四川省宜宾市第三中学校2024-2025学年高二上学期期末模拟考试数学试题

宜宾市三中教育集团高2023级高二上期末模拟考试 数 学 一、单项选择题：8小题，每小题5分，共40分。每题只有一个选项合题意。 1．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．“”是“方程表示椭圆”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．设数列的通项公式为，则＝（    ） A．139 B．153 C．144 D．178 4．点，，直线：与线段相交，实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 5．有100个半径互不相等的同心圆，最小圆半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是（    ） A．8 B．9 C．10 D．100 6．已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，二面角平面角的大小为，其棱上有、两点， 、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直. 已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为S，且满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 二、多项选择题：每题6分，共18分，部分选对得3分，有错选得0分。 9．已知空间单位向量两两互相垂直，设，则下列说法正确的有（    ） A．与的夹角为 B．夹角的余弦值为 C． D．不能作为空间中的一组基底 10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． 若 B．若，则当时，是等比数列 C．若数列为等差数列，，，则 D．若数列为等差数列，，，则时，最大 11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过作直线与C交于A，B两点，的周长为8．若在C外，点Q在C上，记C的离心率为e，则（    ） A．的最小值为4 B． C．存在点Q，使得 D．当时，点R在C上且满足，则有 三､填空题：共3小题，每小题5分，共15分。 12. 若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 . 13. 在数列中，，则数列的通项公式为 . 14．已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，而且（为坐标原点），若与的面积分别为和，则最小值是 . 四､解答题：共5小题，共77分。解答应写出相应文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过 点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 16.已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17. 如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 18．如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)求中点E的轨迹方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为， 证明：为定值. 19．设数列是各项均为正数的等比数列，.数列满足：对任意的正整数n，都有. (1) 分别求数列与的通项公式． (2) 若不等式对一切正整数n都成立，求实数λ的取值范围． (3) 已知，对于数列，若在与之间插入个2，得到一个新数列．设数列的前m项的和为Tm，试问：是否存在正整数m，使得Tm＝2019？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由． 宜宾市三中教育集团高2023级高二上期末模拟考试 数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B B C D C C BD AD 题号 11 答案 ABD 二、填空题 12. 或 13. 14． 6 三、解答题 15.（1）由题意可知圆心坐标，半径 当直线的斜率不存在时，即的方程为时，符合题意；……………2分 当直线的斜率存在时，设直线，直线与圆相切，则，即，解得，所以的方程为：，即.综上， 或.…………6分 （2）圆：的圆心坐标，半径，设，因为圆关于直线的对称圆的圆心为， 所以，解得，圆的圆心为，半径为1. .……8分 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线过圆的圆心，，不符合题意；. .……. .……. .……. .……. .……. .……. .……9分 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即化为一般式：，圆心到直线的距离.若直线与圆交于两点，，根据勾股定理可得，解得，所以直线的方程为或.……. .……. .……13分 16.（1）当时，.当时，由，得， 则..……. .……. .……4分 因为，所以...……. .……. .……6分 （2）由（1）可得.，①...……. .……. .……7分 则，② 1 ，得 ，从而....……. .……. .……15分 17（1）过点作于点，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又平面，平面，所以，又因，，平面，所以平面．...……. .……. .……6分 （2）假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 即取，，， 所以为平面的一个法向量 因为在线段上（不含端点），所以可设，，所以，...……. .……. .……9分 设平面的一个法向量为，即， 取，，，所以为平面一个法向量...…11分 ，又，由已知可得解得或（舍去）， 所以，存在点，使得二面角的余弦值为，此时是上靠近的三等分点．...……. .……. .……15分 18．（1）由题意得，，又∵，∴，∴椭圆的方程为....……. .……. .……4分 （2）设直线方程为，， 由得，，由得，，则， ∴， ∵E为中点，∴，即， 设，则，由得， 故中点E的轨迹方程为....……. .……. .……9分 （3）由直线的斜率存在且异于点得，，故且， ∴ ，∴为定值. ...……. .……. .……17分 19．因为是等比数列，且各项均为正数，所以，解得，公比， 所以，....……. .……. .……2分 因为，所以， 两式相减,得，所以当时，，因为当时，，所以，符合， 所以.....……. .……. .……5分 (2)因为，所以当时,原不等式成立, 当时,原不等式可化为， 设，则，则， 所以，即数列单调递减， 所以，,解得， 综上, .....……. .……. .……11分 (3 )由题意可知,设在数列中的项为 , 则由题意可知，，所以当时，，设，解得， 当时，，因为且， 所以当时, .....……. .……. .……17分 学科网（北京）股份有限公司 $$