精品解析：重庆市巴渝学校2024-2025学年八年级上学期第二次定时作业数学试题

重庆市巴渝学校2024-2025学年度（上）第二次月考 八 年 级 数 学 试 题 （全卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直角三角形的两条直角边长分别是6和8，下列说法正确的是（　　） A. 该三角形的斜边长为100 B. 该三角形的周长为25 C. 该三角形的斜边长为10 D. 三角形的面积为48 4. 估计的值应在（ ） A. 7和8之间 B. 6和7之间 C. 5和6之间 D. 4和5之间 5. 已知点A的坐标为，直线轴，且，则点B的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 已知点，，三点在直线的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（）与（）的大致图象可以是（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（ ） A. 甲车速度是 B. A、两地的距离是 C. 乙车出发时甲车到达地 D. 甲车出发最终与乙车相遇 10. 对实数定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．若，，则下列结论正确的个数为（ ） （）； （）若，则； （）若，则有且仅有组正整数解； （）如果，那么或； A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：__________． 12. 已知是方程的解，则代数式的值为______． 13. 在直角坐标系中，直线与坐标轴围成的三角形面积为 ___________． 14. 已知：直线与直线的图象交点如图所示，则方程组的解为______． 15. 已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝3，则k的值为_____． 16. 如图，在中，，于，且，，则长为 ____________________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为__________． 18. 对于一个三位自然数m，将各个数位上的数字分别乘以3后，取其个位数字，得到三个新的数字，我们对自然数m规定一个运算：，例如：，其各个数位上的数字分别乘以3后，再取其个位数字分别是：，则．则_______；若已知两个三位数（为整数，且），若能被7整除，则的最大值是_______． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程组： （1）； （2）． 21. 如图，已知中，． （1）请用基本尺规作图：作的垂直平分线，交于点M，交的延长线于点N（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，设直线交于E，连接，且， 求证：，请完成下面的证明过程： 证明：垂直平分， ①__________________， ， ， ， ， ， ②__________________， ， ， ③__________________， ， ， ④__________________， 在和中， ∴⑤_________， ∴⑥_________． 22. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船计划成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试．现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：68，70，72，73，78，82，83，84，85，85、89，92，93，96，98； 八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 a 85 八年级 83 88 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______； （2）请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校七年级有600名学生，八年级有660名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？ 23. 2024年五一假期期间，太原市某中学开展以“红色经典”为主题的研学活动，组织七年级师生参观红色文化传承实践教育基地．原计划租用45座甲型客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座乙型客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满． （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆甲型客车？ （2）若同时租用甲、乙两种型号的客车，要使每位师生都有座位且无空位，有哪几种租车方案？ 24. 如图1，在正方形中，，动点P从点A出发，沿折线运动，当点P到达点C时停止运动．连结，若点P运动的路程为，的面积为y，当点P与点B重合时的值为0 （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数图象的一条性质； （3）根据图象，直接写出当时，x的取值范围． 25. 如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． （1）求点A、B的坐标以及直线的解析式； （2）若为直线上一动点，，求点的坐标； （3）点是直线AB上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 如图，在中，，，点D、E分别是边、上的点，连接，交于点O． （1）如图1，，过点C作，交的延长线于点F，求证：； （2）如图2，点D是中点，连接，若，求证：； （3）如图3，过点C作于点F，延长至点G，使得，点B、O、D、G在同一直线上，若，，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴渝学校2024-2025学年度（上）第二次月考 八 年 级 数 学 试 题 （全卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键． 根据第四象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：如图，小手盖住的点的坐标可能为， 故选：D． 2. 下列函数中，是的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义：，进行判断即可． 【详解】解：A、，未知数最高次不是1次，不符合题意一次函数的解析式形式，故不符合题意； B、没有未知数，不符合题意一次函数的解析式形式，故不符合题意； C、不符合题意一次函数的解析式形式，一次函数解析式右边应为整式，故不符合题意； D、是一次函数，故符合题意． 故选：D． 3. 已知直角三角形的两条直角边长分别是6和8，下列说法正确的是（　　） A. 该三角形的斜边长为100 B. 该三角形的周长为25 C. 该三角形的斜边长为10 D. 三角形的面积为48 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方． 根据勾股定理求出斜边的长度，即可判断A、C，结合三角形的面积公式和周长公式，即可判断B、D． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是6和8， ∴斜边长为，故A不正确，C正确； ∴该三角形的周长为，故B不正确； ∴该三角形的面积，故D不正确； 故选：C． 4. 估计的值应在（ ） A. 7和8之间 B. 6和7之间 C. 5和6之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，先用夹逼法得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 已知点A的坐标为，直线轴，且，则点B的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，根据直线轴得出点的纵坐标为，再结合，分两种情况点在点的左边时，点在点的右边时，分别求解即可得解． 【详解】解：∵直线轴，点A的坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴点在点的左边时，横坐标为，点在点的右边时，横坐标为， ∴点B的坐标为或， 故选：C． 6. 已知点，，三点在直线的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比较一次函数的值，掌握一次函数的性质是解题的关键．先根据，判断出函数的增减性，再由，即可得出结论． 【详解】解：∵直线中，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴．   故选：C ． 7. 《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意可得方程． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（）与（）的大致图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数经过的象限与系数的关系进行求解即可． 【详解】解；当时，一次函数经过第一、二、三象限，一次函数经过第一、三、四象限； 当时，一次函数经过第一、三、四象限，一次函数经过第二、三、四象限； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，一次函数经过第一、二、三象限； 当时，一次函数经过第二、三、四象限，一次函数经过第一、二、四象限； ∴四个选项只有C符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键． 9. 甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（ ） A. 甲车速度是 B. A、两地的距离是 C. 乙车出发时甲车到达地 D. 甲车出发最终与乙车相遇 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题． 分析两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解． 【详解】解：点中可知，乙1小时行驶了， ∴乙的速度， 点中可知，后，甲追上乙， ∴甲的速度为， 由点可知，甲到地，且甲乙相差，则： ， 点可知，休息分钟， ∴，； 点可知，甲乙再次相遇，； A．甲车的速度是，故A错误，不符合题意； B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为，所以A，B两地为，故B错误，不符合题意； C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，符合题意； D．从图中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，不符合题意． 故选：C． 10. 对实数定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．若，，则下列结论正确的个数为（ ） （）； （）若，则； （）若，则有且仅有组正整数解； （）如果，那么或； A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据新定义运算法则逐项判断即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，故（）正确； ∴， 若， 则， ∴， ∴， ∴，故（）正确； 若， 则， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或或，即或或， 此时或或， ∴有且仅有组正整数解，故（）正确； 如果， 则， ∴， ∴， ∴或， 即或，故（）正确； 综上，结论正确的个数有个， 故选：． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂的运算法则及负指数幂的运算法则即可解答． 【详解】解：， 故答案为． 【点睛】本题考查了零指数幂的运算法则，负指数幂的运算法则。掌握对应法则是解题的关键． 12. 已知是方程的解，则代数式的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题要求二元一次方程的解，已知条件与问题之间存在一定的联系，要把握好题目特点，代入，的值即可. 【详解】解：由题已知，，代入， 得：， ∵， 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查一元二次方程，题目较为简单，灵活运用题目信息，此类题目便可迎刃而解. 13. 在直角坐标系中，直线与坐标轴围成的三角形面积为 ___________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】先令，求出y的值；再令求出x的值即可得出直线与两坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键． 【详解】解：令时，； 令时，，则∴，， ∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积. 故答案为： 14. 已知：直线与直线的图象交点如图所示，则方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象与二元一次方程组的关系，求方程组的解，就是求两方程所表示的两一次函数图象交点的坐标，从而得出答案． 【详解】解：∵函数y=x-b与函数y=mx+6的交点坐标是（2，3）， ∴方程组的解为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，比较简单，熟悉交点坐标就是方程组的解是解题的关键． 15. 已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝3，则k的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意得：x＝y+3，再代入方程组得到关于k，y的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵x﹣y＝3， ∴x＝y+3， ∵关于x，y的方程组， ∴， 整理得：， 把④代入③得：2y﹣4（3﹣y）＝0， 解得：y＝2， 把y＝2代入④得：k＝3﹣2＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，解答的关键是明确题意得到x＝y+3，代入原方程得到一个关于y与k的新的方程组． 16. 如图，在中，，于，且，，则长为 ____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等积法的应用．熟练掌握勾股定理是解题关键．根据勾股定理可求出，再根据等积法求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过B作于，过作轴于，构建，即可得出答案． 【详解】过B作于，过作轴于， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及如何构造全等三角形求得线段的长度，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键． 18. 对于一个三位自然数m，将各个数位上的数字分别乘以3后，取其个位数字，得到三个新的数字，我们对自然数m规定一个运算：，例如：，其各个数位上的数字分别乘以3后，再取其个位数字分别是：，则．则_______；若已知两个三位数（为整数，且），若能被7整除，则的最大值是_______． 【答案】 ①. 121 ②. 144 【解析】 【分析】本题考查了数的十进制，数的整除，根据新定义计算，可得的值；先用、的解析式表示，再根据整除的性质列出关于、的关系式从而求得、的值，最后根据的定义求出结果，关键在于数的代数表达式，明白三位数的表达式为即可根据定义运算． 【详解】解：的各个数位上的数字分别3倍后再取个位数字分别是：2，9，6， ； ∵，， ∴ ∵能被7整除， ∴是7的倍数 ∵为整数，且， ∴， ∴或， ∴或， ∵均为整数， ∴或 ∴或， ∴或， ∴当，， 当，， 的最大值为144． 故答案为：121，144． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式． （1）根据负整数指数幂，二次根式的乘法法则，绝对值的性质计算即可； （2）利用完全平方公式，二次根式的乘法法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）利用加减消元法进行计算，即可解答； （2）将原方程组进行整理化简可得：，然后利用代入消元法进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：， ②2得：③， ②3得：④， ③④得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； 【小问2详解】 解：将原方程组进行整理化简可得：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为：． 21. 如图，已知中，． （1）请用基本尺规作图：作的垂直平分线，交于点M，交的延长线于点N（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，设直线交于E，连接，且， 求证：，请完成下面的证明过程： 证明：垂直平分， ①__________________， ， ， ， ， ， ②__________________， ， ， ③__________________， ， ， ④__________________， 在和中， ∴⑤_________， ∴⑥_________． 【答案】（1） 如图，直线即为所求作； （2）①；②；③；④；⑤；⑥． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作垂线的方法步骤画图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得①；根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理求得可得②；根据直角三角形两锐角互余可得③；根据同角的余角相等可得④；根据全等三角形的判定可得⑤⑥． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图作垂线、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质、等角的余角相等等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 22. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船计划成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试．现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：68，70，72，73，78，82，83，84，85，85、89，92，93，96，98； 八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 a 85 八年级 83 88 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______； （2）请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校七年级有600名学生，八年级有660名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？ 【答案】（1） （2） 八年级的成绩较好，理由如下： 两个年级的平均数相同，八年级的中位数和众数均比七年级高，所以八年级的成绩较好． （3）估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为380人 【解析】 【分析】本题考查求中位数和众数，利用样本估计总体： （1）根据中位数和众数的确定方法，求出的值即可； （2）利用中位数和众数进行分析即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级位于中间位置的数据为：， ∴， 八年级出现次数最多的数据为：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为380人． 23. 2024年五一假期期间，太原市某中学开展以“红色经典”为主题的研学活动，组织七年级师生参观红色文化传承实践教育基地．原计划租用45座甲型客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座乙型客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满． （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆甲型客车？ （2）若同时租用甲、乙两种型号的客车，要使每位师生都有座位且无空位，有哪几种租车方案？ 【答案】（1）参加此次研学活动的师生人数是600，原计划租用13辆甲型客车 （2）有三种租车方案，分别是租用甲型客车4辆，乙型客车7辆；租用甲型客车8辆，乙型客车4辆；租用甲型客车12辆，乙型客车1辆 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用： （1）设参加此次研学活动的师生人数是，原计划租用辆甲型客车．根据原计划租用45座甲型客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座乙型客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满可列方程组求解； （2）设租用甲型客车辆，乙型客车辆．根据参加此次研学活动的师生人数是600列出二元一次方程，求出方程的整数解即可得到答案 【小问1详解】 解：设参加此次研学活动的师生人数是，原计划租用辆甲型客车． 根据题意，得， 解得， 答：参加此次研学活动的师生人数是600，原计划租用13辆甲型客车． 【小问2详解】 解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆． 依题意得， 整理得． 都为正整数， 或或． 答：有三种租车方案，分别是租用甲型客车4辆，乙型客车7辆；租用甲型客车8辆，乙型客车4辆；租用甲型客车12辆，乙型客车1辆． 24. 如图1，在正方形中，，动点P从点A出发，沿折线运动，当点P到达点C时停止运动．连结，若点P运动的路程为，的面积为y，当点P与点B重合时的值为0 （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数图象的一条性质； （3）根据图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数的图象如图所示，该函数图象是轴对称图形，对称轴是直线； （3）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，根据三角形面积公式写出函数解析式，即可得到答案； （2）根据（1）中的函数解析式和自变量取值范围画出函数图象，根据图象写出一条性质即可； （3）根据图象，当时，或，即可得到当时，x的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，的面积为， 当时，的面积为， 即y与x之间的函数解析式为， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据图象，当时，或， ∴当时，x的取值范围为或． 【点睛】此题是一次函数和几何综合题，考查了一次函数的图象和性质、求一次函数解析式等知识，读懂题意，正确写出y与x之间的函数解析式是解题的关键． 25. 如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． （1）求点A、B的坐标以及直线的解析式； （2）若为直线上一动点，，求点的坐标； （3）点是直线AB上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）、，直线的解析式为 （2）或 （3）所有符合条件的点的坐标为，， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数面积问题，一次函数与全等综合； （1）分别令和求出点A、B的坐标，设直线的解析式为，代入，计算即可求出解析式； （2）过作轴交于，利用铅锤法表示面积，根据列方程求解即可； （3）根据直角顶点不同分情况讨论，画出图形构造一线三垂直全等模型求解即可． 【小问1详解】 解：令则； 令则，解得， ∴直线与轴、轴分别交于点、； 设直线的解析式为，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线经过点，且与轴交于点． ∴， ∴，， ∵为直线上一动点， ∴设， 过作轴交于，则，， ∴ ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∴或； 【小问3详解】 解：∵、， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴当，时，如图中点，过作轴于， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 同理当，时，如图中点，此时； 当，时，如图中点，此时为中点，则, 综上所述，当为等腰直角三角形时，所有符合条件的点的坐标为，，． 26. 如图，在中，，，点D、E分别是边、上的点，连接，交于点O． （1）如图1，，过点C作，交的延长线于点F，求证：； （2）如图2，点D是中点，连接，若，求证：； （3）如图3，过点C作于点F，延长至点G，使得，点B、O、D、G在同一直线上，若，，直接写出的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在和中，， ， ∴． （2） 证明：如图，过点作交的延长线于点， ∵是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得结论； （2）如图2中，过点作交的延长线于点．证明，推出，，再证明，推出，，即可得结论； （3）过点作于点．证明，再证明，推出，，证明，推出，即可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $