期末复习-专题03 轴对称图形（考点清单+分层训练）-2025-2026学年人教版八年级上册数学《解锁期末满分 期末冲刺密卷》

期末复习-专题03 轴对称图形 （考点清单+分层训练） 考点1：轴对称与轴对称图形的概念及区别 1 区分轴对称（两个图形的位置关系）和轴对称图形（一个图形的自身特性）； ② 理解对称轴的定义，知道轴对称的两个图形全等 考点2：轴对称的性质 ① 轴对称的两个图形中，对应点所连线段被对称轴垂直平分； ② 对应线段相等、对应角相等； ③ 对称轴上的点到对应点的距离相等 考点3：线段的垂直平分线 1 掌握定义：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线； ② 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； ③ 判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 考点4：等腰三角形的性质与判定 1 性质 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等； ② 性质 2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③ 判定定理：等角对等边 考点5：等边三角形的性质与判定 1 性质：三边相等，三个内角都为 60°； ② 判定：三边相等的三角形是等边三角形；两角为60°的三角形是等边三角形；有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形 考点6：含 30° 角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 考点7：轴对称作图 能作一个图形关于某条直线的对称图形；② 能利用轴对称解决最短路径问题（两点一线、两线一点模型） 考点8：几何证明与计算 运用轴对称性质、线段垂直平分线定理、等腰 / 等边三角形性质解决线段相等、角相等、线段长度、角度计算问题 1．下列是我国四家航空公司的标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可. 【详解】解：A、图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、图案是轴对称图形，故此选项符合题意； D、图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C. 2．一个等腰三角形的底角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质，两个底角相等，已知一个底角为，则另一个底角也为，再根据三角形内角和定理，顶角等于减去两个底角之和计算即可． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等，且一个底角为， 另一个底角也为， 三角形内角和为， 顶角， 故选：D． 3．如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三线合一，由题可得点是的中点，即可求解 【详解】解：∵于点D， ∴ 故选：B. 4．如图，在中，，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，掌握性质是解题的关键．根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 5．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到杆脚的距离相等时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 【答案】D 【分析】本题考查了三线合一，解题关键是掌握三线合一． 根据三线合一求解． 【详解】解：∵从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和， ∴， 当点、、在同一直线上，且固定点、到杆脚的距离相等时， ∴为边上的中线， ∴（三线合一）， 三线合一即等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合， 故选：D． 6．如图，把沿直线对折，点恰好落在点处，若，，则的周长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上性质． 利用翻折的性质进行求解即可． 【详解】解：根据翻折的性质得，， ∴的周长为：， 故选：C． 7．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则等于（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等边对等角，含的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线的性质可得到，可求得，再根据直角三角形的性质可求得，可得答案． 【详解】解：∵为线段垂直平分线， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，，点在线段上．若，，则的周长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质，由题意得，推出，得是等边三角形，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴，即； ∴是等边三角形， ∴的周长为：； 故选：B 9．将与两边平行的纸条按如图所示折叠，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，折叠的性质与邻补角的定义．根据题意得：，，由折叠的性质，即可求得的度数． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 由折叠的性质得， ， ． 故答案为：． 10．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线性质，此题关键是证明和为等腰三角形．先利用两直线平行，内错角相等得，，再因为和的平分线交于点，得，，通过等量代换，，得出和为等腰三角形最后运用等腰三角形性质即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴和为等腰三角形， ∴，． ∵，， ∴． 故答案为：． 11．如图，在中，，线段的垂直平分线交于，连接．则 ． 【答案】/90度 【分析】该题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，根据垂直平分线的性质可得到，根据等腰三角形的性质得到，进而得到． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于， ， ， 又， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出与关于轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)为轴上一点，使的周长最小，在图中作出点．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，轴对称的应用，解题的关键是作出对应点的位置． （1）作出点A、B、C关于x轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）写出点的坐标即可； （3）作点B关于y轴的对称点，然后连接交y轴于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，为所求作图形． （2）解：根据图形可知，点． （3）解：如图，点P即为所求． 根据对称性可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小． 13．如图，是等边三角形，是边上一点，以为一边向上作等边，连接． (1)求证： (2)若，求的度数 (3)在（2）的条件下，若，求的长 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质和即可证明结论； （2）求出的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案； （3）根据（2）所求，结合等边三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴． 14．如图，，，． (1)求证：． (2)若，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法．解题时注意第②问中三角形内角和定理及平角定义的综合运用． (1)先根据，，，判定，得出，进而得到为等腰三角形； (2)根据，得出，再根据平角的定义，得到，最后判定等腰为等边三角形． 【详解】（1）解：在和中， ，    ． （2）解：在中， ， 又 ，， ，     ， 是等边三角形． 15．已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接． (1)若，则的长为 ； (2)若，，求的长； (3)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． （1）直接根据线段垂直平分线的性质求解即可； （2）由线段垂直平分线的性质得，再求出即可求解； （3）先根据的周长为求出，由线段垂直平分线的性质得，进而可求出的长． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， ． 故答案为：3； （2）解：垂直平分， ， ，， ， ． （3）解：的周长为，， ， 垂直平分， ， ． 1．如图，在中，为内一点，过点的直线分别交，于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到，，根据线段的垂直平分线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，，推出，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∵在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 2．等腰三角形中，一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理．等腰三角形的一个内角是，则可能是顶角，也可能是底角，分情况讨论即可． 【详解】解：分如下两种情况讨论： 当角是底角时，顶角度数为， 当角是顶角时，顶角度数为． 故选：C． 3．如图所示，已知在等边三角形中，点，分别是，上的点，且，连接，交于点，过点作，为垂足，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，通过SAS可判定，然后根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到，最后根据直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半的性质即可得到答案． 【详解】解：为等边三角形． ，， 在和中，，，， ， ， 为外角， ， ，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点，证明是解题的关键． 4．如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称--最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，求出的长可得结论． 【详解】解：连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 周长的最小值 ， ， ， 故选：A． 5．如图，点E在等边的边上，，射线于点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 作点关于直线的对称点，过点作于，交于，则此时，的值最小，利用等边三角形的性质求出角的度数，利用含角的直角三角形的性质求出边的长度，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，过点作于，交于， 则此时，的值最小， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图1是一张长方形纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，掌握折叠的性质是解题的关键；根据折叠的性质得，再由第2次折叠得到，于是把两式相加即可求解，再由即可求解． 【详解】解：纸条沿折叠， ， 纸条再沿折叠并压平， ， ， ， ， ， 纸条沿折叠并压平， ， ∴， 故选：B． 7．如图，点P，M，N分别在等边的各边上，且于点P，于点M，点N，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质得出，进而得出，再根据平角的定义即可得出，即可证得是等边三角形；根据全等三角形的性质得到，，从而求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得的长，进而得出的长． 【详解】解：是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 故选：C． 8．如图，在等边三角形中，，D是的中点，过点D作于点F， 过点F作于点E，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、勾股定理及含30度直角三角形的性质是解题关键；由题意易得，则有，然后可得，进而问题可进行求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 9．已知：如图，和均为等边三角形，点、、在一条直线上，交于点，交于点，交于点．下列结论： ①，②， ③，④，⑤．正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用；由等边三角形的性质可得，，根据平角的定义得出，即可判断⑤，进而证明，即可判断①，得出，根据三角形内角和定理得出，即可判断④；进而证明，，即可判断②和③． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴，故⑤正确， 在 ∴故①正确； ∴，即 ∵,， ∴故④正确 在中， ∴故②正确； ∴， 在中， ∴故③正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤，共5个， 故选：A． 10．如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论中正确的个数是（　　） ①； ②若点D在线段的垂直平分线上，则； ③若点D为中点，则； ④若为等腰三角形，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，注意多种情况讨论. 根据三角形外角的性质得，再结合，可解答①；先求出，再设，可得，，接下来根据线段垂直平分线的性质得，进而得，最后根据“等角对等边”解答②；根据等腰三角形的性质得，可得，再根据三角形内角和定理判断③即可；分两种情况：当时，设，则，，根据等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理求出，可得答案；当时，可得，进而求出，最后根据可得答案. 【详解】解：①∵， ∴， 又∵， ∴， 故结论①正确； ②在中，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴. ∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故结论②正确； ③∵点D为中点，，如图1所示： ∴， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 故结论③正确； ④∵， ∴当为等腰三角形时，有以下两种情况： （ⅰ）当时，如图2所示： 设， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由结论①正确得； （ⅱ）当时，如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：当为等腰三角形，则或． 故结论④不正确， ∴正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 11．如图，在等腰中，，，于点，是延长线上的一点，是线段上的一点，，下面的结论：①；②；③；④是等边三角形．其中一定正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】由等腰三角形三线合一性质即可判断①正确；由垂直平分线的判定与性质得到，结合等腰三角形的判定与性质可得，从而确定②正确；根据②中，由于是线段上的一点，不能保证平分，即可判定与也不一定相等，③错误；由②中，结合三角形内角和定理得到，再由等腰三角形性质确定，进而判定是等边三角形，得到④正确． 【详解】解：①在等腰中，，于点，则由等腰三角形三线合一性质可得是底边上的中线， ，故①正确； ②连接，如图所示： 由①知， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 则和是等腰三角形， ， 在等腰中，，， ∴， ，故②正确； ③由②知， 由于是线段上的一点，不能保证平分， 与不一定相等， 则与也不一定相等，故③错误； ④由②知， 在中，由三角形内角和定理可知， ， ， 则是等边三角形，故④正确； 综上所述，其中一定正确的是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查三角形相关问题综合，涉及等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定等知识，熟记三角形相关性质与判定是解决问题的关键． 12．如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据等腰三角形的定义分三种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， ， ∵，是等腰三角形， ∴分以下三种情况讨论： ①当时，， ，此时点与点重合，不符合题意； ②当时，， ； ③当时，， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 13．如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，…均为等边三角形，若，则的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及30度角的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：． 故答案为：64． 14．如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后利用含直角三角形的性质得到，，进而可计算的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴和是直角三角形， ∴，， ∴， 故答案为：6． 15．如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则 ． 【答案】16 【分析】过点D作，交于F，先证是等边三角形，再证，得，设，则，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可． 【详解】解：如下图，过点D作，交于F， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 点P为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明． 16．如图，在中，，，，，垂足为，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查的是垂直的定义，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用； （1）根据题意证明，即可证出； （2）先求解，求解，继而根据即可得． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， （2）解：， ， ∵，， ， ， ． 17．如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，从而可证得； （2）由全等三角形的性质可得，，再根据角的和差关系等量代换可得，从而得到，最后根据含角直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ； （2）解：， ，， ， 又， ， ， ． 18．如图，已知在等边三角形中，点D、E分别在直线AB、直线上，且． (1)当点D、E分别在边、边上时，如图1所示，与相交于点G，求的度数； (2)当点D、E分别在边CA、边的延长线上时，如图2所示，的度数是否变化？如不变，请说明理由．如变化，请求出的度数． 【答案】(1)60° (2)不变；60° 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到, 推出, 根据全等三角形的性质得到, 根据三角形外角的性质即可得到结论： （2）由三角形为等边三角形，利用等边三角形的性质得到, 利用等角的补角相等得到夹角相等，利用得到与 全等，利用全等三角形的对应角相等得到, 利用外角性质及等量代换即可得证 【详解】（1）证明：为等边三角形， , 在和中 , , , , , , , （2）证明：为等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 19．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 【特殊情况，探索结论】 （1）如图①，当为的中点时，求线段与的数量关系； 【特例启发，解答题目】 （2）如图②，当为边上任意一点时，求线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）当为的中点时，线段与的数量关系为； （2）当为边上任意一点时，线段与的数量关系为，理由见解析． 【分析】本题考查等边三角形的判定及性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质． （1）利用等边三角形的性质，结合已知，可得，由等腰三角形的性质和判定，可得，等量代换，即可得线段与的数量关系； （2）过点E作，交于点，利用等边三角形的性质证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当为的中点时，线段与的数量关系为． （2）解：． 理由：过点E作，交于点，则，，如图所示： ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴当为边上任意一点时，线段与的数量关系为． 20． 数学课上，张老师根据习题改编了一个题目：如图1，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图2，则点C刚好落在边上的点E处．…… (1)结合小明同学的想法，求的长度； (2)改编此题，如图3，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证． 【详解】（1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：； 证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形外角的定义及性质，等腰三角形的判定，折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 21．综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）；（2），，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角． （1）证明，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质，证明即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2），， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 22．如图，在中，，，，点从点出发以的速度向点运动，点到达点停止运动，同时点从点出发以的速度向点运动，点到达点停止运动，设运动的时间为．解答以下问题： (1)___________，___________（用含的式子表示）； (2)当为何值时，为等边三角形； (3)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)； (2)当为时，为等边三角形 (3)当为或4时，为直角三角形 【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）用含t的式子表示出各边长度即可； （2）根据等边三角形各边相等列方程，即可求解； （2）分为直角和为直角两种情况，根据30度角所对直角边等于斜边的一半，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：，，； （2）解：∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， 即， 解得：， ∴当为时，为等边三角形； （3）解：①当为直角时，， ∴， ∴， ∴； ②当为直角时，， ∴， ∴， ∴． ∴当为或4时，为直角三角形． 1．如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论： ①； ②； ． ③； ④若点是的中点，则周长等于的长． 其中正确的有（    ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④ 【答案】B 【分析】先证明，即可判断①，再证明，即可判断②，延长交于点M，证明即可判断③，利用垂直平分线的判定与性质即可判断④． 【详解】解：，分别为，边上的高， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ， ∵， ∴，故②错误； 延长交于点M， ， ， ， ∴，故③正确； 若点是的中点， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ， ∴即周长等于的长，故④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线的判定与性质等，解题关键是读懂题意，牢记相关概念并利用转化的思想． 2．在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交于点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证明，，可得，，进一步可判断①②，证明，求出，进一步可判断③，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得，进一步可判断④． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，，， ∴，故①②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， ∴，故③符合题意； 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故④符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；熟练的确定全等三角形是解本题的关键． 3．如图，在R中，∠ABC=90°，以AC为边，作，满足AD=AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．下列结论中正确的有(　　)   ①AC⊥DE；②∠ADE=∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE=CE+2BE ． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】通过延长EB至E＇，使BE=BE＇，连接，构造出全等三角形，再利用全等三角形的性质依次分析，可得出正确的结论是②③④． 【详解】解：如图，延长EB至E＇，使BE=BE＇，连接； ∵∠ABC=90°， ∴AB垂直平分EE＇， ∴AE=AE＇, ∴∠1=∠2，∠3=∠5， ∵∠1=， ∴∠E＇AE=2∠1=∠CAD， ∴∠E＇AC=∠EAD,   又∵AD=AC， ∴， ∴∠5=∠4，∠ADE=∠ACB（即②正确）， ∴∠3=∠4； 当∠6=∠1时，∠4+∠6=∠3+∠1=90°， 此时，∠AME=180°－（∠4+∠6）=90°， 当∠6≠∠1时，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°， 此时，∠AME≠90°， ∴①不正确； 若CD∥AB， 则∠7=∠BAC， ∵AD=AC， ∴∠7=∠ADC， ∵∠CAD+∠7+∠ADC=180°， ∴，   ∴∠1+∠7=90°， ∴∠2+∠7=90°， ∴∠2+∠BAC=90°， 即∠E＇AC=90°， 由， ∴∠EAD=∠CAE＇=90°，E＇C=DE， ∴AE⊥AD（即③正确），DE=E＇B+BE+CE=2BE+CE（即④正确）； 故正确的为：②③④． 故选B 【点睛】本题综合考查了线段的垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等内容；要求学生能够根据已知条件通过作辅助线构造出全等三角形以及能正确运用全等三角形的性质得到角或线段之间的关系，能进行不同的边或角之间的转换，考查了学生的综合分析和数形结合的能力． 4．如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； 证明，，可得，，求出，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5.如图1，平分，点，点分别在射线上，且，垂足为点． (1)求证：； (2)如图2，以为对称轴，将射线翻折，交于点． ①求证：； ②如图3，连接，用等式表示线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据互余关系，即可得证； （2）①过点作，垂足为，根据轴对称的性质可得，进而可推出，根据角平分线的性质可得，证明，再证明，即可得证； ②在射线上取点，使，连接，证明，再根据垂直平分线的性质可证是等腰三角形，再证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴． ∴， ， ∴； （2）①证明：过点作，垂足为， ∵以为对称轴，将射线翻折，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴； ②解：，理由如下： 在射线上取点，使，连接， ， ∴， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是综合运用以上知识，正确作出辅助线． 6．在中，，点，是边上的两点． (1)如图，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，，，求的值； (2)如图，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图，连接，，若，且，平分，，的面积为，点，分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据题意得到是等边三角形，证得是等边三角形，再证明，即可解答； （2）利用角的等量代换证明，过点作，交于点，得到是等边三角形，证明，即可得证； （3）根据题意求出，过点作于点，交于点，过点作于点，利用三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，过点作，交于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作于点，交于点，过点作于点， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，角平分线的性质，平行的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 7．如图1，直线交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足． (1)如图1，若点C的坐标为，且于点H，交于点P，求点P的坐标； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于点N，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)式子的值不发生改变，值为4． 【分析】（1）根据平方的非负性，求出点和点的坐标，再证明，得到，即可得到点P的坐标； （2）过点分别作、的垂线，垂足分别为、，根据多边形内角和得到，，进而证明，推出平分，即可证明结论； （3）连接，利用等腰三角形三线合一的性质以及直角三角形斜边中线的性质，证明出，得到，进而得到，即可得解． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点C的坐标为， ， ， 点P的坐标为； （2）证明：如图，过点分别作、的垂线，垂足分别为、， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 又，， 平分， ； （3）解：式子的值不发生改变， 如图，连接， ，，点D为的中点， ，，，， ， ，， ， ，， ， 又， ， ， ， 式子的值不发生改变，值为4． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，等腰三角形性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习-专题03 轴对称图形 （考点清单+分层训练） 考点1：轴对称与轴对称图形的概念及区别 1 区分轴对称（两个图形的位置关系）和轴对称图形（一个图形的自身特性）； ② 理解对称轴的定义，知道轴对称的两个图形全等 考点2：轴对称的性质 ① 轴对称的两个图形中，对应点所连线段被对称轴垂直平分； ② 对应线段相等、对应角相等； ③ 对称轴上的点到对应点的距离相等 考点3：线段的垂直平分线 1 掌握定义：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线； ② 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； ③ 判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 考点4：等腰三角形的性质与判定 1 性质 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等； ② 性质 2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③ 判定定理：等角对等边 考点5：等边三角形的性质与判定 1 性质：三边相等，三个内角都为 60°； ② 判定：三边相等的三角形是等边三角形；两角为60°的三角形是等边三角形；有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形 考点6：含 30° 角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 考点7：轴对称作图 能作一个图形关于某条直线的对称图形；② 能利用轴对称解决最短路径问题（两点一线、两线一点模型） 考点8：几何证明与计算 运用轴对称性质、线段垂直平分线定理、等腰 / 等边三角形性质解决线段相等、角相等、线段长度、角度计算问题 1．下列是我国四家航空公司的标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 2．一个等腰三角形的底角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 5．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到杆脚的距离相等时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 6．如图，把沿直线对折，点恰好落在点处，若，，则的周长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则等于（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 8．如图，，点在线段上．若，，则的周长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 9．将与两边平行的纸条按如图所示折叠，，则的度数为 ． 10．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为 ． 11．如图，在中，，线段的垂直平分线交于，连接．则 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出与关于轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)为轴上一点，使的周长最小，在图中作出点．（保留作图痕迹） 13．如图，是等边三角形，是边上一点，以为一边向上作等边，连接． (1)求证： (2)若，求的度数 (3)在（2）的条件下，若，求的长 14．如图，，，． (1)求证：． (2)若，求证是等边三角形． 15．已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接． (1)若，则的长为 ； (2)若，，求的长； (3)若的周长为，，求的长． 1．如图，在中，为内一点，过点的直线分别交，于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．等腰三角形中，一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A． B． C．或 D．或 3．如图所示，已知在等边三角形中，点，分别是，上的点，且，连接，交于点，过点作，为垂足，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 5．如图，点E在等边的边上，，射线于点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．如图1是一张长方形纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，点P，M，N分别在等边的各边上，且于点P，于点M，点N，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在等边三角形中，，D是的中点，过点D作于点F， 过点F作于点E，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．已知：如图，和均为等边三角形，点、、在一条直线上，交于点，交于点，交于点．下列结论： ①，②， ③，④，⑤．正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 10．如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论中正确的个数是（　　） ①； ②若点D在线段的垂直平分线上，则； ③若点D为中点，则； ④若为等腰三角形，则． A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，在等腰中，，，于点，是延长线上的一点，是线段上的一点，，下面的结论：①；②；③；④是等边三角形．其中一定正确的是 ．（填序号） 12．如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为 ． 13．如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，…均为等边三角形，若，则的边长为 ． 14．如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为 ． 15．如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则 ． 16．如图，在中，，，，，垂足为，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 17．如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 18．如图，已知在等边三角形中，点D、E分别在直线AB、直线上，且． (1)当点D、E分别在边、边上时，如图1所示，与相交于点G，求的度数； (2)当点D、E分别在边CA、边的延长线上时，如图2所示，的度数是否变化？如不变，请说明理由．如变化，请求出的度数． 19．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 【特殊情况，探索结论】 （1）如图①，当为的中点时，求线段与的数量关系； 【特例启发，解答题目】 （2）如图②，当为边上任意一点时，求线段与的数量关系，并说明理由． 20． 数学课上，张老师根据习题改编了一个题目：如图1，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图2，则点C刚好落在边上的点E处．…… (1)结合小明同学的想法，求的长度； (2)改编此题，如图3，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 21．综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 22．如图，在中，，，，点从点出发以的速度向点运动，点到达点停止运动，同时点从点出发以的速度向点运动，点到达点停止运动，设运动的时间为．解答以下问题： (1)___________，___________（用含的式子表示）； (2)当为何值时，为等边三角形； (3)当为直角三角形时，求的值． 1．如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论： ①； ②； ． ③； ④若点是的中点，则周长等于的长． 其中正确的有（    ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④ 2．在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交于点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在R中，∠ABC=90°，以AC为边，作，满足AD=AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．下列结论中正确的有(　　)   ①AC⊥DE；②∠ADE=∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE=CE+2BE ． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④ 4．如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是 ． 5.如图1，平分，点，点分别在射线上，且，垂足为点． (1)求证：； (2)如图2，以为对称轴，将射线翻折，交于点． ①求证：； ②如图3，连接，用等式表示线段之间的数量关系，并说明理由． 6．在中，，点，是边上的两点． (1)如图，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，，，求的值； (2)如图，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图，连接，，若，且，平分，，的面积为，点，分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 7．如图1，直线交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足． (1)如图1，若点C的坐标为，且于点H，交于点P，求点P的坐标； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于点N，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $