第四章 概率知识归纳与题型突破（4类题型清单）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

第四章 概率知识归纳与题型突破（题型清单） 1.事件类型 事件类型 定义 确定性事件 必然事件 在一定条件下，必然发生的事件称为必然事件 不可能事件 在一定条件下，一定不发生的事件称为不可能事件 随机事件 在随机现象中，如果一件事情可能发生，也可能不发生，那么称这件事情是随机事件 注意：确定性事件中必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0；随机事件发生的概率为0和1之间的数. 2.求随机事件发生的概率的主要方法：枚举法、列表法、树状图法. 3.有些事件发生的结果不能列举，求概率时只能用频率来估计概率. 题型一　事件类型 例题：（24-25九年级上·辽宁大连·期末）下列事件中，是必然事件的是（      ） A．通常温度降到0摄氏度以下，纯净的水结冰． B．掷一枚硬币，正面朝上． C．任意买一张电影票座位是3． D．汽车经过红绿灯路口时前方正好是绿灯． 巩固训练 1．（辽宁省铁岭市（部分地区统考）2024-2025学年九年级上学期数学第四次阶段性测试卷）下列事件是随机事件的是（   ） A．打开电视机正在播放广告 B．水蒸气液化时会放热 C．地球上，太阳从东方升起 D．在一个仅装着白球的袋中摸球，摸出红球 2．（24-25九年级上·全国·期末）下列事件中，必然事件是（   ） A．煮熟的鸭子飞了 B．黄浦江每天涨潮 C．抛掷一枚硬币，落地后反面朝上 D．从 ，，组成没有重复数字的三位数中，任意抽取的一个数能被整除 3．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）在五千年的历史长河中，中华文化绚丽多彩．诗句“东边日出西边雨”描述的事件属于（   ） A．不可能事件 B．随机事件 C．确定事件 D．必然事件 4．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．守株待兔 B．旭日东升 C．大海捞针 D．水中捞月 5．（24-25九年级上·重庆万州·期末）下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（    ） A．鱼戏莲叶东 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．“在标准大气压下，当温度降到时，水结成冰”属于随机事件 B．“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件 C．“某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件 D．“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件 7．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列事件中属于必然事件的是(　　) A．是实数，则 B．在一个只装有白球的袋子中摸出一个白球 C．杭州明天是阴天 D．抛投一枚骰子，则上面的点数是 题型二　用列举法求概率 例题：（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一个不透明的盒子里装有4张卡片，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，卡片除图案外都相同，并将4张卡片充分搅匀． (1)若从盒子中任意抽取1张卡片，恰好抽到“夏”的概率为 ； (2)若从盒子中任意抽取2张卡片，求抽取的卡片恰好1张为“春”，1张为“冬”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·期末）红色研学作为一种独特的教育实践活动，其意义深远而重大，不仅是一次历史的追溯，更是一次心灵的洗礼和精神的传承．向阳中学利用假期时间带领学生进行山西革命圣地红色研学活动，七年级统一安排去晋察冀军区司令部旧址纪念馆研学，八年级和九年级由年级主任随机从下列三个红色景点中抽取一个进行研学． (1)九年级抽到A一平型关大捷遗址的概率为 ． (2)若八年级主任先从三个景点中随机抽取一个，接着九年级主任再从剩余的两个景点中机抽取一个，求至少有一个年级抽到景点C一太原解放纪念馆的概率． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） (1)小明从四种金属中随机选一种，则选到（镁）的概率为________； (2)小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）某校组织学生到天乐湖实践基地参加劳动实践活动．该基地有以下四个项目：A．种玉米，B．除草，C．采茶叶，D．包饺子，学生随机选择（每个学生必须选择一个，而且只能选择一个）． (1)甲同学从四个项目中随机选取一个，选到A项目的概率为 ； (2)用列表法或画树状图法求乙同学与丙同学都选到D项目的概率． 4．（24-25九年级上·全国·期末）小亮和小华想通过网络捐款平台进行资助，以表达自己的爱心，经了解相关捐款信息得知，现网络捐款平台提供四种捐助方式，即“微信支付”、“支付宝”、“QQ支付”、“银联支付”．假设小亮和小华通过这四种捐助方式进行捐款的可能性相同． (1)求小亮选择“微信支付”捐款的概率． (2)请用列表或画树状图法，求小亮和小华恰好都选择“支付宝”或”银联支付”的概率． 5．（24-25九年级上·福建宁德·阶段练习）随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，我国人民的出行方式越来越多，出行越来越便捷，为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出入闸口，分别记为、、、． (1)一名乘客通过该站闸口时，求他选择闸口通过的概率： (2)当两名乘客通过该站闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相同闸口通过的概率． 6．（贵州省遵义市四校联盟2024-2025学年九年级上学期数学期末测评卷）劳动教育具有树德、增智、强体、美育的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动观念．为促进学校劳动教育，提升学生劳动技能，某校举办了劳动技能大赛，比赛项目分别为：A“美味佳肴”（制作菜品）、B“穿针引线”（完成钉扣子）、C“颗粒归仓”（将谷物放入相应的地方）、D“心系国防”（制作军事模型）．大赛规定每位选手都从以上四个项目中随机抽取其中一个项目进行比赛（不考虑其他因素，即每个项目被抽中的可能性相等）． (1)甲同学从四个项目中随机抽取一个项目，则抽到“美味佳肴”的概率为______； (2)用列表法或画树状图法求甲、乙两位同学所抽项目相同的概率． 题型三　用频率估计概率 例题：（24-25九年级上·陕西西安·期中）某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢惠顾”两种卡片（两种卡片形状、大小相同，质地均匀），下表是活动进行中的一组统计数据． 抽奖总次数n 100 150 200 800 1000 抽到“中奖”卡片的次数m 33 48 63 b 299 中奖的频率 0.33 a 0.315 0.3 0.299 (1)填空： ， ． (2)根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率为 ．（精确到0.1） 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·期末）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，请估计这个口袋中白球的数量为（  ） A．7 B．6 C．4 D．3 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东·期末）如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则n的值为 ． 5．（24-25九年级上·全国·期末）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有个白球和 个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值约为 ． 6．（24-25九年级上·四川成都·期中）一个盒子中装有10颗黄色幸运星，若干颗红色幸运星和16颗蓝色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则红色幸运星颗数约为 颗． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率为 ．（精确到） 8．（2024·宁夏·中考真题）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1） 9．（贵州省普通中学2024-2025学年九年级数学上学期期末测评试卷）“2024贵州•铜仁梵净山冬季马拉松”除“马拉松”外，还设两个特别项目，分别是“半程马拉松”（公里）和“欢乐跑”（约5公里）． 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“欢乐跑”人数 15 33 72 139 356 参加“欢乐跑”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712 (1)为估算本次赛事参加“欢乐跑”的人数，组委会对部分参赛选手作如表调查：请估算本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率为_________；（精确到） (2)小明（来自重庆市），小军（来自成都市），小红（来自遵义市），小丽（来自贵阳市）四人报名参加“欢乐跑”志愿者遴选，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取两名来自贵州省外的志愿者的概率． 题型四　统计与概率的综合运用 例题：（24-25九年级上·全国·期末）某校九年级三班助农兴趣小组针对本班级同学，就新区草莓节的关注程度进行了调查统计，将调查结果分为不关注，关注，比较关注，非常关注四类（分别用，，，表示），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据图表信息，解答下列问题： (1)九年级三班一共____人，其中类所对应的圆心角为_____； (2)九年级一共有名学生，根据上述调查结果，估计九年级学生选择类的有多少人； (3)为了能够更好的宣传新区草莓节，现从非常关注草莓节的甲乙丙丁四名学生中任选两人撰写宣传稿，请用树状图或列表法求恰好选到甲和乙的概率． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛，各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．请认真阅读信息，回答下列问题： 整理数据：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c (1)填空：______，______，______； (2)从优秀率的角度分析，我认为______组成绩较好． (3)若从该两组成绩优秀的学生中随机选两名学生去参加决赛，求恰好选中初赛成绩最高的2人的概率． 2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）小张同学学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形统计图和条形统计图： 请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题： (1)小张同学共调查了______名居民的年龄，扇形统计图中，岁对应扇形的圆心角为______； (2)补全条形统计图； (3)若在该辖区中随机抽取一人，那么这个人年龄是60岁及以上的概率为______； (4)若该辖区年龄在60岁及以上的居民约有3600人，根据调查结果估计该辖区居民人数共有多少人？ 3．（2025九年级下·江苏·专题练习）年月日是中国第个“全民健身日”．为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表． 一分钟跳绳成绩统计表 成绩等级 一分钟跳绳次数 频数 请根据以上信息，完成下列问题． (1)随机抽取的学生人数为___________人，统计表中的___________，统计图中B等级对应扇形的圆心角为___________度； (2)该校共有人参加比赛，请你估计该校成绩达到等级及以上的有多少人？ (3)该比赛服务组有两名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率． 4．（24-25九年级上·海南·阶段练习）在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技小组随机调查m株番茄的挂果数量x（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表： “宇番2号”番茄挂果数量统计表 挂果数量x（个） 频数（株） 频率 6      12      a      18 b 9      (1)统计表中，______，______，样本容量m是______； (2)若所种植的“宇番2号”番茄有1800株，则挂果数量在55个以上（包含55个）约有_____株； (3)若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在“”范围所对应扇形的圆心角大小为______°； (4)该校科技小组共有3名男生和1名女生组成，从这4名学生中任选2名学生到某班去介绍实践活动的情况，则恰好选出1名男生和1名女生的概率为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 概率知识归纳与题型突破（题型清单） 1.事件类型 事件类型 定义 确定性事件 必然事件 在一定条件下，必然发生的事件称为必然事件 不可能事件 在一定条件下，一定不发生的事件称为不可能事件 随机事件 在随机现象中，如果一件事情可能发生，也可能不发生，那么称这件事情是随机事件 注意：确定性事件中必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0；随机事件发生的概率为0和1之间的数. 2.求随机事件发生的概率的主要方法：枚举法、列表法、树状图法. 3.有些事件发生的结果不能列举，求概率时只能用频率来估计概率. 题型一　事件类型 例题：（24-25九年级上·辽宁大连·期末）下列事件中，是必然事件的是（      ） A．通常温度降到0摄氏度以下，纯净的水结冰． B．掷一枚硬币，正面朝上． C．任意买一张电影票座位是3． D．汽车经过红绿灯路口时前方正好是绿灯． 【答案】A 【分析】本题考查了确定事件和随机事件的定义，根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A. 通常温度降到0摄氏度以下，纯净的水结冰，是必然事件，故该选项正确，符合题意； B. 掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意； C. 任意买一张电影票座位是3，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意； D. 汽车经过红绿灯路口时前方正好是绿灯，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 巩固训练 1．（辽宁省铁岭市（部分地区统考）2024-2025学年九年级上学期数学第四次阶段性测试卷）下列事件是随机事件的是（   ） A．打开电视机正在播放广告 B．水蒸气液化时会放热 C．地球上，太阳从东方升起 D．在一个仅装着白球的袋中摸球，摸出红球 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据随机事件的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、打开电视机正在播放广告，是随机事件，符合题意； B、水蒸气液化时会放热，是必然事件，不符合题意； C、地球上，太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意； D、在一个仅装着白球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·全国·期末）下列事件中，必然事件是（   ） A．煮熟的鸭子飞了 B．黄浦江每天涨潮 C．抛掷一枚硬币，落地后反面朝上 D．从 ，，组成没有重复数字的三位数中，任意抽取的一个数能被整除 【答案】B 【分析】本题考查了必然事件的概念，解题的关键是掌握必然事件、随机事件和不可能事件的概念．根据必然事件的概念：在一定条件下一定发生的事件是必然事件，逐一判断即可． 【详解】解：A、煮熟的鸭子飞了，是不可能事件； B、黄浦江每天涨潮，是必然事件； C、抛掷一枚硬币，落地后反面朝上，是随机事件； D、从 ，，组成没有重复数字的三位数中，任意抽取的一个数能被整除，是随机事件； 故选：B． 3．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）在五千年的历史长河中，中华文化绚丽多彩．诗句“东边日出西边雨”描述的事件属于（   ） A．不可能事件 B．随机事件 C．确定事件 D．必然事件 【答案】B 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．解题的关键是掌握：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此解答即可． 【详解】解：诗句“东边日出西边雨”描述的事件属于随机事件． 故选：B． 4．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．守株待兔 B．旭日东升 C．大海捞针 D．水中捞月 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、守株待兔，是随机事件，不符合题意； B、旭日东升，是必然事件，符合题意； C、大海捞针，是随机事件，不符合题意； D、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25九年级上·重庆万州·期末）下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（    ） A．鱼戏莲叶东 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流 【答案】C 【分析】本题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、是随机事件，故不符合题意； B、是随机事件，故不符合题意； C、是不可能事件，故符合题意； D、是必然事件，故不符合题意； 故选：C． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．“在标准大气压下，当温度降到时，水结成冰”属于随机事件 B．“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件 C．“某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件 D．“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件 【答案】A 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的定义，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件，随机事件，不可能事件的定义进行判断． 【详解】解：A、“在标准大气压下，当温度降到时，水结成冰”属于必然事件，故本选项符合题意； B、“名同学至少有两名同学的出生月份是相同的”属于必然事件，故本选项不符合题意； C、“某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件，故本选项不符合题意； D、“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：A． 7．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列事件中属于必然事件的是(　　) A．是实数，则 B．在一个只装有白球的袋子中摸出一个白球 C．杭州明天是阴天 D．抛投一枚骰子，则上面的点数是 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件是指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．依据必然事件的概念求解即可． 【详解】解：A． 是实数，则，是随机事件，故该选项不符合题意； B． 在一个只装有白球的袋子中摸出一个白球，是必然事件，故该选项符合题意； C． 杭州明天是阴天，是随机事件，故该选项不符合题意；     D． 抛投一枚骰子，则上面的点数是，是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型二　用列举法求概率 例题：（24-25九年级上·江苏徐州·期末）一个不透明的盒子里装有4张卡片，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，卡片除图案外都相同，并将4张卡片充分搅匀． (1)若从盒子中任意抽取1张卡片，恰好抽到“夏”的概率为 ； (2)若从盒子中任意抽取2张卡片，求抽取的卡片恰好1张为“春”，1张为“冬”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，解题的关键是： （1）用标有“夏”书签的张数除以书签的总张数即得结果； （2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“冬”的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， ∴恰好抽到“夏”的概率为， 故答案为：； （2）解：用树状图列出所有等可的结果： 等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）． 在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“冬”出现了2次， P（抽取的书签价好1张为“春”，1张为“冬”）． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·期末）红色研学作为一种独特的教育实践活动，其意义深远而重大，不仅是一次历史的追溯，更是一次心灵的洗礼和精神的传承．向阳中学利用假期时间带领学生进行山西革命圣地红色研学活动，七年级统一安排去晋察冀军区司令部旧址纪念馆研学，八年级和九年级由年级主任随机从下列三个红色景点中抽取一个进行研学． (1)九年级抽到A一平型关大捷遗址的概率为 ． (2)若八年级主任先从三个景点中随机抽取一个，接着九年级主任再从剩余的两个景点中机抽取一个，求至少有一个年级抽到景点C一太原解放纪念馆的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先画树状图或列表，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】（1）解：∵八年级和九年级由年级主任随机从三个红色景点中抽取一个进行研学， ∴九年级抽到A一平型关大捷遗址的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的情况，其中至少有一个年级抽到景点C太原解放纪念馆的结果有4种， ∴至少有一个年级抽到景点C太原解放纪念馆的概率为． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） (1)小明从四种金属中随机选一种，则选到（镁）的概率为________； (2)小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表法求概率即可求解． 【详解】（1）由题意得，选到的概率为   故答案为： （2）列表如下： 由表格知共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共种， 二人所选金属均能置换出氢气的概率为． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）某校组织学生到天乐湖实践基地参加劳动实践活动．该基地有以下四个项目：A．种玉米，B．除草，C．采茶叶，D．包饺子，学生随机选择（每个学生必须选择一个，而且只能选择一个）． (1)甲同学从四个项目中随机选取一个，选到A项目的概率为 ； (2)用列表法或画树状图法求乙同学与丙同学都选到D项目的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中选到A项目的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及乙同学与丙同学都选到D项目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选到A项目的结果有1种， ∴选到A项目的概率为． 故答案为：． （2）解：列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中乙同学与丙同学都选到D项目的结果有1种， ∴乙同学与丙同学都选到D项目的概率为． 4．（24-25九年级上·全国·期末）小亮和小华想通过网络捐款平台进行资助，以表达自己的爱心，经了解相关捐款信息得知，现网络捐款平台提供四种捐助方式，即“微信支付”、“支付宝”、“QQ支付”、“银联支付”．假设小亮和小华通过这四种捐助方式进行捐款的可能性相同． (1)求小亮选择“微信支付”捐款的概率． (2)请用列表或画树状图法，求小亮和小华恰好都选择“支付宝”或”银联支付”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率、概率公式等知识点，通过列表法或树状图法确定所有结果数和满足题意的结果数是解答本题的关键． （1）直接根据概率公式即可解答； （2）画出树状图，确定所有结果数和满足题意的结果数，然后再根据概率公式即可解答． 【详解】（1）解∶小亮共有4种可能性相同的捐款方式，其中选择“微信支付”方式的有1种， ∴小亮选择“微信支付”捐款的概率为； （2）解：记“微信支付”为A，“支付宝”为B，“支付”为C，“银联支付”为D． 根据题意，画树状图如图： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小亮和小华恰好都选择“支付宝”或“银联支付”的结果有2种， ∴P(小亮和小华恰好都选择“支付宝”或“银联支付”) 5．（24-25九年级上·福建宁德·阶段练习）随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，我国人民的出行方式越来越多，出行越来越便捷，为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出入闸口，分别记为、、、． (1)一名乘客通过该站闸口时，求他选择闸口通过的概率： (2)当两名乘客通过该站闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相同闸口通过的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式及利用画树状图法求概率，熟练掌握和运用利用画树状图法或列表法求概率的方法是解决本题的关键． (1)根据概率公式即可求得； (2)首先画出树状图，再根据概率公式即可求得． 【详解】（1）解：共有4出入闸口， 选择A闸口通过的概率是； （2）解：画树状图得： 由树状图可知，有16种等可能的结果，其中两名乘客选择同闸口通过的有4种结果， ∴两名乘客选择同闸口通过的概率． 6．（贵州省遵义市四校联盟2024-2025学年九年级上学期数学期末测评卷）劳动教育具有树德、增智、强体、美育的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动观念．为促进学校劳动教育，提升学生劳动技能，某校举办了劳动技能大赛，比赛项目分别为：A“美味佳肴”（制作菜品）、B“穿针引线”（完成钉扣子）、C“颗粒归仓”（将谷物放入相应的地方）、D“心系国防”（制作军事模型）．大赛规定每位选手都从以上四个项目中随机抽取其中一个项目进行比赛（不考虑其他因素，即每个项目被抽中的可能性相等）． (1)甲同学从四个项目中随机抽取一个项目，则抽到“美味佳肴”的概率为______； (2)用列表法或画树状图法求甲、乙两位同学所抽项目相同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图求概率即可求解． 【详解】（1）解：共有4四个项目，则抽到“美味佳肴”的概率为； 故答案为：． （2）解：画树状图如图， 共有16种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一个小组，有4种， ∴甲、乙两人所抽项目相同的概率． 题型三　用频率估计概率 例题：（24-25九年级上·陕西西安·期中）某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢惠顾”两种卡片（两种卡片形状、大小相同，质地均匀），下表是活动进行中的一组统计数据． 抽奖总次数n 100 150 200 800 1000 抽到“中奖”卡片的次数m 33 48 63 b 299 中奖的频率 0.33 a 0.315 0.3 0.299 (1)填空： ， ． (2)根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率为 ．（精确到0.1） 【答案】(1)0.32，240 (2)0.3 【分析】本题考查了利用频率估计概率，频率的计算，利用频率估计概率求解即可． （1）根据频率和总数求出a的值即可；根据频数和总数求出频率b即可； （2）根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：0.32，240； （2）根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率约是0.3， 故答案为：0.3． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·期末）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，请估计这个口袋中白球的数量为（  ） A．7 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题关键．利用利用频率估计概率可得从口袋中随机摸出一个球是白球的概率，据此求解即可得． 【详解】解：由题意可知，从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是， 则从口袋中随机摸出一个球是白球的概率， 所以估计这个口袋中白球的数量为， 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识：在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率．根据表格中的数据解答即可． 【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是． 故选：B． 3．（24-25九年级上·山东·期末）如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估算概率，几何概率，先根据折线图，利用频率估算出概率，再利用几何概率的计算公式，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率稳定在左右， ∴， ∴不规则图案的面积为； 故选B． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则n的值为 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，由题意知，袋中球的总个数约为（个），进而可得答案． 【详解】解：由题意知，袋中球的总个数约为（个）， 所以袋中白球的个数， 故答案为：36． 5．（24-25九年级上·全国·期末）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有个白球和 个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值约为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查频率与概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．根据题意易得摸到红球的概率为，然后可得盒子中白球与红球的总数为个，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：摸到红球的概率为， 盒子中球的总数为：（个）， （个）， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·四川成都·期中）一个盒子中装有10颗黄色幸运星，若干颗红色幸运星和16颗蓝色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则红色幸运星颗数约为 颗． 【答案】26 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、概率的应用等知识点，正确列出方程是解题的关键． 设袋中红色幸运星有x颗，根据“摸取到红色幸运星的概率稳定在0.5左右”，据此列出关于x的方程求解即可． 【详解】解：设袋中红色幸运星有x颗， 根据题意，得：，解得：， 经检验：是原分式方程的解． 故答案为：26． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率为 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查了模拟实验，由频率估计概率，根据图中的数据即可解答． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率逐渐稳定在附近， ∴ “凸面向上”的概率为， 故答案为：． 8．（2024·宁夏·中考真题）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1） 【答案】0.9 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【详解】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右． 这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9； 故答案为 ∶0.9． 9．（贵州省普通中学2024-2025学年九年级数学上学期期末测评试卷）“2024贵州•铜仁梵净山冬季马拉松”除“马拉松”外，还设两个特别项目，分别是“半程马拉松”（公里）和“欢乐跑”（约5公里）． 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“欢乐跑”人数 15 33 72 139 356 参加“欢乐跑”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712 (1)为估算本次赛事参加“欢乐跑”的人数，组委会对部分参赛选手作如表调查：请估算本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率为_________；（精确到） (2)小明（来自重庆市），小军（来自成都市），小红（来自遵义市），小丽（来自贵阳市）四人报名参加“欢乐跑”志愿者遴选，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取两名来自贵州省外的志愿者的概率． 【答案】(1) (2)画树状图见解析， 【分析】本题考查由频率估计概率，利用树状图求概率等． （1）根据题意中得频率估计概率即可； （2）先画出树状图，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：由表格中数据可得：本次赛事参加“欢乐跑”人数的概率为：． 故答案为：； （2）解：小明（来自重庆市）记为甲，小军（来自成都市）记为乙、小红（来自遵义市）记为丙、小丽（来自贵阳市）记为丁， 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中恰好录取两名来自贵州省外的志愿者的情况有（甲乙，乙甲）2种，则恰好录取两名来自贵州省外的志愿者的概率为． 题型四　统计与概率的综合运用 例题：（24-25九年级上·全国·期末）某校九年级三班助农兴趣小组针对本班级同学，就新区草莓节的关注程度进行了调查统计，将调查结果分为不关注，关注，比较关注，非常关注四类（分别用，，，表示），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据图表信息，解答下列问题： (1)九年级三班一共____人，其中类所对应的圆心角为_____； (2)九年级一共有名学生，根据上述调查结果，估计九年级学生选择类的有多少人； (3)为了能够更好的宣传新区草莓节，现从非常关注草莓节的甲乙丙丁四名学生中任选两人撰写宣传稿，请用树状图或列表法求恰好选到甲和乙的概率． 【答案】(1)，； (2)九年级学生选择类的有人； (3)恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 【分析】（）根据类别的人数与占比求解调查的人数即可，根据类的人数，进而可求得扇形统计图中类别所对的圆心角； （）根据题意求得类所占的百分比，即可解答； （）用树状图列出所有情况，选择符合条件的即可； 本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键． 【详解】（1）解：本次共调查九年级三班一共有学生数为：（人）， 其中类所对应的圆心角为， 故答案为：，； （2）解：九年级学生选择类所占百分比为：， ∴九年级学生选择类的有（人）， 答：九年级学生选择类的有人； （3）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有种， ∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛，各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．请认真阅读信息，回答下列问题： 整理数据：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c (1)填空：______，______，______； (2)从优秀率的角度分析，我认为______组成绩较好． (3)若从该两组成绩优秀的学生中随机选两名学生去参加决赛，求恰好选中初赛成绩最高的2人的概率． 【答案】(1)7.5；7； (2)甲 (3) 【分析】本题考查了中位数和众数、概率的计算，熟练掌握中位数、众数和概率的计算是解题的关键． （1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可； （2）比较优秀率解答即可； （3）根据概率的计算公式计算即可． 【详解】（1）解：∵甲组成绩从小到大排列为：3，7，7，7，8，9，10，10， ∴， ∵乙组成绩出现最多的是7分， ∴， 优秀率：， 故答案为：7.5；7；． （2）解：∵， ∴甲组成绩较好， 故答案为：甲． （3）解：甲组成绩优秀的有：9、10、10，乙组成绩优秀的有：9、9，共5名同学，所有可能如下： 则从该两组成绩优秀的学生中随机选两名学生去参加决赛，共有10种，恰好选中初赛成绩最高的2人有1种， ∴， ∴恰好选中初赛成绩最高的2人的概率为． 2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）小张同学学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形统计图和条形统计图： 请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题： (1)小张同学共调查了______名居民的年龄，扇形统计图中，岁对应扇形的圆心角为______； (2)补全条形统计图； (3)若在该辖区中随机抽取一人，那么这个人年龄是60岁及以上的概率为______； (4)若该辖区年龄在60岁及以上的居民约有3600人，根据调查结果估计该辖区居民人数共有多少人？ 【答案】(1)500，72 (2)见解析 (3) (4)该辖区居民人数共有30000人． 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合，用样本估计总体，概率的计算等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．总体数目部分数目相应百分比．部分数目总体数目乘以相应概率．概率所求情况数与总情况数之比． （1）用岁的人数除以该组所占百分比即可得到总人数；用岁人数除以总人数即可得到该组所占百分比，再乘以即可求解； （2）小长方形的高等于该组的人数； （3）抽中的概率等于该组占全部的百分数； （4）60岁及以上人数除以该组所占百分比即可． 【详解】（1）由条形统计图和扇形统计图可知：岁的有230人，占总人数的， ∴， ∵岁有100人， ∴， 则岁对应扇形的圆心角为； 故答案为：500，72； （2）， 补全条形统计图如下： （3）在该辖区中随机抽取一人，那么这个人年龄是60岁及以上的概率为； 故答案为：； （4）（人）． 答：该辖区居民人数共有30000人． 3．（2025九年级下·江苏·专题练习）年月日是中国第个“全民健身日”．为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表． 一分钟跳绳成绩统计表 成绩等级 一分钟跳绳次数 频数 请根据以上信息，完成下列问题． (1)随机抽取的学生人数为___________人，统计表中的___________，统计图中B等级对应扇形的圆心角为___________度； (2)该校共有人参加比赛，请你估计该校成绩达到等级及以上的有多少人？ (3)该比赛服务组有两名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率． 【答案】(1)，，； (2)人； (3)． 【分析】本题主要考查概率、统计表和扇形统计图： 结合统计表中的频数是和扇形统计图中占的百分比可以求出抽取的学生人数为人，用总人数减去、、的频数，即可得到的值，根据的频数是，抽取的学生总数是即可求出占的百分比，这个百分比就是扇形的圆心角占的百分比； 根据抽取的学生中成绩达到等级及以上占抽取比例为，利用样本代替总体求出全校达到级以上的人数； 根据题意列表，从表可以看出共有种情况，每种情况出现的机会均等，其中是一男一女的情况共有种，可以求出恰好选中“一男一女”的概率． 【详解】（1）解：(人)， (人)， ， 故答案为：，，； （2）解：(人)， 答：该校成绩达到等级及以上的有人； （3）解：列表如下， 男1 男2 女1 女2 男1 男2，男1 女1，男1 女2，男1 男2 男1，男2 女1，男2 女2，男2 女1 男1，女1 男2，女1 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2 由表可知，共有种情况，每种情况出现的机会均等，其中是一男一女的情况共有种， 恰好选中“一男一女”的概率， 答：恰好选中“一男一女”的概率为． 4．（24-25九年级上·海南·阶段练习）在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技小组随机调查m株番茄的挂果数量x（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表： “宇番2号”番茄挂果数量统计表 挂果数量x（个） 频数（株） 频率 6      12      a      18 b 9      (1)统计表中，______，______，样本容量m是______； (2)若所种植的“宇番2号”番茄有1800株，则挂果数量在55个以上（包含55个）约有_____株； (3)若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在“”范围所对应扇形的圆心角大小为______°； (4)该校科技小组共有3名男生和1名女生组成，从这4名学生中任选2名学生到某班去介绍实践活动的情况，则恰好选出1名男生和1名女生的概率为______． 【答案】(1)15，，60 (2)810 (3)54 (4) 【分析】本题主要考查调查与统计中的相关的计算，掌握样本的计算方法，频率的计算方法，圆心角的计算公式，列表法或列树状图求概率，根据样本频率估算总体数量的方法等知识是解题的关键． （1）根据表格可得出样本容量，求某个项目的频数，根据样本容量减去已知项的频数即可求解，根据求某项的频率的方法即可求解． （2）根据样本的频数估算总体的数量的方法即可求解． （3）“”所对应的频率，即可求解． （4）列表求解即可． 【详解】（1）解：随机调查株，即， ∴挂果数量在的频数为， 挂果数量在的频率为， 故答案为：． （2）解：若所种植的“宇番2号”番茄有1800株， 则挂果数量在55个以上（包含55个）约有株； 故答案为：810． （3）解：挂果数量在“”的频数为9株，频率是， ∴挂果数量在“”所对应扇形的圆心角度数为， 故答案为：54． （4）解：列表如下： 男1 男2 男3 女 男1 男2男1 男3男1 女男1 男2 男1男2 男3男2 女男2 男3 男1男3 男2男3 女男3 女 男1女 男2女 男3女 根据表格可得，共有12种结果，1名男生和1名女生的共有6种结果， ∴则恰好选出1名男生和1名女生的概率为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$