（趣味奥数）第九讲 最大最小问题-六年级下册奥数精讲精练（通用版）

最大最小问题 国王的金币分配难题 从前，有一个富饶的王国，国王拥有着堆积如山的金币。随着年龄的增长，国王决定将这些金币分配给他的三个儿子，但他想通过一个巧妙的方式来考验他们的智慧。 国王把三个儿子叫到跟前，拿出了 100 枚闪闪发光的金币，说道：“孩子们，我要把这 100 枚金币分给你们，但有一个条件。你们需要分别提出一个分配方案，谁的方案能让自己得到最多的金币，同时又能让其他两人满意，我就采纳谁的方案。” 大儿子心想，自己是长子，理应得到最多的金币，于是他率先开口说道：“父王，我觉得我应该得到 50 枚金币，二弟 30 枚，三弟 20 枚。” 二儿子听了，皱起眉头表示反对：“父王，这样不公平。我平时为王国处理了不少事务，我应该得到 40 枚，大哥 35 枚，三弟 25 枚。” 小儿子一直静静地听着两个哥哥的方案，他思考了一会儿，然后不紧不慢地说：“父王，我有一个更好的方案。我只要 1 枚金币，大哥 49 枚，二哥 50 枚。” 大儿子和二儿子听了小儿子的方案，都惊讶地瞪大了眼睛，他们不明白小儿子为什么要这样分配。国王却微笑着点了点头，他问小儿子：“孩子，你为什么要这样分配呢？” 小儿子恭敬地回答道：“父王，我知道如果我想要得到更多的金币，可能会引起大哥和二哥的不满，最终可能导致谁的方案都无法通过。而我只拿 1 枚金币，大哥和二哥就能得到他们满意的数量，这样他们一定会支持我的方案，我也能确保自己至少能得到 1 枚金币。” 国王听了小儿子的回答，十分欣慰，他赞赏小儿子的智慧和谦逊。最终，国王采纳了小儿子的分配方案，大儿子得到了 49 枚金币，二儿子得到了 50 枚金币，小儿子得到了 1 枚金币。 从这个故事中，我们可以看到，在面对一些问题时，有时候看似选择了最小的利益，但实际上却能获得最大的收益，这就是最大最小问题中蕴含的智慧。 人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。 1：三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数的和是2886。求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。 【标准答案】设三个数字为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为 abc+acb+bac+bca+cab+cba ＝（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2 ＝（a+b+c）×222 ＝2886 即a+b+c＝2886÷222＝13 答：所有这样的6个三位数中，最小的三位数是139。 【思路分析】因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。所以，2886÷222能得到三个数字的和。 1.用a、b、c能组成6个不同的三位数。这6个三位数相加的和是2886。已知a、b、c三个数字中，最大的数字是最小数字的2倍，这6个三位数中最小的数是多少？ 2. 有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是2220。所有这样的6个三位数中最小的一个是多少？ 3．有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是3108。所有这样的6个三位数中最大的一个是多少？ 2： 三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114。这三个数中最小的是多少？ 【思路分析】因为：最大数×中间数－最小数×中间数＝114，即：（最大数－最小数）×中间数＝114 而三个连续自然数中，最大数－最小数＝2，因此，中间数是114÷2＝57，最小数是57－1＝56 【标准答案】最小数是56。 4．被分数，，除得的结果都是整数的最小分数是______。 5．a、b、c是从小到大排列的三个数，且a－b＝b－c，前两个数的积与后两个数的积之差是280。如果b＝35，那么c是_____。 6．三个连续的奇数，后两个数的积与前两个数的积之差是252。三个数中最小的数是______。 3：如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？ 【思路分析】在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数，最多可以减去78，因此，这样的数对共有78+1＝79个。 【标准答案】这样的数对共有79个。 7．如果两个四位数的差是3456，就说这两个数组成一个数对。那么，这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的和最大是多少？最小是多少？ 8．如果两个三位数的和是525，就说这两个三位数组成一个数对。那么这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的差最小是多少？最大是多少？ 9．两个四位数的差是8921。这两个四位数的和的最大值是多少？ 4：有甲、乙两个两位数，甲数等于乙数的。这两个两位数的差最多是多少？ 【思路分析】甲数：乙数=：=7：3，甲数的7份，乙数的3份。由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份。 【标准答案】甲、乙两数的差是14×（7-3）=56 答：这两个两位数的差最多是56。 10.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？ 11.甲、乙两数都是三位数，如果甲数的恰好等于乙数的。这两个两位数的和最小是多少？ 12.有甲、乙两个两位数，甲数的等于乙数的。这两个两位数的差最多是多少？ 代数之父一韦达 16世纪末,法国和西班牙正在打仗。西班牙军队使用复杂的密码来传递消息,即使信件被敌人发现,也不明白是什么意思。有一次,法国军队截获了一些秘密的信件,据推测是西班牙军队的重要调动情报,可是就是没有办法破译密码。无奈之下,法军将领请来了当时著名的数学家韦达。韦达经过番艰苦的研究,终于揭开了密码的奥秘。从此以后,法国军队对敌人的动态了如指掌,总是能够先敌一步作出正确的决定,因此逐渐掌握了战争的主动权,两年后就战胜了西班牙。西班牙人非常恼火,他们断定法国人使用了某种魔法。韦达的努力,为自己祖国的胜利做出了重要的贡献。 在破译密码的时候,韦达很受启发。他想,密码是大家事先约定好的一套符号,在数学中,为什么我们不可以借助这样的做法呢?数学家们可以用约定好的符号来表示特定的意思,这样书写、计算的时候就方便多了。在这样的思想引导下,韦达进行了深入的研究,他不但用字母来表示数,还用字母来表示方程中的系数,例如一次方程可以表示为ax+b=0,在那个时候,这是一种非常具有开拓性的方法。 韦达的贡献使他赢得了“代数之父”的美誉,后世的数学家们在他的基础上,不断地完善代数的符号体系。直到今天,数学还在发展,它的语言还在不断丰富之中。 1：三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数的和是2886。求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。 【标准答案】设三个数字为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为 abc+acb+bac+bca+cab+cba ＝（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2 ＝（a+b+c）×222 ＝2886 即a+b+c＝2886÷222＝13 答：所有这样的6个三位数中，最小的三位数是139。 【思路分析】因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。所以，2886÷222能得到三个数字的和。 1.最小的数是346。 2. 三个数字的和是2220÷222＝10，最小的一个是127。 3．符合题意的三个数字之和是3108÷222＝14，因此，所有这样的6个三位数中最大的一个是941（三个数字不能有0，否则就不能排出6个不同的三位数）。 2： 三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114。这三个数中最小的是多少？ 【思路分析】因为：最大数×中间数－最小数×中间数＝114，即：（最大数－最小数）×中间数＝114 而三个连续自然数中，最大数－最小数＝2，因此，中间数是114÷2＝57，最小数是57－1＝56 【标准答案】最小数是56。 4．所求的分数，它的分子是6，5，10的最小公倍数，分母是7，14，21的最大公约数，所以答案是。 5．根据题意可得（a－c）×b＝280，进而可以推出a－c＝280÷b＝280÷35＝8，所以，c＝35－8÷2＝31 6．最大数－最小数＝4 中间数＝252÷4＝63 最小数＝63－2＝61 3：如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？ 【思路分析】在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数，最多可以减去78，因此，这样的数对共有78+1＝79个。 【标准答案】这样的数对共有79个。 7．数对共有9999－3456－1000+1＝5544个，两个数的和最大是9999－3456+9999＝16542，两个数的和最小是1000+3456+1000＝5456 8．较小的数最大是（521－1）÷2＝262，100～262共有163个自然数,所以共有163对,两个数的差最大是525－100－100＝325 9．9999+（9999－8921）＝11077 4：有甲、乙两个两位数，甲数等于乙数的。这两个两位数的差最多是多少？ 【思路分析】甲数：乙数=：=7：3，甲数的7份，乙数的3份。由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份。 【标准答案】甲、乙两数的差是14×（7-3）=56 答：这两个两位数的差最多是56。 10.一、二、三道工序所需的工人数的比是：：＝14：21：24，所以至少安排14+21+24＝59个工人。 11.甲、乙两数的比是3：10，甲数最小是102，和最小是442。 12.甲、乙两数的比是8：3，甲数最大是96 ，差最大是60。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$