精品解析：广东省茂名市高州市2024-2025学年九年级上学期11月期中联考数学试题

2024-2025学年度第一学期学情练习（第10周） 九年级数学试卷 （满分为120分，考试时间为120分钟） 一、单选题(每小题3分，共30分) 1. 下列条件中，能使菱形为正方形的是（ ） A. B. C. D. 平分 2. 方程的根是（    ） A. B. ， C. ， D. 3. 一个口袋装有4个白球，1个红球，7个黄球，除颜色外，完全相同，充分搅匀后随机摸出一球，恰好是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，则的长为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的面积是( ) A. 48 B. 24 C. 6 D. 8 7. 2017年安徽省的快递业务量为9亿件，设2018年与2019年的年平均增长率为，若2019年安徽省的快递业务量达到14.5亿件，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出a大约是（ ） A. 12 B. 9 C. 4 D. 3 9. 已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长是（　　） A. 10 B. 8 C. 8或10 D. 不能确定 10. 如图①，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图像如图②所示，则边的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 如图，小明向图中的格盘中随意投掷一枚棋子，该棋子落在三角形内的概率是______． 12. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则____． 13. 如图，，则的长为_________． 14. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD=6，BD=10，将纸片折叠，使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，且，则GB的长为 _________ 15. 如图，在矩形中，，，点、分别在、上，则的最小值是___． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分共24分） 16. 解一元二次方程： （1） （用公式法解） （2）． 17. 如图，平分，且交于点C． （1）作的平分线交于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形． 18. 今年是共青团成立100周年，为继承和发扬“五四”运动光荣传统，引导广大团18．某校团委举办以“无悔青春献祖国，接力奋斗新时代”为主题的演讲比赛，九（1）班准备从演讲水平相当的明明和乐乐中任选一名参加本次比赛，班长设计了一个游戏：转动如图所示的被平均分成三个扇形且分别标有数字1、2、3的转盘，连续转动两次，若指针前后所指数字之和为偶数，则明明参加；否则，乐乐参加．（如果指针恰好停在分割线上，则重新转动，直到指针指向某一扇形区域为止）． （1）第一次转动转盘，转到数字是3的区域的概率是______； （2）请你用列表或画树状图的方法，判断班长设计的这个游戏对双方是否公平． 四、解答题（二）（第19小题7分，第20、21小题各10分，共27分） 19. 如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为E，折痕交边于点F， （1）求证：； （2）若，求的长； 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）已知等腰三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求这个三角形的周长． 21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 四、解答题（三）（本大题2小题12分，每小题共24分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，轴分别交于，B两点，直线与x轴，轴分别交于，D两点，这两条直线相交于点P． （1）求点P的坐标； （2）求四边形的面积； （3）在坐标平面内是否存在一点Q，使以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 23. 综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点E从对角线上的点A出发向点C运动，连接并延长至点F，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点M． 操作发现 （1）点E在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，直接写出答案； 实践探究 （2）在点E的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长； 探究拓广 （3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期学情练习（第10周） 九年级数学试卷 （满分为120分，考试时间为120分钟） 一、单选题(每小题3分，共30分) 1. 下列条件中，能使菱形为正方形的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】根据有一个角是90°的菱形是正方形，以及对角线相等的菱形是正方形进行判断即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可， （1）有一个内角是直角（2）对角线相等． 即∠ABC=90°或AC=BD． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定，正确掌握正方形的判定方法是解题关键． 2. 方程的根是（    ） A. B. ， C. ， D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法和根的定义是解题的关键．利用直接开平方法解方程，再根据一元二次方程根的定义即可得出结论． 【详解】解：， 方程有两个相等的实数根，且． 故选：A． 3. 一个口袋装有4个白球，1个红球，7个黄球，除颜色外，完全相同，充分搅匀后随机摸出一球，恰好是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率，题中摸到球的事件数共有12种，摸到白球的事件数有4种，所以摸到白球的概率为：． 【详解】解：白球数有4个，全部球数共有种，所以摸到白球的概率为：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了概率的求法，根据定义找出白球个数以及全部球的个数是解题的关键． 4. 如图，在中，，则的长为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，然后将代入，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵，代入得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握知识点是解题关键． 5. 如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可． 【详解】∵是公共角， ∴再加上或都可以证明，故A，B可证明， C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能证明． ∵， 若再添加，即，可证明，故D可证明． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 6. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的面积是( ) A. 48 B. 24 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：这个菱形的面积＝×6×8＝24． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半． 7. 2017年安徽省的快递业务量为9亿件，设2018年与2019年的年平均增长率为，若2019年安徽省的快递业务量达到14.5亿件，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2=2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设2018年与2019年的年平均增长率为，由题意可知2018年安徽省的快递业务量为亿件，2019年安徽省的快递业务量为亿件，即 ， 故选：C． 【点睛】本题考查增长率问题，关键是掌握方法，设为原来的量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则．体现了数学抽象、数学建模的核心素养． 8. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出a大约是（ ） A. 12 B. 9 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率． 【详解】解：∵a个球中红球有3个，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在， ∴， ∴． 故选：A． 9. 已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长是（　　） A. 10 B. 8 C. 8或10 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次方程，再根据腰长、底长进行分情况讨论，从而得到其周长 【详解】解方程x2﹣6x+8＝0，得x1＝2，x2＝4， 当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形； 当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为4+4+2＝10． 故选：A． 【点睛】解一元二次方程-因式分解法，三角形三边关系，等腰三角形的性质,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键. 10. 如图①，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图像如图②所示，则边的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由图②可知，当点到达点时，的面积为6，此时的高为，则，解得，而，由此即可求解． 【详解】解：由图②可知：当点到达点时，的面积为6，此时的高为， ∴的面积， 解得①， 而从图②还可知：②， 由②得：③， 将③代入①，得：， 解得：或， 当时，， 当时，， ∵在矩形中，， ∴， ∴，， 故选：D． 【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解，也考查了矩形的性质以及解一元二次方程． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 如图，小明向图中的格盘中随意投掷一枚棋子，该棋子落在三角形内的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．利用面积公式分别表示出阴影部分和大正方形的面积，再利用面积比求概率即可．熟记几何概率，掌握计算方法是长度比，面积比，体积比等是解决问题的关键． 【详解】解：三角形面积为；正方形面积为， 该棋子落在三角形内的概率是， 故答案为：． 12. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则____． 【答案】 【解析】 【分析】直接把代入进而方程，再结合，进而得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，且， 则a的值为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是注意二次项系数不能为零． 13. 如图，，则的长为_________． 【答案】4.5## 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】 即 解得 故答案为：4.5． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 14. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD=6，BD=10，将纸片折叠，使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，且，则GB的长为 _________ 【答案】5 【解析】 【分析】由矩形纸片ABCD中，AD=6，BD=10，可求得BC的长，又由折叠的性质，可求得A′B的长，然后利用勾股定理直接计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， ∵AD=6，BD=10， ∴AB=， 由折叠的性质可得：A′D=AD=6，A′G=AG=3，∠DA′G=∠A=90°， ∴∠BA′G=90°，BG=AB-AG=8-x，A′B=BD-A′D=10-6=4， 在Rt△A′BG中，A′G2+A′B2=BG2， ∴32+42=BG2， 解得：BG=5． 故答案为：5． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 15. 如图，在矩形中，，，点、分别在、上，则的最小值是___． 【答案】6 【解析】 【分析】作关于直线的对称点，过作于，则的最小值，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：作关于直线的对称点，过作于， 则的最小值， 四边形是矩形， ， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，轴对称求线段和的最小值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分共24分） 16. 解一元二次方程： （1） （用公式法解） （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 把方程的各项系数分别代入求根公式，用公式法解方程即可； 用提公因式法分解因式，可得：，根据两个因数的乘积为，这两个因数中至少有一个因数为，可得：或，从而得到方程的解． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， 提公因式得：， 或， 解得：，． 17. 如图，平分，且交于点C． （1）作的平分线交于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 如图，射线为所求； （2） 证明：∵， ， 平分， ． ， ， 同理可证， ． 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作的平分线； （2）利用角平分线和平行线的性质证明，则，同理可证，所以，于是可判断四边形是平行四边形，然后利用可判断四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图作角平分线、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 18. 今年是共青团成立100周年，为继承和发扬“五四”运动光荣传统，引导广大团18．某校团委举办以“无悔青春献祖国，接力奋斗新时代”为主题的演讲比赛，九（1）班准备从演讲水平相当的明明和乐乐中任选一名参加本次比赛，班长设计了一个游戏：转动如图所示的被平均分成三个扇形且分别标有数字1、2、3的转盘，连续转动两次，若指针前后所指数字之和为偶数，则明明参加；否则，乐乐参加．（如果指针恰好停在分割线上，则重新转动，直到指针指向某一扇形区域为止）． （1）第一次转动转盘，转到数字是3的区域的概率是______； （2）请你用列表或画树状图的方法，判断班长设计的这个游戏对双方是否公平． 【答案】（1） （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）根据概率公式直接计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：第一次转动转盘可能出现的情况有种，转到数字是3的区域可能情况有种， 第一次转动转盘，转到数字是3的区域的概率； 【小问2详解】 列表如下：       明明 乐乐 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 所有可能情况有9种，其中指针前后所指数字之和为偶数的情况有5种，指针前后所指数字之和为奇数的情况有4种， 则P（明明参加），P（乐乐参加）， ∵， ∴班长设计的这个游戏对双方不公平． 四、解答题（二）（第19小题7分，第20、21小题各10分，共27分） 19. 如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为E，折痕交边于点F， （1）求证：； （2）若，求的长； 【答案】（1） 证明： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，再由根据折叠的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据折叠的性质可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）已知等腰三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求这个三角形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式来判断即可； （2）根据等腰三角形腰相等求出符合条件的，即可求出周长． 【小问1详解】 证明： 恒成立 故无论取任何实数，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：当腰为时，为方程的解， 把代入，得， 得， 方程的另外一个解为， 此时三角形的周长， 当底为时，由于另两边恰好是这个方程的两根， 故， 解得， 此时方程的解为， 三角形的周长． 综上所述，答案为或． 【点睛】本题主要考查根的判别式，等腰三角形的性质，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出一元二次方程，并正确计算． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价m元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为x， 由题意得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价m元， 由题意得， 解得，， ∵每千克涨价不能超过8元， ∴。 ∴不合题意，舍去。 又∵要尽快减少库存，即销售量要尽可能大， 当时，销售量为千克，符合题意。 ∴。 即该商场要保证水果每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价5元． 四、解答题（三）（本大题2小题12分，每小题共24分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，轴分别交于，B两点，直线与x轴，轴分别交于，D两点，这两条直线相交于点P． （1）求点P的坐标； （2）求四边形的面积； （3）在坐标平面内是否存在一点Q，使以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点P的坐标为 （2） （3）存在，点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与坐标轴交点、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）联立两一次函数解析式即可求出交点坐标； （2）先求出、、、的坐标，得出，，，再根据计算即可得出答案； （3）由勾股定理求出，从而得出以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形时，只能以为对角线，设，则，计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵这两条直线相交于点P， ∴联立， 解得：， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 解：在直线中，令，则，即， 令，则，解得，即， 在直线中，令，则，即， 令，则，解得，即， ∴，，， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）（2）可得：，，， ∴，，， ∴， ∴以A，P，D，Q为顶点的四边形是菱形时，只能以为对角线，如图， 设，则， 解得：，即． 23. 综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点E从对角线上的点A出发向点C运动，连接并延长至点F，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点M． 操作发现 （1）点E在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，直接写出答案； 实践探究 （2）在点E的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长； 探究拓广 （3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出． 【答案】（1）， （2）； （3）①当时，；②当时，且点与点重合；③当时， 【解析】 【分析】（1）首先由正方形的性质得出，，，然后判定，进而得出，，又由正方形EFGH得出，再由四边形内角和得出，进而得出，； （2）首先过点作于点，作于点，得出，然后由对角线的性质得出，，进而判定四边形是正方形，即可判定，然后通过面积的等量代换得出，进而得出； （3）根据题意，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）． 理由如下：如图，连接， ∵是正方形的对角线， ∴，，， 在和中， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作于点，作于点， ∴， ∵点是正方形的对角线上的点， ∴，， ∴四边形是正方形， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵正方形与正方形重叠的面积是， ∴， 解得（负值舍去）， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴． ∴此时的长为； （3）分三种情况： ①如图所示，当时， 过点E作交于点P，交于点Q， ∴四边形是矩形，，是等腰直角三角形 由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②当时，且点与点重合； ③当时， 同理可证． 【点睛】此题主要考查三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，正方形的性质以及动点问题的综合运用，熟练掌握，即可解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $