（趣味奥数）第十一讲 表面积和体积（一）-六年级下册奥数精讲精练（通用版）

表面积和体积（一） 纸盒的奇妙变身 在一个小小的手工作坊里，住着一位心灵手巧的工匠李爷爷和他的孙子小明。 一天，李爷爷拿着一个长方体纸盒对小明说：“孩子，今天我们来玩个游戏。这个纸盒的长、宽、高分别是10厘米、8厘米和6厘米，你能算出它的表面积和体积吗?" 小明挠了挠头，拿起纸笔开始计算。他先算体积，根据长方体体积公式V=长×宽×高，很快得出体积为10×8×6=480立方厘米。 接着算表面积，长方体表面积公式是S=(长×宽+长×高+宽×高)×2,小明认真地计算着(10×8+10×6+8×6)×2=(80+60+48)×2=188×2=376平方厘米。 李爷爷看着小明算出的结果，满意地点了点头，然后说：“孩子，你看，如果我们把这个纸盒沿着高剪开，展开成一个平面图形，你能发现什么呢?” 小明好奇地剪开纸盒，仔细观察后说：“爷爷，我发现展开后的图形面积就是纸盒的表面积，而且那些边的长度和纸盒的长、宽、高都有关系。" 李爷爷笑着说：“对啦，这就是表面积的实际意义。那你再想想，如果我们用同样多的材料，也就是表面积不变，做成不同形状的盒子，它们的体积会一样吗?" 小明想了想，摇了摇头。李爷爷说：“那我们来试试。”说着，李爷爷用一张同样大小的纸，做出了一个正方体形状的盒子和一个不规则形状的盒子 经过计算，小明惊讶地发现，正方体盒子的体积比之前的长方体盒子体积大，而不规则盒子的体积更小。李爷爷解释道：“在表面积相同的情况下，正方体的形状更加规整，能容纳的空间更大，所以体积也就更大。这就是表面积和体积之间的奇妙关系，在生活中，比如我们设计包装盒时，就要考虑怎样在材料一定的情况下，让盒子的容积最大，这就用到了这些知识。“ 小明听了，眼睛一亮，他感受到了数学知识在生活中的实用和有趣，从那以后，他对数学的兴趣更加浓厚了，总是缠着爷爷学习更多的数学知识和技巧，而那个纸盒也被小明小心地收藏起来，成为了他学习数学的一个特殊“伙伴”。 小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。 在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点： （1）充分利用正方体六个面 的面积都相等，每个面都是正方形的特点。 （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 1：一个正方体木块，棱长为1米，沿水平方向将它锯成4份，每份又锯成5长条，共得大大小小长方体20块，这20块长方体的表面积总和是多少平方米？ 【思路分析】每锯一次，则会增加2个表面。沿水平方向将它锯成4份，则需要锯3次；每份又锯成5长条，又需要锯4次；一共锯了7次，因此共计增加了14个正方体每个面的面积，然后再加上原来没有切分的正方体的表面积，即这20块长方体的表面积总和是多少平方米。 【标准答案】锯的次数：（4－1）＋（5－1） ＝3＋4 ＝7（次） 7×2＋6 ＝14＋6 ＝20（个） 20×（1×1）＝20（平方米） 答：这20块长方体的表面积总和是20平方米。 1.一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为2.5厘米和3.5厘米的长方体后，便成为一个正方体，此时表面积减少了240平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 2. 一个正方体的棱长是一个一位数，表面的每个正方形的面积是一个两位数，整个表面积是一个三位数，且若将正方形面积的两位数中两个数码调换一下，则恰好是三位数的十位与个位上的数码。求这个正方体的体积。 3．有一个长方体，长10厘米、宽6厘米、高4厘米，如果把它锯成棱长是1厘米的小正方体一共能锯多少个？这些小正方体表面积和是多少？ 2： 用棱长是2厘米的正方体拼成如图所示的立体图形，问：该图形的表面积是多少平方厘米？ 【思路分析】根据图形可以数得该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成的，因此可以知道这个立体图形的表面积是由多少个边长为2厘米的正方形组成。再乘每个面的面积即可解答。 【标准答案】（9＋7＋7）×2 ＝23×2 ＝46（个） 2×2×46 ＝4×46 ＝184（平方厘米） 答：该图形的表面积是184平方厘米。 4．如图所示是由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、3米、5米。现在要在表面涂刷油漆，刷油漆的面积是多少平方米？ 5．如图，用105个棱长为1厘米的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，那么留下部分的表面积是多少？ 6．下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？ 3：下图是一个珠宝箱的直观图，它的下部是一具棱长为20厘米的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个珠宝箱的表面积和体积． 【思路分析】这是一个由两个基本几何体组成的形体，因此将它拆分成两个部分分别来求体积和表面积．这两个部分为：上部的半圆柱体、下部的正方体． 【标准答案】（1）先求这个珠宝箱的表面积： 将这个几何体的表面积分成两上部分：一部分是圆柱表面积的一半，另一部分是正方体的5个面的面积之和． 由于正方体的棱长为20厘米，从而圆柱底面半径为10厘米，高为20厘米，因此圆柱的表面积为，可得第一部分的表面积为1884÷2=942（平方厘米）；而第二部分的表面积为：；故此珠宝箱的表面积为942+2000=2942（平方厘米）． （2）再求这个珠宝箱的体积： 第一部分的体积为；第二部分的体积为；故此珠宝箱的体积为3140+8000=11140（立方厘米）． 答：这个珠宝箱的表面积为2942平方厘米，体积为11140立方厘米． 7．有一个棱长为10厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的“十”字孔（如图12所示），求这个立体图形的表面积． 8．把一个棱长为2cm正方体在同一平面的边的中点用线段连接起来，如图．然后把正方体顶点上的三角锥锯掉，请问最后所得的立体图形的表面积的多少平方厘米？（1.732×1.732=3） 9．如图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1/2厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同，棱长为1/4厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 4：圆柱形的售报亭的高和底面直径相等（如图），开一个边长等于底面半径的正方形售报窗口．问窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几？ 【标准答案】 【思路分析】窗口上下的弧长为底面圆周长的六分之一 窗口的高为圆柱的高的二分之一 挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的×= 10.小红的生日舞会，做了一顶圆锥形帽子，要将帽子涂成红色和蓝色，O点为顶点，BC为底面圆直径30cm，A点是OB的下三分之一处，OB=30cm，从A点出发，CA之间最短的距离之上涂成红色，下边涂成蓝色．那么小红的帽子有多大地方涂的是蓝色？（=3） 11.如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积． 12.如下图，是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中间向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞.接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米，求最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？ 难解的立方倍积问题 传说在公元前400多年,古希腊的第罗斯岛上,暴发了瘟疫,大批大批的人被传染,然后在痛苦中死去。对于瘟疫,人们束手无策,于是只好到神庙去,祈求他们所信仰的太阳神的保护。太阳神对大家说:这次瘟疫的流行是因为你们不够虔诚。你们的正方体祭台太小了,不能显示出太阳神的伟大和尊严。如果你们能只利用圆规和直尺,而不利用其他的测量工具,把祭台体积扩大为原来的两倍,那么,太阳神就可以免除你们的灾难。 人们绞尽脑汁,怎样才能只用圆规和直尺就把祭台体积扩大一倍呢?人们试着把祭台的棱长扩大了一倍,结果非但祭台的体积没有变成原来的两倍，反而扩大成了原来的8倍。太阳神又发怒了!嫌祭台造得太大了,说人们在欺骗他,于是降下了更加厉害的灾难。灾难又笼罩了第罗斯岛…… 实际上,这只是一个传说而已,但是它却包含了一个著名的几何问题:已知一个正方体,只利用圆规和直尺,能不能做出一个新正方体,使它的体积等于已知正方体的两倍呢?这个问题被称为“立方倍积问题”,是古希腊三大几何作图难题之一。这个问题几千年来困扰了无数的数学家。到100多年前,一位名叫克莱因的德国数学家证明了只用直尺和圆规是不可能解决立方倍积问题的。 1：一个正方体木块，棱长为1米，沿水平方向将它锯成4份，每份又锯成5长条，共得大大小小长方体20块，这20块长方体的表面积总和是多少平方米？ 【思路分析】每锯一次，则会增加2个表面。沿水平方向将它锯成4份，则需要锯3次；每份又锯成5长条，又需要锯4次；一共锯了7次，因此共计增加了14个正方体每个面的面积，然后再加上原来没有切分的正方体的表面积，即这20块长方体的表面积总和是多少平方米。 【标准答案】锯的次数：（4－1）＋（5－1） ＝3＋4 ＝7（次） 7×2＋6 ＝14＋6 ＝20（个） 20×（1×1）＝20（平方米） 答：这20块长方体的表面积总和是20平方米。 1.一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为2.5厘米和3.5厘米的长方体后，便成为一个正方体，此时表面积减少了240平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 答案：1600立方厘米 分析：从下部和上部分别截去高为2.5厘米和3.5厘米的长方体后，便成为一个正方体，即可知道原来长方体的上下两个面为正方形，其余四个侧面是一样的。表面积减少了240平方厘米，就是减少了2个小长方体的侧面积，再根据侧面积＝底面周长×高，高为2.5厘米与3.5厘米的和，从而可以求出底面周长。底面周长除以4，就可以求出这个长方体的长和宽了。最后再然后根据“长方体体积＝长×宽×高”即可解答。 详解：240÷（2.5＋3.5） ＝240÷6 ＝40（厘米） 40÷4＝10（厘米） 10×10×（10＋2.5＋3.5） ＝100×16 ＝1600（立方厘米） 答：原来长方体的体积是1600立方厘米。 2. 一个正方体的棱长是一个一位数，表面的每个正方形的面积是一个两位数，整个表面积是一个三位数，且若将正方形面积的两位数中两个数码调换一下，则恰好是三位数的十位与个位上的数码。求这个正方体的体积。 答案：343 分析：现根据题目条件进行验证排除，棱长是1、2、3时，每个面的面积是一位数，不满足题意； 棱长是4时，表面积是两位数，不满足题意； 棱长是5、6、7、8、9时，每个面的面积是两位数，表面积是三位数，满足题意。再根据若将正方形面积的两位数中两个数码调换一下，则恰好是三位数的十位与个位上的数码，即可找到正方体额棱长，然后根据正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长解决。 详解：由题意可知，这个正方体的棱长可能是是5、6、7、8、9， 正方体棱长 5 6 7 8 9 正方体面积 25 36 49 64 81 正方体表面积 150 216 294 384 486 由表格可知只有棱长为7时才满足题意。 体积：7×7×7 ＝49×7 ＝343 答：这个正方体的体积是343。 3．有一个长方体，长10厘米、宽6厘米、高4厘米，如果把它锯成棱长是1厘米的小正方体一共能锯多少个？这些小正方体表面积和是多少？ 答案：240个；1440平方厘米 分析：分别求出长、宽、高里面各有多少个1厘米，然后相乘，就是可以锯成小正方体的个数； 先根据正方体的表面积公式求出一个正方体的面积，再乘上正方体的个数，就是正方体的表面积之和。 详解：10÷1＝10（个） 6÷1＝6（个） 4÷1＝4（个） 10×6×4＝240（个） 1×1×6×240＝1440（平方厘米） 答：一共能锯240个，这些小正方体表面积和是1440平方厘米。 2： 用棱长是2厘米的正方体拼成如图所示的立体图形，问：该图形的表面积是多少平方厘米？ 【思路分析】根据图形可以数得该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成的，因此可以知道这个立体图形的表面积是由多少个边长为2厘米的正方形组成。再乘每个面的面积即可解答。 【标准答案】（9＋7＋7）×2 ＝23×2 ＝46（个） 2×2×46 ＝4×46 ＝184（平方厘米） 答：该图形的表面积是184平方厘米。 4．如图所示是由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、3米、5米。现在要在表面涂刷油漆，刷油漆的面积是多少平方米？ 答案：190平方米 分析：刷油漆的面积即是立体图形表面积，立体图形的表面积等于大正方体的表面积，加中间正方体4个侧面的面积，再加上面小正方体4个侧面的面积。 详解：5×5×6＋3×3×4＋1×1×4 ＝150＋36＋4 ＝190（平方米） 答：刷油漆的面积是190平方米。 5．如图，用105个棱长为1厘米的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，那么留下部分的表面积是多少？ 答案：46平方厘米 分析：由图可知原本这个长方体的长宽高分别为：5厘米、3厘米、7厘米，若将沿棱的小正方体拆下，则这个长方体的长宽高都会减少2厘米，从而可以知道留下部分长方体的长宽高。最后再根据长方体的表面积公式即可求解。 详解：长：7－2＝5（厘米） 宽：3－2＝1（厘米） 高：5－2＝3（厘米） 表面积：（5×1＋5×3＋1×3）×2 ＝（5＋15＋3）×2 ＝23×2 ＝46（平方厘米） 答：留下部分的表面积是46平方厘米。 6．下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？ 答案：48平方厘米 详解：从图中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个．另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后；左、右两个面的表面积也是分别相同的．因为小正方体的棱长是1厘米，所以 上面的表面积为1×1×9=9（平方厘米） 前面的表面积为1×1×8=8（平方厘米） 左面的表面积为1×1×7=7（平方厘米） 几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=18+16+14=48（平方厘米） 答：几何体的表面积是48平方厘米． 3：下图是一个珠宝箱的直观图，它的下部是一具棱长为20厘米的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个珠宝箱的表面积和体积． 【思路分析】这是一个由两个基本几何体组成的形体，因此将它拆分成两个部分分别来求体积和表面积．这两个部分为：上部的半圆柱体、下部的正方体． 【标准答案】（1）先求这个珠宝箱的表面积： 将这个几何体的表面积分成两上部分：一部分是圆柱表面积的一半，另一部分是正方体的5个面的面积之和． 由于正方体的棱长为20厘米，从而圆柱底面半径为10厘米，高为20厘米，因此圆柱的表面积为，可得第一部分的表面积为1884÷2=942（平方厘米）；而第二部分的表面积为：；故此珠宝箱的表面积为942+2000=2942（平方厘米）． （2）再求这个珠宝箱的体积： 第一部分的体积为；第二部分的体积为；故此珠宝箱的体积为3140+8000=11140（立方厘米）． 答：这个珠宝箱的表面积为2942平方厘米，体积为11140立方厘米． 7．有一个棱长为10厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的“十”字孔（如图12所示），求这个立体图形的表面积． 答案：864平方厘米 详解：将这个立体图形看成8个棱长为4厘米的正方体和12个棱长为2厘米的正方体粘合而成．其中8个棱长为4厘米的正方体在大正方体的八个顶点上，棱长为2厘米的正方体在大正方体的棱的中间．由于每个小正方体都有两个面分别粘接两个较大的正方体，相对于不粘接，减少了2×2×4=16（平方厘米）的表面积，所以这个立体图形的表面积为：（4×4×6）×8+（2×2×6）×12-16×12=768+288-192=864（平方厘米） 8．把一个棱长为2cm正方体在同一平面的边的中点用线段连接起来，如图．然后把正方体顶点上的三角锥锯掉，请问最后所得的立体图形的表面积的多少平方厘米？（1.732×1.732=3） 答案：18.928cm2 详解：所得立体图形表面为6个正方形和8个等边三角形 勾股定理 等边三角形的高的平方=底边的平方-半个底边的平方=底边的平方 6个正方形面积=6×（1×1+1×1）=6×2=12 等边三角形的高的平方=×2= 等边三角形的高的平方×底边的平方=×2=3 所以等边三角形的高×底边=1.732， 等边三角形的面积=1/2×1.732=0.866 立体图形的表面积=12+8×0.866=18.928(cm2) 9．如图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1/2厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同，棱长为1/4厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 答案：29.25平方厘米 详解：俯视图发现上表面积就是大正方体的一个面的面积 表面积为大正方体表面积加上3个小正方体的侧面积 2×2×6+1×1×4+××4+××4 =24+4+1+ =29.25（平方厘米） 4：圆柱形的售报亭的高和底面直径相等（如图），开一个边长等于底面半径的正方形售报窗口．问窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几？ 【标准答案】 【思路分析】窗口上下的弧长为底面圆周长的六分之一 窗口的高为圆柱的高的二分之一 挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的×= 10.小红的生日舞会，做了一顶圆锥形帽子，要将帽子涂成红色和蓝色，O点为顶点，BC为底面圆直径30cm，A点是OB的下三分之一处，OB=30cm，从A点出发，CA之间最短的距离之上涂成红色，下边涂成蓝色．那么小红的帽子有多大地方涂的是蓝色？（=3） 答案：750平方厘米 详解：底面周长为圆锥展开后 扇形的弧长 蓝色面积=圆锥侧面积-红色面积 底面周长=30×=30×3=90 侧面展开后扇形所在圆的周长=2××30=180 所以侧面展开图为半圆 蓝色面积=×30×30×-×（20+20） ×30 =1350-600=750（平方厘米） 11.如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积． 答案：表面积785.12（平方厘米）,体积为668.64（立方厘米）． 分析：本题考点 不规则图形的表面积及体积．大正方形减去右边图形就是我们要求的体积．打通部分可看为两个小圆柱，两个小长方形和一个大长方形共五部分组成，这样计算体积非常容易，但在计算表面积时要考虑公共面． 这道题是人大附中分班考试题目． 详解：解：外侧表面积为：6×10×10-4×4×4-×22×2=536-8． 内侧表面积为：16×4×3+2×（4×4-×22）+2×2×2×3=192+32-8+24=224+16． 总表面积=224+16+536-8=760+8=785.12（平方厘米）． 计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可． 挖出的几何体体积为：4×4×4×3+4×4×4+2×π×22×3=192+64+24π=256+24π． 所求几何体体积为：10×10×10- （256+24π）=668.64（立方厘米）． 12.如下图，是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中间向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞.接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米，求最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？ 答案：正方体在挖小洞之前的表面积为6×22，挖了小洞之后面积不但没有减少，反还要加上三个小洞的侧面积的和.三个小洞各有四个侧面，每个侧面的面积分别是： 因此总的表面积为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$