精品解析：辽宁省葫芦岛市绥中县2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期第一次教学质量监迎 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无教 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 长方形的四个角都是直角 D. 三角形具有稳定性 3. 一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ） A. 80° B. 95° C. 100° D. 110° 4. 某同学把一块三角形的玻璃打碎了块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①②③去 5. 如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP,CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是( ) A. 60° B. 65° C. 55° D. 50° 6. 点关于x轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 7. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE上的中点，且△ABC的面积为8cm2，则△CEF的面积为（ ） A. 0.5cm2 B. 1cm2 C. 2cm2 D. 4cm2 9. 课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图所示），，已知，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等）为（ ）cm． A. 20 B. 12 C. 10 D. 8 10. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A. 8 B. 11 C. 10 D. 12 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为______． 12. 是的三边长，化简____________； 13. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是____cm． 14. 如图，某轮船于上午11时30分在B处观测到海岛C在北偏西方向上，该轮船沿北偏东方向航行到A处，在A处观测到海岛C在北偏西方向上，则海岛C处的的度数为____________． 15. 如图，，若，则的度数为____________（用含的式子表示）； 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）已知等腰三角形的一边长等于8cm，一边长等于9cm，求它的周长； （2）等腰三角形的一边长等于6cm，周长等于28cm，求其他两边的长 ． 17. 如图，在中，经过点于点于点，若，求的长． 18. 如图所示，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE，连接DE．求证：DE⊥BC． 19. 在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点，不写画法）； （2）在轴上求作点，使的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点的位置） （3）点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有____________个． 20. 某市发生地震后，为了抢救伤员，一架救援直升机从该市地起飞，运送一批地震伤员沿正北方向到机场，如图．上午8时，直升机从地出发，以的速度向正北方向飞行，9时到达地，此时，机场的导航站传来信息：在处有一座高山，因受天气影响，高山周围内能见度低，飞行时会遇到危险．经测量得，．问：该直升机继续向机场飞行是否有危险，请说明理由． 21. 如图，中，平分，交于于．求证：． 22. 综合与探究 等边三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点，，都在坐标轴上，点为线段上一动点，点为轴下方一点，且，，连接，． （1）如图1，求证：． （2）如图2，当点在轴上，且点的坐标为，时，求点的坐标． （3）若点的坐标为，直接写出在点的运动过程中，的最小值． 23. 我知道，在一个三角形中，①相等的边对的角也相等，②相等的角所对的边也相等． 【问题提出】一个三角形中，①假如两条边不相等，那么这两条边所对的角大小关系如何？ ②假如两个角不相等，那么它们所对的边大小关系又如何？ 【实验探究】如图1，在中，边对，边对，，与有什么样的大小关系呢？ 类比等腰三角形折纸的经验，我们又能够怎样经过折叠比较出与的大小呢？同学们分小组议论沟通，并说明自己是如何经过折纸比较的． 方法一：如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 方法二：如图3，将沿边的高翻折，使点落到边上处， 方法三：如图4，将沿的平分线翻折使点落到边上处． 方法四：如图5，在上截取，连接． 方法五：如图6，延长至点，使得，连接． 【问题解决】 （1）选择上述一种方法说明：在中，若，则． （2）尝试说明：在中，若，则． 【知识迁移】 （3）已知：在中，，点为边上一点，，若，试用上面的方法求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期第一次教学质量监迎 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无教 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题． 【详解】解：由题意得：A、B、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有C选项； 故选C． 【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 2. 如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 长方形的四个角都是直角 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】考查三角形稳定性的实际应用，根据三角形的稳定性，可直接选择． 【详解】解：加上后，原图形中具有了，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故选C． 3. 一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ） A. 80° B. 95° C. 100° D. 110° 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，∠A=90°-30°=60°， ∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°， ∴∠3=∠4=35°， ∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键． 4. 某同学把一块三角形的玻璃打碎了块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①②③去 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，做题时要根据已知条件进行选择运用．根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【解答】解：第一块只保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法： 第二块仅保留了原三角形的一部分边，不符合任何判断方法； 第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 最省事的方法是应带③去，理由是：． 故选：C． 5. 如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP,CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是( ) A. 60° B. 65° C. 55° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数． 【详解】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°， ∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°， ∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点P， ∴∠PDC+∠PCD（∠BCD+∠CDE）＝120°， ∴∠P＝180°﹣120°＝60°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用． 6. 点关于x轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于x轴对称点的性质，“横坐标不变，纵坐标变为相反数”，求解即可． 【详解】解：点关于x轴的对称点是， 故选：A 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键． 7. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． 8. 如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE上的中点，且△ABC的面积为8cm2，则△CEF的面积为（ ） A. 0.5cm2 B. 1cm2 C. 2cm2 D. 4cm2 【答案】C 【解析】 【分析】由点D为BC的中点，根据等高的两三角形面积的比等于底边的比得到S△ADC=S△ABC，S△EDC=S△EBC，同理由点E为AD的中点得到S△EDC=S△ADC，则S△EBC=2S△EDC=S△ABC，然后利用F点为BE的中点得到S△CEF=S△EBC=×S△ABC，再把△ABC的面积为8cm2代入计算即可． 【详解】解：如图， ∵点D为BC的中点， ∴S△ADC=S△ABC，S△EDC=S△EBC， ∵点E为AD的中点， ∴S△EDC=S△ADC， ∴S△EDC=S△ABC， ∴S△EBC=2S△EDC=S△ABC， ∵F点为BE的中点， ∴S△CEF=S△EBC=×S△ABC=××8=2（cm2）． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形面积：三角形面积等于底边与底边上的高的积的一半；等底等高的两三角形面积相等，等高的两三角形面积的比等于底边的比． 9. 课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图所示），，已知，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等）为（ ）cm． A. 20 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据证明，即可得到，，然后根据长求出砌墙砖块的厚度即可解题． 【详解】解：设砌墙砖块的厚度为，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴砌墙砖块的厚度为， 故选：D 10. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A. 8 B. 11 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点A关于直线的对称点为点C，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点A关于直线的对称点为点C，， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故选B． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂线段最短的应用，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分角为底角和顶角两种情况求解即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当的角为底角时， 此时顶角为； 当的角为顶角时， 此时顶角为； 即该三角形的顶角为或， 故答案为：或． 12. 是的三边长，化简____________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形三边的关系，绝对值的化简，整式的加减，首先根据三角形的三边关系确定，，，然后去绝对值，化简即可求得． 【详解】解：∵是的三边长， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 13. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是____cm． 【答案】18 【解析】 【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可． 【详解】解：∵OA=OB，∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=OB=18cm 故答案为：18． 【点睛】此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行分析． 14. 如图，某轮船于上午11时30分在B处观测到海岛C在北偏西方向上，该轮船沿北偏东方向航行到A处，在A处观测到海岛C在北偏西方向上，则海岛C处的的度数为____________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角的定义，以及三角形的内角和定理，根据方向角求得和的度数，在中，根据三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：根据方向角可得，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，，若，则的度数为____________（用含的式子表示）； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，先根据等边对等角，三角形内角和定理可知，再证明，由全等三角形的性质可得出，进而根据等量代换以及三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：，， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）已知等腰三角形的一边长等于8cm，一边长等于9cm，求它的周长； （2）等腰三角形的一边长等于6cm，周长等于28cm，求其他两边的长 ． 【答案】（1）周长为25cm或26cm；（2）其他两边的长为11cm、11cm． 【解析】 【分析】（1）此题要进行分类讨论：当8cm为腰时，则底为9cm；当9cm为腰时，则底为8cm； （2）分两种情况，6cm为腰或6cm为底，由此进行讨论即可得答案 ． 【详解】（1）8cm是腰长时，三角形的三边分别为8cm、8cm、9cm， 能组成三角形，周长=8+8+9=25cm， 8cm是底边时，三角形的三边分别为8cm、9cm、9cm，能组成三角形， 周长=8+9+9=26cm，综上所述，周长为25cm或26cm； （2）6cm是腰长时，其他两边分别为6cm，16cm， ∵6+6=12＜16， ∴不能组成三角形， 6cm是底边时，腰长为（28-6）=11cm， 三边分别为6cm、11cm、11cm，能组成三角形， 所以，其他两边的长为11cm、11cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键 ． 17. 如图，在中，经过点于点于点，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 先证明可得，，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：∵于，于D，， ∴，，， ∴. 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 如图所示，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE，连接DE．求证：DE⊥BC． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】过A作AM⊥BC于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAC＝2∠BAM，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC＝2∠D，则∠BAM＝∠D，根据平行线的判定得出DE∥AM，进而得到DE⊥BC． 【详解】证明：如图，过A作AM⊥BC于M， ∵AB＝AC， ∴∠BAC＝2∠BAM， ∵AD＝AE， ∴∠D＝∠AED， ∴∠BAC＝∠D+∠AED＝2∠D， ∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠D， ∴∠BAM＝∠D， ∴DE∥AM， ∵AM⊥BC， ∴DE⊥BC． 【点睛】考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判定等知识，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键． 19. 在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点，不写画法）； （2）在轴上求作点，使的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点的位置） （3）点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有____________个． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键． （1）由点的对称性，作出图形即可； （2）作点B关于x轴的对称点，连接点B的对称点和点A交轴于点P，点P即为所作； （3）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解. 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 解：由图可知，点P即为所作； 【小问3详解】 如图：以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点， 以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点， 作线段的垂直平分线，此线与坐标轴有个交点， 是等腰三角形时，点坐标有个， 故答案为． 20. 某市发生地震后，为了抢救伤员，一架救援直升机从该市地起飞，运送一批地震伤员沿正北方向到机场，如图．上午8时，直升机从地出发，以的速度向正北方向飞行，9时到达地，此时，机场的导航站传来信息：在处有一座高山，因受天气影响，高山周围内能见度低，飞行时会遇到危险．经测量得，．问：该直升机继续向机场飞行是否有危险，请说明理由． 【答案】无危险，理由见解析 【解析】 【分析】过点作于点，求得最短距离，与危险半径比较大小，判判断解答即可． 本题考查了解直角三角形的应用----方向角，正确构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：该直升机继续向机场飞行无危险． 理由：如答图， 过点作于点， ，， ，， ， ． 由题意可得， ，． ， 该直升机继续向机场飞行无危险． 21. 如图，中，平分，交于于．求证：． 【答案】 证明：延长和交于Q， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合问题，延长和交于Q，利用证明，由全等三角形的性质得出，再利用证明，，由全等三角形的性质得出，进而可得出，等量代换可得出． 【详解】略 22. 综合与探究 等边三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点，，都在坐标轴上，点为线段上一动点，点为轴下方一点，且，，连接，． （1）如图1，求证：． （2）如图2，当点在轴上，且点的坐标为，时，求点的坐标． （3）若点的坐标为，直接写出在点的运动过程中，的最小值． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ． （2）（0，） （3）OP的最小值为 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，而，，则，即可根据“”证明； （2）由是等边三角形，，得，由，，得，则，，所以，则，求得，所以点的坐标为； （3）作于点，则，由，可知点在经过点且与轴所夹的锐角为的直线上运动，因为，所以，则，所以的最小值为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 点的坐标为． 【小问3详解】 解：的最小值为， 理由：如图3，作于点，则， 由（1）得， ， 点在经过点且与轴所夹的锐角为的直线上运动， ，，， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角的对的直角边等于斜边的一半、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 23. 我知道，在一个三角形中，①相等的边对的角也相等，②相等的角所对的边也相等． 【问题提出】一个三角形中，①假如两条边不相等，那么这两条边所对的角大小关系如何？ ②假如两个角不相等，那么它们所对的边大小关系又如何？ 【实验探究】如图1，在中，边对，边对，，与有什么样的大小关系呢？ 类比等腰三角形折纸的经验，我们又能够怎样经过折叠比较出与的大小呢？同学们分小组议论沟通，并说明自己是如何经过折纸比较的． 方法一：如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 方法二：如图3，将沿边的高翻折，使点落到边上处， 方法三：如图4，将沿的平分线翻折使点落到边上处． 方法四：如图5，在上截取，连接． 方法五：如图6，延长至点，使得，连接． 【问题解决】 （1）选择上述一种方法说明：在中，若，则． （2）尝试说明：在中，若，则． 【知识迁移】 （3）已知：在中，，点为边上一点，，若，试用上面的方法求出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，翻折的性质，三角形三边的关系，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）方法一利用翻折可以得到，然后比较角的大小；方法二、三由折叠可得，然后利用三角形的外角大于与它不相邻的内角解题；方法四、五截取，然后根据三角形的外角大于与它不相邻的内角解题； （2）如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上．然后得到点在线段上，再根据三角形的两边之和大于第三边解题即可； （3）延长到，使得，连接，则可得到，，然后证明解题即可． 【详解】（1）方法一：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 方法二：将沿边的高翻折， ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴； 方法三：由折叠可得， ∵是的外角， ∴， ∴； 方法四：∵， ∴， 又∵是的外角， ∴， 又∵， ∴； 方法五：∵， ∴， 又∵是的外角， ∴， 又∵， ∴； （2）如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 则∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在线段上， 根据三角形的两边之和大于第三边可得， 又∵， ∴； （3）解：延长到，使得，连接， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $