 【例7-2】．若 的化简结果是 ， 则实数 的取值范围是　 　. 【答案】​​​​​​​ 【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数 【解析】【解答】解：∵=， 而当a＜1时，原式=1-a-(4-a)=-3 当1≤a≤4时，原式=a-1-(4-a)=2a-5， 当a>4时，原式=a-1-(a-4)=3， ∴实数a的取值范围为：1≤a≤4. 故答案为：1≤a≤4. 【分析】根据二次根式的性质“”先将式子进行化简，再根据绝对值的代数意义，分a＜1，1≤a≤4，a>4时三种情况，判断1-a与a-4的正负，可知当结果是2a-5时，对应的a的取值范围. 【变式7-1】．若 ， 则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解： ∴3x-2≤0 ∴x≤ 故答案为：C 【分析】根据二次根式的性质， 当a>0时，， 当a＝0时， 当a＜0时， 由此可推导出3x-2的范围，再解不等式即可求出x的范围。 【变式7-2】．若，则a与1的关系是（　　） A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1 【答案】B 【知识点】二次根式的性质与化简；绝对值的概念与意义 【解析】【解答】解：， ， ， a≤1 ， 故答案为：B. 【分析】利用二次根式的性质的，进而得到，从而求解. 【变式7-3】若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 【题型8 利用二次根式性质实数范围内分解因式】 【例8-1】在实数范围内分解因式：x2+8x﹣11＝ ． 【答案】/ 【分析】先将x2+8x配方，然后根据平方差公式求解即可． 【详解】解：x2+8x﹣11＝x2+8x+16﹣16﹣11＝（x+4）2﹣27＝（x+4+3）（x+4﹣3）． 故答案为：（x+4+3）（x+4﹣3）． 【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握公式法分解因式是解答的关键． 【例8-2】．在实数范围内分解因式 = 　 　 . 【答案】(x+ )(x- )(x2 +8) 【知识点】因式分解﹣公式法；二次根式的性质与化简 【解析】【解答】原式=（x2 +8)(x2 -8)=(x+ )(x- )(x2 +8)． 【分析】在实数范围运用平方差公式进行因式分解，扩大了学生数的范围，扩充了数学视野． 【变式8-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）将在实数范围内分解因式得 ． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解常用的方法是解题关键 【变式8-2】在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】先把当成一个整体分解一次，再利用平方差公式继续分解因式. 【详解】 故答案为 【点睛】本题考查实数范围内分解因式，实数范围内分解因式主要利用把一个整数写成平方形式再进行分解因式. 【题型9 由二次根式隐含条件化简二次根式】 【例9-1】．先化简，再求值：，其中a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）　 　的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　； （3）先化简，再求值：，其中a＝﹣2024． 【答案】（1）小亮 （2）＝﹣a（a＜0） （3）解：原式＝ ＝a+ ＝a+2（3﹣a） ＝6﹣a， 将a＝﹣2024代入， 原式＝6+2024＝2030． 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值 【解析】【解答】解： (1) 小亮的解法是错误的； 故答案为：小亮. (2) 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：＝﹣a（a＜0）. 故答案为：＝﹣a（a＜0）​​​​​​​. (3)解：原式＝ ＝a+ ＝a+2（3﹣a） ＝6﹣a， 当a＝﹣2024时， 原式＝6+2024＝2030． 【分析】（1）观察小亮、小芳的解法，找出有错误的一位； （2）根据错误分析出错误的原因； ​​​​​​​（3）先将式子化简，再代入求值. 【例9-2】． 已知 为奇数， 且 ， 求 的值． 【答案】解： 解得6≤x＜9. 又∵x为奇数，∴x=7 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值 【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得到，进而得到x的取值，再根据奇数得到x=7，从而代入计算即可求解。 【变式9-1】．． 化简　 　. 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：∵要使有意义， ∴3-a≥0，a≤3， ∴， ∴原式=3-a＋3-a＝6－2a. 故答案为：6－2a. 【分析】根据二次根式的性质确定a的取值范围，再对其进行化简即可． 【变式9-2】．． 阅读下面解题过程，并回答问题． 化简： ． 解： 由隐含条件 ， 得 ， 原式 ． 按照上面的解法，试化简： ． 【答案】解：由隐含条件得 ∴原式= 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简 【解析】【分析】根据二次根式的被开方数不为负值可以求出x的范围，由此推导出另一个根式中代数式的取值范围，然后再化简根式，得出结果。 【变式9-3】．．实数 在 数 轴上对应点的位置如图所示， 化简 的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：由数轴可知，，，a-b>0， ∴ 故答案为：C 【分析】先根据实数在数轴上的表示得到，，，a-b>0，进而化简二次根式即可求解。 【变式9-4】．．若，则代数式可化简为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：∵， ∴代数式可化简为， 故答案为：C 【分析】根据已知条件结合题意化简二次根式即可求解. 【变式9-5】．．化简：＝　 　． 【答案】0 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：由题意得3-a≥0，则a≤3， 3-a-3+a=0. 故答案为：0. 【分析】利用二次根式有意义可得3-a≥0，则a≤3，再利用二次根式的性质化简并整理即可. 【题型10 双重二次根式化简】 【例10-1】 一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如． 设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，这样可以把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当m、n均为正整数，若，则　 　，　 　． （2）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：　 　，　 　． （3）化简． 【答案】（1）1；1 （2）； （3） ． ． 【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简 【解析】【解答】（1）解：∵ ∴ （2）， ，， 古答案为：，； 【分析】（1）根据，对比已知等式可得答案； （2）对展开，对比已知等式可得答案； （3）先利用完全平方公式对进行变形，再利用二次根式的性质化简即可． 【例10-2】． 阅读下面材料， 回答问题： （1） 在化简 的过程中， 小张和小李的化简结果不同． 小张的化简如下： 小李的化简如下： 请判断谁的化简结果是正确的， 谁的化简结果是错误的， 并说明理由． （2） 请你利用上面所学的方法化简 ． 【答案】（1）解：小李的化简结果正确，小张的化简结果错误。 （2）原式 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；完全平方式 【解析】【分析】（1）在化简这样的根式时，要先确定a的取值范围，然后再根据根式的性质进行化简。 ，a＞0时，；a=0时，；a<0时，； （2）运用完全平方公式把被开方数写成一个数的平方的形式，再根据进行化简即可。注意a的正负不同，结果也不同。 【变式10-1】．阅读理解题，下面我们观察： ．反之，所以，所以． 完成下列各题： （1）把写成的形式； （2）化简：； （3）化简：． 【答案】（1）解： （2）解： （3）解： 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【分析】3个小题都利用了完全平方式来处理根式的变形. 由完全平方式可推出，必为不带根号的实数，若原数带根号，则必然是产生的，因此在转换成或化简的时候，先从根号里的数着手，尝试写成符合要求的a与b的乘积，再进行下一步的操作； （1）根据阅读材料提供的方法，模仿解题即可； （2）根据阅读材料提供的方法，可得，进而根据化简即可； （3）根据阅读材料提供的方法，可得，进而根据化简即可. 【变式10-2】．先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数使，这样，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里；由于，即， 根据上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）解： （2）解： （3）解： ． 【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化 【解析】【分析】（1）依照根据解答过程求解即可； （2）将化简后，再依照解答过程求解即可， （3）将转化为，再依照解答过程即可得解； 学科网（北京）股份有限公司 $$