专题13 分式方程 讲义 -2024-2025学年人教版数学八年级上学期期末满分冲刺

专题13 分式方程 知识点1．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 知识点2．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 知识点3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 知识点4．换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 知识点5．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点6．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 知识点7．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型一．分式方程的定义（共3小题） 1．（2024秋•文登区校级期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，分式方程的个数是　　 A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 2．（2024秋•平南县期中）下列各式中是关于的分式方程的是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•普陀区期末）下列关于的方程中，属于分式方程的是　　 A． B． C． D． 题型二．分式方程的解（共7小题） 4．（2024•民勤县三模）若关于的方程有正数解，则　　 A．且 B．且 C． D． 5．（2024•南充模拟）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的整数的值为　　 A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 6．（2024秋•乳山市期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 7．（2024秋•龙凤区校级期中）若关于的分式方程有负数解，则的取值范围为　　． 8．（2024秋•南岸区校级月考）若关于的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 　　． 9．（2024秋•重庆月考）若关于的不等式组有且仅有三个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的积是 　　． 10．（2024春•溧阳市期末）若关于的分式方程无解，则　 　． 题型三．解分式方程（共8小题） 11．（2024•凤城市一模）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是　　 A． B． C． D． 12．（2024秋•长春月考）解分式方程，去分母后，结果正确的是　　 A． B． C． D． 13．（2024•泾川县校级模拟）分式方程去分母后，正确的是　　 A． B． C． D． 14．（2024秋•渝中区期中）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为　　 A． B． C． D． 15．（2024秋•让胡路区校级期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数，，存在．若，则的值为 　　． 16．（2024秋•淄博期中）若代数式与的值相等，则　　． 17．（2024秋•永定区期中）解分式方程： （1）； （2）； 18．（2023秋•沂南县期末）解方程：． 题型四．换元法解分式方程（共3小题） 19．（2024春•普陀区期末）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为 　　． 20．（2024春•宝山区期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是　　． 21．（2024秋•阳曲县校级月考）阅读下面材料：解方程：． 解：设，则原方程化为， 方程两边同时乘，得，解得． 经检验，都是方程的解． 当时，，解得；当时，，解得． 经检验，，都是原分式方程的解， 原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 解答下面的问题： （1）对于方程，若，则原方程可化为 　　，原方程的解为 　　． （2）模仿上述换元法解方程：． 题型五．分式方程的增根（共3小题） 22．（2024秋•金堂县校级期中）如果方程有增根，那么的值　　 A．1 B． C． D．7 23．（2024秋•石阡县期中）若关于的方程有增根，则的值为　　 A．2 B．0 C． D． 24．（2023秋•承德期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 　　． 题型六．由实际问题抽象出分式方程（共3小题） 25．（2024秋•兴宾区期中）2023年贵南高铁全线开通，极大地促进了黔桂两地的交通出行，推动了粤桂黔滇川高铁经济带的形成和发展．南宁与贵阳相距为570公里，乘坐高铁列车比普通列车少用3小时．已知高铁列车的平均速度是普通列车的3倍，设普通列车的平均速度 ，则根据题意所列方程是　　 A． B． C． D． 26．（2024秋•栖霞市期中）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中表示　　 A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对 27．（2023秋•禹城市期末）体育测试中，小明和小亮进行1500米跑测试，小明的速度是小亮的1.25倍，比小亮少用了1分钟，设小亮的速度是米秒，则所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 题型七．分式方程的应用（共10小题） 28．（2023秋•玉州区期末）为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小李家距上班地点，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小李乘公交车上班平均每小时行驶　　 A． B． C． D． 29．（2024春•鄞州区期末）暑假期间，小明一家计划自驾去离宁波远的某风景区游玩．途中设原计划以每小时 的速度开往该景区，可得方程，根据此情景，题中“”表示的缺失条件应为　　 A．实际每小时比原计划快，结果提前1小时到达 B．实际每小时比原计划慢，结果提前1小时到达 C．实际每小时比原计划快，结果延迟1小时到达 D．实际每小时比原计划慢，结果延迟1小时到达 30．（2024秋•杨浦区校级月考）甲容器盛满酒精，乙容器盛满水，乙容器的容量是甲容器的2倍．现从两容器中各取出来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，则甲容器原有酒精　　 A． B． C． D． 31．（2024•弥勒市二模）为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为，建成通车后全程约为，平均速度将提高原来的，时间将少用，则原来的平均速度是　　 A． B． C． D． 32．（2024•路南区开学）小华读一本书，计划10天读完，实际每天比计划多读3页，结果提前2天读完，这本书共有　　页． A．110 B．118 C．120 D．125 33．（2024•攸县校级开学）一段公路，由甲、乙两队合修6天可以完成，由甲队单独修要10天完成．由乙队单独修要几天？　　 A． B． C． 34．（2023秋•保定期末）两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通．记总工程量为1． （1）甲队单独施工1天完成总工程的 　　； （2）设乙队单独施工挖通隧道需要天，根据题意，列出方程为 　　． 35．（2024秋•覃塘区期中）市面上出现了一款热销玩具．某超市第一次用1000元购进这款玩具，由于销售良好，又花1600元第二次购进这款玩具．已知第二次购进的数量是第一次的2倍．且每个玩具第二次购进的成本比第一次便宜了1元． （1）求该超市两次购进这款玩具各多少个？ （2）第二次购进这款玩具后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该超市决定将剩下的玩具打五折销售并很快全部售完．若要使两次购进的玩具销售完后的总利润是1880元，则第一次销售时每个玩具的售价是多少元？ 36．（2024秋•乳山市期中）工厂计划在规定的时间生产24000台空气净化器．甲车间按计划独自生产了12000台后，由于雾霾天气影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务要增加15000台，乙车间也加入了该空气净化器的生产，甲、乙车间共同在规定时间完成了生产任务．已知乙车间每天比甲车间每天多生产100台，求甲车间每天生产多少台空气净化器． 37．（2024秋•裕华区校级期中）一辆汽车开往距离出发地的目的地．出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地， （1）求汽车实际走完全程所花的时间． （2）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以 的速度行驶，另一半路程以 的速度行驶，则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以 的速度行驶，则用时小时，请比较、的大小，并说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 分式方程 知识点1．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 知识点2．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 知识点3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 知识点4．换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 知识点5．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点6．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 知识点7．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型一．分式方程的定义（共3小题） 1．（2024秋•文登区校级期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，分式方程的个数是　　 A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】 【分析】根据分式方程的定义进行判断即可． 【解答】解：根据分式方程的定义，②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程， 故选：． 【点评】本题考查了分式方程的概念，关键掌握分母中含有字母的方程． 2．（2024秋•平南县期中）下列各式中是关于的分式方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分式方程的定义：①形如的式子；②其中，均为整式，且中含有字母．根据分式方程的定义，即可得出答案． 【解答】解：，，都是整式方程，则，，均不符合题意； 符合分式方程的定义，它是分式方程，则符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（2024春•普陀区期末）下列关于的方程中，属于分式方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分母中含有未知数的有理方程即为分式方程，据此进行判断即可． 【解答】解：中方程的分母中不含未知数，则不符合题意； 中方程的分母中不含未知数，则不符合题意； 中方程不是有理方程，则不符合题意； 中方程符合分式方程的定义，则符合题意； 故选：． 【点评】本题考查分式方程的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 题型二．分式方程的解（共7小题） 4．（2024•民勤县三模）若关于的方程有正数解，则　　 A．且 B．且 C． D． 【答案】 【分析】解分式方程得到，结合已知可得，同时注意，分式方程中，所以，则可求的取值范围． 【解答】解：分式方程两边同时乘以，得 ， 解得， 方程有正数解， ， 解得， ， ，则， 的取值范围是且， 故选：． 【点评】本题考查分式方程；掌握分式方程的求解方法，切勿遗漏分式方程的增根情况是解题的关键． 5．（2024•南充模拟）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的整数的值为　　 A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 【答案】 【分析】先解不等式组，再解分式方程，从而确定的取值，进而解决此题． 【解答】解：解不等式组，得， 不等式组无解， ， 解得：， ， ， 解得：， 方程有整数解， 或或或， 的值可为2、0、3、，4、、7、， 又， ， 或或． 故选：． 【点评】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，掌握相应的运算法则是关键． 6．（2024秋•乳山市期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【答案】 【分析】先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程的解为正数以及分式有意义的条件确定的取值范围． 【解答】解：化为整式方程得，， 解得：， 由条件可知：，即， 又，， 解得：， 的取值范围为且， 故选：． 【点评】本题考查分式方程的解及其解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，理解分式有意义的条件是正确解答的前提． 7．（2024秋•龙凤区校级期中）若关于的分式方程有负数解，则的取值范围为　且　． 【答案】且． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出，根据方程有负数解列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围． 【解答】解：， ， ， ， 解得：， 根据题意得：，且，， 解得：且． 故答案为：且． 【点评】此题考查了分式方程的解，掌握解分式方程的步骤是关键． 8．（2024秋•南岸区校级月考）若关于的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 　　． 【答案】． 【分析】通过解一元一次不等式组，得到的范围，再根据分式方程，得到的取值，同时考虑到分式方程有增根的情况，得到结果． 【解答】解：解一元一次不等式组， 得， 一元一次不等式组有解且至多有5个整数解， ， 解分式方程， 得， ， 分式方程有非负整数解， ，，1， 又， ， 为，1， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解不等式组、分式方程是解题的关键． 9．（2024秋•重庆月考）若关于的不等式组有且仅有三个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的积是 　6　． 【答案】6． 【分析】先分别解一元一次不等式组和分式方程，然后根据已知条件，求出的取值范围，在找出所有符合条件的整数，从而求出它们的积即可． 【解答】解：， 由①得：， ， 由②得：， ， ， ， 关于的不等式组有且仅有三个整数解， ， ， ， ， ， ， ， ， 关于的分式方程有非负整数解， 且， 解得：且且， 综上可知：， 符合条件的所有整数的值为2，3， 符合条件的所有整数的积为， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤． 10．（2024春•溧阳市期末）若关于的分式方程无解，则　1或　． 【分析】分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的能令最简公分母为0，据此进行解答． 【解答】解：方程两边都乘得，， 整理得，， 当整式方程无解时，即， 当分式方程无解时：①时，无解， ②时，， 所以或时，原方程无解． 故答案为：1或． 【点评】分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根． 题型三．解分式方程（共8小题） 11．（2024•凤城市一模）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】方程两边都乘，可得一个一元一次方程． 【解答】解：方程两边都乘，可得，为一个一元一次方程， 故选：． 【点评】本题考查了解分式方程，关键是使分式方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程． 12．（2024秋•长春月考）解分式方程，去分母后，结果正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，利用等式的性质，两边同时乘，去分母计算即可． 【解答】解：因为， 方程左右两边同时乘得：， 即， 即方程去分母后是， 故选：． 【点评】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是利用等式的性质． 13．（2024•泾川县校级模拟）分式方程去分母后，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分式方程变形后，去分母得到结果，即可作出判断． 【解答】解：分式方程变形得：， 去分母得：． 故选：． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，去分母之前要找对各分母的最简公分母． 14．（2024秋•渝中区期中）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由不等式组无解，解得，解分式方程得，，进而得到、、、，即可得解． 【解答】解：关于的不等式组， 由①得，， 由②得，， 原不等式组无解， ， 解得，， 解分式方程得，， 分式方程得解为正整数， 、、、， ， ， 综上，、、， ； 故选：． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解分式方程，解题的关键是掌握根据不等式组无解，和分式方程的解是正整数得出的范围． 15．（2024秋•让胡路区校级期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数，，存在．若，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据新定义可得，则去分母可得，再解方程后并检验即可得到答案． 【解答】解：由新定义可知：， ， 解得， 检验，当时，， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解分式方程，新定义，理解新定义是关键． 16．（2024秋•淄博期中）若代数式与的值相等，则　16　． 【答案】16． 【分析】根据代数式与的值相等，列出等式，解方程即可． 【解答】解：根据题意得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：． 经检验，是原方程的解， 故答案为：16． 【点评】本题考查了解分式方程，解题的关键在于根据题意列出方程，解方程时注意按步骤进行，并且需要验根． 17．（2024秋•永定区期中）解分式方程： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）， 去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得， 经检验是分式方程的解； （2）， 去分母得， 去括号得， 移项合并得， 经检验，是分式方程解． 【点评】本题考查解分式方程；注意去分母时，单独的一个数也要乘最简公分母；互为相反数的两个式子为分母，最简公分母应为其中的一个． 18．（2023秋•沂南县期末）解方程：． 【分析】本题考查解分式方程的能力．因为，所以可得方程最简公分母为．然后方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解即可，注意检验． 【解答】解：原方程可化为：． 去分母得：， 解得：． 经检验，是原方程的增根． 原方程无解． 【点评】将分式方程转化为整式方程的关键是去分母，而确定最简公分母是去分母的首要前提，因此要根据方程所给分母准确最简公分母．方程分母是多项式的要先进行因式分解，再去确定最简公分母． 题型四．换元法解分式方程（共3小题） 19．（2024春•普陀区期末）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为 　　． 【分析】由已知，则原方程化为，方程两边乘即可得答案． 【解答】解：设，则原方程化为：， 方程两边乘得：， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查了解分式方程，能正确换元是解此题的关键． 20．（2024春•宝山区期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是　　． 【答案】． 【分析】根据换元法的步骤进行化简即可． 【解答】解：设， 则原方程可化为：， 整理，得， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式方程的解法—换元法，换元法的一般步骤为：设元，换元，解元，还原． 21．（2024秋•阳曲县校级月考）阅读下面材料：解方程：． 解：设，则原方程化为， 方程两边同时乘，得，解得． 经检验，都是方程的解． 当时，，解得；当时，，解得． 经检验，，都是原分式方程的解， 原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 解答下面的问题： （1）对于方程，若，则原方程可化为 　　，原方程的解为 　　． （2）模仿上述换元法解方程：． 【答案】（1），或；（2）． 【分析】（1）按照材料中分式方程的换元的方法，设，则原方程可化为，按照解分式方程的方法，可求得的值，进而求得的值； （2）按照材料中分式方程的换元的方法，设，则原方程可化为，按照解分式方程的方法，可求得的值，进而求得的值． 【解答】解：（1）对于方程，若设，则原方程可化为， 方程两边同时乘，得， 解得或． 经检验，，都是方程的解． 当时，，解得； 当时，，解得． 经检验，，都是原分式方程的根， 故原方程的解为或； （2）原方程化为． 设，则原方程化为， 方程两边同时乘，得， 解得． 经检验，都是方程的解． 当时，，该方程无解； 当时，，解得． 经检验，是原分式方程的解， 原分式方程的解为． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握换元法是解此题的关键． 题型五．分式方程的增根（共3小题） 22．（2024秋•金堂县校级期中）如果方程有增根，那么的值　　 A．1 B． C． D．7 【答案】 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值． 【解答】解：方程的最简公分母为， 此方程的增根为． 方程整理得：， 将代入，得，则， 选项正确． 故选：． 【点评】本题主要考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 23．（2024秋•石阡县期中）若关于的方程有增根，则的值为　　 A．2 B．0 C． D． 【答案】 【分析】根据增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此计算即可． 【解答】解：去分母得：， 分式方程有增根， ，即， 将代入整式方程，得：，即， 故选：． 【点评】本题考查了分式方程的增根，掌握相关知识是解题的关键． 24．（2023秋•承德期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 　　． 【答案】． 【分析】先求解方程，然后将分式方程的增根代入求解即可． 【解答】解：关于的分式方程有增根， ， 解得， 分式方程有增根， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键． 题型六．由实际问题抽象出分式方程（共3小题） 25．（2024秋•兴宾区期中）2023年贵南高铁全线开通，极大地促进了黔桂两地的交通出行，推动了粤桂黔滇川高铁经济带的形成和发展．南宁与贵阳相距为570公里，乘坐高铁列车比普通列车少用3小时．已知高铁列车的平均速度是普通列车的3倍，设普通列车的平均速度 ，则根据题意所列方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设普通列车的平均速度 ，则高铁的平均速度是 ，根据“乘坐高铁列车比普通列车少用3小时”，列出分式方程即可． 【解答】解：设普通列车的平均速度 ，则高铁的平均速度是 ， ． 故选：． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程． 26．（2024秋•栖霞市期中）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中表示　　 A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对 【答案】 【分析】由快、慢马速度间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马的速度，表示快马的速度，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出表示规定的时间． 【解答】解：快马的速度是慢马的2倍，所列方程为， 表示慢马的速度，表示快马的速度； 把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天， 表示规定的时间． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出的含义是解题的关键． 27．（2023秋•禹城市期末）体育测试中，小明和小亮进行1500米跑测试，小明的速度是小亮的1.25倍，比小亮少用了1分钟，设小亮的速度是米秒，则所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设小亮的速度是米秒，则小明的速度是米秒，根据小明比小亮少用了1分钟列方程即可． 【解答】解：由题意，得： ． 故选：． 【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键． 题型七．分式方程的应用（共10小题） 28．（2023秋•玉州区期末）为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小李家距上班地点，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小李乘公交车上班平均每小时行驶　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设小李乘公交车上班平均每小时行驶 ，则他自驾车平均每小时行驶，根据乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的列出方程，解方程即可． 【解答】解：设小李乘公交车上班平均每小时行驶 ，则他自驾车平均每小时行驶的路程，根据题意列方程， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 小李乘公交车上班平均每小时行驶， 故选：． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于根据时间关系列出方程． 29．（2024春•鄞州区期末）暑假期间，小明一家计划自驾去离宁波远的某风景区游玩．途中设原计划以每小时 的速度开往该景区，可得方程，根据此情景，题中“”表示的缺失条件应为　　 A．实际每小时比原计划快，结果提前1小时到达 B．实际每小时比原计划慢，结果提前1小时到达 C．实际每小时比原计划快，结果延迟1小时到达 D．实际每小时比原计划慢，结果延迟1小时到达 【答案】 【分析】根据题意，结合路程速度时间，即可得出结论． 【解答】解：设原计划以每小时 的速度开往该景区，实际每小时行驶， 方程，则表示实际用的时间原计划用的时间小时， 说明实际每小时比原计划快，结果提前1小时到达， 故选：． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解方程所表示的意思，结合题目给出的条件得出正确的判断． 30．（2024秋•杨浦区校级月考）甲容器盛满酒精，乙容器盛满水，乙容器的容量是甲容器的2倍．现从两容器中各取出来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，则甲容器原有酒精　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设甲容器的容积为 ，则乙容器的容积为 ，根据从两容器中各取出来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，列出分式方程，解分式方程即可． 【解答】解：设甲容器的容积为 ，则乙容器的容积为 ， 由题意得：， 解得：，， 经检验，都是原方程的根，但不符合题意，舍去， 甲容器原有酒精， 故选：． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 31．（2024•弥勒市二模）为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为，建成通车后全程约为，平均速度将提高原来的，时间将少用，则原来的平均速度是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设原来的平均速度是 ，则现在的平均速度为 ，根据时间少用列出分式方程并求解即可． 【解答】解：设原来的平均速度是 ，则现在的平均速度为 ， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 即原来的平均速度是， 故选：． 【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解题的关键． 32．（2024•路南区开学）小华读一本书，计划10天读完，实际每天比计划多读3页，结果提前2天读完，这本书共有　　页． A．110 B．118 C．120 D．125 【答案】 【分析】根据“实际每天比计划多读3页”列方程求解． 【解答】解：设这本书共有页， 则：， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 33．（2024•攸县校级开学）一段公路，由甲、乙两队合修6天可以完成，由甲队单独修要10天完成．由乙队单独修要几天？　　 A． B． C． 【答案】 【分析】设乙队单独修要天完成，根据由甲、乙两队合修6天可以完成，由甲队单独修要10天完成．列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设乙队单独修要天完成， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 故选：． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 34．（2023秋•保定期末）两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通．记总工程量为1． （1）甲队单独施工1天完成总工程的 　　； （2）设乙队单独施工挖通隧道需要天，根据题意，列出方程为 　　． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由甲队先独立施工1周完成总工程的，即可得出结果； （2）设乙队单独施工挖通隧道需要天，根据“甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通，记总工程量为1”，列出分式方程即可． 【解答】解：（1）甲队先独立施工1周完成总工程的， 甲队单独施工1天完成总工程的：， 故答案为：； （2）设乙队单独施工挖通隧道需要天， 根据题意得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 35．（2024秋•覃塘区期中）市面上出现了一款热销玩具．某超市第一次用1000元购进这款玩具，由于销售良好，又花1600元第二次购进这款玩具．已知第二次购进的数量是第一次的2倍．且每个玩具第二次购进的成本比第一次便宜了1元． （1）求该超市两次购进这款玩具各多少个？ （2）第二次购进这款玩具后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该超市决定将剩下的玩具打五折销售并很快全部售完．若要使两次购进的玩具销售完后的总利润是1880元，则第一次销售时每个玩具的售价是多少元？ 【答案】（1）该超市第一次购进200个，第二次购进400个； （2）第一次销售时每个玩具的售价是8元． 【分析】（1）设该超市第一次购进这款玩具个，则第二次购进这款玩具个，根据每个玩具第二次购进的成本比第一次便宜了1元，列出分式方程，解方程即可； （2）设第一次销售时每个玩具的售价是元，根据要使两次购进的玩具销售完后的总利润是1880元，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设该超市第一次购进这款玩具个，则第二次购进这款玩具个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：该超市第一次购进200个，第二次购进400个； （2）设第一次销售时每个玩具的售价是元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次销售时每个玩具的售价是8元． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 36．（2024秋•乳山市期中）工厂计划在规定的时间生产24000台空气净化器．甲车间按计划独自生产了12000台后，由于雾霾天气影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务要增加15000台，乙车间也加入了该空气净化器的生产，甲、乙车间共同在规定时间完成了生产任务．已知乙车间每天比甲车间每天多生产100台，求甲车间每天生产多少台空气净化器． 【答案】400台． 【分析】设甲车间每天生产台空气净化器，则乙车间每天生产台空气净化器，由题意：甲车间独立生产一半后，生产任务的数量增加了15000台．乙车间也加入了该小型空气净化器的生产．则正好可以按时完成生产任务．列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设甲车间每天生产台，则乙车间每天生产台空气净化器，由题意得， ， 解得， 经检验，是所列方程的根且符合题意． 所以甲车间每天生产400台空气净化器． 答：甲车间每天生产400台空气净化器． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 37．（2024秋•裕华区校级期中）一辆汽车开往距离出发地的目的地．出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地， （1）求汽车实际走完全程所花的时间． （2）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以 的速度行驶，另一半路程以 的速度行驶，则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以 的速度行驶，则用时小时，请比较、的大小，并说明理由． 【答案】（1）； （2），理由见解析． 【分析】（1）设前一小时行驶的速度为 ，则提速后的速度为 ，根据实际比并比原计划提前到达目的地列出方程求解即可； （2）利用时间等于路程除以速度，分别求出两种方案所需时间，比较（作差）后即可得出结论． 【解答】解：（1）设前一小时行驶的速度为 ，则提速后的速度为 ， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：汽车实际走完全程所花的时间为； （2），理由如下： 由题意得，，，， ，均为正数，且， ，， ， 即， ． 【点评】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式加减法的实际应用，难度不大． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$